On tap cuoi nan lop 10 hay cuc

®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh
ÔN TẬP PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)
x - 294 x - 296 x - 298 x - 300
+ + + = 4
1700 1698 1696 1694
b)
1 1 1 1
+ + =
2 2 2
18
x + 9x + 20 x +11x + 30 x +13x + 42
Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau:
a) m(m-6)x + m = -8x + m
2
– 2
b)
(m 2)x 3
2m 1
x 1
− +
= −
+
c)
(2m 1)x m
x m
x 1
+ −
= +
−

d)
(3m 2)x 5
3
x m
− −
= −
−
e)
( )
2
m x 3x 2m 1 x 2− = − −
f)
2m 5
m 5 0
x 2
+
+ − =
−
g)
2x m x m 1
1
x 1 x
+ + −
− =
−
h)
x 1 x 1
0
x m 2 x m 2
+ −

− =
+ + − +
i)
2
m 3m 4m 3 1
2 2
x m x m
m x
− +
+ =
− +
−
Bài 3: Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn phương trình:
41x23x =++−
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: |x| + |1-x| = m
HD: Điều kiện cần và đủ.
Bài 5: Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
3|x| + 2ax = 3a - 1
Bài 6: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt
4 2 2
x x 2mx m 0− + − =
HD:
( )
2
x x m 0 (1)
2
4
x x m 0
2
x x m 0 (2)


+ − =

− − = ⇔

− + =

Ycbt
⇔
(1)& (2) mỗi pt có 2 nghiệm phân biệt nhưng không có n
o
chung
2 n
o
phân biệt ….
G/s có nghiệm x
o
chung thì
2
x x m 0
o o
x 0 m 0
o
2
x x m 0
o o

+ − =

⇒ = ⇒ =


− + =


Bài 7: Biện luận số nghiệm của phương trình:
|x - 2| + |x - 1| + |x| = m
Bài 8: Giải các phương trình sau:
|2 - |2 - x|| = 1
Bài 9: Tìm a để phương trình |2x
2
– 3x - 2| = 5a – 8x - 2x
2
có nghiệm duy nhất
Bài 10: Cho phương trình: (1+ m
2
)x
2
– 2mx + 1 – m
2
= 0
a) CMR với mọi m > 1 phương trình luôn luôn có nghiệm.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc vào m.
HD:
( ) ( )
1xxxx
2
21
2
21
=++

Bài 11: Cho phương trình:
( )
01mx1m2x
2
=+−+−
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x
1
và x
2
mà không phụ thuộc vào m.
Bài 12: Giả sử phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có đúng một nghiệm dương là x
1
. CMR phương trình cx
2
+ bx
+ a = 0 cũng có đúng một nghiệm dương gọi là x
2
.CMR x
1
+ x
2

2≥
Bài 13: Cho hai phương trình:
01axx;0axx
22
=++=++
a) Với giá trị nào của a thì hai phương trình có nghiệm chung?

b) Với giá trị nào của a thì hai phương trình tương đương?
1
®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh
HD: a)Gọi x
o
là nghiệm chung
2
x x a 0
x 1
o o
o
2
a 1
x ax 1 0
o o

+ + =
=


⇒ ⇒


=

+ + =


Như vậy n
o

chung nếu có thì bằng 1.Thay x
o
= 1 vào pt => a = -2.
Khi đó hai PT:
2 2
x x 2 0; x 2x 1 0+ − = − + =
a = 1 hai PTVN.
b)Hai PT tương đương nếu mọi nghiệm của PT này là nghiệm của PT kia (loại theo ý a)) hoặc cùng vô
nghiệm.
Bài 14: Cho phương trình: mx
2
– 2(m + 1)x + 2m – 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Khi phương trình có 2 n
o
x
1
& x
2
. Hãy tìm Min, Max của biểu thức
P =
2 2 2 2
x x x x 2x x
1 2 1 2 1 2
+ + +
Bài 15: Tìm Min, Max của hàm số y =
x 1
2
x x 1
+

+ +
Bài 16: Cho hàm số y =
2
x px q
2
x 1
+ +
+
.Tìm p; q để Maxy = 9; Miny = -1.
Bài 17: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 2
x 3x 2 2m x x− + − = + −
Bài 18: Giải và biện luận phương trình:
2
x 1 x m− − =
Bài 19: Giải các phương trình vô tỷ sau:
a)
2 2
x 3x 3 x 3x 6 3− + + − + =
b)
x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1+ − − + + − − =
c)
1 1 1
1
x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 x
+ + =
+ + + + + + + +
d) (x - 1)(x + 2) + 2(x - 1)
x 2
8

x 1
+
=
−
Bài 20: Cho phương trình: x
2
+ 4x – m = 0. Xác định m để phương trình:
a) Có nghiệm thuộc khoảng (-3; 1).
b) Có đúng một nghiệm thuộc (-3; 1).
c) Có hai nghiệm phân biệt thuộc (-3; 1).
Bài 21: Cho phương trình: x
2
– 6x – 7 – m = 0. Xác định m để phương trình:
a) Có nghiệm thuộc D =
( ) ( )
+∞∪∞− ;70;
b) Có đúng một nghiệm thuộc D.
c) Có hai nghiệm phân biệt thuộc D.
Bài 22:Cho phương trình
( )
2
m 1 x 2mx m 4 0− − + − =
.
Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lập với tham số m.
Bài 23: Cho phương trình bậc hai:
( )
2
x m 1 x 5m 6 0+ − + − =
Xác định giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức:
4x 3x 1

1 2
+ =
Bài 24: Cho hai phương trình bậc hai:
2 2
x p x q 0; x p x q 0
1 1 2 2
+ + = + + =
CMR nếu hệ thức sau đây thỏa mãn thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm:
( )
p p 2 q q
1 2 1 2
= +
.
2
®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh
BẤT ĐẲNG THỨC
I. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG:
Bài 1:Cho a + b + c
≠
0. CMR:
cba
cba
333
++
++

≥

cba
abc3

++
.
Hd:
3
a
+
3
b
+
3
c
– 3abc =
3
)ba( +
+
3
c
– 3ab(a + b) – 3abc = (a + b + c)(
2
a
+
2
b
+
2
c
– ab – bc – ca).
Bài 2: CMR
∀
a

∈
R thì 3(1 +
2
a
+
4
a
)
≥

22
)aa1( ++
.
Hd: 3(1 +
2
a
+
4
a
) –
22
)aa1( ++
= 3[
22
)a1( +
–
2
a
] –
22

)aa1( ++
= 3(1 +
2
a
+ a)(1 +
2
a
– a) –
22
)aa1( ++
Bài 3: CMR nếu a, b
R∈
nếu a + b
≥
2 thì
3
a
+
3
b

≤

4
a
+
4
b
.
Hd: [

4
a
+
4
b
– (
3
a
+
3
b
)] – [(a + b) – 2] =
3
a
(a – 1) +
3
b
(b – 1) – (a + b – 2)
= [
3
a
(a – 1) – (a – 1)] + [
3
b
(b – 1) – (b – 1)] =
2
)1a( −
(
2
a

+ a + 1) +
2
)1b( −
(
2
b
+ b + 1)
≥
0.
Bài 4: Cho a, b, c > 0. CMR:
3
a
b +
3
b
c +
3
c
a
≥

2
a
bc +
2
b
ca +
2
c
ab.

Bài 5: Cho a, b, c, d > 0. CMR:
db
1
ca
1
1
+
+
+

≥

b
1
a
1
1
+
+
d
1
c
1
1
+
Bài 6: Cho a, b > 0. CMR:
a) Nếu ab
≥
1 thì
a1

1
+
+
b1
1
+

≥

ab1
2
+
.
b) Nếu ab < 1 thì
a1
1
+
+
b1
1
+

≤

ab1
2
+
.
Bài 7: Cho a > c, b > c, c > 0. CMR:
)ca(c −

+
)cb(c −

≤

ab

Bài 8: Cho a + b
≥
2. CMR:
3
a
+
3
b

≥

2
a
+
2
b
.
Hd:
3
a
+
3
b

= (a + b)(
2
a
– ab +
2
b
)
≥
2(
2
a
– ab +
2
b
)
Bài 9: a)
∀
a, b, c, d, e. CMR:
( )
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e+ + + + ≥ + + +
b)
∀
a, b, c. CMR:
2 2 2
a 4b 3c 14 2a 12b 6c+ + + ≥ + +
Hd: Chuyển vế phân tích thành tổng các bình phương.
Bài 10: Cho a, b, c, d > 0. CMR:
a b c d
1 2

a b c b c d c d a d a b
< + + + <
+ + + + + + + +
II.BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN
Bài 1: CMR: nếu a
≥
0, b
≥
0 thì 3
3
a
+ 7
3
b

≥
9a
2
b
.
Hd: Ad BĐT cho 3 số dương 3
3
a
, 4
3
b
, 3
3
b
Bài 2: Cho a, b

≥
0. CMR: 3
3
a
+ 17
3
b

≥
18a
2
b
Bài 3: Cho a, b, c > 0. CMR: (1 +
b5
a
)(1 +
c5
b
)(1 +
a5
c
)
≥

125
216
Bài 4: Cho a, b, c
≠
0. CMR:
2

2
b
a
+
2
2
c
b
+
2
2
a
c

≥

b
a
+
c
b
+
a
c
. Hd:
2
2
b
a
+ 1

≥
2
b
a
Bài 5: Cho a, b, c > 0. CMR:
3
b
a






+
3
c
b






+
3
a
c








≥

b
a
+
c
b
+
a
c
Bài 6: Cho a, b, c > 0. CMR:
cb
a
+
+
ac
b
+
+
ba
c
+

≥

2
3
Bài 7: Cho a, b > 0. CMR:
ba
1
+
+
b1
a
+
+
a1
b
+

≥

2
3
Hd: Cộng các phân số với 1, qui đồng.
3
®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh
Bài 8: Cho a, b, c > 0. CMR:
2
a
b c+
+
2
b
c a+

+
2
c
a b+

≥

a b c
2
+ +
Hd: (
2
a
b c+
+ a) + (
2
b
c a+
+ b) + (
2
c
a b+
+ c)…
Bài 9: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. CMR:
3
1
a (b c)+
+
3
1

b (a c)+
+
3
1
c (a b)+

≥

2
3
Hd: Đặt
1 1 1
x; y ; z
a b c
= = =
. BĐT trở về bài 8
Bài 10: Cho a > 0 , b>0, c>0 và a + b + c = 3.CM:
4a 1 4b 1 4c 1 3 5+ + + + + ≤
Bài 11: Cho a>1 và b>1 . CMR : a
b 1 b a 1 ab− + − ≤
Bài 12: Cho a > 0 , b > 0,
c 0>
và a + b + c = 1. CMR:
a b b c c a 6+ + + + + ≤
Bài 13: Cho a > 0 , b >0, c > 0 CMR :
3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ca c ab+ + ≥ + +
Hd: Ad BĐT :
3 2
a abc 2a bc+ ≥

Bài 14: Cho a, b, c > 0 thỏa:
1a
1
+
+
1b
1
+
+
1c
1
+

≥
2. CMR: abc
≤

1
8
Hd:
1a
1
+

≥
(1-
1b
1
+
) + (1-

1c
1
+
)
≥
b
b 1+
+
c
c 1+

≥
2
bc
(b 1)(c 1)+ +
. Tương tự, rồi nhân vế với vế…
Bài 15: Cho a, b, c, d > 0 thỏa:
1a
1
+
+
1b
1
+
+
1c
1
+
+
1d

1
+

≥
3. CMR: abcd
≤

81
1
Tổng quát: Cho
i
a

≥
0, i = 1, 2, , n, n
≥
3, thỏa
1
a1
1
+
+ +
n
a1
1
+

≥
n – 1.CMR:
1

a

n
a

≤

n
)1n(
1
−
.
Bài 16: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. CMR:
1 1 1
1 1 1 64
a b c
   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
Hd: a + 1 = a + (a + b + c)
4
2
4 a bc≥
Tổng quát: Cho
1 2 n 1 2 n
a ,a , ,a 0; a a a 1> + + + =
. CMR:
( )
n

1 2 n
1 1 1
1 1 1 n 1
a a a
    
+ + + ≥ +
 ÷ ÷  ÷
    
Bài 17: Cho a, b, c, d > 0 . CMR:
2 2 2 2
5 5 5 5 3 3 3 3
a b c d 1 1 1 1
b c d a a b c d
+ + + ≥ + + +
.
Hd:
2 2 2
5 5 5 3 3 3
a a a 1 1 1
5
b b b a a b
+ + + + ≥
Bài 18: Cho 0
≤
a, b, c
≤
1. CMR:
1cb
a
++

+
1ac
b
++
+
1ba
c
++
+ (1 – a)(1 – b)(1 – c)
≤
1.
Hd: ycbt
⇔
VT
≤

a
b c a+ +
+
b
b c a+ +
+
c
b c a+ +
⇔
(1 – a)(1 – b)(1 – c)
≤
1
b c a+ +
(

a(1 a)
b c 1
−
+ +
+
( )
b 1 b
c a 1
−
+ +
+
( )
c 1 c
a b 1
−
+ +
)
⇔
(1 – a)(1 – b)(1 – c)(a+b+c)
≤
(
a(1 a)
b c 1
−
+ +
+
( )
b 1 b
c a 1
−

+ +
+
( )
c 1 c
a b 1
−
+ +
)
Ad BĐT: (1 – a)(1 – b)(a+b+1)
1≤
=>
( )
c 1 c
a b 1
−
+ +
≥
(1 – a)(1 – b)(1-c)c. Tương tự, phân tích ….
Bài 19: Cho 0
≤
a, b, c, d
≤
1.
CMR:
a
b c d 1+ + +
+
b
c a d 1+ + +
+

c
a b d 1+ + +
+
d
a b c 1+ + +
+ (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1-d)
≤
1.
Bài 20: Cho
yz x-1 xz y 2 xy z 3
1 1 1
x 1,y 2,z 3. CMR : 1
xyz 2
2 3
+ − + −
 
≥ ≥ ≥ ≤ + +
 ÷
 
4
®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh
III. ỨNG DỤNG CỦA BĐT TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN:
Bài 1: Tìm GTLN :
a) y =
2
x 1 x−
e) y =
3 4
4x x−
b) y =

x 1
x
−
f) y =
( ) ( )
3 4
1 x 1 x− +
với
0 x 1≤ ≤
c) y =
2 1
1 x x
+
−
với 0<x < 1 Hd:y = 3 +
2x 1 x
1 x x
−
+
−
g) y = (3-x)(4-y)(2x + 3y),
d) y = 2x +
2
1
x
với x > 0 với x
[ ] [ ]
0;3 ;y 0;4∈ ∈
Bài 2: Tìm GTNN của y
a) Cho a > 0, y =

1
a
a
+
b) Cho
a, b 0
1
; S ab
a b 1
ab
>

= +

+ ≤

c) Cho
a, b,c 0
1 1 1
; S a b c
3
a b c
a b c
2
>


= + + + + +

+ + ≤



d)Cho
2 2 2
a, b,c 0
1 1 1
; S a b c
3
a b c
a b c
2
>


= + + + + +

+ + ≤


Bài 3: Áp dụng BĐT:
1 1 4
;x, y 0
x y x y
+ ≥ >
+
. Dấu “=”
x y
⇔ =
1. Với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, p: nửa chu vi
a)

ap
1
−
+
bp
1
−
+
cp
1
−

≥
2(
a
1
+
b
1
+
c
1
) b)
ap
a
−
+
bp
b
−

+
cp
c
−

≥
6
2. Cho x, y > 0 & x +y
1≤
. Tìm GTNN y =
2 2
1 1
4xy
xy
x y
+ +
+
Hd: y =
2 2
1 1 1 1
4xy
2xy 4xy 4xy
x y
+ + + +
+
( )
2
1
2
x y

≥ + +
+

1
4xy
3. Cho x, y, z > 0 & x +y +z=1. Tìm GTNN y =
2 2 2
1 1 1 1
xy zy xz
x y z
+ + +
+ +
Bài 4: BĐT về các cạnh trong tam giác
a)CMR:
2
a
+
2
b
+
2
c
< 2(ab + bc + ca). Hd:
2
)ba( −
<
2
c
b) CMR:
3

a
+
3
b
+
3
c
> a
2
)cb( −
+ b
2
)ac( −
+ c
2
)ba( −
. Hd: Áp dụng kq ý a)
c) CMR: (a + b – c)(a – b + c)(b + c – a) < abc
d)CMR:
2
a
b(a – b) +
2
b
c(b – c) +
2
c
a(c – a)
≥
0 Hd: Đặt x =

2
acb −+
; y =
2
bca −+
; z =
2
cba −+
e) CMR:
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
−−−++
< 1.
VT=
ca
ac
bc
cb
ab
ba

222222
−
+
−
+
−
=
abc
1
)ac(b)cb(a)ba(c
222222
−+−+−
=
abc
1
(a – b)(b – c)(c – a) <
abc
abc
f)Nếu a
≤
b
≤
c thì
2
)cba( ++
< 9bc
g)
bc
p a−
+

ac
p b−
+
ab
p c−

≥
4p
Hd: Đặt x = a + b – c , y = b + c – a , z = c + a – b . Ycbt
( )
yz xz xy
x y z
x y x
⇔ + + ≥ + +
h)CMR:
2
a
+
2
b
+
2
c

≥
4
3
S +
2
)ba( −

+
2
)cb( −
+
2
)ac( −
Hd:
2
a
–
2
)cb( −
+
2
b
–
2
)ac( −
+
2
c
–
2
)ba( −

≥
4
3
S
5

®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh
4(p – c)(p – b) + 4(p – a)(p – c) + 4(p – b)(p – a)
≥
4
3
S
(p – c)(p – b) + (p – a)(p – c) + (p – b)(p – a)
≥

)cp)(bp)(ap)](cp()bp()ap[(3 −−−−+−+−
(*)
Đặt p – a = x; p – b = y; p – c = z (x, y, z > 0) (*)
⇔
2
)zxyzxy( ++

≥
3xyz(x + y + z)
IV.BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA
1) CMR:
∀
a, b
∈
R: 3(
2
a
+
2
b
+ 1)

≥

2
)1ba( ++
.
2) Cho a + b = 2. CMR
4
a
+
4
b

≥
2.
3) Cho x, y, z
∈
R, xy + yz + zx = 4. CMR:
4
x
+
4
y
+
4
z

≥

3
16

Hd: 3(
4
x
+
4
y
+
4
z
)
≥
( )
2
2 2 2
x y z+ +
( )
2
xy + yz + zx ≥
4) Cho 2x + y
≥
2. CMR: 2
2
x
+
2
y
≥

4
3

5) Giả sử phương trình
2
x
+ ax + b = 0 có nghiệm
0
x
. CMR:
2
0
x

≤
1 +
2
a
+
2
b
Hd:
( )
( ) ( )
2
2 2 2
2
4 2 2 2
0
0 0 0
a b x 1
x ax b a b x 1
2

 
+ + +
= + ≤ + + ≤
 ÷
 
6) Nếu phương trình
4
x
+ a
3
x
+ b
2
x
+ ax + 1 = 0 có nghiệm thì: 5(
2
a
+
2
b
)
≥
4.
7) CM nếu
0
x
là nghiệm PT:
3
x
+ a

2
x
+ bx + c = 0 thì:
2
0
x
< 1 +
2
a
+
2
b
+
2
c
8) Cho a, b, c > 0; ab + bc + ca = abc. CMR:
ab
b2a
22
+
+
bc
c2b
22
+
+
ac
a2c
22
+

≥

3
Hd: Đặt x =
a
1
, y =
b
1
, z =
c
1

⇒
x + y + z = 1.ycbt:
22
yx2 +
+
22
zy2 +
+
22
xz2 +

≥

3
(
2

x
+
2
x
+
2
y
)(
2
1
+
2
1
+
2
1
)
≥

2
)yxx( ++
hay
22
yx2 +

≥

3
1
(2x + y) (vì x, y > 0)

9) Với a, b, c > 0,
2
a
2
b
+
2
b
2
c
+
2
c
2
a

≥

2
a
2
b
2
c
CMR:
)ba(c
ba
223
22
+

+
)cb(a
cb
223
22
+
+
)ac(b
ac
223
22
+

≥

2
3
10) CMR:
a1
a
2
−
+
b1
b
2
−
+
ba
1

+
+ a + b
≥

2
5
, trong đó a, b > 0, a + b < 1.
11) Cho x
≥
y
≥
z. CMR:
z
yx
2
+
x
zy
2
+
y
xz
2

≥

2
x
+
2

y
+
2
z
Hd: (
z
yx
2
+
x
zy
2
+
y
xz
2
)(
2
x z
y
+
2
y x
z
+
2
z y
x
)
≥

(
2
x
+
2
y
+
2
z
)
2
Mà T =
z
yx
2
+
x
zy
2
+
y
xz
2
- (
2
x z
y
+
2
y x

z
+
2
z y
x
) =
( )
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
1
x y y z z x x z y x z y
xyz
+ + − − −
=
( ) ( ) ( ) ( )
1
x y y z x z xy yz xz 0
xyz
− − − + + ≥
12) Cho a, b, c > 0; abc = ab + bc + ca . CMR:
c3b2a
1
++
+
cb3a2
1
++
+
cb2a3
1
++

<
16
3
13) CMR:
222
8
)ba(
a
+
+
222
8
)cb(
b
+
+
222
8
)ac(
c
+

≥

12
1
14) Tìm GTLN của:
6
®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh
a)

2
2y x x= + −
; b) T = 2a + 3b với a, b thỏa mãn
2 2
2 3 5a b+ ≤
c) y =
x 1 5 x− + −
d) y =
2x 1 5 3x− + −
15) Cho x, y, z thỏa
2 2 2
1x y z+ + =
. Tìm GTLN của P = x + y + z + xy + yz + zx.
16) Cho
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 1x y z− + − + − =
. Tìm GTLN của T =
2 3 8 .x y z+ + −
Hd: T =
2 3 8x y z+ + −
=
1.( 1) 2.( 2) 3.( 1)x y z− + − + −
17) Cho a, b > 0 thỏa
2 2
4a b+ =
. Tìm GTLN của T =
2
ab
a b+ +

.
Hd: gt
⇔
2ab = (a + b)
2
– 4 = (a + b -2) (a + b + 2) => 2T = a + b -2
≤
2 2
2(a b )+
-2
18) Cho các số thực x, y, z thỏa
2 2 2 2
0
1
x y x t
x y z t
+ + + =


+ + + =

. Tìm Min, Max Q = xy + yz + zt + tx
Hd: Q = (xy + yz + zt + tx )
2 2 2 2
x y z t≤ + + +
=> MaxQ = 1 khi x = y = t = z =
1
2
Mà Q = (x + z )(y + t) = - (y + t)
2

0≤
=> MinQ = 0 …

19) CMR:
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
a b c d a c b d+ + + ≥ + + +
(Hệ quả Bunhia)
20) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. CMR:
x y z 3
x 1 y 1 z 1 4
+ + ≤
+ + +
Hd:
x y z 1 1 1
3
x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1
 
+ + = − + +
 ÷
+ + + + + +
 
21) Tìm GTLN của hàm số: a) y =
(
)
2
x 93 95 x+ −
b) y =
(

)
2
x 1997 1999 x+ −
Hd: a) Tìm GTLN nên chỉ xét x
0; 95
 
∈
 
. y =
(
)
2
x 93 95 x+ −
(
)
2
x 93 93 1. 95 x= + −
2 2
2
x 93 95 x
x 94 93 95 x 94
2
 
+ + −
≤ + − ≤
 ÷
 
22) Cho x, y > 0 &
2 3
6. Tìm GTNN: A x y

x y
+ = = +
Hd:
( )
2
2 3
( )(x y) 2 3
x y
+ + ≥ +
23) Cho a, b, c > 0 & ax + by = c. Tìm GTNN của A =
2 2
x y
a b
+
Hd: (a
3
+ b
3
)(
2 2
x y
a b
+
)
≥
( ax + by)
2

24) Cho x, y, z > 0 &
a b c

1
x y z
+ + =
. Tìm GTNN của A = xyz; B = x + y + z; C =
2 2 2
x y z+ +
25) Tìm GTNN của hàm số y =
cb
a
+
+
ac
b
+
+
ba
c
+
+
b c
a
+
+
c a
b
+
+
a b
c
+

HD:
cb
a
+
+
ac
b
+
+
ba
c
+
3
2
≥
&
b c
a
+
+
c a
b
+
+
a b
c
+
=
b c c a a b
6

a a b b c c
+ + + + + ≥
26) Cho 3 số x, y, z > 0 & x(x - 1) + y(y -1) + z (z -1)
4
3
≤
. CMR: x + y + z
4≤
Hd: x(x - 1) + y(y -1) + z (z -1)
4
3
≤

2 2 2
1 1 1 25
x y z
2 2 2 12
     
⇔ − + − + − ≤
 ÷  ÷  ÷
     
. Ad Bunhia…
27) CMR:
a, b,c∀
;
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
2 3 6 2 3 6

 
+ + ≤ + +
 ÷
 
28) G/s A
4
x
+ B
3
x
+ C
2
x
+ Bx + A = 0 (A
≠
0) có nghiệm. CMR:
2
B
+
2
)A2C( −
> 3
2
A
7
®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh
Hd:A
4
0
x

+ B
3
0
x
+ C
2
0
x
+ B
0
x
+ A = 0
⇔
A(
2
0
x
+
2
0
x
1
) + B(
0
x
+
0
x
1
) + C = 0. (1)

Đặt
0
x
+
0
x
1
= X, đk
X

≥
2. (1)
⇔
A(
2
X
– 2) + BX + C = 0 => A
2
X
+ BX + C – 2A = 0
⇒
–
2
X
=
A
B
X +
A
A2C −

; VT
2
≤









−
+
2
2
2
2
A
)A2C(
A
B
(
2
X
+ 1)
⇒

4
X

≤

2
22
A
)A2C(B −+
(
2
X
+ 1)
⇒

2
22
A
)A2C(B −+

≥

1X
X
2
4
+
>
1X
1X
2
4

+
−
=
2
X
– 1 > 3
⇒

2
B
+
2
)A2C( −
> 3
2
A
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt
Bài 1: Cho
x, y,z 1>
. Tìm GTNN của
( )
y
z x
log x
log y log z
T x y z
x y z y x z
 
= + + + +
 ÷

+ + +
 
Bài 2: Cho
0 x
2
π
< <
. Tìm GTNN của y =
1 1
cosx sinx
+
Bài 3: Tìm GTNN của
n n
2 2
1 1
y 1 1
sin x cos x
   
= + + +
 ÷  ÷
   
Bài 4: Tìm GTLN và GTNN:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
f (x) sin x y cos x-y sin x y cos x+y
= + + −
Bài 5: Tìm GTNN của
2 2
cos x sin x
y 4 4

= +
Bài 6: Cho
ABC
∆
, tìm GTLN của
A B C B A C
y tg tg 1 tg tg 1 tg tg 1
2 2 2 2 2 2
= + + + + +
HD: Bunhia
Bài 7: Tìm GTLN & GTNN của
( )
sinx+siny sin z cosx.cosy.cosz
y
1+sinx.siny
+
=
HD: Ad Bunhia cho tử số
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: GBPT
a)
5 1
0
3x 1 x 1
+ >
+ +
b)
3 2
x 2 2x 3
<

+ +
c)
2 2
x 1 x
0
x x 2 x 1
+
− <
+ − −
d)
2
x 2 8
x 1 x 1 x 1
− >
− + −
e)
2 2
x 2
x 5x 6 x 3x 2
≥
+ + + +
f) |x- 2| > |x - 1| -3
h)
2 2 2
x 7 x 10 1
0
x 6x 7 x 13x 30 x 5x 14
+ −
+ + <
+ − − + − −

g)
3x 1
1
1 5x
−
<
−
i) | 5 - 4x |
≥
2x – 1 k) |x
2
– 2x + 8| >2x
Bài 2: Giải và biện luận:
a) 2(m-1)x + m(1-x) > 2m + 3 b) m
2
– 4m + 3mx < m
2
x + 21
c)
a a
0
x a x a
+ <
− +
d)
2 2
2 x 1
x a x a a x
− <
+ − −

e)
2
a x 18
x 3 x 3 x 9
+ >
− + −
f) 2(m
2
- 1)x < (3x +1)m +2
g) m( x- m )
0
≥
h)
x ab x ac x bc
a b c
a b a c b c
− − −
+ + ≤ + +
+ + +
i) bx + b < a – ax k) ax + b
2
> bx + a
2
HD: h) Phân tích
( )
1 1 1 1 1 1
.x ab bc ac
a c b c a b a c b c a b
   
+ + ≤ + + + +

 ÷  ÷
+ + + + + +
   
Bài 3: GBPT
8
®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh
a)
x
4
1
−

≥
x +
2
1
b)
2
x
1
x +
+
2
x
1
x −

≥

x

2
c)
1x43x −++
+
1x68x −−+
> 1 d)
14x5x
2
−+
> x – 5
e)
x
x411
2
−−
< 3 HD: Xét TH x > 0 & x <0 f)
3x +
–
1x −
<
2x −
g)
( )
2
2
x293
x2
+−
< 21 + x h)
2

)3x( −
(5x + 2)(2 – x)(1 – 3x)
≥
0.
i)
( ) ( ) ( )
x 2 . x 3 x 4 0+ + + <
k)
( ) ( )
2
x 1 x 2 0− − ≥
Bài 4: Với giá trị nào của a thì hệ sau có đây nghiệm:



<+
<+−
04ax
06x5x
2
Bài 5: Tìm m để hệ bất phương trình





<+−
≤−
0)mx)(xm(
01x

2
2
(I) vô nghiệm
HD: (m –
2
x
)(x + m) < 0 (*) có nghiệm trong [– 1; 1] .
- Xét m < 0: (*)
⇔
x + m > 0
⇔
x > – m
khi đó (*) có nghiệm trong [– 1; 1]
⇔




<
<−
0m
1m

⇔
– 1 < m < 0.
- Xét m = 0: (*)
⇔
–
3
x

< 0
⇔
x < 0 , có nghiệm trong [– 1; 1].
- Xét 0 < m < 1 (*)
⇔
(x + m)(x +
m
)(x –
m
) > 0 =>
∃
nghiệm
m
< x
≤
– 1.
- Xét m = 1: (*)
⇔

( )
2
x1+
(1 – x) < 0 vô nghiệm trong [– 1; 1].
- Xét m > 1: Trong [– 1: 1] thì m –
2
x
> 0, m + x > 0
⇒
(*) vô nghiệm.
Bài 6: Tìm m để HBPT sau có nghiệm:






≥++++−
<−−+
06m5mx)5m2(x
0m6x)m32(x
22
222
HD:








+≥
+≤
<<−
⇔
3mx
2mx
m3x2
2
Bài 7: Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a)

mx2 −

≥
x
b)
3x2
2
+
< x – m
c)
mx −
–
m2x −
>
m3x −
Bài 8: Xét dấu các biểu thức sau:
a) f(x) =
( )
2
mx 2 m 2 x m 3− − + −
b) f(x) =
( ) ( )
2
m 1 x 2 m x 1− + − −
c) f(x) =
( )
2
12x 2 a 3 x a+ + +
Bài 9: Cho tam thức: f(x) =
( ) ( )

2
m 1 x 2 m 1 x 3m 3+ − − + −
a) Xác định m để
( )
f x 0 x R≥ ∀ ∈
b) Xác định m để
( )
f x 0 x R< ∀ ∈
Bài 10: Tìm m để bất phương trình:
( ) ( ) ( )
2
m 1 x 2 m 1 x 3 m 2 0− − + + − <
luôn luôn vô nghiệm
Bài 11: Với giá trị nào của m thì biểu thức sau luôn xác định
x R∀ ∈
( ) ( ) ( )
2
f x m 1 x 2 m 1 x 3m 6= + − − + +
PHƯƠNG TRÌNH-BPT VÔ TỈ
9
®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh
Bài 1: a) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 2
x 3x 2 2m x x− + − = + −
b) Giải & biện luận:
2
x 1 x m− − =
Bài 2: GPT:
a)
2 2

x 3x 3 x 3x 6 3− + + − + =
b)
( ) ( ) ( )
x 1
x 3 x 1 4 x 3 3
x 3
+
− + + − = −
−
c)
( )
2 2
x 3 10 x x x 12+ − = − −
d)
2
3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2− + − = − + − +
e)
2 2
x x 11 31+ + =
f)
( ) ( )
2
x 5 2 x 3 x 3x+ − = +
g)
( ) ( )
2
x 1 2 x 1 2x 2x+ − = + −
h)
( ) ( )
1 x 8 x 1 x 8 x 3+ + − + + − =

i)
2 2
x 17 x x. 17 x 9+ − + − =
j)
x x 1 x 4 x 9 0− + − + + + =
k)
1 1 1
1
x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 x
+ + =
+ + + + + + + +
(Nhân liên hợp)
l)
2 2 2
x x 4 x x 1 2x 2x 9+ + + + + = + +
(Đặt ẩn phụ)
Bài 3: GPT:
a)
3
2 x 1 x 1− = − −
b)
3 3
x 34 x 3 1+ − − =
c)
3 3
2 2
3
2 x x 2 x x 4+ + + − − =
d)
4

4
x 1 18 x 3− + − =
e)
4 4 x x− + =
HD: Đặt y =
x 4+
. Đưa về hệ PT đối xứng loại II
f)
(
)
3 3 3 3
x. 35 x x 35 x 30− + − =
HD: Đặt
3 3
y 35 x= −
Đưa về hệ PT đối xứng loại II
g)
2
2 x 2 x− = −
h)
2 2
x 4 x 2 3x 4 x+ − = + −
HD: Đặt y =
2
4 x−
i)
( ) ( )
2 2
3 2
3 3

3x 1 3x 1 9x 1 1+ + − + − =
j)
( ) ( )
2 2
3 2
3 3
x 8 x 8 x 64 4− + + + − =
k)
( ) ( )
( )
4
6 x x 2 2 1 6 x x 2− + − = − − −
Bài 4:Tìm a để phương trình sau có nghiệm:
a)
1 x 1 x a− + + =
b)
3 3
1 x 1 x a− + + =
HD: b) Đặt ẩn phụ u, v ta có:
3 3
u v 2
u v a

+ =


+ =


( )

2 2
a u v uv 2
u v a

+ − =

⇔

+ =


TH: a = 0; TH: a
0≠
2
u v a
1 2
uv a
3 a
+ =


 
= −
 ÷

 

Đk:
2
S 4P≥

Bài 5: GPT:
a)
( ) ( )
2
x x 1 x x 2 2 x− + + =
b)
2 2 2
x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4− + + − + = − +
Bài 6: GPT:
10
®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh
a)
( )
3 3
4x 1 x 1 2x 2x 1− + = + +
b)
2 2
x 1 2x x 2x− = −
c)
( )
2 2
x 4x x 2 x 2x 24+ = + − +
d)
2 2
2x 2x 1 4x 1 HD : y x x+ + = + = +
Bài 7: GPT:
a)
( )
( )
( )

2 2
2 x 2x 3 5 x 2 x x 1+ + = + + +
HD: Đặt
2
u x 2; v x x 1= + = + +
b)
( )
2 3
2 x 3x 2 3 x 8− + = +
Bài 8: GPT:
a)
x 2 x 1 x 2 x 1 2+ − + − − =
b)
x 3 4. x 1 x 8 6. x 1 1+ − − + + − − =
c)
x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 1− + − − − − − =
d)
x 8 2 x 7 x 1 x 7 4+ + + + + − + =
Bài 9:(Ad BĐT, TGT,…)
*Bunhia:
1)
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = − −
2)
2
x 2 4 x x 6x 11− + − = − +
3)
2
x 4 6 x x 10x 27− + − = − +
4)

2
6
2x 1 19 2x
x 10x 24
− + − =
− + −
5)
2
2
1 1
x 2 x 2 4
x x
+ − + + − =
6)
4 4
4
x 1 x x 1 x 2 8+ − + + − = +
* CauChy:
1)
2 2
x x 1 x x 1 2− − + + − =

2)
( )
( )
2 2
2 7x 4 x x 3 x 6x 1− − + = + −
3)
3 3
4 42 2 3 3 4 4

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 6+ + − + + + − + + + − =
(Côsi từng số với số 1)
* TGT:
1)
2
x 2x 5 x 1 2− + + − =
2) cosx =
2
x 1+
Bài 10:GBPT:
a)
( )
2
2 x 1 x 1− ≤ +
b)
2
4 x x 1 0− + + >
c)
4 2
x 2x 1 1 x− + ≥ −
d)
2 2
25 x x 7x 3− + + >
e)
1 1
x x
4 2
− ≥ +
f)
5x 1 4x 1 3 x+ − − ≤

g)
2 2 2
x x 2 x 2x 3 x 4x 5+ − + + − ≤ + −
h)
2 x 2 x 2− − > −
i)
2 2
x 3x 2 2 x 3x 5+ + ≥ + +
j)
3 x
x x x x
2
x x
+ − − >
+
Bài 11: GBPT:
a)
2
1 1 4x
3
x
− −
<
HD: Nhân liên hợp tử
b)
2x
2x 2
2x 1 1
> +
+ −

c)
( )
2
2
4x
2x 9
1 1 2x
< +
− +
d)
( )
2
2
2x
x 21
3 9 2x
< +
− +
e)
( ) ( )
( )
2
2
4 x 1 2x 10 1 3 2x+ < + − +
Bài 12: GBPT:
11
®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh

5 1
5 x 2x 3

2x
2 x
+ < + +
HD: t =
1
x
2 x
+

2
2x
x 3 5
x 4
+ >
−
HD: Bình phương, đặt ẩn phụ, đưa về PT bậc 2

( ) ( )
x 1 2x 1 3 x 1− − ≤ −
HD: t =
2x 1−
3 2
t 3t t 3 0⇒ − − + ≤

3
x 1 x 1> + −
HD: Bình phương, t =
3
x 1−
Bài 13: GBPT:

•
x 9 2x 4 5+ + + >
HD: Cm x>0 là nghiệm (dựa vào tính đồng biến)
•
x 3 x 3 9 x+ − ≥ −
•
2 3
x 1 1 2x x x+ ≤ − + −
HD: ĐK:
x 1≥ −
PT
( )
2
3
x 1 x x 1⇔ + + ≤ −
TH:
( ) ( )
3 2
3
x 2 x x 1 x 1 , VN≥ ⇒ ≥ − ≥ −
TH:
( )
2
0 x 2 x 1 x 1< < ⇒ + > −
,VN
TH:
1 x 0− ≤ ≤
VT 1,VP 1≤ ≥
luôn đúng
Bài 14: Giải & biện luận:

a)
m 2 x x m+ − > +
b)
( )
m 1 2 x 1+ − <
c)
x m x 2− < −
Bài 15: GBPT:
a)
( )
2 2
x 3 x 4 x 9− + ≤ −
b)
x x 1
2 3
x 1 x
+
− >
+
c)
2 2
5x 10x 1 7 x 2x+ + ≥ − −
d)
2
x
x 1 1 x 2
4
+ + − ≤ −
e)
( ) ( )

( )
2
2
4 x 1 2x 10 1 3 2x+ < + − +
f)
1 1 x 1
x 1
x x x
−
− − − >
g)
2x
1 2x 1
2x 9
< + −
+
h)
( )
2
2
x
x 4
1 1 x
− <
+ +
i)
2
x 3 5
x
2

x 1
+ >
−
j)
2
1 x x 1− + ≥
Bài 16: GPT:
1)
( )
( )
3
2
3 2
x 1 x x 2 1 x+ − = −
2)
x 3
x 2 x 1 x 2 x 1
2
+
+ − + − − =
3)
2
x
3x 2 1 x
3x 2
− − = −
−
4)
( ) ( )
3 3

2 2
1 1 x 1 x 1 x 2 1 x
 
+ − + − − = + −
 
 
5)
3 x
x x x x
2
x x
+ − − =
+
6)
x x 1 x 1
+ − − =
7)
( )
2 2
1 1 x x 1 2 1 x
+ − = + −
HD: x = sint ,
t ;
2 2
π π
 
∈ −
 
 
8)

3
3
x 1 2 2x 1
+ = −
HD: y =
3
2x 1−
, đưa về hệ đối xứng loại II
9)
2 2 2 2 3 2
2007dâ'u can
1 1 1 1
2 x x x x x 2x 3x 3x 1
4 4 4 4
− + − + + − + + + = + + +
1 4 4 4 4 4 4 4 442 4 4 4 4 4 4 4 4 43
HD:
3 2
2x 3x 3x 1+ + +
=
( )
( )
2
2x 1 x x 1 2x 1 0+ + + ⇒ + ≥

12
®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: GHPT VÔ TỈ
1)

2 2
x y 2xy 8 2
x y 4

+ + =


+ =


HD: Nhân PT (1) với
2
, bình phương (2), trừ 2 PT
2)
2 2
x y x y 4
x y 128

+ + − =


+ =


HD: Đặt
u x y;v x y= + = −
3)
x y 4
x 5 y 5 6


+ =


+ + + =


HD:Cộng, trừ 2PT đc (3) (4), nhân liên hợp (4), ẩn phụ
4)
2
2
x 1 y 1
y 1 x 1

+ − =



+ − =

HD:
x sin
, ;
y sin
2 2
= α

π π
 
α β∈ −


 
= β
 

5)
x y 7
1
y x
xy
x xy y xy 78

+ = +



+ =

6)
x y 1
x y 1

+ =


+ =


7)
2
2

1
x. 1 y
4
1
y. 1 x
4

− =




− =


8)
2 2
2 2
x 1 y y 1 x 1
1
x 1 y y 1 x
2

− + − =


− − − =


9)

( ) ( )
2 2
x 1 y y 1 x 1
1 x 1 y 2

− + − =


− + =


HD: x = cost, y = cosz,
[ ]
t,z 0;∈ π
10)
3
3
x y 9
x y 5

+ =


+ =


HD:
6
6
u x

v y

=


=


11)
4
4
x y 1 1
y x 1 1

+ − =


+ − =


HD: Đánh giá
VT 1, vì x 1,y 1≥ ≥ ≥
12)
2 2
4
4
x 2x 2 y 2y 2 2
x y 3 3

− + + − + =



+ + =


HD: Đánh giá
13)
2 2
x y 2x 2y x 1
x y x y 1 1

− − + = −


− + − + =


HD:
( ) ( )
2 2
Cauchy
x y 2(x y) x y x y 2 x 1− − − = − + − −
≤
14)
2 2
2 2
x y y x 2
x y x y 2

− + − =



+ − − =


HD:
( )
( )
2 2 2 2
Bunhia
x y y x 1 1 x y x y 2− + − ≤ + + − − =
15)
2
4
4
x 32 x y 3
x 32 x 24 6y

+ − = −


+ − = −


HD: Ad Bunhia
16)
1 x 1 y 1
3
x y
2


− + − =


+ ≤


HD:
u 1 x
v 1 y

= −


= −


13
®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh
Bài 2: GHPT MŨ
1)
x y
x y
2 .3 2
3 .2 3

=


=



HD: Loga hai vế, hpt bậc nhất hai ẩn
2)
2x 2 2y 2
x 1 y
3 2 17
2.3 3.2 8
+ +
+

+ =


+ =


3)
2 x 1 x
2
2 x
2
2 3.2 y 2
2y 3y 2 2
+

− = −


− = −



HD: u =
x
2
4)
( )
( )
3x 1 y 2 y 3x
2
2 2 3.2 1
3x xy 1 x 1 2
+ − +

+ =


+ + = +


HD: Giải PT (2), thế vào (1)
PT-BPT-HPT VÔ TỈ - PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
1)
(
)
2 2
1 1 x x 1 2. 1 x+ − = + −
HD: x = sint,
t ;
2 2

π π
 
∈ −
 
 
2)
3 2
4x 3x 1 x− = −
HD: x = cost,
[ ]
t 0;∈ π
3)
( ) ( )
3 3
2 2
1 1 x 1 x 1 x 2 1 x
 
+ − + − − = + −
 
 
HD: x = cost,
[ ]
t 0;∈ π
4)
( ) ( )
3
3 2 2
x 1 x x 2 1 x+ − = −
HD: x = cost,
[ ]

t 0;∈ π
5)
( ) ( )
1 x 1 1 x 1 2x+ − − + =

HD: Nhận xét
2 2
1 x 1 x 1 x 1 x
1 cost, sin t, t 0;
2 2 2 2 2
   
+ − + − π
 
+ = → = = ∈
 ÷  ÷
 
 ÷  ÷
 
   
6)
2 2
1 1 4x 2x 1 1 2 1 4x
 
+ − = + + −
 ÷
 
7)
1 1 4 3
1 1 x 1 1 x 1 x
+ =

− − + − −
8)
1 2x 1 2x
1 2x 1 2x
1 2x 1 2x
− +
− + + = +
+ −
C
1
: Ẩn phụ, C
2
: VP:Cô si, VT: Bunhia
9)
2
x 3 5
x
2
x 1
+ =
−
HD: x =
1
; t 0;
cost 2
π
 
∈
 ÷
 

10)
2
2
x 1 y 1
y 1 x 1

+ − =



+ − =

HD:
x sin
, ;
y sin
2 2
= α

π π
 
α β∈ −

 
= β
 

11)
2
2

1
x. 1 y
4
1
y. 1 x
4

− =




− =


12)
2 2
2 2
x 1 y y 1 x 1
1
x 1 y y 1 x
2

− + − =


− − − =


13)

( ) ( )
2 2
x 1 y y 1 x 1
1 x 1 y 2

− + − =


− + =


HD: x = cost, y = cosz,
[ ]
t,z 0;∈ π
14)
( )
5
2 5
1 x x 1− + ≤
HD: x = cost,
t 0;
2
π
 
∈
 
 
15)
2
1 x x 1− + ≥

HD: |x|
1≥
là n
o
, |x|<1 đặt x = cost,
[ ]
t 0;∈ π
16)
( )
3
3 2
x 1 x 1+ − >
17)
2
x
x 1 1 x 2
4
+ + − ≤ −
HD: x = cos2t
14
®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh
Bổ sung về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
1) GPT
a)
2x
2x
−
+
= 4
b)

1x −
=
3
x
+ x + 1
c)
1x
2
−
=
2
x
– 2x
+ 8
2) Giải và biện luận phương trình:
a)
mxx
2
++
= –
2
x
+ x + 2
b)
1mx +
=
3mx2 −+
3) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt:
mx2x
2

+−
=
2
x
– 3x + m + 1.
4) GPT:
a)
2x
1x
2
−
−
= x
b)
14x
3
−−
=
3x +
c) 2
8x6x
2
++
+
1x
2
−
= 30 d)
3x4x
2

+−
+
x4x
2
−
= 3
5) GPT:
a)
2x5x
2
+−
–
2x5x
6
2
+−
+ 1 = 0
b)
1x
3
+
+
3
1x +
= 2
6) Giải PT:
a)
5x2
e
−

–
1x
e
−
=
5x2
1
−
–
1x
1
−
. (1)
HD:đk: x
≠

2
5
, x
≠
1.
(1)
⇔

5x2
e
−
–
5x2
1

−
=
1x
e
−
–
1x
1
−
(2) Xét hàm f(x) =
x
e
–
x
1
xác định trên miền R \ {0}.
f ’(x) =
x
e
+
2
x
1
> 0
∀
x
⇒
hàm đồng biến. (2)
⇔

( )
5x2f −
=
( )
1xf −
⇔

5x2 −
=
1x −
b)
1x
5
−
–
3x2
5
−
= –
1x −
+
3x2 −
Bổ sung về phương trình vô tỉ
1)
3
1x −
+
3
2x −
=

3
3x2 −

2)
3
1x7 +
+
3
2
8xx ++−
+
3
2
1x8x −−
= 2 (1)
HD:Đặt u =
3
1x7 +
;v =
3
2
8xx ++−
;w =
3
2
1x8x −−
Ta có






+++=++−++
=++
=++
)uw)(wv)(vu(3)wvu()wvu(
8wvu
2wvu
3333
333
3)
3
1x2 +
+
3
2x2 +
+
3
3x2 +
= 0 HD: VP luôn đồng biến
4)
3x7x3
2
+−
+
4x3x
2
+−
=
2x

2
−
+
1x5x3
2
−−
(1)
HD:
3x7x3
2
+−
=
)2x(21x5x3
2
−−−−
;
4x3x
2
+−
=
)2x(32x
2
−−−

⇔
x = 2.
15
®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh
GIẢI PT_BPT_HỆ PT_HBPT BẰNG PP HÀM SỐ
Bài 1: GPT:

5 3
x x 1 3x 4 0+ − − + =
HD: ĐK:
1
x
3
≤
;
4 2
3
f '(x) 5x 3x 0
2 1 3x
= + + >
−
đồng biến trên
1
( , ]
3
−∞
,n
o
duy nhất x = -1
Bài 2: (ĐHNT TPHCM 97) GPT :
2 2
x 15 3x 2 x 8+ = − + +
HD:
2 2
f (x) 3x 2 x 8 x 15 0
*x 2/ 3 PTVN
*x 2/ 3 f '(x) 0

= − + + − + =
≤ ⇒
> ⇒ >
Bài 3: GBPT:
3 5
4
x 1 5x 7 7x 5 13x 7 8+ + − + − + − <
HD: ĐK:
x 5/ 7≥
, VT đồng biến, f(3) = 8
Bài 4: GPT:
4 4
x 2 4 x 2− + − =
HD:
4 4
f (x) x 2 4 x, 2 x 4 f '(x) 0 x 3= − + − ≤ ≤ ⇒ = ⇔ =
, kẻ bảng biến thiên Maxf(x) = 2
Bài 5: Tìm m để PT:
2
x 2x 1 m+ + =
có nghiệm
HD: Lập bảng biến thiên của vế trái
Bài 6: Tìm a để BPT
2
a 2x 9 x a+ < +
có nghiệm
x R∀ ∈
HD:
(
)

2
2
x
a 2x 9 1 x a f (x) f '(x) 0 x 6
2x 9 1
+ − < ⇔ < = → = ⇔ = ±
+ −
Bảng biến thiên, chú ý tính
x
lim f(x)
→±∞
Bài 7: Tìm m để PT:
( ) ( )
2 x 2 x 2 x 2 x m− + + − − + =
có nghiệm
Bài 8: Biện luận theo số nghiệm của PT:
44 4
x 4x m x 4x m 6+ + + + + =
HD:
4
x 4x m+ +
= 16
4
f (x) x 4x 16⇒ = − − +
, lập bảng biến thiên
Bài 9: Cho BPT:
( ) ( )
2
4 4 x 2 x x 2x a 18− − + ≤ − + −
Tìm a để BPT có nghiệm

[ ]
x 2,4∀ ∈ −
HD:
( ) ( )
[ ]
2
BPT g(t) t 4t 10 a 0; t 4 x 2 x t 0,3⇔ = − + − ≤ = − + → ∈
Bài 10: Tìm m để BPT
( ) ( )
2
3 x 7 x x 4x m+ − ≤ − +
có nghiệm đúng
[ ]
x 3,7∀ ∈ −
Bài 11: Tìm m để BPT
mx x 3 m 1− − ≤ +
có nghiệm.
HD:
( )
2
2
t 1
t x 3 0; BPT m t 2 t 1; f (t) 0
t 2
+
= − ≥ ⇔ + ≤ + = ≥
+
có nghiệm t
t 0
0 Maxf(t) m

≥
≥ ↔ ≥
Bài 12: (GTVT 97)
Tìm m để
( ) ( )
( )
2
1 2x 3 x m 2x 5x 3+ − ≥ + − −
đúng
1
x ,3
2
−
 
∀ ∈
 
 
Bài 13: GBPT:
2
2x x x 7 2 x 7x 35+ + + + + <
HD:
2
f (x) 2x x x 7 2 x 7x= + + + + +
đồng biến ,
2
29
f 35
12
 
 

=
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Bài 14: Xác định m để các bất phương trình sau có nghiệm.
a)
4x 2 16 4x m− + − ≤
b)
2
2x 1 m x+ < −
Bài 15: Tìm m để PT sau có nghiệm:
2 2
x x 1 x x 1 m+ + − − + =
HD:
( ) ( )
2 2 2 2
f (x) x x 1 x x 1 f '(x) 0 2x 1 x x 1 2x 1 x x 1= + + − − + → = ↔ − + + = + − +
16
®Ị c¬ng to¸n 10 _________ ngun thÞ hång thªu ________ trùc b×nh
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2x 1 2x 1 0
2x 1 x x 1 2x 1 x x 1


− + >

⇔

− + + = + − +


(Vơ n
o
),
( )
f ' 0 1= →
đồng biến,
x x
lim f 1, lim f 1,
→−∞ →+∞
= − =
Kl: -1<m<1 thì pt có nghiệm
PHẦN LƯỢNG GIÁC
Loại 1: | BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG
Bài 1:
( ) ( )
o o
2
a / sin .sin b/ cos5x.cos3x c / sin x 30 cos x 30
5 5
p p
+ -
Bài 2:

( ) ( ) ( )
a / 2sin x.sin 2x.sin 3x; b /8cos x.sin 2x.sin 3x; c / sin x .sin x .cos 2x; d /4cos a b .cos b c .cos c a
6 6
p p
ỉ ư ỉ ư
÷ ÷
ç ç
+ - - - -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

Loại 2: | BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH
Bài 1:

( ) ( ) ( )
a / cos4x cos3x; b/ cos3x cos6x; c/ sin 5x sin x
d / sin a b sin a b ; e/ tan a b tana; f / tan 2a tan a
+ - +
+ - - + + -
Bài 2:
2 2 2 2 2 2
a /sin a cosb; b /sin 2x cos x; c / sin x sin y; d / cos x cos y; e / tan x tan y+ - - - -
Bài 3:
2 2 2
a / 3 4cos x b/ 1 4sin x c / 3 4sin x- - -

Bài 4:

a / 1 sin x; b / 1 cos x; c / 1 2cosx; d / 2 2cosx; e / 2 sin x 1; f / 3 2sin 2x± ± ± ± ± +

Bài 5:

a / 1 cos x sin x; b / 1 cos x sin x; c / sin x sin 2x sin 3x sin 4x
d / cos x cos 2x cos3x cos 4x; e / 1 sin x cos x; f / sin a sin 3a sin5a sin7a
+ + - + + + +
+ + + - - + + +
Bài 6:

( ) ( )
( )
sin a + b
a/ sin a + b + c - sina - sinb - sinc; b/ cos a + b + c + cosa + cosb + cosc; c/
sina + sinb
sina - sinb sina + sin3a + sin5a sina + sin4a + sin7a
d/ ; e/ ; f/
tana - tanb cosa + cos3a + cos5a cosa + cos4a + cos7a

Bài 7:
2 2 2
A cos a cos b cos c 2cosa.cosb.cos c 1= + + + -
Loại 3: | TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 1:
o o o o o o
5 11 5
A cos75 cos15 ; B sin sin ; C sin cos ; D tan9 tan 27 tan 63 tan 81
12 12 12 12
p p p p
= = = = - - +

Bài 2:

2 4 6 2 3 2
A cos cos cos B cos cos cos C cos cos
7 7 7 7 7 7 5 5
p p p p p p p p
       
Bài 3:
o o o o
C cos10 .cos30 .cos50 .cos70 .=
Biết một hàm số lượng giác, tính các hàm số lượng giác còn lại:
Bài 4
1. Cho
0 0
4
sin 180 . cos , , .
5
x x x tgx cotgx= 〈 〈và 90 Tính
2. Cho
tgx 2. cos x,sin x= Tính
3. Cho
3
cos . sin , ,
5
x x x tgx cotgx
π
π
= − 〈 〈
3
và Tính

2
4. Cho
3
sin và x là góc nh ,cos ,
3
x tgx x cotgx= ọn. Tính
5. Cho
1
cos và sin ,cos
3 2
x x x x
π
π
= − 〈 〈 . Tính
6. Cho
0 0
tgx 3 và 180 x 270 sin x,cos x= 〈 〈 . Tính
7. Cho
12
sin và 0
13 2
x x tgx
π
= 〈 〈 . Tính
8. Cho
13
tgx và 0 x sin x
5 2
π
= 〈 〈 . Tính

17
®Ị c¬ng to¸n 10 _________ ngun thÞ hång thªu ________ trùc b×nh
9. Cho
tgx 2, và sin x,cos x= − x là góc của một tam giác. Tính
10. Cho
0 0
8
cos , 90 sin ,
17
x x x tgx= − 〈 〈 với 180 . Tính
11. Cho
0 0
2
sin ; 0 90 . cos ,cot
3
x x x gx= 〈 〈 và Tính
12. Cho
0 0
tgx 2 0 x 90 . cosx,sin x= 〈 〈 và Tính
13. Cho
0 0
cotgx 2 2 0 x 90 . cos x,sin x= 〈 〈 và Tính
Bài 4:
1.
4 3 2
2 4 3
3sin x 4sin x.cos x cos x
tgx 2 A
2sin x 3cos x 4sin x.cos x
− +

= =
+ −
Cho .Tính
2.
2sin x 3cos x
tgx 2 A
2cos x 5sin x
+
= − =
−
Cho .Tính
3.
2
0
2
2 2
sin .sin .
3 3
90
cos .
2 2
x x
x tg
x A
x x
cotg
= =Cho .Tính
4.
2
2

3 1 cos x
tgx 4 x 2 A
2 sin x
π +
= − 〈 〈 π =Cho và .Tính
5.
2 0 0 0
8sin 45 2(2 30 3) 3cos90A cotg= − − +Tính
6.
2cos x sin x
tgx 3 A
cos x 2sin x
+
= − =
−
Cho co .Tính
7.
0 0
4 cotg tg
x 0 A
5 cotg tg
α + α
= 〈 α 〈 =
α − α
Cho cos và 90 .Tính
8.
2tgx = −Cho và x là một góc trong tam giác .
sin 2cos
sin 2cos
x x

A
x x
+
=
−
Tính

Loại 4: |ĐƠN GIẢN MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 1:

x x x x x x
A 4sin .sin .sin ; B 4cos .cos .cos
3 3 3 3 3 3
p p p p
ỉ ư ỉ ư ỉ ư ỉ ư
+ - + -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= =
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø

2 4 6 8
C cosx cos x cos x cos x cos x
5 5 5 5
p p p p
ỉ ư ỉ ư ỉ ư ỉ ư

÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + + + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
Bài 2:

A cos 4x 4cos 2x 3; B sin x.sin 2x sin 2x.sin3x sin 3x.sin 4x sin 4x.sin5x
C 1 4cos x 6cos 2x 4cos3x cos 4x; D sin 4x 4sin3x 6 sin 2x 4sin x
= + + = + + +
= + + + + = - + -
Bài 3:
2 2
1 3
cos x sin x
cos a cos b sin 2x 2 sin x
2 2
A B C D
1
sin(a b)
3 sin 2x 2 sin x
cos x
sin x
2
2
+ +
- +

= = = =
-
-
-
-

Loại 5: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Chứng minh

o o o o o o o o o
o o o o o o o o o
1 3 3
a / sin10 .sin50 .sin 70 b/ cos10 .cos50 .cos 70 c / tan10 .tan50 .tan 70
8 8 3
3 1
d / sin 20 .sin 40 .sin80 e / cos 20 .cos40 .cos80 f / tan 20 .tan 40 .tan80 3
8 8
= = =
= = =
Bài 2: Chứng minh

o o o o o o
o
1 8
a / 2sin 70 1 b / tan30 tan 40 tan50 tan 60 cos 20
2sin10
3
2 5 8 7
c / tan tan tan tan sin
6 9 18 3 18

3
p p p p p
- = + + + =
+ + + =
Bài 3: Chứng minh
18
đề cơng toán 10 _________ nguyễn thị hồng thêu ________ trực bình

( )
o 2
sin x sin y x y cos x sin x 1 sin 2x
a / tan b / tan 45 x c / tan x
cos x cos y 2 cos x sin x 1 sin 2x 4
p
ổ ử
+ + + -
ữ
ỗ
= = + = -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+ - +

Bi 4: Chng minh

( )
2

o o o
1 cos x cos 2x cos3x
a / 2cos x; b / 4cos x.cos x .cos x cos3x
2cos x cosx 1 3 3
c / 4sin x.sin x .sin x sin 3x. AD :Tớnh A= sin20 .sin 40 .sin80
3 3
d / tan x.tan x .
3
p p
p p
p
ổ ử ổ ử
+ + +
ữ ữ
ỗ ỗ
= + - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
+ -
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
+ - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ

ố ứ ố ứ
ổ ử
ữ
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
( )
o o o
tan x tan 3x AD :Tớnh A= tan20 .tan 40 .tan80
3
p
ổ ử
ữ
ỗ
- =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Bi 5 . Chng minh rng :
1.
3 3
sin x + cos x = (sinx + cosx)(1 - sinx.cosx)
2.
3 3

sin x - cos x = (sinx - cosx)(1 + sinx.cosx)
3.
4 4 2
cos x - sin x = 2cos x -1
4.
4 4 2 2
cos x + sin x = 1 - 2 sin x.cos x
5.
2 2
(1 - sinx)(1 + sinx) = sin x.cotg x
6.
2 2 2 2
tg x = sin x + sin x.tg x
7.
2 2 2 2
cotg x - cos x = cotg x.cos x
8.
2 2 2
sin x + sin x.cotg x = 1
9.
2 2
(sinx - cosx) + (sinx + cosx) = 2
10.
2 2 2 2
(xsina - ycosa) + (xcosa + ysina) = x + y
11.
2 2 2
sin x (1 + cotgx) + cos x (1 + tgx) = (sinx + cosx)
12.
2 2 2 2

tg a.cos a + cotg a.sin a = 1
13.
2 2
(1 - sin x)(1 + tg x) = 1
14.
2 2 2 2 2
cos x.(cos x+2sin x+sin x.tg x)=1
15.
2
(cosx+sinx) 1 2sin .cosx x= +
16.
2 2
sin x(1 cotg x) 1+ =
17.
2 2
(sin x cos x) (sin x cos x) 4sin x.cos x+ =
18.
1 cosx sinx
sinx 1 cosx

=
+
19.
2
2
tgx cotg x 1
. 1
1 tg x cotgx

=

20.
sin x.cotgx
1
cosx
=
21.
2
2
2sin x 1
1
2cos x 1

=


22.
cotgx cos x
sin x
cos x tgx
=
Loi 6: H THC LNG TRONG TAM GIC
Bi 1: Trong tam giỏc ABC.Hóy chng minh v hc thuc cỏc kt qu sau :

A B C
9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos
2 2 2
A B C
10/ cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin .sin .sin
2 2 2

11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 -
( )
2 2 2
2 2 2
4cosA.cosB.cosC
13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC
14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC
A B C
15/ sinA + sinB - sinC = 4sin .sin .cos
2 2 2
( tip theo Loi 5- Trang 8)
Bi 2: Chng minh
ABCD
vuụng nu:

2 2 2
sin B sin C
a / sin A ; b / sin C cosA cosB; c / sin A sin B sin C 2
cos B cos C
+
= = + + + =
+

Bi 3: Chng minh
ABCD
cõn nu:

2
C sin B

a / sin A 2sin B.cos C; b / tan A tan B 2cot ; c / tan A 2tan B tan A.tan B; d / 2cos A
2 sin C
= + = + = =
Bi 4: Chng minh
ABCD
u nu:

1 3
a / cos A.cos B.cosC ; b / sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C; c / cos A cos B cosC
8 2
= + + = + + + + =
Bi 5: Chng minh
ABCD
cõn hoc vuụng nu:

( ) ( )
2
2
2 2 2 2 2
sin B C sin B C
C tan B sin B
a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c /
2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C
+ -
= = =
+ -
Bi 6: Hóy nhn dng
ABCD
bit:

2 2 2
sin A
a / sin 4A sin 4B sin 4C 0 b / cos A cos B cos C 1 c / 2sin C
cos B
+ + = + + = =
19
đề cơng toán 10 _________ nguyễn thị hồng thêu ________ trực bình

ễn tp tng hp
Câu 1:
1.1:Giải các phơng trình và bất phơng trình sau:
a)
3 5
2 1 3 2x x
>
+
b)
2
2
3 10
2
4
x x
x
+


c)
2 1 1 2x x + = +
.

d)
3 1 4x x < +
e)
2
1 ( 1)( 2)x x x +
.
1.2: Giải hệ bất phơng trình sau:
a.
6 2 3 11
3 2 2 1
x x
x x
+ < +


+

b.
2
4 2
5
2 3
2 3 5 0
x
x
x x

+ >


1.3: Xác định m để hệ bất phơng trình sau có nghiệm:
a.
2 3 1
4 0
x x
x m
+ > +


>

b.
2 1 4
5 2 1
x x
x m x m
+


+ < +

c.
2
3 4 7 0

(2 1) 1
x x
m x

+



1.4: Xác định m để hệ bất phơng trình sau vô nghiệm:
a.
5 2
3 2 2
x m x
x m x m
+ < +


+ <

b.
1 1
2 3 0
mx x
x
+ >


+

c.

2
4 2 0
4 3 0
mx
x x
+ >


+ >


1.5: Một xí nghiệp gia công đồ mĩ nghệ sản xuất 2 loại sản phẩm A và B. Muốn sản xuât ra một sản phẩm
loại A phải cần30kg nguyên liệu và làm việc trong 2h. Muốn sản xuất ra sản phẩm loại B phải cần 40kg
nguyên liệu và làm việc trong thời gian là 1h. Trong một ngày xí nghiệp làm việc 11h và chỉ mua đợc 240 kg
nguyên liệu. Hỏi trong một ngày phải sản xuất mỗi loại bao nhiêu sản phẩm để có lợi nhuận cao nhất, biết
rằng mỗi sản phẩm loại A lời 100nghìn đồng, mỗi sản phẩm loại B lời 120nghìn đồng.
1.6: Vờn trồng cây cà phê của bác Thu có 10000 cây, đến mùa tới nớc bác phải dùng hai máy bơm. Máy 1
trong 1giờ tới đợc 50 cây và phải tốn 2,2 lít nhiên liệu. Máy 2 trong 1giờ tới đợc 60 cây và phải tốn 2 lít
nhiên liệu. Hỏi trong một ngày phải cho sử dụng mỗi máy trong thời gian bao lâu để ttiết kiệm đợc tổng chi
phí mà vẫn đảm bảo tới đợc hết vờn cà phê trong vòng 10 ngày? Biết rằng trong một ngày máy 1 chạy tối đa
15 giờ, máy 2 chạy tối đa 9 giờ, số nhiên liệu tối thiểu dùng cho hai máy là 35 lít dầu và tổng chi phí trung
bình ( ngoài nhiên liệu) cho mỗi máy trong một giờ là 30000 đồng.
1.7: Giải và biện luận phơng trình và bất phơng trình sau:
a.
2
( 1) 2( 1) 4 0 (1)m x m x m+ + + + =
b.
2
( 1) 2(3 ) 2 21 0 (2)m x m x m + + + + =
c.

2
3 2(3 2 ) 5 12 0 (3)x m x m+ + <
.
d.
2
( 2) 4( 1) 3 2 0 (4).m x m x m+ +
Câu 2:
2.1: Điều tra 15 lớp 10 của một trờng trung học phồ thông tại Thành phố Sơn Tây về số học sinh có máy vi
tính ở nhà, ngời ta thu đợc số liệu sau;
10; 5; 7; 15; 2; 15; 6; 3; 10; 12; 14; 18; 8; 3; 9.
a. Tìm số trung bình và số trung vị.
b. Tính phơng sai và độ lệch chuẩn.
2.2: Kết quả điểm thi của học sinh Việt Nam trong hai kì thi olympic toán quốc tế IMO 2003 JAPAN và
IMO 2004 Hellas nh sau:
Điểm số (2003) Điểm số (2004)
42 37
42 36
26 35
23 35
21 27
18 26
a. Tìm điểm trung bình của mỗi học sinh trong từng năm 2003, 2004.
b. Tìm phơng sai và độ lệch chuẩn. So sánh các kết quả của 2 năm 2003,2004 và nêu nhận xét về độ
phân tán của các con điểm.
2.3: Điều tra 42 học sinh của một lớp 10 về số giờ tự học ở nhà, ngời ta có bảng tổng số sau:
Lớp ( số giờ tự học) Tần số
[1;2) 8
20
đề cơng toán 10 _________ nguyễn thị hồng thêu ________ trực bình
[2;3) 10

[3;4) 12
[4;5) 9
[5;6) 3
N=42
a. Tìm số trung bình.
b. Tìm mốt; số trung vị thuộc đoạn nào.
c. Tìm phơng sai và độ lệch chuẩn và nêu ý nghĩa.
Câu 3: Lợng giác
3.1 a) Cho
2
sin
3

=
với
0
2


< <
. Tìm các giá trị lợng giác còn lại.
b) Cho
3
cos
7

=
với
2

< <
. Tìm các giá trị lợng giác còn lại.
c) Biết
tan 4

=
với
3
2


< <
. Tìm các giá trị lợng giác còn lại.
d) Biết
cot 3

=
với
3
2
2


< <
. Tìm các giá trị lợng giác còn lại.
3.2: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
2 2
1 1

1
1 tan 1 cot

+ =
+ +
.
b)
1 sin tan (1 )(1 tan )cos cos

+ + + = + +
c)
1
tan
1 sin
cos
cos



+ =
+
d)
2
2
sin sin
sin
sin 1 tan
cos
cos
cos

+
+ = +

e)
2 2
2
2
(cot 1) (cot 1)
sin


+ + =
.
f)
2 2
sin( )sin( ) sin sinx y x y x y+ =
.
g)
3 cos
6 6
cos x cos x x


+ + =
ữ ữ

.

h)
2
1 2
cot
1 2
cos x
x
cos x
+
=

i)
1 2 sin 2
tan
1 2 sin 2
cos x x
x
cos x x
+
=
+ +
k)
1 2 1 4
cot
2 sin 4
cos x cos x
x
cos x x
+ +
ì =

3.3: Rút gọn biểu thức sau:
a)
4 2 2 2
sin sinA cos cos

= + +
b)
sin (tan cot )B cos

= +
c)
sin sin
1 1
C
cos cos


= +
+
. d)
2 2 2
4
3 3 3
x x x
D cos cos cos

+
= ì ì
e)
sin sin 2 sin 3 sin 4

2 3 4
E
cos cos cos cos


+ + +
=
+ + +
3.4: Cho các góc
,

thoả mãn
sin
1
sin
cos
cos


+ =
. Chứng minh rằng
3 3
sin
1
sin
cos
cos


+ =

3.5: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:
a.
Sin2A+sin2B+sin2C = 4sinAsinBsinC
.
b.
A
cosA + cosB + cosC = 1+4sin sin sin
2 2 2
B C
.
21
®Ò c¬ng to¸n 10 _________ nguyÔn thÞ hång thªu ________ trùc b×nh
ÔN HÌNH HỌC
Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ cho các điểm A(-1; 0), B(3; 0). Tìm điểm C sao cho
∆
ABC có góc
µ
µ
0 0
A 30 ,C 90
= =
Bài 2:
∆
ABC có AB = 2; AC = 2.
3
,
µ
0
A 30
=

a) Tính cạnh BC
b) Tính trung tuyến AM
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC
Bài 3: Trong mp tọa độ cho hai điểm A(-1; 1), B(2; 4).
a) Tìm C trên trục Ox sao cho
∆
ABC vuông tại B
b) Tìm điểm D sao cho
∆
ABD vuông tại A
Bài 4: Cho
∆
ABC có AB = 13; BC = 14; CA = 15.
a) Tính diện tích S của tam giác
b) Tính đường cao AH của tam giác
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC
Bài 5: Các cạnh
∆
ABC thỏa mãn :
4 4 4
a b c= +
. CMR: Các góc của
∆
ABC đều nhọn và ta có đẳng thức
2
2.sin A tan B.tan C=

HD: Từ gt a là cạnh lớn nhất. Xét TH
µ
0
A 90>
2 2 2
a b c⇔ > +
; TH:
µ
0
A 90=
…….
Bài 6:CMR Nếu
∆
ABC thỏa mãn hệ thức
( ) ( )
1
S a b c a b c
4
= + − − +
thì
∆
ABC vuông?
HD: Áp dụng CT Hêrông & a + b – c = 2(p - c); (a – b + c) = 2(p – b)
Bài 7:
∆
ABC có các góc đều nhọn. CMR: asinA, bsinB, csinC là các cạnh của một tam giác?
HD: Do vai trò bình đẳng nên ta chỉ cần cm: asinA < bsinB + csinC. Mà
2 2 2
a b c 2bc.cos A,= + −
mà

cosA>0 =>
2 2 2
a b c< +
….
Bài 8: Tìm độ dài đường phân giác trong AD của
∆
ABC biết A = 120
0
, b = 3, c = b.
Bài 9: Cho
∆
ABC biết A : B : C = 3 : 4 : 5. Tính a: b: c
HD:
A B C
3 4 5
= =
= t
Bài 10:
a)
2
S 2R sin Bsin C=
thì
∆
ABC vuông
b) S = p(p – a) thì
∆
ABC vuông
c)
( )
3 3 3

2
b c a
a
b c a
cos A+C 3cos B 1

+ −
=

+ −


+ =

thì
∆
ABC đều
Bài 11: Cho
∆
ABC cân, AB = BC = 5, AC = 6, D
∈
AB & AD = 3, E
∈
AC và AE = 2
a) Tính diện tích
∆
ABC,
∆
BCE
b) BE cắt CD tại F. CMR: F là trung điểm BE

c) Tính diện tích
∆
BCF
Bài 12: Cho
∆
ABC thỏa mãn
( )
4 2 2 2 4 4 2 2
c 2 a b c a b a b 0− + + + + =
. CMR: C = 60
0
hoặc C = 120
0
HD: Giải phương trình bậc hai ẩn c
2

Bài 13: Cho
∆
ABC. CMR:
a)
( )
2 2 2
a b c 2 ab bc ac+ + < + +
b)
( ) ( ) ( )
abc
p a p b p c
8
− − − ≤
HD: a) Áp dụng b + c > a => (b + c)a > a

2
b) Áp dụng Cosi.
Bài 14:Cho
∆
ABC có BM & CN là các đường trung tuyến. CMR: Các điều kiện sau là tương đương với
nhau
a)
BM CN⊥
b)
2 2 2
b c 5a+ =
cotA = 2(cotB + cotC)
Bµi tËp vÒ ® êng th¼ng.
22
đề cơng toán 10 _________ nguyễn thị hồng thêu ________ trực bình
Bài 1: Viết phơng trình của đờng thẳng trong mỗi trờng hợp sau:
a) Đi qua điểm M(-2,-4) và cắt trục Ox, Oy lần lợt tại A và B sao cho tam giác OAB là tam giác vuông cân.
b) Cắt trục Ox, Oy lần lợt tại A và B sao cho tam giác ABM là tam giác vuông cân tại đỉnh M(2,3).
c) Đi qua điểm M(5,-3) và cắt trục Ox, Oy lần lợt tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Bài 2: Cho tam giác ABC với A(4,5), B(-6,-1), C(1,1).
a) Viết phơng trình các đờng cao của tam giác đó.
b) Viết phơng trình các đờng trung tuyến của tam giác đó.
Bài 3: Viết phơng trình tham số và phơng trình chính tắc của các đờng thẳng trong mỗi trờng hợp sau:
a) Đờng thẳng đi qua điểm M(1,-4) và có véctơ chỉ phơng
)3,2(=u
.
b) Đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và có véctơ chỉ phơng
)2,1( =u
.
c) Đờng thẳng đi qua điểm I(0,3) và vuông góc với đờng thẳng có phơng trình tổng quát

0452 =+ yx
.
d) Đờng thẳng đi qua hai điểm A(1,5) và B(-2,9).
Bài 4: Cho đờng thẳng có phơng trình tham số:



+=
+=
ty
tx
3
22
a) Tìm điểm M nằm trên đờng thẳng đó và cách điểm A(0,1) một khoảng bằng 5.
b) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng đó với đờng thẳng
01==+ yx
.
Bài 5: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua M(2,5) và cách đều hai điểm P(-1,2) và Q(5,4).
Bài 6: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua giao điểm của hai đờng thẳng
01532 =+ yx
và
0312 =+ yx
và thoả mãn một trong các điều kiện sau đây:
a) Đi qua điểm (2,0).
b) vuông góc với đờng thẳng
0100 = yx
.
c) Có véctơ chỉ phơng là
)4,5( =u
.

Bài 7: Tính khoảng cách từ điểm M(4,-5) đén các đờng thẳng sau đây:
a)
0843 =+ yx
. b)



+=
=
ty
tx
32
2
.
Bài 8: Cho điểm M(2,5) và đờng thẳng
022: =+ yx
.
a) Tìm toạ độ điểm M' đối xứng với M qua

.
b) Viết phơng trình đờng thẳng
'

đối xứng với

qua M.
Bài 9: Cho đờng thẳng
02: =+ yx
và hai điểm O(0,0), A(2,0).
a) Chứng minh rằng hai điểm A và O nằm về cùng một phía đối với đờng thẳng

.
b) Tìm điểm đối xứng của O qua

.
c) Trên

, tìm điểm M sao cho độ dài đờng gấp khúc OMA ngắn nhất.
Bài 10: Một hình bình hành có hai cạnh nằm trên hai đờng thẳng
063 =+ yx
và
0152 = yx
. Tâm của
hình bình hành là điểm I(3,5). Viết phơng trình hai cạnh còn lại của hình bình hành đó.
Bài tập về đ ờng tròn:
Bài 1: Xác định tâm và bán kính của đờng tròn:
a)
( ) ( )
2 2
1 4 1x y+ + =
b)
( )
2
2
2 5x y + =
c)
2 2
8 4 5 0x y x y+ + =
d)
2 2

3 3 4 1 0x y x+ + + =
.
Bài 2: Cho phơng trình
2 2 2
2 2 3 4 0x y mx my m+ + + =
(*)
a) Xác định m để (*) là phơng trình của một đờng tròn.
b) Chứng minh tâm các đờng tròn này di động trên một đoạn thẳng khi m thay đổi.
c) Viết phơng trình đờng tròn (*) biết nó có bán kính bằng 1.
d) Tìm bán kính đờng tròn (*) biết nó tiếp xúc với
: 2 0x y =
.
Bài 3: Cho đờng tròn (C):
2 2
2 4 4 0x y x y+ + =
.
a) Tìm tâm và bán kính của (C).
b) Cho A(3; -1). Chứng minh rằng A là điểm ở trong đờng tròn. Viết phơng trình đờng thẳng d qua A và
cắt (C) theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
c) Cho
d'; 3x - 4y = 0
, chứng minh d cắt (C) tại M, N. Tính độ dài dây cung.
d) Viết phơng trình đờng tròn đi qua M, N, P với P(-1, 2).
Bài 4: Viết phơng trình đờng tròn trong mỗi trờng hợp sau:
a) Đờng kính AB với
A(3, 1); B(2, -2).
b) Có tâm I(1, -2) và tiếp xúc với đờng thẳng
d: x+y-2=0.
c) Có bán kính R= 5, tâm thuộc Ox và đi qua điểm A(2, 4).
23

đề cơng toán 10 _________ nguyễn thị hồng thêu ________ trực bình
d) Có tâm I(2, -1) và tiếp xúc ngoài với đờng tròn
( ) ( )
2 2
5 3 9x y + =
.
e) Tiếp xúc với hai trục và có tâm nằm trên đờng thẳng
d: 2x-y-3=0.
f) Đi qua 3 điểm A(-2, -1); B(-1, 4); C(4, 3).
g) Đi qua 2 điểm A(0, 2); B(-1, 1) và có tâm trên đờng thẳng
2x+ 3y=0.
h) Đi qua A(5,3) và tiếp xúc đờng thẳng
d: x + 3y + 2 = 0
tại điểm T(1,-1).
Bài 5: Viết phơng trình tiếp tuyến
Các bài tập đã chữa.
Bài tập về đ ờng elip:
Bài 1: Lập phơng trình chính tắc của elip:
a) (E) có độ dài hai trục lần lợt là 8 và 6.
b) (E) có một đỉnh là (5, 0) và tiêu cự là 6.
c) (E) có một đỉnh là (0, 3) và đi qua điểm M(4, 1).
d) (E) đi qua hai điểm
3
1,
2
M

ữ
ữ

và
2
2,
2
N


ữ
ữ

.
e) (E) có tiêu điểm
( )
2
2,0F
và qua điểm
5
2,
3
M

ữ

.
f) Tiêu cự là 4 và khoảng cách từ một đỉnh đến tiêu điểm là 5.
g) (E) có tiêu điểm
( )
2
5,0F
và khoảng cách giữa hai đỉnh là 9.

h) (E) có tiêu cự bằng 6, tâm sai
3
5
e =
.
i) Phơng trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là
4, 3x y= =
.
Bài 2: Cho elip (E)
2 2
1
6 2
x y
+ =
.
a) Tìm trên (E) điểm M có hoành độ bằng 2.
b) Tìm toạ độ giao điểm của (E) và đờng thẳng
3 2y x=
.
c) Tìm trên (E) điểm M sao cho góc
1 2
90
o
F MF =
.
d) Tìm trên (E) điểm M sao cho
1 2
6FM F M =
.
e) Tìm trên (E) điểm M sao cho

1 2
2F M F M=
.
f) Tìm trên (E) điểm M có tung độ bằng
1
2
.
g) Tìm trên (E) điểm M có tung độ gấp đôi hoành độ.
h) Tìm trên (E) điểm M cách tâm O một khoảng là
1
2
.
24