ung dung bien hinh giai toan

ti : vai trũ cỏc bt bin trong toỏn ph thụng
I)Lý do ch n đề tài:
Ta đã biết tơng quan hàm s núi riờng ,tng quan ỏnh x núi chung chim
mt v trớ quan trng , ch yu ca giỏo trỡnh toỏn hc ph thụng . Nú xut
hin hu ht cỏc lnh vc ca toỏn ph thụng ,t s hc n hỡnh hc ,
i s v gii tớch. Do ú cn quan tõm thớch ỏng n mch vn
ny.Trong ni dung ỏnh x thỡ mt vn quan trng l nghiờn cu cỏc
bt bin qua cỏc ỏnh x ,ngha l cỏc tớnh cht c gia nguyờn
Khi i qua ỏnh x . Nu cú cỏi nhỡn thu ỏo v vn ny nú gúp phần
để nghiên cứu cỏc tp hp nghiên cứu không gian .Do ú nú cung cp cho
chỳng ta mt cụng c nh hng , tỡm lỡ gii cho nhiu bi toỏn ở tr-
ờng phổ thông , nhng c s phõn tớch trờn tụi quyt nh la chn ti
cu :vai trũ cỏc bt bin ca cỏc ỏnh x trong toỏn ph
thụng .
II) NHIấM V NGHIấN CU :
Nghiờn cu cỏc loi bt bin ca cỏc ỏnh x trong các phép biến hình trong
toỏn ph thụng
Phõn loi cỏc bt bin.S dng cỏc bt bin trong quỏ trỡnh nh hng
tỡm li gii bi toỏn
III) PHNG PHP NGHIấN CU:
Nghiờn cu ti liu , tng kt a ra phng phỏp gii toỏn .
III)ểNG GểP CA TI:
Nu nghiờn cu ti thnh cụng thỡ ti úng gúp cho chỳng ta mt
cụng c sc bộn gii nhiu bi toỏn ph thụng ng thi nú giỳp cho
chỳng ta hiu sõu sc hn n khụng gian v cỏc tp ang xột .
IV)NI DUNG NGHIấN CU :
Gm cú hai chng :
Chng 1 : trỡnh by cỏc khỏi niờm liờn quan
Chng 2: vai trũ ca cỏc bt bin ca cỏc ỏnh x trong trng phụ thụng
CHNG 1:
Trỡnh by cỏc khỏi nim liờn quan

11 : ỏnh x :
Ngi thc hin : Nguyn vn nho lp cao hc 17 A2 toỏn
1
ti : vai trũ cỏc bt bin trong toỏn ph thụng
Cho hai tp X v Y ,ỏnh x f t X vo Y l mt quy tc ng mi phõn
t x
X
,mt v ch mt phõn t y
Y
Kớ hiờ : f: X
Y
x
)(xfy =
vi X l tp ngun cũn Y l tp ớch
12:phộp bin hỡnh ( trong mt phng)
Phộp t t ng ng f vi mi im M trong mt phng vi mt v ch mt
im M
'
c gi l mt phộp bin hỡnh
Kớ hiu :f : M
'
M
13 :phộp di hỡnh :
Phộp di hỡnh l mt phộp bin hỡnh bo ton khong cỏch , ngha l
f; M
'
M
N
'
N

thỡ MN =M
'
N
'
131: phộp i xng trc:
trong mt phng cho ng thng a .phộp bin hỡnh bin M thnh M
'
sao
cho oan MM
'
nhn ng thng a lm ng trung trc đợc gọi là phép đối
xứng trục kí hiệu là :
a
vy
a
: M
'
M

on MM
'
nhn a lm ng trung trc
132: phộp i xng tõm:
Trong mt phng cho im O .phộp bin hỡnh bin im M thnh im M
'
sao cho
OOMOM =+
'
c gi l phộp i xng tõm O
Kớ hiu :

O
Vy:
O
:M
'
M

OOMOM =+
'

133:phộp tnh tin:
Trong mt phng cho vộc t
v
khi ú
Phộp bin hỡnh bin M thnh im M
'
sao cho
vMM =
'
c gi l phộp
tnh tin theo vộc t
v
Kớ hiu ; T
v
Vy : T
v
: M
'
M

vMM =
'
134:phộp Quay :
Cho gúc lng giỏc v mt im O trong mt phng
Phep bin hỡnh bin M thnh M
'
sao cho OM =OM
'
v
(OM, OM)=
'
c goi l phộp quay tõm O gúc quay
Kớ hiờ : Q

O
Vy Q

O
:M
'
M
khi v ch
i
khi OM=OM
'
v (OM, OM)=
'

14: phộp v t :
Cho s k v mt im O trong mt phng

Ngi thc hin : Nguyn vn nho lp cao hc 17 A2 toỏn
2
Đề tài : vai trò các bất biến trong toán phổ thông
Phép biến hình biến điểm M thành M
'
sao cho :
'
.OMkOM =
được gọi là
phép vị tự tâm O tỷ số k
Kí hiệu : V
)
k
Vậy : V
)
k
:M
'
M→
⇔
'
.OMkOM =
15: phép đồng dạng :
Phép biến hình biến M
'
M→
và N
'
N→
sao cho M

'
N
'
= kMN ( với K>0) được
gọi là phép đồng dạng tỷ số k
Nhận xét :1) các phép đối xứng trục,phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến ,
phép quay đều là phép dời.
2)phép dời , phép vị tự là các trường hợp của phép đồng dạng.
16: cácbất biến của phép dời
Định lý 1
Phép dời biến ba điểm thẳng hàng thành ba đểm thẳng hàng và không làm
thay đổi thứ tự giữa các điểm .
Chứng minh: xét phép dời f biến A
'
A→
;B
B→
;C
'
C→
Và giả sử A,B;C thẳng hàng và B nằm giữa A và C ta có
AB +BC =AC do f bảo toàn khoảng cách nên A
'
B
'
=AB;B
'
C
'
=BC

,A
'
C
'
=AC vậy nên ta có
A
'
B
'
+B
'
C
'
=A
'
C
'
suy ra A
'
'
,B
'
,C
'
thẳng hàng và B
'
nằm giữa A
'
và C
'

Định lý 2) phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng
và không làm thay đổi thứ tự giữa các điểm
Chương 2 : vai trò của các bất biến trong các ánh xạ
ở trường phổ thông
Sau đây chung ta sẽ ứng dụng các bất biến để giải một số bài toán
Bài toán 1: cho hai điểm A và B phân biệt nằm cùng một nửa mặt phẳng
có bờ là đường thẳng x cho trước.Hãy tìm trên đường thẳng x một điểm
M sao cho tổng hai đoạn thẳng MA + MB ngắn
Nhất .

Giải : gọi A
'
là điểm đối xứng của A qua đường thẳng x goi M
0
là giao
điểm của A
'
B với x

Ta có : MA + MB = MA
'
+ MB
BA
'
≥
Dấu bằng xẩy ra
⇔
M = M
o

Người thực hiện : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 toán
3
Đề tài : vai trò các bất biến trong toán phổ thông
Vậy điểm M cần tìm là giao điểm của A
'
B với đường thẳng x
Nhận xét :ở trên ta đã sử dụng bất biến khoảng cách qua phép đối xứng
trục nhằm đưa tổng trên về tổng mới dễ đánh giá hơn .
Bài toán 2: cho góc nhọn x0y và đường thẳng d cắt oy tại S . Hãy dựng
đường thẳng m vuông góc với d cắt o x và Oy lần lượt A và B sao cho A
và B cách đều đường thẳng d.
Nhận xét : do A và B cách đều d nên chúng là ảnh của nhau qua phép đối
xứng trục d
Giải
Do A và B cách đều d nên
Đ
d
: B
A→
Sx
'
Sx→
mà B
Sx∈
nên A
'
Sx∈
suy ra
A
OxSx ∩∈

'
Vậy ta có cách dựng :
-Dựng tia Sx
'
là ảnh của tia Sx qua phép đối xứng trục d
-khi đó A là giao điểm của Sx với O x
-đường thẳng m cần dựng là đường thẳng đi qua A và vuông góc với d .
Người thực hiện : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 toán
X
A
B
A
M
M
4
Đề tài : vai trò các bất biến trong toán phổ thông

Ta dễ dàng chứng minh đường thẳng m đó thỏa mãn các điều kiên của bài
toán.
Bài toán 3:
Cho góc xoy và một điểm A thuộc miền trong của góc đó .Hãy dựng
đường thẳng đi qua A cắt o x tại B và cắt oy tại C sao cho A là trung điểm
của đoạn BC.
Giải:

Người thực hiện : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 toán
S
B
A
O

x
y
O
A
OC
B
y
X
x
Y
5
ti : vai trũ cỏc bt bin trong toỏn ph thụng
Vỡ A l trung im ca cnh BC nờn qua phộp i xng tõm A thỡ C bin
thnh B v phộp bin hỡnh ny bin Oy thnh O
'
y
'
v vỡ C
Oy
nờn B
''
yO
Vy nờn B =Oy
''
yO
Nh vy ta cú cỏch dng :
-dng tai O
''
y
l nh c a tia Oy qua phộp i xng tõm A

- khi ú B l giao im ca tia O x vi tia O
''
y
s minh
-ng thng m cn dng l ng thng i qua A v B
Ta d dng chng minh c ng thng m nh vy tha món yờu cu
bi toi toỏnỏn.
Nhn xột : bi toỏn ta ó da vo bt bin thng hng v bt bin t s
n gii ú l nh hng quyt nh la chn phộp i xng tõm.
Bài toán 4: cho hai đờng thẳng d và d
'
cắt nhau và hai điểm A,B không thuộc hai
đờng thẳng đó .Hãy tim một điểm M trên d và một điểm M
'
Trên d
'
sao cho tứ giác ABM M
'
là một hình bình hành .
Nhận xét :
véc tơ
'
MM
có hớng và độ dài bất biến nên ở đây ta sử dụng phép tịnh tiến .
Giải :
giả sử dựng đợc hình bình hành ABMM
'
thoả mãn các điều kiên bài toán khi đó M
'
là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc tơ

BA
mặt khác M
'
phải nằm trên d
'
.
Do đó ta chỉ cần tìm M
'
là giao điểm của d
'
với đờng thẳng ảnh d
"
của d qua phép
tịnh tiến theo véc tơ
BA
nói tr ên. điểm M thuộc d và đợc xác định sao cho
=MM
'
AB
.khi đó ta đợc hình bình hành ABMM
'
thoả mãn các điều kiện của bài toán.
Bài toán 5 : cho đờng tròn tâm O bán kính R và một điểm M chạy trên đờng tròn
đó .cho một đoạn thẳng AB có các đầu mút A và B không nằm trên đờng tròn đó
tìm tập hợp các điêm M
'
đỉnh còn lại của hình bình hành ABMM
'
khi M chạy trên
đờng tròn đó .

Ngi thc hin : Nguyn vn nho lp cao hc 17 A2 toỏn
M
B
A
M
d
d
d
6
ti : vai trũ cỏc bt bin trong toỏn ph thụng
Giải:
Giả sử ta đã có hình bình hành ABMM
'
có đỉnh M thuộc đờng tròn tâm O cho tr-
ớc .
Ta có
ABMM =
'
. điểm M
'
la ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo véc tơ
BA
.do
đó khi M vẽ nên đờng tròn tâm O , bán kính R thì điểm M
'
sẽ vẽ nên đờng tròn tâm O
'
bán kính O
RM =
''

.Để tìm O
'
ta cần dựa vào hệ thức
BAOO =
'
vậy tập hợp các điểm M
'
là đỉnh còn lại của hình bình hành ABMM
'

khi M chạy trên đờng tròn tâm O cho trớc là đờng tròn ảnh của đờng tròn tâm O
qua phép tịnh tiến theo véc tơ
BAv =
nhận xét : dựa vao bất biến về phơng và độ dài của véc tơ
'
MM
ta quyết định sử
dụng phép tịnh tiến theo véc tơ để giải .
Bài toán 6: cho hai đờng thẳng song song a và b với một điểm C không thuộc hai đ-
ờng thẳng đó , hãy tìm trên a và b lần lợt hai điểm A,B sao cho ABC là tam giác
đều.
Giải:
Ngi thc hin : Nguyn vn nho lp cao hc 17 A2 toỏn
O O
B
A
M
M
7
ti : vai trũ cỏc bt bin trong toỏn ph thụng

Giải sử ta đã dựng đợc tam giác đều ABC thoả mãn các điều kiện của bài toán . với
phép quay Q
c
3

ta có điểm A biền thành điểm B khi đó đờng thẳng a biến thành đ-
ờng thẳng a
'
cũng đi qua B
Từ đó suy ra cách dựng sau đây:
- dựng đờng thẳng a
'
là ảnh của a qua phép quay Q
c
3

bằng cách kẻ CH
a
tại H tìm ảnh của H qua phép quay rồi vẽ a
'

'
CH
tại H
'
- gọi B là giao điểm của a
'
với b và lấy A là tạo ảnh của B trong phép quay
nói trên ta có a nẳm trên a .ta dễ dàng chứng minh đợc ABC là tam giác đều
cần dựng.

Nhân xét : ở bài toán trên ta sử dụng phép quay vì nhận thấy có CA=C B và
góc ACB luôn có số đo không đổi là 60
0
Bài toán 7:
Cho tam giác ABC .trên cạnh AB và AC ta dựng ra phía ngoài các hình vuông
ABMN và ACPQ .
a) chứng minh NC vuông góc với BQ và NC =BQ.
b) Gọi M
1
là trung điểm của BC ,chứng minh AM
1
vuông góc với QN và AM
1

=
2
NQ
Giải:
Ngi thc hin : Nguyn vn nho lp cao hc 17 A2 toỏn
b
a
a
A
B C
8
ti : vai trũ cỏc bt bin trong toỏn ph thụng

a) với phép quay Q
A
2

ta biến điểm N thành điểm B, điểm C thành điểm Q .Do
đó đờng thẳng NC biến thành đờng thẳng BQ từ đó
NC =BQ.
b)gọi B
1
là điểm đối xứng của B qua tâm A ta có AM
1
song song với B
1
C ( do
AM
1
là đờng trung bình của tam giác BCB
1
) .Qua phép quay Q
A
2

nói trên
điểm C biến thành điểm Q và điêm B
1
biến thành điểm N .Do đó đờng thẳng
CB
1
QN
và AM
1
Q
N

vì NQ =CB
1
mà AM
1
=
2
1
CB
nên AM
1
=
2
NQ
Bài toán 8:
Cho một điểm M chuyển động trên một nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB .Dựng
ra phía ngoài tam giác AMB một hình vuông MBCD .hãy tìm quỹ tích của dỉnh C
khi M vạch ra nửa đuờng tròn nói trên .trên tia B x vuông góc với AB tại B và nằm
cùng phía với nửa đờng tròn ,ta lấy điểm O
'
sao cho BO
'
= BO . chứng minh OM
CO
'

Giải: theo giả thiết ta có BM=BC và
);( BCBM
=
+

k2
2
Với phép quay tâm B
,góc quay
2

=

ta có C là ảnh M .Do đó khi M vạch nửa đờmg tròn đờng kính
Ngi thc hin : Nguyn vn nho lp cao hc 17 A2 toỏn
N
M
Q
P
B
C
M
A
B
9
ti : vai trũ cỏc bt bin trong toỏn ph thụng
AB thì C vạch nửa tròn đờng kính A
'
B với A
'
là ảnh của A trong phép quay Q
2


B

Nói trên . ta dễ dàng minh đợc đó là quỹ tích của điểm cần tìm .nửa đờng tròn này
là ảnh của đờng tròn đờng AB đã cho qua phep quay
Q
2


B
.qua phép quay Q
2


B
điểm M biến thành điểm C , điểm O biến thành
điểm O
'
nên ta suy ra OM
CO
'

Nhận xét: do góc MBC luôn là góc vuông và BM=BC nên ở đây ta sử dụng phép
quay 90
o
tâm B để giải bài toán này.
Bài toán 9:
Cho góc nhọn định hớng YOX bằng

và một điểm M thuộc miền trong góc
đó .Hãy dựng đờng tròn tâm M cắt các cạnh O x và OY theo các dây AB và CD
sao cho AB + CD =m cho trớc .

Giải :
Gọi

=
);( OXOY
(hình vẽ dới đây)
Ngi thc hin : Nguyn vn nho lp cao hc 17 A2 toỏn
A
O
B
M
x
A
C
D
O
10
ti : vai trũ cỏc bt bin trong toỏn ph thụng
gỉa sử ta đã dựng đợc đờng tròn tâm M cắt O x và OY theo các dâyAB và CD thoả
mạn điều kiện AB + CD = m
Hãy quay dây CD trong phép quay tâm M với góc quay

ta sẽ có với trí mới của
CD và C
'
D
'
song song với AB .
Do đó đoạn thẳng nối trung điểm của đoạn AC
'

và BD
'
là PQ =
2
CDAB +
=
2
m
đờng
thẳng PQ cắt đờng trung trực của đoạn AB và C
'
D
'
Là HI
'
tại R là trung điểm của đoạn PQ . ta có RP=RQ =
2
PQ
=
4
m
.
Từ đó suy ra cách dụng sau :
-quay cạnh Oy một góc

với phép quay tâm M góc quay

,đờng thẳng này song
song với O x .
-vẽ qua M đờng thẳng vuông góc với O x tại H và đờng thẳng song song với O x

tại I
'
.
Từ trung điểm R của đoạn HI
'
ta vẽ đờng song song với O x và trên đờng Rẳng
này về hai phía của R ta lấy RP =RQ =
4
m
t Q v ẽ đờng vuông góc với MQ tại Q ,đ-
ờng này cắt O x tại B.
-vẽđờng tròn đờng bán kính MB tâm M ta đợc đờng tròn cần dựng thoả mạn các
yêu cầu bài toán.
Bài toán 10:
Cho tam giác ABC có góc định hớng tại định là (
); ACAB
thoả mạn điều kiện O
.về phía ngoài tam giác ABC ngời ta dựng các tam giác vuông cân ABO và ACO
'

có định O và O
'
. Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Hãy chứng tỏ tam giác OMO
'

vuông cân tại M.
Giải:
Ngi thc hin : Nguyn vn nho lp cao hc 17 A2 toỏn
O
x

y
A
B
C D
M
C
D
H
I
P
Q
11
ti : vai trũ cỏc bt bin trong toỏn ph thụng
Ta có (
);OAOB
=
2

+ 2k

.
(
):
''
BOAO
=
2

+ 2k

.
Qua phép quay Q
1
(O;
)
2

điểm B biến thành điểm Avà qua phép quay Q
2
(O;
)
2


điểm A biến thành điểm C .
Vậy tích của hai phép quay Q
2
.Q
1
cũng là một phép quay Q biến B thành C có góc
Quay có góc quay
=

+

22
đây là phép đối xứng tâm la trung điểm của đoạn BC
vậy tích của hai phép quay là phép quay tâm M góc quay là

ta có

(
):
'
OOOM
=
42

=

và
(
);
''
MOOO
=
42
'

=

suy ra tam giác OMO
'
vuông cân tai M .( hình vẽ dới đây)
Bài toán 11: cho tam giác ABC . vẽ về phía ngoài của
Tam giác các hình vuông ABDE vACFCG lần lợt có tâm là M và N .Gọi I ;K
theo thứ tự là trung điểm của các đoạn EG và FC . chứng minh rằng KMIN là hình
vuông.
Giải :
Ngi thc hin : Nguyn vn nho lp cao hc 17 A2 toỏn
A

O
O
B C
M
12
ti : vai trũ cỏc bt bin trong toỏn ph thụng
Nhận xét : vì có mô hình của phép quay vì có AE=AB và AC=AG và góc
EAB và góc GAC bằng 90
0
nên ở đây ta giải bài toán bằng phép quay tâm A góc
quay 90.
0
Bài toán 12:
Cho tam giác ABC có góc A nhọn . dựng ra phía ngoài của tam giác các hình
vuông ABMN ,ACPQ ,BCEF.
a) chứng minh rằng BQ bằng va vuông góc với CN .
b) gọi D là trung điểm của BC và K ,H,G theo thứ tự là tâm của các hình vuông
ABMN ,ACPQ,BCEF .chứng minh tam giác DKH là tam giác vuông cân và KH và
AG bằng nhau và vuông góc với nhau.
Giải:
Ngi thc hin : Nguyn vn nho lp cao hc 17 A2 toỏn
B
C
E
I G
F
D
A
M N
Với phép quay tâm

A , góc quay ta có :
MK // =EC
KN//=BG
Mà EC= BG nên
MK=KN và MK
tơng tự ta chứng
minh đwợc IM=IN
và IM
Vậy KMIN là một
hình vuông.
13
ti : vai trũ cỏc bt bin trong toỏn ph thụng
Giác SGH vuông cân tại S . xét phép quay tâm S với góc quay
0
90=

ta có A
, HGK
do đó AG =HK và AG
.HK


Nhận xét : do có mô hình của phép quay nên ta sử dụng phép quay để giải.cái quan
trọng là sự phát hiện ra NC=BQ và NC vuông góc vời BQ đó là mẫu chốt để quyết
định sử dụng phép quay để giải.
Bài toán 13:
Cho ba đờng thẳng song song với nhau từng một và một điểm D không thuộc các
đơng thẳng đó. Hãy dựng một hình vuông ABCD có ba đỉnh A,B,C năm trên ba đ-
ờng thẳng song song ó cho.
Giải:

Ngi thc hin : Nguyn vn nho lp cao hc 17 A2 toỏn
N
M
B
C
A
Q
P
G
F E
K
H
D
xét phép quay tâm
A góc quay 90 ta
có N do đó
NC=BQ và NC .các
đoạn DK và DH là
các đwờng trung
bình của các tam
giác BCN và CBQ
mà NC= BQ và
NCnên ta suy ra
DK= DH
và DK.với S là
trung điểm của
AB ,chứng minh tw
ơng tự ta có tam
14
Đề tài : vai trò các bất biến trong toán phổ thông

Giả sử có ba đường thẳng a,b ,c song song với nhau .qua phép quay tâm
D với góc quay
0
90=
α
ta có C biến thành A dựng c
'
là ảnh của c qua phép
quay trên .ta tìm được điểm A là giao của c
'
và a.
Sau khi tìm được A ,ta dễ dàng tìm được B v à C và dựng được hình
vuông ABCD .với phép quay tâm D và góc quay
0
90−=
β
ta dựng được
hình vuông A
1
B
1
C
1
D .
Bài toán 14:
Cho góc xoy và một điểm A nằm trong góc đó .Hãy dựng đường tròn đi
qua A và đồng thời tiếp xúc với hai cạnh o x và oy .
Giải :
Giả sử ta dựng được đường tròn tâm I đi qua A và tiếp xúc với hai cạnh

O x và oy .
Tâm I của đường tròn phải nằm trên đường phân giác của góc x0y .
Ta hãy dựng đường tròn tâm I
'
cũng tiêp xúc với o x và oy . như vậy O là
tâm vi tự ngoài của đường tròn tâm I và I
'
ta suy ra cách dựng như sau:
Người thực hiện : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 toán
b
a
C
A
D
C
BB
A
c
90
c
15
Đề tài : vai trò các bất biến trong toán phổ thông

Nhận xét : ví dựng đường tròn I
'
dễ hơn và nếu biết đường tròn I
'
thì sẽ vẽ
được đường tròn tâm I do đó ta chuyển về dựng đường tròn I
'

trước rồi
làm cơ sở để dựng I.
Bài toán 15: Hãy dựng một hình vuông có hai đỉnh nằm trên nửa đường
tròn cho trước và hai đỉnh còn lại năm trên đường kính của nửa đường
tròn đó.
Giải :
Người thực hiện : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 toán
A
O
I
I
-dựng một đường tròn tâm
Isao cho tiếp xúc với o x
và oy .
-gọi A là một trong hai
giao điểm của tia OA với
đường tròn tâm I
-thực hiên phép vị tự tâm
O tỷ số vị tự k= thì đường
tròn Ibiến thành đường
tròn tâm I cần dựng thỏa
mãn các điều kiện bài toán
.
Vì tia OA luôn cắt đường
tròn tâm Itại hai điểm phân
biệt nên bài toán luôn có
hai nghiệm hình.
16
ti : vai trũ cỏc bt bin trong toỏn ph thụng
Nh ận xét : do dựng hình vuông M

'
N
'
''
QP
dễ dựng hơn hình vuông MNPQ vì số
điều kiện thoả mãn ít hơn do đó ở đây ta sử dụng phép vị tự để giải .
Bài toán 16:
Dựng tam giác ABC cho biết trung tuyến AM và độ dài các cạnh AB =c, AC=b.
Giải:
Vì AB =c nên đỉnh B nằm trên đờng tròn (A;c) và AC =b nên dỉnh C nằm trên đ-
ờng tròn ( A;b) (hình vẽ dới đây)
Ngoài ra ta có
1=
MB
MC
nên C là ảnh của B trong phép vị tự tâm M ,tỷ số vị tự là
k=-1 .Gọi A
'
là ảnh của A qua phép vị tự V
1
M
.vậy C còn nằm trên đờng tròn (A
);
'
c
là ảnh của đờng tròn (A;c) qua phép vị tự V
1
M
.

Hai đờng tròn (A
);
'
c
và (A; c) cắt nhau tại C và ta dễ dàng tìm đợc đỉnh B .
Ngi thc hin : Nguyn vn nho lp cao hc 17 A2 toỏn
A B
M
M
N
N
Q
P
Q
P
O
trên đwờng kính AB của nửa đw
ờng tròn cho trwớc ta lấy hai
điểm M, N đối xứng qua trung
điểm O của đoạn AB . Dựng
hình vuông MNPQ có một cạnh
là MN . nối OP và OQ cắt nửa
đwờng tròn tại P và Q ta đwợc
PQ là một cạnh của hình vuông
cần tìm hình vuông MN nội
tiếp nửa đwờng tròn đwờng
kính AB là hình vị tự của hình
vuông MNPQ qua phép vị tự
tâm O tỷ số vị tự k=
17

ti : vai trũ cỏc bt bin trong toỏn ph thụng
Bài toán 17:
Cho tam giác vuông AMB nội tiếp trong đờng tròn đờng kính AB .Ta dựng về phía
ngoái của tam giác AMB một hình vuông AMNP .Hãy tìm tập các điêm N khi
đỉnh M di động trên đờng tròn đờng kính AB .
Bài giải :
Tam giác AMN vuông cân tai M nên ta có (
0
45); =ANAM
và
2=
AM
AN
Ngi thc hin : Nguyn vn nho lp cao hc 17 A2 toỏn
A
B
C
A
M
18
ti : vai trũ cỏc bt bin trong toỏn ph thụng

Hay AN= AM
2
. Vậy N là ảnh của M qua phép quay tâm A
Góc quay
0
90=

và sau đó thực hiên tiếp phép vị tự tâm A với tỷ số vị tự k=

2
(hình trên)
Ta biết rằng tích của một phép dời ( ở đây là phep quay ) với một phép vị tự là một
phép đồng dạng f .Do đó khi M di động trênì Nđờng tròn đờng kính AB thì N di
động trên đờng tròn đờng kính AB
'
với AB
'
là ảnh của AB qua phép đồng dạng f
nói trên. Vậy tập hợp các điểmN là đờng tròn đờng tròn đờng kính AB
'
ảnh của đ-
ờng tròn đờng kính AB qua phép đồng dạng f nói trên .

Bài toán 18:
Dựng tam giác BAC vuông cân tại A ,có C là đỉêm cho trớc ,còn hai đỉnh A,B lần
lợt thuộc hai đờng thẳng a,b song song với nhau cho trớc.
Bài giải :
Giả sử BAC là tam giác cần tìm có
CB =
2
CA , (
4
);

=CBCA
Vậy B là ảnh của A qua phép quay tâm C với góc quay -
4

và phép vị tự tâm C

,tỷ số k=
2

Gọi a
'
là ảnh của a qua phép quay nói trên ta tìm đợc đỉnh B và sau khi có các
điểm C ,B ta dựng đợc tam giác CAB một cách dễ dàng
Ngi thc hin : Nguyn vn nho lp cao hc 17 A2 toỏn
A
B
P
N
B
M
O
19
ti : vai trũ cỏc bt bin trong toỏn ph thụng
Vì lí do đối xứng qua đờng thẳng CI vuông góc với a và b nên ta có
Tam giác CA
'
B
'
đối xứng với tam giác CAB qua CI cũng thoả mãn điêù kiên bài
toán .Bài toán có hai nghiệm hình.
Kết luận
Ta biết rằng bất biến là một đề tài khó thế nhng đây la một v ẫn đề
quan trọng nó đề cập đến các bất biến qua các phép biến hình nên nó đóng
vai trò trong quá trình định hóng tìm lời giải bài toán .Do đó vẫn đè nay nếu
đợc quan tâm nghiêm túc thi nó giup ích rất lớn trong việc dạy và học toán
.Đây là một công cụ chính trong việc định hớng tìm lời giải cho nhiều bài

toán hình học ở trờng phổ thông ,đề tầi nếu đơc nghiên cứu triệt đẻ thì nó sẽ
phát triển kỹ năng giải toán cho học viên . Nếu quan tâm vẫn đề này cho học
sinh thì sẽ làm pháp triển ở họ các phẩm chất t duy , năng lực giải toán .
Đề tài đã nêu đợc các dịnh nghĩa của các phép biến hình cơ bản trong mặt
phẳng và đã đa ra đợc mời tám ví dụ về các bài toàn s dụng các phép biến
hình để giải trong đó đề tài đã nêu đợc các phân tích các bất biến trong mỗi
bài toán trên cơ sở đó làm công cụ định hớng tìm lời giải bài toán .
Các bài toán đơc đề cập đến đợc chọn loc tơng đối kỹ lợng có thể nói ở một
góc độ nào đó thì có xem các bài toán đó là điển hình về phơng pháp.
Ngi thc hin : Nguyn vn nho lp cao hc 17 A2 toỏn
A
A
B B
C
I
a
b
-
20
ti : vai trũ cỏc bt bin trong toỏn ph thụng
Tuy đã cố gắng rất nhiều trong quá trình nghiên cứu nhng vẫn còn hạn
chế chẳng hạn nh in ấn ,vì do thời gian nghiên cứu gấp nên mong đợc sự góp
ý chỉ bảo của quý vị.
Cuôi cùng xin cảm ơn thầy giáo s Đào Tam các bài dạy sâu sắc của thầy đã
đóng góp rất lớn cho việc hoàn thành đề tài này. cảm ơn các bạn học viên lớp
cao học 17 , A2 toán đã dóng góp các ý kiên cho tôi trong khi viết đề tài này.
Ngi thc hin : Nguyn vn nho lp cao hc 17 A2 toỏn
21