ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG

ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên đề:
ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG

A. GIỚI THIỆU
Định lí Lagrange được phát biểu như sau: Cho hàm số F(x) liên tục trên [a,b] và có đạo
hàm trong khoảng (a,b) thì luôn tồn tại sao cho:
Chúng ta sẽ đi tìm hiểu 3 bài toán sử dụng định lí Lagrange trong chương trình THPT như
sau:
I. Sử dụng định lí Lagrange chứng minh bất đẳng thức.
II. Sử dụng định lí Lagrange chứng minh phương trình có nghiệm.
III. Sử dụng định lí Lagrange giải phương trình.
B. NỘI DUNG
I. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.
* Phương pháp
Từ định lí Lagrange , nếu thì:

Vậy
Từ định lí Lagrange để áp dụng được kết quả trên, điều quan trọng nhất là xác định
được hàm số F(x).
*Ví dụ minh họa
VD1: CMR nếu th×:
Giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
Xét hàm số: liên tục trên , và có đạo hàm trong khoảng
. Theo định lí Lagrange luôn tồn tại sao cho:

Ta có:
(đpcm).
NX: Điều quan trọng hơn cả trong bài toán này là chúng ta nhận ra được hàm số F(x) qua
việc biến đổi tương đương BPT đã cho. Ta xét VD 2 …

VD 2: Cho . Chứng minh:
Giải
BĐT đã cho tương đương với:
Đặt với
Ta có:
AD định lí Lagrange đối với hàm số: trên , thì tồn tại
sao cho:
. Từ (1) suy ra:
Suy ra: (đpcm).
NX: Bài này khó hơn bài trên ở chỗ phải tinh ý lấy logaNepe hai vế mới nhận ra đựơc hàm
số f (x).
VD 3: Cho a<b<c. CMR:
Giải
Xét hàm số:
Theo định lí Lagrange tồn tại sao cho:
Ta thấy:
Từ (1)

Do đó, từ . Suy ra:
II. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ
NGHIỆM.
*Phương pháp:
Từ định lí Lagrange, nếu F(b)-F(a)=0 thì tồn tại sao cho:
phương trình có nghiệm thuộc
Để áp dụng được định lí Lagrange phải nhận ra hàm số F (x) (thực ra nó là nguyên
hàm của hàm số f(x)).
Dạng bài toán này làm theo các bước sau:
Bước 1: Xác định hàm số F(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b), thoả
mãn:
a. F'(x)=f(x).

b. F(b)-F(a)=0.
Bước 2: Khi đó tồn tại sao cho:
phương trình f(x)= 0 có nghiệm
.
*Ví dụ minh hoạ:
VD1: CMR phương trình:
có nghiệm với mọi a,b,c.
Giải
Xét hàm số:
Dễ dàng nhận thấy:


Khi đó tồn tại sao cho:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng .

VD 2: Giả sử: . CMR phương trình:
có nghiệm thuộc khoảng (0, 1)
Giải
Xét hàm số: liên tục trên [0,1] và có đạo hàm trong khoảng
(0,1). Ta có:


Khi đó tồn tại sao cho:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm thụôc khoảng (0,1).
Từ VD2 ta có thể giải được bài toán sau:
VD3: Giả sử: . CMR phương trình:
có nghiệm thuộc khoảng (0,1).
Giải

Xét hàm số:
Nhận thấy, F(x) liên tục trên [0,1] và có đạo hàm trong khoảng (0,1).
Ta có:


Khi đó tồn tại sao cho:

V ì n ên ta c ó: .
V ậy ph ư ơng tr ình đ ã cho c ó nghi ệm thu ộc kho ảng (0,1).
III. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE GI ẢI PH Ư ƠNG TR ÌNH.
* Phương pháp:
Đ ể áp d ụng đ ịnh l í Lagrange vào việc giải phương trình ta thực hiện theo các
bước sau đây:
Bước 1: Gọi l à nghi ệm c ủa ph ư ơng tr ình.
Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng thích hợp , từ đó chỉ ra hàm
số liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b).
Khi đó theo định lí Lagrange tồn tại sao cho:
(*)
Bước 3: Giải (*), ta xác định được .
Bước 4: Thử lại
* Ví dụ minh họa:
VD 1: Giải phương trình: .
Giải
Gọi là nghiệm của phương trình đã cho. Ta được:
(1)
Xét hàm số: . Khi đó:
(1)
Vì F(t) liên tục trên [3,4] và có đạo hàm trong khoảng (3,4), do đó theo định lí
Lagrange tồn tại sao cho: