Hướng dẫn đề thi thử ĐH lần 4 của DHSP I Hà Nội

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 DHSP HÀ NỘI
===================
Câu 1. 1. Tự làm.
2. Ta có y’ = 6x
2
– 6(2m+1)x + 6m(m+1)
⇒
y’ = 0 khi x
1
=m hoặc x
2
= m+1. Do x
1

≠
x
2
với
mọi m nên hàm số luôn có cực đại, cực tiểu. Gọi A(x
1
;y
1
), B(x
2
;y
2) là
các điểm cực trị thì
y
1
= f(x
1

)= 2m
3
+3m
2
+ 1; y
2
= f(x
2
) = 2m
3
+ 3m
2

⇒
AB =
2
không đổi (đpcm!).
Câu 2.1. Giải hệ: Điều kiện: y
≠
0; x – 2y
≥
0; x +
02 ≥− yx
.
Pt
⇔
0622 =−−−− yyx
y
x
⇔

6
2
2
2
−
−
−
−
y
yx
y
yx
= 0 ( chia cả hai vế cho y)
⇔
y
yx 2−
= 3 hoặc
y
yx 2−
= - 2.
Với
y
yx 2−
= 3
⇔



+=
>

yyx
y
29
0
2
thay vào pt(2) ta được nghiệm x =
9
24
,y =
9
4
Với
y
yx 2−
= -2
⇔




+=
<
yyx
y
24
0
2
thay vào pt(2) ta được nghiệm: x =12, y = - 2.
Vậy hệ có hai nghiệm(x;y) = (12;-2),(
9

4
;
3
8
).
2. Giải phương trình lượng giác:
Điều kiện: sin2x
≠
0. Pt
⇔
sin
2
x +
02
sin
cos
sin5)sin21(2
cossin4
cos4
3
22
4
=−+⇔−=
x
x
xx
xx
x
⇔
5 +

xx
x
23
3
sin
1
.2
sin
cos
−
= 0
⇔
cot
3
x – 2cot
2
x + 3 = 0
⇔
(cotx + 1)(cot
2
x – 3cot x + 3) = 0
⇔
cotx = -1 ( Vì cot
2
x – cotx + 3> 0)
⇔
x =
Zkk ∈+− ,.
4
π

π
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình có nghiệm: x =
Zkk ∈+− ,.
4
π
π
.
Câu 3.1.Tính tích phân: Ta có
'
2
sin
1






x
=
x
x
3
sin
cos2
−
nên
I =
∫

−
2
4
2
)
sin
1
(
2
1
π
π
x
xd
=
2
4
2
|
sin
1
.
2
1
π
π
x
x−
+
2

4
2
4
2
|cot
2
1
)
22
(
2
1
sin
2
1
π
π
π
π
ππ
x
x
dx
−−−=
∫
=
2
1
.
2. Tính thể tích khối chóp: Hạ SH

⊥
BC
⇒
SH
⊥
(ABC) ( vì: (SBC)
⊥
(ABC) ).
Hạ HM
⊥
AB, HN
⊥
AC thì
∠
SMH =
∠
SNH =
α

⇒

∆
SHM =
∆
SHN
⇒
HM = HN
⇒
H là trung điểm của BC ( vì tam giác ABC đều)
⇒

HM =
4
3
2
ah
=
⇒
SH = HM.tan
α
=
4
3a
tan
α
. Vậy thể tích khối chóp là: V
S.ABC
=
3
1
.SH.S
ABC
=
16
tan
3
α
a
.
Câu 4. 1.Tìm nghiệm phức:
Ta có

∆
’ = 4(2 – i)
2
+ 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy phương trình cho hai nghiệm là:
Z
1
=
i
ii
i
i
i
i
2
5
2
3
2
)1)(4(
1
4
)1(2
4)2(2
−=
−−
=
+
−
=
+

+−
Z
2
=
i
ii
i
i
i
i
2
1
2
1
2
)1)((
1)1(2
4)2(2
−−=
−−
=
+
−
=
+
−−
2.Chứng minh BĐT:
=============================================
Biên soạn đáp án: Vũ Phấn (Yên Sở - Hoàng Mai – Hà Nội)
1

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 DHSP HÀ NỘI
===================
Ta có:
22)(2
)(22)(
22
yxyx
x
yx
yx
x
yx
xy
x
yx
xyyxx
yx
xyx −
=
+
−=
+
+
−≥
+
−=
+
−+
=
+

−
(1)( vì x,y>0)
Tương tự:
2
2
zy
zy
yzy −
≥
+
−
(2),
2
2
xz
xz
zxz −
≥
+
−
(3). Cộng từng vế (1),(2),(3) suy ra:
0
222
222
=
−
+
−
+
−

≥
+
−
+
+
−
+
+
− xzzyyx
xz
zxz
zy
yzy
yx
xyx
.Đẳng thức xảy ra khi x = y = z (đpcm!).
Câu 5. 1. Xác định tọa độ các đỉnh:
Đường thẳng AB đi qua M(2;-3) nên có phương trình: a(x – 2) + b(y + 3) = 0, ( a
2
+ b
2

≠
0).
Do tam giác ABC vuông cân tại A nên:
22
0
.50
7
45cos

2
1
ba
ba
+
+
==


⇔
12a
2
-7ab -12b
2
= 0
⇔



−=
=
ba
ba
34
43
.
Với: 3a = 4b,Chọn a = 4, b = 3 ta được d
1
: 4x + 3y + 1 = 0.
Với: 4a = - 3b, chọn a =3, b = - 4 ta được d

2
: 3x – 4y – 18 = 0.
+)Nếu lấy AB là d
1
: 4x + 3y + 1 = 0 thì AC// d
2
nên AC là:3(x -7) –4(y –7) = 0
⇔
3x –4y+7 = 0.
Hệ phương trình tọa độ A:



=+−
=++
0743
0134
yx
yx

⇔
A(-1;1)
Hệ phương trình tọa độ B:



=−+
=++
0317
0134

yx
yx

⇔
B( -4;5).
Ta có:
MAMBMBMA 2)8;6(),4;3( =⇒−=−=
⇒
M nằm ngoài đoạn AB ( Thỏa mãn)
Hệ phương trình tọa độ C:



=−+
=+−
0317
0743
yx
yx

⇔
C(3;4).
+) Nếu lấy AB là d
2
sẽ không thỏa mãn.
Vậy A(-1;1), B(-4;5) và C(3;4).
2. a). Đường thẳng
∆
đi qua M(0;-7;4) và có VTCP
).0;2;1(

1
=u
Đường thẳng
∆
’ đi qua N(0;2;6) có VTCP
2
u
= (
1 1
31
;
11
1 1
;
11
31 −
−−
−
) = (2;2;4)
Ta có [
21
,uu
] = (8;-4;-2) và
)2;9;0(=MN
⇒
[
21
,uu
].
MN

= 0 – 36 – 4 = - 40
≠
0.
Vậy
∆
,
∆
’ chéo nhau.
b). Đường vuông góc chung d của
∆
,
∆
’ có VTCP:
u
=(4;-2;-1) ( = ½.[
21
,uu
]).
Gọi HK là đoạn đường vuông góc chung của
∆
,
∆
’ với H
∆∈∆∈ K,
’.
Ta có: H=( t; -7+2t;4), K(s;2+s;6+2s)
⇒

HK
( s – t; 9 + s – 2t; 2 + 2s) cũng là VTCP của d.

Suy ra :
1
22
2
29
4 −
+
=
−
−+
=
− ststs

⇒
s =
21
11
−
, t =
7
23
⇒
H(
)4;
7
3
;
7
23
−

Vậy phương trình tham số đường vuông góc chung là:









−=
−−=
+=
tz
ty
tx
4
2
7
3
4
7
23
.
=============================================
Biên soạn đáp án: Vũ Phấn (Yên Sở - Hoàng Mai – Hà Nội)
2