SKKN Định lí VIET và ứng dụng

Th viện SKKN của Quang Hiệu />A/ Đặt vấn đề.
I/ Cơ sở lí luận.
Nghị quyết TW II khoá VIII đã khẳng định: "Phải đổi mới giáo dục đào tạo , khắc
phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành thạo nếp t duy sáng tạo của ngời học.
Từng bớc áp dụng phơng pháp tiên tiến và phơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học".
Trong Luật giáo dục đã khẳng định" Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy
tính tích cực , tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm của từng
lớp học, môn học" . Nói cách khác là việc dạy học theo chơng trình mới nhằm mục tiêu
đào tạo con ngời mới thích ứng với sự phát triển nhanh mạnh từng ngày , từng giờ của
khoa học kĩ thuật. Nhận thức đợc tầm quan trọng của việc đổi mới phơng pháp giảng dạy
nói chung, giảng dạy bộ môn toán 9 nói riêng, bản thân đã đợc giảng dạy chơng trình
toán 9 cũ và đợc tiếp cận chơng trình toán 9 theo chơng trình cải cách nên tôi mạnh dạn
soạn và áp dụng dạy theo một hệ thống bài tập có tính hệ thống lôgíc giới hạn ở hệ thức
Vi-ét với phơng trình bậc hai một ẩn.
II/ Cơ sở thực tế.
Muốn đổi mới phơng pháp dạy học phù hợp với mục tiêu của chơng trình cải cách và
nội dung SGK khoa mới thì giáo viên trớc hết phải dạy cho học sinh những tri thức phơng
pháp để học sinh biết cách học, biết cách đọc tài liệu, biết cáh suy luận, biết cách tìm lại
những cái đã quên và phát hiện kiến thức mới. Bên cạnh đó đòi hỏi học sinh phải cố gắng
trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nghiên cứu kiến thức mới. Muốn dạy cho học sinh
nắm đợc những tri thức phơng pháp thì ngời giáo viên phải thờng xuyên suy nghĩ dạy
một vấn đề , một đơn vị kiến thức đặt ra trớc mắt theo cách nào, theo hớng nào , để học
sinh hiểu và vận dụng hiệu quả tốt hơn.
Trong chơng trình bộ môn toán 9 nhiều bài tập, đặc biệt là thi vào THPT xuất hiện
nhiều dạng bài toán liên quan đến hệ thức Vi-ét, nhng thời lợng chơng trình dành cho học
và vận dụng hệ thức Vi-ét là không nhiều. Vì vậy muốn học sinh đọc hiểu và có khả năng
vận dụng kiến thức nói chung hay hệ thức Vi-ét nói riêng vào giải các bài tập liên quan
phần không nhỏ phụ thuộc vào lòng say mê công việc, không ngừng suy nghĩ khai thác
các đơn vị kiến thức thành hệ thống các dạng bài tập để học sinh nhận diện ra phơng
pháp giải và rèn kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải dạng bài tập đó.
Chính vì nhận thấy tầm quan trọng của việc khai thác có hệ thống các đơn vị kiến

thức theo dạng bài tập cơ bản liên quan, tôi mạnh dạn đi sâu suy nghĩ khai thác và vận
dụng hệ thức Vi-ét trong giảng dạy theo hệ thống các nội dung sau:
+ áp dụng hệ thức Vi-ét vào tìm giá trị của tham số m thoả mãn điều kiện T cho trớc.
+ Hệ thức Vi-ét trong sự tơng giao hàm số y = ax
2
( a 0) và y = mx + n
+ Lập phơng trình bằng định lý Vi-ét đảo.
+ Giải hệ phơng trình hai ẩn bằng định lý Vi-ét đảo.
B/ Giải quyết vấn đề.
5
I- Lý thuyết cơ bản.
1- Định lí Vi-ét.
Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) (1) có hai nghiệm x
1
và x
2
thì:
1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a

+ =

ì =


Chứng minh:
Do x
1
và x
2
là hai nghiệm của pt (1) nên: a(x - x
1
).(x - x
2
) = ax
2
+ bx + c với x
ax
2
- ax
1
x - ax
2
x + ax
1
x
2
= ax
2

+ bx + c ax
2
- (ax
1
+ ax
2
)x + ax
1
x
2
= ax
2
+ bx + c

( )
1 2
1 2
ax ax b
ax x c

+ =



=



1 2
1 2

b
x x
a
c
x x
a

+ =





=


2- Định lí Vi- ét đảo.
Nếu hai số có tổng
S
và tích
P
thì hai số đó là hai nghiệm của phơng trình:
x
2
-Sx + P = 0 .
Điều kiện tồn tại hai số đó là: S
2
- 4P > 0.
II- Các dạng bài tập cơ bản.
Dạng 1: áp dụng hệ thức Vi-ét vào tìm giá trị của tham số m để phơng trình thoả

mãn điều kiện T cho trớc.
* Bài toán cơ bản:
Tìm giá trị của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) (I)
Có nghiệm thảo mãn điều kiện T cho trớc.
* Phơng pháp:
Để phơng trình (I) có nghiệm ta phải có: 0 (*)
Khi đó theo hệ thức vi-ét ta có:
1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a

+ =




=



Để tìm giá trị của tham số m ta giải hệ phơng trình:

1 2

1 2
b
x x
a
c
x x
a
Điều kiện T

+ =



ì =





so sánh với điều kiện (*) và kết luận bài toán.
Bài toán 1: Cho phơng trình x
2
- 2m x + 2m -1 = 0 (1)
Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
,x
2
thảo mãn x
1
= 2 x

2
.
Bài giải:
Để phơng trình (2) có nghiệm ta phải có:

( ) ( ) ( )
= = + =
2 2
2
' m 2m 1 m 2m 1 m 1 0 với m

Khi đó phơng trình có hai nghiệm x
1
,x
2
theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2
1 2
x x 2m (*)
x x 2m 1 (**)
+ =


ì =

Kết hợp với điều kiện x
1
= 2 x
2

Thay vào (*) ta có:
2 2 2 1
2m 4m
2x x 2m x ;x
3 3
+ = = =
Thay vào (**) ta có:
2
2m 4m
. 2m 1 8m 18m 9 0
3 3
= + =

Giải phơng trình ẩn m ta đợc :
1 2
3 3
m ; m
2 4
= =
(thoả mãn )
Vậy
1 2
3 3
m ; m
2 4
= =
thì phơng trình có nghiệm x
1
,x

2
thảo mãn x
1
= 2 x
2
.
Bài toán 2: Cho phơng trình x
2
-mx + m + 1 = 0 (2)
Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
,x
2
thảo mãn
x
1
x
2
+ 2(x
1
+ x
2
) - 19 = 0.
Bài giải:
Để phơng trình (2) có nghiệm ta phải có: = m
2
- 4m - 4 0 (*)
m 2 2 2
m 2 2 2

+





(**)
Khi đó phơng trình có hai nghiệm x
1
,x
2
theo hệ thức vi-ét ta có:
1 2
1 2
x x m
x x m 1
+ =


ì = +


Từ x
1
x
2
+ 2(x
1
+ x
2

) - 19 = 0 m + 1 + 2m - 19 = 0
3m = 18 m = 6 ( Thoả mãn (**))
Vậy m = 6 là giá trị cần tìm.
*Lu ý: Trong quá trình tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm nếu điều kiện là một
phơng trình hay bất phơng trình mà ta giải nó gặp khó khăn , chẳng hạn nh bài tập trên
điều kiện là m
2
- 4m - 4 0 thì ta có thể không giải phơng trình hay bất phơng trình đó.
Sau khi tìm đợc m thì thay vào xem có thoả mãn không.
Ví dụ ở bài tập trên tìm đợc x = 6 ta thay vào (*) ta có: = 6
2
- 4.6 - 4 = 8 > 0 , vậy
m = 6 thoả mãn (*)

Bài toán 3: Cho phơng trình x
2
- 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (3 )
Tìm các giái trị của m để phơng trình có nghiệm x
1
,x
2
thảo mãn :
A = 10 x
1
x
2
+ x
1
2
+ x

2
2
đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Bài giải:
Phơng trình (3 ) có nghiệm ' = m
2
- 9 0
m 3
m 3






(*)
Khi đó phơng trình có hai nghiệm x
1
,x
2
theo hệ thức Vi-ét ta có:

( )
1 2
1 2
x x 2 m 1 2m 2
x x 2m 10

+ = + = +

ì = +


Từ A = 10 x
1
x
2
+ x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
+ 8 x
1
x
2
= (2m + 2 )
2
+ 8(2m +10)
= 4m
2
+ 24m + 84 = ( 2m + 6)

2
+ 48 48
Min A = 48 khi 2m + 6 = 0 hay m = -3.( tmđk*)
Vậy m =-3 thì A đạt giá trị nhỏ nhất và MinA = 48.
Bài toán 4 : Gọi x
1
,x
2
là hai nghiệm của phơng trình:
2x
2
+ 2(m + 1) x + m
2
+ 4m + 3 = 0 (4 )
Tìm giá trị lớn nhất của M =
1 2 1 2
x x 2x 2x
Bài giải:
Phơng trình (4 ) có nghiệm ' = -m
2
- 6m - 5 0
2
m 6m 5 0 + +
( ) ( ) ( )
m 1 m 5 0 5 m 1 * + +

Khi đó phơng trình có hai nghiệm x
1
,x
2

theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2
2
1 2
x x m 1
m 4m 3
x x
2
+ =



+ +
ì =


Từ M =
1 2 1 2
x x 2x 2x
=
( )
1 2 1 2
x x 2 x x +
=
2
m 4m 3
2m 2
2
+ +

+ +

=
( )
2
2 2
m 8m 7 1 1
m 8m 7 m 8m 7
2 2 2
+ +
= + + = + +
vì với
5 m 1
thì
m
2
+ 8m + 7 < 0.
M =
( ) ( )
2 2
1 9 1 9
m 4 9 m 4
2 2 2 2

+ = +

Max M =
9
2
khi

( )
2
m 4 0+ =
hay m = -4 .( tmđk*)
Vậy m = - 4 thì M đạt giá trị lớn nhất và MaxM =
9
2
.
Bài toán 5 : Cho phơng trình x
2
- mx + m -1 = 0 (5 )
a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với m.
b/ Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
( )
1 2
2 2
1 2 1 2
2x x 3
P
x x 2 x x 1
+
=
+ + +
.
Bài giải:
a/ Có = m

2
- 4m + 4 = (m - 2)
2
0 với m. Vậy phơng trình (5) luôn có nghiệm
với m.
b/ Khi đó phơng trình có hai nghiệm x
1
,x
2
theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2
1 2
x + x = m
x x = m -1




Từ
( )
1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
2x x 3 2m 2 3 2m 1
P
x x 2 x x 1 m 2 m 2
+ + +
= = =
+ + + + +

2 2
m P 2P 2m 1 m P 2m 2P 1 0 + = + + + =
Để tồn tại P thì phải tồn tại m vậy phơng trình ẩn m trên phải có nghiệm hay:

( ) ( )
' 2
m
1
1 2P P 0 P 1 2P 1 0 P 1
2

= + +

Min P =
1
2

khi m=-2.( tm)
Max P = 1 khi m=1.( tm)
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 Giá trị nhỏ nhất của P bằng
1
2

.
* Nhận xét: Đối với những biểu thức chỉ chứa các nghiệm của phơng trình cho trớc
muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất ta làm theo trình tự sau:
+Trớc hết ta phải tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm .
+Biến đổi biểu thức xuất hiện tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm .
+Từ đó áp dụng hệ thức Vi -ét thay vào đợc biểu thức chỉ chứa tham số m. Ta tiến hành
tìm GTNN, GTLN của biểu thức với ẩn m.

Bài toán 6: Cho phơng trình x
2
- 2(m + 1) x + m -1 = 0 (6 )
a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m.
b/ Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Chứng minh rằng biểu thức:
( ) ( )
1 2 2 1
A x 1 x x 1 x= +
không phụ thuộc vào giá trị của m.
Bài giải:
a/ Có ' =
( ) ( )
2
2
2
1 7
m 1 m 1 m m 2 m 0
2 4


+ = + + = + + >
ữ


với m.