SKKN ĐỊNH LÍ VIÉT VÀ ỨNG DỤNG

ý tởng khai
thác
Hệ thức
Viét(sgk)
đL Viét
Đảo
Thuận
ứng dụng
Pt bậc 2;
3 và các
loại
toán đại
số
Mặt
phẳng
toạ độ và
hình học
Số học
Các ứng dụng của định lý viét
Phần I: cơ sở xuất phát.
Phần II: nội dung - phơng pháp.
A. lý thuyết (Kiến thức cơ bản và mở rộng).
B. Các ứng dụng của định lý viét.
* các ứng dụng cơ bản.
* các ứng dụng khác.
Phần III: các biện pháp thực hiện.
Phần IV: kết quả - bài học kinh nghiệm.
PhầnV: kết luận
Phần i: cơ sở xuất phát
1. Định lý toán học là mệnh đề đúng. Vì thế nó là kiến thức cơ bản có giá trị về
phơng diện suy luận và ứng dụng trong chơng trình toán nói chung cũng nh ch-

ơng trình toán THCS nói riêng.
2. Trong môn Đại số lớp 9 ở THCS có một định lý đã nói rõ mối quan hệ giữa
các nghiệm số của một phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) với các hệ số
của nó. Đó là định lý do nhà toán học nổi tiếng ngời Pháp Prăng xoa Vi-ét (F.
Viete) (1540- 1603) tìm ra đợc mang tên ông: Định lý Vi-vét.
Do đặc thù đặc biệt của định lý (gồm định lý thuận và đảo) nên nó có giá trị đặc
biệt là nêu lên đợc nhiều ứng dụng quan trọng trong các bài toán liên quan đến
phơng trình bậc hai nh:
- Tìm tổng và tích các nghiệm của một phơng trình bậc hai khi có nghiệm.
- Biết một nghiệm của phơng trình bậc hai suy ra nghiệm kia.
- Nhẩm nghiệm của một phơng trình bậc hai (khi có nghiệm) trong các trờng hợp.
- Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
- Lập một phơng trình bậc hai một ẩn biết hai nghiệm cho trớc
Vì thế định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó có vai trò một chìa khoá quan
trọng mở ra hớng giải quyết cho nhiều bài toán có liên quan đến nghiệm của ph-
ơng trình bậc hai, ba một cách phong phú, đa dạng nh: Chứng minh bất đẳng
thức; tìm cực trị; quan hệ giữa đờng thẳng và parabol trong mặt phẳng Đề các;
tính giá trị các biểu thức bậc cao của các nghiệm số
3. Việc dạy định lý Vi-ét và nêu ra các ứng dụng của nó trong chơng trình đại 9
có ý nghĩa đặc biệt ở chỗ là: làm cho HS hiểu sâu sắc hơn về các nghiệm số của
một phơng trình bậc 2; nêu đợc quan hệ định tính, định lợng của các nghiệm số
với các hệ số của phơng trình bậc 2. Có thể nói: Các nghiệm số của phơng trình
bậc 2 dới lăng kính của địmh lý Vi-ét đã ánh lên các sắc màu rực rỡ.
4. Những ứng dụng phong phú của định lý Vi-ét đã góp phần làm giàu,(đa dạng,
phong phú) các dạng bài tập về phơng trình bậc 2 (phơng trình qui về bậc hai);
các bài toán có liên quan đến nghiệm số của phơng trình bậc 2; những kỹ thuật
giải phơng trình; hệ phơng trình độc đáo nhờ hệ thức Vi-ét.
5. Việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán đã gây đợc hứng thú giải bài tập cho

HS, hình thành cho HS những ý tởng phong phú, trau dồi t duy và óc sáng tạo
cho các em khi giải các bài toán có liên quanđến phơng trình bậc hai.
6. Phơng trình bậc hai và định lý Vi-ét thông qua hệ thức giữa các nghiệm số đợc
gắn kết với nhau nh hình với bóng để tạo ra những bài toán, những ứng dụng
phong phú và đa dạng từ Đại số, Số học, Hình học hấp dẫn kì lạ.
7. Những ứng dụng cơ bản và phong phú của định lý Vi-ét thuận, đảo đã làm
giàu t duy, kĩ năng giải toán cho HS cuối cấp. Giúp các em nhìn nhận các bài
toán trong mối liên hệ sinh động dới con mắt động của sự ràng buộc giữa biến
số và tham số; giữa hằng và biến, phần nào giúp HS nâng cao chất lợng học tập
môn toán.
8. Việc khai thác định lý Vi-ét thuận, đảo và các ứng dụng phong phú của nó
trong Đại số, Hình học, Số học có tính tất yếu tuân theo quy luật biện chứng của
bất kì một môn khoa học nào, đồng thời hình thành cho ngời dạy, ngời học một
phong cách nghiên cứu toán học ở một phạm vi nhất định tạo điều kiện đổi mới
phơng pháp dạy học một cách hiệu quả.
9. Thực tế việc khai thác định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó, của ngời dạy và
ngời học phần nào còn nhiều sơ sài nh cha khai thác triệt để định lý đảo; các kết
quả từ định lý Vi-ét, đặc biệt khai thác các ứng dụng phong phú vào các thể loại
bài tập còn hạn chế. Với lý do trên nên tôi đề xuất một vấn đề: Nghiên cứu khai
thác định lý Vi-ét và các ứng dụng phong phú của nó trên nhiều phơng tiện Đại
số, Hình học, Số học.

Phần ii: Nội dung phơng pháp
a. lý thuyết:
1. Định lý Viet thuận:
Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) có 2 nghiệm x
1
, x

2
thì
S = x
1
+ x
2
=
a
b

P = x
1
. x
2
=
a
c
* Hệ quả: PT bậc 2: ax
2
+ bx + c = 0 (*)
- Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x
1
= 1, nghiệm kia là x
2
=
a
c
- Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x
1
= - 1; nghiệm kia là x

2
=
a
c

2. Định lý đảo:
Nếu có 2 số x
1
, x
2
thoả mãn



=
=+
Px.x
Sxx
21
21
thì chúng là nghiệm số của phơng
trình: t
2
- st + p = 0
(Điều kiện 2 số x
1
, x
2
là s
2

- 4p 0)
Chú ý:
* Trớc khi áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phơng trình có 2 nghiệm





)0'(0
0a
* a + b + c = 0 x = 1 ; a - b + c = 0 x = - 1
* Nếu có: x = ; y = là nghiệm hệ phơng trình



=
=+
Pxy
Syx
thì , là
nghiệm phơng trình: t
2
- st + p = 0
3. Các ứng dụng cơ bản (thờng dùng):
a. Kiểm tra nghiệm phơng trình bậc 2.
b. Tính nhẩm nghiệm của phơng trình bậc 2.
c. Biến 1 nghiệm suy ra nghiệm kia
d. Tìm 2 số biết tổng và tích.
e. Lập 1 phơng trình bậc 2 biết 2 nghiệm
4. Một số kết quả thu đợc từ định lý Viet:

a. Phân tích ax
2
+ bx + c = 0 (*) (a

0) thành nhân tử:
( )



















=

=+

a

c
x.x
a
b
xx
0và0a
21
21

Khi (*) có 0 x
1
, x
2
/ x
1
+ x
2
=
a
b

; x
1
. x
2
=
a
c
thì
ax

2
+ bx + c =
[ ]
2121
22
xxx)xx(xa
a
c
x
a
b
xa
++=






++

= a(x
2
- x
1
x - x
2
x + x
1
x

2
) = a(x - x
1
) (x - x
2
)
b. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất:
* Từ: S = x
1
+ x
2
; P = x
1
. x
2
- Nếu S = x
1
+ x
2
(không đổi) còn P = x
1
. x
2
thay đổi.
Do S
2
- 4P 0 P
4
S
2

P =
4
S
2
x
1
= x
2
=
2
S
a2
b
=

maxP =
4
S
2
x
1
= x
2
=
2
S
(Vì x
2
- Sx + P = 0 có nghiệm kép)
KL: Hai số có tổng không đổi tích lớn nhất 2 số bằng nhau.

- Nếu x
1
> 0; x
2
> 0 và x
1
x
2
= P (Không đổi)
Còn S = x
1
+ x
2
(thay đổi)
Do: S
2
- 4P 0
( )( )
0P2SP2S
+
S -
P2
0 ; S =
P2
x
1
= x
2
=
P

KL: 2 số dơng có tính không đổi tổng nhỏ nhất khi chúng bằng nhau.
c. Xét dấu các nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (*) (a

0)






=

=
a
c
P;
a
b
S
- Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm trái dấu là P < 0
- Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm cùng dấu là



>

0P
0

- Điều kiện để (*) có 2 nghiệm cùng dơng là:





>
>

0S
0P
0
- Điều kiện để (*) có 2 nghiệm cùng âm là:





<
>

0S
0P
0
- Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép dơng là:



>
=

0S
0
- Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép âm là:



<
=
0S
0
d. Điều kiện của tham số để hệ phơng trình:





=
=+
)m(
)m(
gy.x
fyx
có 1 nghiệm duy
nhất là: f
2
(m)
- 4g
(m)
= 0
(Chính là điều kiện để phơng trình bậc 2 t

2
- f
(m)
t + g
(m)
) = 0 có nghiệm kép)
b. các ứng dụng của định lý viet:
i. tìm 2 số biết tổng và tích của chúng:
1. Phơng pháp: Dựa vào định lý đảo của định lý Viet:
Nếu 2 số u và v có



=
=+
Pv.u
Svu
thì u và v là nghiệm của phơng trình:
t
2
- St + P = 0 (1)
Nh vậy việc tìm 2 số quy về việc giải 1 phơng trình (Tìm nghiệm của ph-
ơng trình đó

2 số cần tìm).
Chú ý: Nếu S
2
- 4P 0 thì tồn tại 2 số.
Nếu S - 4P < 0 không tồn tại 2 số.
2. Ví dụ:

a. Tìm 2 cạnh 1 hình chữ nhật có chu vi là 6a; Diện tích là 2a
2
.
* Gọi 2 cạnh hình chữ nhật là u và v (u > 0; v > 0).
Ta có:



=
=+
2
a2uv
a6v2u2




=
=+
2
a2vu
a3vu
Do (3a)
2
- 4 . 2a
2
= a
2
> 0 nên u, v là nghiệm của phơng trình bậc 2.
t

2
- 3at + 2a
2
= 0 giải đợc t
1
= a ; t
2
= 2a
Vậy độ dài 2 cạnh hình chữ nhật là a và 2a.
b. Tìm phơng trình bậc 2 nhận x
1
; x=2 là nghiệm và



=
=+
6xx
13xx
21
2
2
2
1
(*)
Biến đổi hệ (*) ta có:



=

=+
6xx
13xx2)xx(
21
21
2
21






=



=+
=+
6xx
5xx
5xx
21
21
21

=
=+



=
=+
6x.x
5xx
6x.x
5xx
21
21
21
21
c. Giải hệ phơng trình:





=
=+
)2(27xy

)1(4yx
3
3

(Ta quy về tìm x, y /



=
=+
Pxy
5yx
)
Từ (1) có
( )
28yx64yxxy3yx4yx
3
3
33
3
=+=+++=+
Vậy hệ (1) (2) có dạng



=
=+
27xy
28yx
do 28

2
- 4 . 27 > 0 nên x, y là nghiệm
của phơng trình: t
2
- 28t + 27 = 0. Giải đợc t
1
= 1 ; t
2
= 27. Hệ có 2 nghiệm:



=
=
27y
1x
;



=
=
1y
27x
d. Giải phơng trình:
6
1x
x5
x.
1x

x5
x
=






+

+






+

(Đ/K: x -1)
Đặt:






+

=
1x
x5
xu
; v =
6
1x
x5
x
=






+

+
(Đ/K: x -1)
u + v = 5 (2) Từ (1) và (2) ta quy về tìm u, v sao cho:



=
=+
6v.u
5vu

Do 25 - 24 > 0. Nên u, v là nghiệm phơng trình t

2
- 5t + 6 = 0 t
1
= 3; t
2
= 2.
Từ đó có:



=
=
2v
3u
1
1
hoặc



=
=
3v
2u
2
2
.
Phơng trình đã cho

=+
=+
1x
02x3x
03x2x
2
2
giải đợc x
1
= 1; x
2
= 2 (TM)
e. Cho phơng trình: x
2
+ax + b = 0 có 2 nghiệm là x và d; phơng trình x
2
+ cx +
d = 0 có 2 nghiệm là a và b. Tính a, b, c, d biết rằng chúng đều 0.
Giải: áp dụng định lý Viet vào 2 phơng trình đã cho có:
c + d = - a (1) c . d = b (2)
a + b = - c (3) a . b = d (4)
x
1

, x
2
là nghiệm phơng trình: x
2
- 5x + 6 = 0
x
1
, x
2
là nghiệm phơng trình: x
2
+ 5x + 6 = 0
db
=



Từ (1) a + c = - d
(3) a + c = - b
Từ (2) c =1 (Vì b = d 0)
Từ (4) a = 1 (Chia 2 vế cho b = d 0)
Thay a = c = 1 vào (1) d = - 2 b = - 2
Vậy (a, b, c, d) = (1; - 2; 1; - 2)
ii. tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm:
1. Biểu thức đối xứng của 2 nghiệm:
Biểu thức f(x
1
, x
2
) gọi là đối xứng với x

1
, x
2
nếu:
f(x
1
, x
2
) = f(x
2
, x
1
)
(Nếu đổi chỗ (vị trí) x
1
và x
2
thì biểu thức không thay đổi).
- Nếu f(x
1
, x
2
) đối xứng thì f(x
1
, x
2
) luôn có thể biểu diễn qua 2 biểu thức
đối xứng là S = x
1
+ x

2
; P = x
1
.

x
2
.
- Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình bậc 2 ax
2
+ bx
+ c = 0 là biểu thức có giá trị không thay đổi khi hán vị x
1
và x
2
.
Ta có thể biểu thị đợc các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x
1
, x
2
theo S
và P. Ví dụ:
( )
P2Sxx2xxxx
2
21

2
21
2
2
2
1
=+=+
( ) ( )
SP3Sxxxx3xxxx
3
2121
3
21
3
2
3
1
=++=+
( )
2222
2
2
1
2
2
2
2
1
4
2

4
1
P2)P2S(xx2xxxx
=+=+
P
S
xx
xx
x
1
x
1
21
21
21
=
+
=+
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2

2
1
P
P2S
xx
xx
x
1
x
1

=
+
=+
. . .
2. Các ví dụ:
a. Bài toán 1: Cho phơng trình bậc 2: ax
2
+ bx + c = 0 (*) (a 0)
Có 2 nghiệm là x
1
, x
2
. Chứng minh rằng: Với
n
2
n
1n
xxS
+=

Thì a . S
n + 2
+ b . S
n + 1
+ c . S
n
= 0
Giải:
Do x
1
, x
2
là nghiệm (*)





=++
=++
0cbxax
0cbxax
2
2
2
1
2
1

=++
=++
0cxx.bxx.ax
0cxx.bxx.ax
n
22
n
2
2
2
n
2
n
11
n
1
2
1
n
1

=++
=++
++
++
0cxbxax
0cxbxax
n
2
1n
2
2n
2
n
1
1n
1
2n
1

( ) ( ) ( )
0xxcxxbxx.a
n
2
n
1
1n
2
1n
1
2n

2
2n
1
=+++++
++++
hay: a . S
n + 2
+ b . S
n + 1
+ c . S
n
= 0
b. Bài toán 2: Cho phơng trình x
2
+ 5x + 2 = 0
Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm. Hãy tính giá trị các biểu thức:
2
2
2
1
xx +
;
3
2
3
1

xx
+
;
4
2
4
1
xx
+
; . . . ;
7
2
7
1
xx
+
;
2
2
3
1
3
2
2
1
xxxx
+
;
21
xx

Giải: Trớc hết kiểm tra phơng trình đã cho nghiệm hay không.
= 25 - 8 = 17 > 0 Phơng trình có 2 nghiệm x
1
x
2
Suy ra:
21P2Sxx
22
2
2
1
==+

95)P3S(Sxx
23
2
3
1
==+

4338441P2)P2S(xx
2224
2
4
1
===+

( )( )
( )

21
3
2
3
1
4
2
4
1
3
2
3
1
7
2
7
1
xxx.xxxxxxx
+++=+
= - 95 . 433 - 8 . (- 5) =

( )
20S.Pxxxxxxxx
2
21
2
2
2
1
2

2
3
1
3
2
2
1
==+=+

( ) ( )
17P4Sxx4xxxxxx
2
21
2
21
2
2121
==+==
* Chú ý: Ta có thể mở rộng cho bài toán trên yêu cầu tính giá trị của
2n
2n
2
2n
1
Sxx
+
++
=+
; S
n + 1

; S
n
bằng cách áp dụng kết quả Bài toán 1.
S
n +2
= - b S
n + 1
- cS
n
Ví dụ: Cho x
1
, x
2
là nghiệm phơng trình: x
2
- 2x - 2 = 0 Tính
7
2
7
1
xx
+
Ta có: = 3 > 0 nên phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
.
S
1
= 2

8x.x2)xx(xxS
21
2
22
2
2
2
12
=+=+=
S
3
= - bS
2
- cS
1
= 16 + 4 = 20
S
4
= - bS
3
- cS
2
= = 56
S
5
= - bS
4
- cS
3
= 152 =

S
6
= - bS
5
- cS
4
= 416
S
7
= - bS
6
- cS
5
=1136
c. Bài toán 3: (Học sinh giỏi Quảng Ninh năm 2002).
Gọi a, b là nghiệm phơng trình: 30x
2
- 3x = 2002.
Rút gọn (Tính)
( ) ( )
20002000
2001200120022002
ba
ba3ba30
M
+
++
=
* Nhận thấy phơng trình đã cho: 30x
2

- 3x - 2002 = 0 có > 0
x
1
= a ; x
2
= b S
n
= a
n
+ b
n
áp dụng công thức thuộc Bài toán 1: A . S
n + 1
+ B . S
n + 1
+ C. S
n
= 0
Theo đầu bài ta có:S
n
= a
2000
+ b
2000
S
n + 1
= a
2001
+ b
2001

S
n +2
= a
2002
+ b
2002
30 S
n + 2
- 3S
n + 1
- 2002S
n
= 0
30 S
n +2
- 3S
n + 1
= 2002S
n

2002
S
S2000
M
n
n
==
d. Bài toán 4: Cho phơng trình x
2
- ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm là x

1
và x
2
. Không
giải phơng trình, hãy tính giá trị của biểu thức:
2
212
2
1
2
2
2
1
xxxx
3x3x3
M
+
+
=
.
Giải: Trớc hết kiểm tra xem phơng trình đã cho có nghiệm không ?
Ta có: = a
2
- 4 (a - 1) = (a - 2)
2
0
Nên phơng trình đã cho có 2 nghiệm là: x
1
và x
2

.
áp dụng hệ thức Viet ta có: x
1
+ x
2
= a ; x
1
.x
2
= a - 1.
aa
3a6a3
10a(a
3)1a(6a3
)xx(xx
3xx6)xx(3
M
2
22
2121
21
2
21

+
=


=
+

+
=
(a 0; a 1)
e. Bài 5: Cho a 0; Giả sử x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình:
0
a
1
axx
2
2
=
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
2
4
1
xxE
+=
Ta có: x
1
+ x
2
= a ; x
1
.x
2

=
2
a
1


( )
P2P2Sxx
2
24
2
4
1
=+
4224
a
2
aE
4
4
+++=
422E
+=
a
8
= 2
8
2a
=
Min

224E
+=
tại
8
2a
=
* Chú ý: Nếu biến đổi phơng trình đã cho thành phơng trình
01xaxa
322
=
(a 0) thì việc xét xem phơng trình có nghiệm hay không
và tìm GTNN
4
2
4
1
xxE
+=
tiện lợi hơn.
iii. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số:
1. Phơng pháp:
Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số trong 1
phơng trình bậc 2 (Giả sử tham số là m) ta có thể thực hiện theo các bớc sau:
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
và x
2
là:

0
0a
- áp dụng hệ thức Viet ta đợc





=
=+
)m(21
)m(21
gx.x
fxx
(*)
- Khi m từ hệ (*) ta đợc hệ thức cần tìm (Sử dụng phép thế hoặc cộng).
2. Ví dụ:
a. Cho phơng trình (m - 1)x
2
- 2(m - 4)x + m - 5 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa
các nghiệm của phơng trình không phụ thuộcm (Độc lập với m).
Giải: Trớc hết tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
là:

0
0a
'






0)5m)(1m()4m(
01m
2






011m2
1m

2
11
m1

Khi đó theo Viet phơng trình có 2 nghiệm x

1
, x
2
thoả mãn:









=


=+
1m
5m
x.x
1m
)4m(2
xx
21
21

=


=+
1m
)5m(3
x.x3
1m
)4m(4
)xx(2
21
21
2 (x
1
+ x
2
) - 3x
1
x
2
= 1 (Không chứa m).
Đó chính là hệ thức cần tìm.
b. Cho phơng trình: (m
2
+ 1)x

2
- 2mx + 1 - m
2
= 0.
* CMR với mọi m > 1 phơng trình luôn có nghiệm.
* Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với tham số m.
Giải:
* Ta có: a = m
2
+ 1 > 0 (m
2
0) nên phơng trình đã cho là1 phơng trình
bậc 2 ẩn x tham số m.
Mặt khác, C = 1 - m
2
< 0 (Vì m > 1 m
2
> 1).
Nh vậy: a và c trái dấu ac < 0 Phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân
biệt x
1
, x
2
với mọi m > 1.
* áp dụng hệ thức Viet có:

+

=
+
=+
1m
m1
x.x
m1
m2
xx
2
2
21
2
21
(*)
- Khử m từ hệ (*) bằng nhận xét:
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
21
2
21

m1
m1
m1
m2
x.xxx








+

+






+
=++
=
1
1m2m
1m2m
)1m(
1m2mm4

24
24
22
242
=
++
++
=
+
++
Vậy ta có hệ thức cần tìm là: (x
1
+ x
2
)
2
+ (x
1
.x
2
)
2
= 1
iv. tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm liên hệ với nhau bởi 1 hệ
thức cho trớc (điều kiện cho trớc):
1. Phơng pháp:
Có thể thực hiện các bớc:
* B ớc 1: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình đã cho có nghiệm x
1
, x

2
.
* B ớc 2: áp dụng hệ thức Viet, ta có:





=
=+
)m(21
)m(21
gx.x
fxx
(*)
* B ớc 3: Kết hợp (*) với điều kiện (Hệ thức cho trớc) suy ra phơng trình có ẩn là
tham số từ đó tìm đợc tham số.
(Chú ý cần đối chiếu tham số cần tìm đợc với điều kiện để phơng trình
đầu có nghiệm số).
2. Các ví dụ:
a. Tìm m để phơng trình: 3x
2
+ 4 (m - 1)x + m
2
- 4m + 1 = 0 có 2 nghiệm phân
biệt x
1
. x
2
thoả mãn:

)xx(
2
1
x
1
x
1
21
21
+=+
Giải:
* Trớc hết phơng trình phải có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
21
0 nên phải có:
> 0.
4 (m - 1)
2
- 3 (m
2
- 4m + 1) > 0 m
2
+ 4m + 1 > 0.
m < - 2 -
3
hoặc m > -2 +
3
(*)
* Theo hệ thức Viet ta có:

3
)m1(4
xx
21

=+
;
3
1m4m
x.x
2
21
+
=
(m
2
- 4m + 1 0) m 2
3
(**)
Từ hệ thức của x
1
, x
2
ta có:
( )
0
2
1
xx
1

xx
2
xx
xx
xx
21
21
21
21
21
=








+
+
=
+
x
1
+ x
2
= 0 (1) hoặc
0
2

1
xx
1
21
=
(2)
- Từ (1) có:
1m0)m1(
3
4
==
- Từ (2) có:
2
1
1m4m
3
2
=
+
m
2
- 4m + 1 = 6
m
2
- 4m - 5 = 0




=

=
5m
1m
* Kết hợp các giá trị của m với điều kiện: (*) (**) ta đợc m = 1 ; m = 5.
Nh vậy: Với m = 1 hoặc m = 5 thì phơng trình đã cho thoả mãn đầu bài
(Chú ý: Có thể tìm m từ hệ hỗn hợp sau:











+=+

+
=

=+

)xx(
2
1
x
1
x

1
0
3
1m4m
x.x
3
)m1(4
xx
0'
21
21
2
21
21
Khi có:
2
xx
xx
xx
21
21
21
+
=
+
nếu chia cho x
1
+ x
2
sẻ làm mấy nghiệm)

b. Cho phơng trình: x
2
+ bx + c = 0 có các nghiệm x
1
, x
2
; phơng trình: x
2
- b
2
x +
bc = 0 có các nghiệm x
3
, x
4
. Biết x
3
- x
1
= x
4
- x
2
= 1. Tìm b và c.
Giải:
* Trớc hết phải có:

0bc4b
0c4b
4
2
(*)
* Theo giả thiết và theo hệ thức Viet có:







=
=+
=
=+
bcx.x
bxx
cx.x
bxx
43
2
43
21
21

( ) ( )
( )( )

=++
=+++
=
=+
bc1x1x
bx1x1
cx.x
bxx
21
2
21
21
21
)4(
)3(
)2(
)1(
(Vì x
3
= x
1
+ 1 ; x
4

= x
2
+ 1)
Từ (1) và (3) có: b
2
+ b - 2 = 0 (b - 1) (b + 2) = 0



=
=
2b
1b
Từ (4) có: x
1
x
2
+ x
1
+ x
2
+ 1 =bc c - b + 1 = bc (5)
- Với b = 1 thì (5) đúng khi đó phơng trình: x
2
+ bx + c = 0
trở thành x
2
+ x + c = 0
Có nghiệm nếu = 1 - 4c 0
4

1
c

Phơng trình: x
2
- b
2
x + bc = 0 trở thành x
2
- x + c = 0 cũng có nghiệm nếu
4
1
c

:
- Với b =- 2 (5) trở thành c + 3 = - 2c c = - 1
Khi đó phơng trình: x
2
- b
2
x + bc = 0 trở thành x
2
- 4x + 2 = 0 có nghiệm
là
22

.
Phơng trình: x
2
+ bx + c = 0 trở thành x

2
- 2x - 1 = 0 có nghiệm là
21

* Kết luận: (b = 1 ;
4
1
c

) hoặc (b = - 2 ; c = - 1)
(Vì các giá trị này thoả mãn điều kiện (*))
c. Tìm m để phơng trình: mx
2
- 2 (m - 1)x + 3 (m - 2) = 0 có 2 nghiệm phân biệt
x
1
. x
2
thoả mãn x
1
+ 2x
2
= 1.
Giải: Có thể giải hệ hỗn hợp sau để tìm m:
12
)2(3
.
)1(2
0'
0

21
21
21
=+










=

=+
>

xx
m
m
xx
m
m
xx
m

m
)2m(3

m
)m2(2
1.
m
m2
m
)m2(2
1x
m
m2
x
01m4m2và;0m
1
2
2

=

=

=
<








=

+
<<

0
m
)4m6)(m2(
2
62
m
2
62
và;0m
2
m = 2 hoặc m =
3
2
d. Tìm các số p và q của phơng trình: x
2
+ px + q = 0 sao cho các nghiệm của nó
thoả mãn:



=
=
35xx
5xx
3
2
3
1
21
Giải: * Trớc hết phải có điều kiện: > 0 p

2
- 4q > 0
Giải hệ sau:
35xx
5xx
qx.x
pxx
3
2
3
1
21
21
21
=





=
=
=+
)4(
)3(
)2(
)1(
Từ (3) có: (x
1
- x

2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 4x
1
x
2
= p
2
- 4q = 25 (5)
Từ (4) có:
( )
[ ]
35xxxx5)xxxx)(xx(xx
21
2
21
2
221
2
121
3
2
3

1
=+=++=
(x
1
+ x
2
)
2
- x
1
x
2
= p
2
- q = 7 (6)
Kết hợp (5) và (6) ta có:



=
=
7qp
25q4p
2
2
(*)
Giải đợc q = - 6 ; p
1, 2
= 1
Nghiệm của hệ (*) là:

=
=
6q
1p
;



=
=
6q
1p
thoả mãn điều kiện: p
2
- 4q > 0
Kết luận:



=
=
6q
1p
hoặc

=
=
6q
1p
e. Xác định tham số m sao cho phơng trình:
(1) 2x
2
- 3(m + 1)x + m
2
- m - 2 = 0 có 2 nghiệm trái dấu
(2) mx
2
- 2 (m - 2)x + 3 (m - 2) = 0 có 2 nghiệm cùng dấu
Giải:
(1) Có 2 nghiệm trái dấu m
2
- m - 2 < 0 (m + 1) (m - 2) < 0
- 1 < m < 2
(2) Giải







>

0
m
)2m(3
0'
0m
- 1 m < 0
V. Thiết lập phơng trình bậc 2:
* Ta thiết lập 1 phơng trình bậc 2 nhận các số x
1
; x
2
là các nghiệm dựa trên
cơ sở (Định lý Viet).
Nếu x
1
+ x
2
= S ; x
1
.x
2
=p thì x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình
x
2
- Sx + P = 0 (S
2

- 4P 0)
* Các ví dụ:
1. Gọi , là các nghiệm của phơng trình: 3x
2
+ 7x + 4 = 0 không phải
phơng trình hãy thành lập phơng trình bậc 2 với hệ số bằng số mà các nghiệm
của nó là:
1


và
1


.
* Giải: Theo định lý Viet ta có:







=

=+
3
4
.
3

7

với 1 và 1.
Ta có:
)1)(1(

1

1

22

+
=

+

=
21
23
1)(
2)()(
2
=
++
++
21
6
1)(1
.

1
=
++
=







Vậy
1


và
1


là nghiệm của phơng trình
0
21
6
X
21
23
X
2
=+
Hay phơng trình: 21X

2
- 23X + 6 = 0
* Chú ý: Có thể giải bài toán trên bằng cách lập phơng trình tích rồi đa về
phơng trình bậc 2 cần tìm.
0
1

X
1

X
=
















2. Cho a là số thực sao cho a + 1 0. Lập phơng trình bậc 2 có 2 nghiệm
x

1
; x
2
thoả mãn các hệ thức:
4x
1
x
2
+ 4 = 5 (x
1
+ x
2
) (1)
(x
1
- 1) (x
2
- 1) =
1a
1
+
(2)
Giải: * Để lập đợc 1 phơng trình bậc 2 có 2 nghiệm x
1
; x
2
ta phải tìm đợc
x
1
+ x

2
và x
1
.x
2
theo a.
Ta có: (2) x
1
.x
2
- (x
1
+ x
2
) + 1 =
1a
1
+
x
1
.x
2
- (x
1
+ x
2
) =
1a
a
+

(3)
(1) 4x
1
x
2
- 5 (x
1
+ x
2
) = - 4 (4)
Từ (3) và (4)







+

=
+
=+
1a
a4
x.x
1a
4
xx

21
21
x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình:
0
1a
a4
x
1a
4
x
2
=
+

+






+

hay (a + 1)x
2
- 4x + 4 - a = 0.

3. Viết phơng trình bậc 2 có nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn:



+=
=
5k)2x)(2x(
2)x.x(3xx2
21
2121
)2(
)1(
* Ta cần tìm đợc x
1
+ x
2
và x
1
.x
2
theo k.
Đặt x
1
+ x
2
= S ; x

1
.x
2
= P, ta có:



+=
=
1kS2P
2S3P2




+=
=
1k3P
k2S
Phơng trình cần tìm là x
2
+ 2kx - 3k + 1 = 0 (
ĐK: S
2
- 4P 0 k
2
+ 4k - 1 0)
* Qua các ví dụ trên ta đã vận dụng định lý Viet đảo để lập 1 phơng trình
bậc 2 biết 2 nghiệm cho trớc hoặc hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm. Song cần chú ý
điều kiện S

2
- 4P 0.
vi. xét dấu các nghiệm số:
1. Phơng pháp:
Dùng định lý Viet ta có thể xét dấu các nghiệm phơng trình ax
2
+ bx + c =
0 (a 0) dựa trên kết quả:
* Nếu
0
a
c
p
<=
phơng trình có 2 nghiệm trái dấu x
1
< 0 < x
2
* Nếu



>

0p
0
phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu.
* Nếu

>
>

0s
0p
0
phơng trình có 2 nghiệm dơng 0 < x
1
x
2
* Nếu





<
>

0s
0p
0
phơng trình có 2 nghiệm âm: x
1
x
2
< 0

2. Các ví dụ:
a. Cho phơng trình: mx
2
- 2(3 - m)x + m - 4 = 0 (1)
Xác định m để phơng trình:
- Có đúng 1 nghiệm âm
- Có 2 nghiệm đối nhau.
Giải: Xét 2 trờng hợp:
* TH
1
: Với m =0 ta có: (1) - 6x - 4 = 0
3
2
x

=
là nghiệm âm duy
nhất của phơng trình.
* TH
2
: Với m 0 khi đó để (1) có đúng 1 nghiệm âm cần điều kiện là:



<=
<
0xx
x0x
21
21

<=
<<
=<
0xx
x0x
x0x
21
21
21








<

=
<
<=
0
a2

b
và0
0p
0vàS0f
)0(









=
<<
=
2
9
m
4m0
4m
Vậy m (0; 4] hoặc m =
2
9
thì phơng trình có đúng 1 nghiệm âm.
b. Cho phơng trình: 2x
2
- (m - 1)x + m
2

- 4m + 3 = 0 (1)
* Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm.
* Xác định dấu của các nghiệm x
1
, x
2
(x
1
x
2
) với các giá trị tìm đợc của m.
Giải: * Vì (1) là phơng trình bậc 2 ẩn x tham số m có nghiệm số
0 (m - 1)
2
- 2 (m
2
- 4m + 3) 0 - m
2
+ 6m - 5 0
m
2
- 6m + 5 0 (m - 1) (m - 5) 0 1 m 5.
* Theo hệ thức Viet có: P = x
1
x
2
=
2
3m4m
2

+
S = x
1
+ x
2
= m - 1
- Xét dấu của P = x
1
.x
2
.
Ta có: m
2
- 4m + 3 = 0 m = 1 hoặc m = 3
m 1 3
x
1
x
2
+ 0 - 0 +
Nếu m = 1 thì p = 0 và s = 0 x
1
= x
2
= 0
Nếu m = 3 thì p = 0 ; s > 0 0 = x
1
< x
2
Nếu 3 < m 5 thì p > 0 ; s > 0 0 < x

1
< x
2
Nếu 1 < m < 3 thì p < 0 x
1
< 0 < x
2
.
c. Tìm giá trị của m để phơng trình: (m - 1)x
2
+ 2x + m = 0 (1)
có ít nhất 1 nghiệm không âm.
* Giải: * Nếu m = 1 x =
2
1
< 0 vậy m = 1 (loại)
* Nếu m 1 thì (1) là 1 phơng trình bậc 2.
= - m
2
+ m + 1 có nghiệm 0
m
2
- m - 1 0
2
51

m
2
51
+

* Xét S =
m1
2

có 2 trờng hợp:
- Nếu m < 1 S > 0 (1) có ít nhất 1 nghiệm dơng
- Nếu m > 1 S < 0 ta cha kết luận mà phải xét:
1m
m
P

=
vì m > 1
P > 0 kết hợp với S < 0 (1) có 2 nghiệm âm nên loại m > 1.
* Kết luận: Giá trị của m cần tìm là:
2
51

m < 1.
* Cách giải 2:
Xét
1m
m
P

=
- (1) có nghiệm x = 0 P = 0 m = 0 (1)
- (1) có 2 nghiệm trái dấu P < 0 0 < m < 1 (2)
- (1) có 2 nghiệm dơng

>
>

0A
0P
0'










<



>
<
+


1m

1m
0m
2
51
m
2
51

2
51

m < 0 (3)
Từ (1), (2), (3)
2
51

m < 1
ứng dụng khác
I. Ph ơng trình đ ờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) với Parabol (P):
y = mx
2
(m 0):
1. Dạng 1:
Lập phơng trình đờng thẳng y = ax + b (a 0) đi qua 2 điểm A (x
A
; y
A
); B
(x
B

; y
B
) thuộc Parabol y = mx
2
(m 0)
* Cơ sở lý luận: Do đờng thẳng và Parabol có 2 giao điểm nên hoành độ
giao điểm là nghiệm của phơng trình: mx
2
= ax + b mx
2
- ax - b = 0.
Từ đó theo Viet ta có:








=
=+
m
b
x.x
m
a
xx
BA
BA

(*)
Từ (*) tìm a và b PT (d)
2. Dạng 2:
Lập phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với Parabol (P) tại điểm M (x
M
; y
M
)
* Cơ sở lý luận: Do (d) và (P) có duy nhất 1 giao điểm nên phơng trình:
mx
2
- ax - b = 0 có nghiệm kép: x
1
= x
2
. Vận dụng hệ thức Viet, ta có:






=
=+
m
b
xx
axx
21
21

a và b
phơng trình tiếp tuyến.
3. Ví dụ:
a. Cho parabol (P) có phơng trình: (P): y = x
2
.
Gọi A và B là 2 điểm (P) có hoành độ lần lợt là x
A
= - 1 ; x
B
= 2. Lập ph-
ơng trình dờng thẳng đi và A và B.
* Giải: (Ta có thể ứng dụng hệ thức Viet).
* Giả sử phơng trình đờng thẳng (AB): y = ax + b
Phơng trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) là: x
2
= ax + b
x
2
- ax - b =0 (*).
Ta có: x
A
= - 1 ; x
B
= 2 là nghiệm của phơng trình (*).
Theo Viet ta có:



=

=+
bxx
axx
BA
BA




=
=
2b
1a
Vậy phơng trình đờng thẳng (AB) là: y = x + 2
b. Cho (P):
4
x
y
2
=
; A (P) có hoành độ x
A
= 2 lập phơng trình đờng
thẳng tiếp xúc với (P) tại A.
Giải:
Giả sử phơng trình tiếp tuyến tại A là (d): y = ax + b. Phơng trình hoành
độ giao điểm của (d) và (P) là:
4
x
2

= ax + b x
2
- 4ax - 4b = 0 (*)
Ta có: x
A
= 2 là nghiệm kép của (*) (x
1
= x
2
= 2)
Theo Viet ta có:



=
=+
b4xx
a4xx
21
21




=
=
1b
1a
Vậy phơng trình tiếp tuyến (d) là: y = x - 1
ii. bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất:

1. Từ hệ thức S = x
1
+ x
2
; P = x
1
.x
2
.
a. Nếu S = x
1
+ x
2
không đổi còn P thay đổi.
Do: S
2
- 4P 0 P
4
S
2
Nên P
max
=
4
S
2
x
1
= x
2

=
2
S
a2
b
=

(Vì PT: x
2
- Sx + P = 0 có nghiệm kép)
* Vậy: Nếu 2 số có tổng không đổi tích lớn nhất 2 số bằng nhau.
b. Giả sử: x
1
> 0 ; x
2
> 0 và x
1
.x
2
= P (không đổi) còn S = x
1
+ x
2
(thay đổi)
vì S
2
- 4P 0 (S -
P2
) (S +
P2

) 0
S -
P2
0 S
P2
> Min S =
P2
x
1
= x
2
=
P
* Vậy: Nếu 2 số dơng có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi chúng bằng
nhau.
2. Tìm cực trị của biến số trong hệ điều kiện ràng buộc.
a. Ví dụ 1: Cho a, b, c là 3 số thực thoả mãn điều kiện:







=++
=
>
abccba
a
c

b
a
0a
Tìm GTNN của a (Xác định b, c khi a min)
* Giải: Từ giả thiết bài toán ta có:



==+
=
aaaabccb
abc
3
2
Theo Viet: b, c là nghiệm của phơng trình bậc 2: x
2
- (a
3
- a)x + a
2
= 0
= (a
3
- a)
2
- 4a
2
0 a
2
[(a

2
- 1)
2
- 4] 0
(a
2
- 3) (a
2
+ 1) 0 a
2
- 3 0 a
2
3
a
3
(a > 0) min a =
3
tại b = c =
3

Vậy: a
min
=
3
tại b = c =
3
* ở bài toán trên do vai trò của a, b, c nh nhau nên có thể yêu cầu tìm min
của1 trong các biến a, b, c.
Mặt khác, trong bài toán trên ta đã dựa vào điều kiện tồn tại của hệ thức
Viet là S

2
- 4P 0 (Điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc 2) từ đó suy ra
GTNN.
iii. bài toán chứng minh bất đẳng thức:
* Liên quan tới nghiệm của 1 phơng trình bậc 2 ta có thể sử dụng hệ thức
Viet để chứng minh bất đẳng thức có chứa các nghiệm của 1 phơng trình bậc 2
đã cho. Hoặc chứng minh các bất đẳng thức có hệ điều kiện ràng buộc cho trớc.
1. Ví dụ 1: Cho phơng trình: mx
2
- (m + 2)x + 1 = 0 (1) (m là tham số).
a. Chứng minh rằng (1) có nghiệm với mọi m.
b. Giả sử (1) có 2 nghiệm là a và b.
Chứng minh rằng: (ma - 1)
2
+ (mb + 1)
2

2
)2m(
2
+
Giải:
a. Với m = 0 thì (1) trở thành - 2x + 1 = 0 x =
2
1
(Phơng trình có nghiệm với m = 0).
Với m 0: (1) là 1 phơng trình bậc 2 có = (m + 2)
2
- 4m = m
2

+ 4 > 0
m (1) có nghiệm với m 0
* Vậy (1) có nghiệm với m.
b. Muốn phơng trình đã cho (1) có 2 nghiệm a, b thì m 0.
Do a, b là các nghiệm của (1) nên theo Viet ta có:
a + b =
m
2m
+
Đặt: X = am - 1; Y = bm + 1 X + Y = m(a + b)
X + Y = m(m + 2) : m = m + 2
Chứng minh đợc: 2 (X
2
+ Y
2
) (X + Y)
2
với mọi X, Y
X
2
+ Y
2
(X + Y)
2
/ 2 X, Y
Thay: X + Y = m + 2 ta có: X
2 +
Y
2
(m + 2)

2
/2
Hay (am - 1)
2
+ (bm - 1)
2
(m + 2)
2
/2
2. Ví dụ 2: Cho x, y, z thoả mãn



=++
=++
8xzyzxy
5zyx
(*)
Chứng minh rằng: 1 x, y, z
3
7
Giải: Từ hệ (*) ta có:



=+=
=+
)x5(x8)zy(x8yz
x5zy

+=
=+
85
5
2
xxyz
xzy
Theo Viet: y. z là nghiệm của phơng trình: t
2
- (5 - x)t + (x
2
- 5x + 8) = 0
Vì phơng trình trên có nghiệm 0
(5 - x)
2
- 4 (x
2
- 5x + 8) 0 - 3x
2
+ 10x - 7 0
3x
2
- 10x + 7 0 1 x
3
7
Bằng cách chứng minh tơng tự ta có: 1 y, z
3

7
* ở bài toán trên ta đã dựa vào điều kiện tồn tại 2 số y và z chính là điều
kiện phơng trình (*) có nghiệm số là 0 hay S
2
- 4P 0. Từ đó suy ra các bất
đẳng thức cần chứng minh.
Các biện pháp thực hiện
1. Xây dựng hệ thức Vi-ét
- Sau khi học xong công thức nghiệm của PT bậc 2 tổng quát GV hớng dẫn
HS tìm ra mối quan hệ giữa các nghiệm số với các hệ số thông qua biểu thức:
x
1
+ x
2
= ?; x
1
. x
2
= ? Từ đây, gợi ý HS tìm tòi thêm các mối liên hệ khác để
khẳng định giá trị của 2 hệ thức trên.
2. Yêu cầu HS lập mệnh đề đảo của định lý và gợi ý cách chứng minh MĐ:
Nếu có x
1
+ x
2
=
a
b
và x
1

. x
2
=
a
c
thì x
1
; x
2
là nghiệm của PT bậc 2:
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0).
Hớng dẫn: f(x) = ax
2
+ bx + c = a (x2 +
a
b
x +
a
c
) = = a (x x1)(x x2)
Vì a 0 nên f(x) = 0 x = x1 hoặc x = x2 kết luận
3. Vận dụng định lý đảo của định lý Vi-ét vào bài toán tìm 2 số biết tổng và
tích của chúng: a + b = S; a . b = P (S
2
4P 0) a, b là nghiệm của PT
bậc 2: x
2
sx + p = 0

Lu ý: Trớc hết xét s
2
4p để khẳng định có tồn tại a và b hay không tồn tại a và
b. Tuy nhiên nếu có 2 số x
1
; x
2
là nghiệm của hệ PT: x
1
+ x
2
= s và x
1
x
2
= p
thì khẳng định đợc ngay x
1
và x
2
là nghiệm của PT: t
2
st + p = 0
4. Tiến hành thờng xuyên việc nhẩm nghiệm 1phơng trình bậc2 trong các
trờng hợp: a+b+c= 0; a-b+c=0
Từ đó hình thành thói quen quan sát các hệ số của 1pt bậc2 tiến hành
nhẩm nghiệm nếu có; Xây dựng cho học sinh ý thức giải 1pt bậc2 đủ bằng cách
Nhẩm nghiệm trớc khi sử dụng công thức tổng quát; Tạo thói quen sử dụng ht
Vi-ét để kiểm tra nghiệm pt bậc 2
5. Xây dựng hệ thống bài tập có ứng dụng Vi-ét ngay sau khi học xong bài

Hệ thức Vi-ét và ứng dụng .
Gồm các bài toán:
- Không phải phơng trình bậc 2 mà tính tổng, tích các nghiệm; tính giá trị
của biểu thức đối xứng giữa 2 nghiệm. Không đối xứng giữa 2 nghiệm
- Cho trớc 1 nghiệm số của phơng trình bậc 2 Tìm nghiệm còn lại và tham
số.
- Tìm một số biết tổng và tích của chúng
- Lập một phơng trình bậc 2 biết 2 nghiệm cho trớc; hoặc hai nghiệm có
liên quan tới 2 nghiệm của 1 phơng trình đã cho.
- Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của 1 phơng trình bậc 2 không phụ
thuộc tham số.
- Tìm điều kiện của tham số (tìm tham số) sao cho các nghiệm của một ph-
ơng trình bậc 2 đã cho thoả mãn 1 hệ thức (1 điều kiện cho trớc).
- Tìm điều kiện của tham số để các nghiệm của phơng trình bậc 2 cho trớc
cùng dấu, trái dấu, dơng, âm
6. Đa hệ thức Viet vào giải 1 số phơng trình, hệ phơng trình Không mẫu
mực nh phơng trình, hệ phơng trình vô tỷ.
Ví dụ: Giải phơng trình:
6)
1
5
).(
1
5
( =
+

+
+

x
x
x
x
x
x
(1)
1
7
+=+
xy
x
y
y
x
Giải hệ phơng trình: (2)

78=+ xyyxyx
Từ đó ý thức cho HS thấy đợc có những phơng trình, hệ phơng trình có thể
chuyển về vận dụng các ứng dụng của Định lý Viet. Nh ở (1) đa về tìm A vàB
sao cho: A.B = 6
A + B = 5
ở (2) chỉ ra x > 0 ; y > 0 là điều kiện hệ có nghiệm rồi chuyển hệ về dạng
(x + y) +
7)( = xy
(x + y)(-
78) =xy
7. Đề xuất cho HS những bài toán tìm cực trị của 1 biểu thức đại số có ứng
dụng hệ thức Viet nh:
- Khai thác: S

2
4p 0 trong các trờng hợp S thay đổi P không thay đổi, S hông
đổi; P thay đổi.
Từ đó liên hệ với bất đẳng thức Côsi và ứng dụng của bất đẳng thức này.
- Đa hệ thức Viet vào bài toán tìm cực trị của các biến trong hệ điều kiện ràng
buộc nh:
x + y + z = 5
Tìm cực trị của x, y, z biết rằng:
xy + yz + xz = 8
8. Cho HS làm quen với việc sử dụng hệ thức Viet vào bài toán chứng minh
bất đẳng thức:
Ví dụ: Cho phơng trình: x
2
2m
2
x + 2m
2
2 = 0 (| m| >1)
a. Chứng minh rằng: Phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b. Giả sử: x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình đã cho và x
1
> x
2
, hãy chứng
minh:
1

1
1
1
2
2
2
2
1
2
1
1
++
+
<
++
+
xx
x
xx
x

9. ứng dụng hệ thức Vi ét trong mặt phẳng toạ độ và trong hình học
a. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d) : 2x- y = a
2
và parabol
(p): y= a x
2
(a > 0). Tìm a để (d) cắt (p) tại 2 điểm phân biệt A và B.
Chứng minh rằng: Khi đó A và B nằm bên phải trục tung .
* ở bài toán trên cần giúp cho học sinh chỉ ra pt hoành độ giao điểm :

a x
2
= 2x a
2


a x
2
-2x + a
2
= 0 (*) luôn có 2nghiệm phân biệt
= 1 a
3
> 0



a<1 Vậy 0 < a < 1 là điều kiện cần tìm.
Từ đó gọi x
1
, x
2
là nghiệm của (*) vận dụng hệ thức Vi-ét: