5 bài hình luyện thi vào 10 có hướng dẫn giải

Bµi sè 1
Cho tam giác đều ABC, gọi O là trung điểm của BC. Góc
xOy = 60
0
quay quanh O cắt AB, AC lần lượt tại D và E
a, chứng minh BD.CE không đổi.
b, chứng minh DO là tia phân giác của góc BDE
c, vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh DE tiếp
xúc với (O)
a/ XÐt
∆
BDO vµ
∆
COE cã
∠
B =
∠
C = 60
0
( v×
∆
ABC ®Òu)
∠
BOD =
∠
OEC
(
∠
BOD +
∠
EOC = 60

∠
OEC +
∠
EOC = 60)
⇒
∆
BDO ®ång d¹ng
∆
COE (g.g)
⇒

CE
BO
CO
BD
=
⇒
BD . CE = CO . BO ( kh«ng ®æi)
b/ V×
∆
BDO ®ång d¹ng
∆
COE (g.g)
⇒
OE
DO
CO
BD
=
mµ CO = OB

K
A
A
D
E
C
O
B
H

CE
BO
BO
BD
=
Ta lại có

B =

DOE = 600


BDO đồng dạng

OED (g.g)



BDO =

ODE ( hai góc tơng ứng)
Vậy DO là phân giác của

BDE
c/ đờng tròn(O) tiếp xúc với AB tại H

AB

OH
Từ O kẻ OK

DE
Vì O thuộc phân giác của BDE

OK = OH

K thuộc đờng tròn (O; OH)
Có DE

OK

DE luôn tiếp xúc với (O; OH)
Cỏch khỏc Xột tam giỏc ADE cú DO l ng phõn giỏc ngoi
nh D v AO l ng phõn giỏc trong nh A
O l tõm ng trũn bng tip nh A
(O) tip xỳc vớ DE
Bi 2 Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB
K hai tip tuyn Ax v By, t mt im M trờn Ax
K tip tuyn MP ct By ti N
a, c/m AMPO là tứ giác nội tiếp

b/ c/m

MON và

APB là hai tam giác vuông đồng dạng
c, c/m MP . NP = OP
2
= R
2
d/ Tính tỷ số
APB
MON
S
S
biết AM =
2
R
a/ tứ giác AMPO có

MAO +

MPO = 90
0
+ 90
0
= 180
0
Mà

MAO và

MPO là hai góc đối của tứ giác
Nên AMPO là tứ giác nội tiếp
b, AMPO là tứ giác nội tiếp
O
A
M
P
B
N



PAO =

PMO (1) ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung PO của đờng
tròn ngoại tiếp tứ giác AMPO)
chứng minh tơng tự ta có tứ giác OPNB nội tiếp



PNO =

PBO (2)
Từ (1) và (2)



MON đồng dạng

APB (g.g)
Có

APB = 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn(O))



MON và

APB là hai tam giác vuông đồng dạng
c/ Theo tính chất của tiếp tuyến có
AM = MP và PN = NB

AM . BN = MP . PN
Mà

MON vuông tại O có OP

MN

MP . NP = OP
2
= R
2
( hệ thức lợng trong tam giác vuông)
d/ Tính tỷ số
APB
MON

S
S
biết AM =
2
R
Ta có AM =
2
R
mà AM. BN = R
2

BN = 2R
kẻ MH

BN

BH = AM =
2
R


HN = 3.
2
R
Trong tam giác MHN vuông tại H ta có : MN
2
= MH
2
+ NH
2

(Đ/l Pitago)

MN
2
= (2R)
2
+ (3.
2
R
)
2
=
4
25
R
2

MN =
2
5R
Do đó
APB
MON
S
S
=
2

AB
MN
=
2






AB
MN
=
2
2
2
5

R
R
=
16
25
Bi 3 Cho tam giỏc ABC nhn ni tip ng trũn tõm O , ng cao
AH . Phõn giỏc AD ct (O) E , OE ct BC I . V ng kớnh AF , k
CK AF vi K AF
a) Chng minh ACKH ni tip
b) Chng minh IB = IC v OE // AH
c) Gi s AB = 8 , AC = 12 , AH = 5 . Tớnh chu vi ng trũn (O)
d) Chng minh AD
2
< AB.AC v IHK cõn
a)
= = 90
o

 Tứ giác AHKC nội tiếp (H và K cùng nhìn AC dưới các góc bằng
nhau)
b)
Chứng minh IB = ID
Chứng minh OD BC
Chứng minh AH // OE
c)
Chứng minh được hệ thức AB.AC = AH.AF
Tính R = 9,6
Tính chu vi = 19,2

e)
Chứng minh AD
2
< AB.AC
Chứng minh IHK cân tại I
Bài 4
Cho ABC nhọn nội tiếp (O;R) (AB < AC). Ba đường cao AD, BE, CF
gặp nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp được. Xác định tâm I của đường
tròn này.
b) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC kéo dài tại M. Chứng minh:
MA
2
=MB.MC
c) AO cắt (O) tại K. Chứng minh EF.AK = AH.BC
d) Gọi J là trung
điểm của AH .
Tính diện tích tứ
giác JEIF theo R
khi
0
45BAC =
)
Bài 4:
a) Chứng minh tứ
giác BFEC nội tiếp
Xác định tâm I của
đường tròn này
.
b) Chứng minh tam

giác MAB đồng dạng tam giác MAC
Chứng minh: MA
2
=MB.MC
c) Chứng minh
AEF∆
đd
ACB
∆
=>
EF AF
BC AB
=


AFH∆
đd
ABK∆
=>
AH AF
AK AB
=

. .
AH EF
AK BC
AH BC EF AK
⇒ =
⇒ =
d) Chứng minh IJ vng góc với EF

Tính đúng IJ
Tính đúng EF
Tính diện tích tứ giác JEIF
* Bài 5:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O); Các
đường cao AF
và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H (F
∈
BC; E
∈
AB).
a) Chứng minh tứ giác AEFC nội tiếp được đường tròn
b) Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh: Hai tam giác ABK và
AFC đồng
I
J
H
K
O
F
E
D
M
C
B
A
dạng.
c) Kẻ FM song song với BK (M
∈
AK). Chứng minh: CM vuông góc với AK.

d) Gọi I là trung điểm của đoạn BC. Chứng minh: Ba điểm M, I, E thẳng hàng.
a) Nêu đúng mỗi góc vuông
Kết luận tứ giác nội tiếp
Luận cứ đúng
b) Chứng minh được
·
0
90ABK =
·
·
ABK AFC⇒ =
Chứng minh được
·
·
AKB ACF=
Kết luận tam giác đồng dạng (đúng tương ứng đỉnh)
c) Chứng minh được
·
·
MFC MAC=
=> Tứ giác AFMC nội tiếp
=>
·
·
0
90AMC AFC= =
d) tứ giác OIMO nội tiếp
= Góc OCI = Góc OMI
Mà Góc OCI = Góc ACE (Suy nghĩ nhé)
Góc ACE= Góc AME

 góc OMI = góc AME
M,I,E thẳng hàng
Cách khác tứ giác OIMO nội tiếp
= Góc CIM = Góc MOC = 2.
∠
OAC=2.
∠
OCA=2.
∠
OCA=2.
∠
CEM =2.
∠
CEI
Tam giác CEI cân
= Góc CIE + 2.
∠
CEI=180
0
Tự
c/m tiếp
I
M
H
K
F
E
O
CB
A