Một số công thức phần xác suất thống kê pptx

A. Một số công thức phần xác suất
I. X ác suất của biến cố:
*
n(A)
m(A)
P(A)
=

P(B)+P(C) nếu B và C là xung khắc
* A=B+C P(A)=P(B+C) =
P(B)+P(C)-P(B.C) nếu B và C là không xung khắc
P(B).P(C) nếu B và C là độc lập
A=B.C P(A)=P(B.C) =
P(B).P(C/B)=P(C).P(B/C) nếu B và C là không độc lập

*
n21n21
A AA AAA
+++=
*
n21n21
A A.A AAA
=++

* P(A)+
( )
AP
=1
Công thức Bernoulli:
( ) ( )
xn

xx
nn
p1pCxP

=
, x = 0,1,2,,n
Công thức Xác suất đầy đủ:

=
=
n
1i
ii
))P(A/HP(HP(A)
Công thức Bayes:
n1,2, ,i
/A))P(HP(H
/A))P(HP(H
P(A)
/A))P(HP(H
/A)P(H
n
1i
ii
iiii
i
===

=

II. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất:
1. Các tham số đặc trng:


=
n
1i
i
p
i
x
nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc
E(X) =


+

xf(x)
nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục


=
n
i
ii
px
1
2
nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc
E(X

2
) =


+

)(
2
xfx
nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục
V(X)=
( )( )
2
XEXE

=
( )
( )( )
2
2
XEXE

( )
)(XVX
=

2. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng:
XA(P)
Phm Hng Huyn-TKT
X 0 1

P 1-p p
1

*
( ) ( )
1;01
1
=−==
−
xppxXP
x
x
* E(X)=p ; V(X)=p(1-p) ;
( )
)1( ppX
−=
σ
♦ X∼B(n,p) ⇒


( q=1-p )
*
( ) ( )
nxppCxXP
xn
xx
n
, ,1,01
=−==
−

* E(X)=np ; V(X)=npq ;
( )
npqX
=
σ

Nx
∈
0

* Mèt cña X∼B(n,p): x
0
=

pnpxpnp
+≤≤−+
0
1
♦ X∼P(λ) ⇒
*
( )
!
1)(
x
e
ppCxXP
x
xn
xx
n

λ
λ
−
−
≈−==
; x=0,1,2,…
( n kh¸ lín, p kh¸ nhá; λ=np )
* E(X)=V(X)=λ;
( )
λσ
=
X
* Mèt cña X∼P(λ):
λλ
≤≤−
0
1 x
; x
0
∈N
♦ X∼N(µ,σ
2
)
( )
2
2
2σ
μx
e
2

1
f(x)
−
−
∏
=⇒
( σ > 0 )
* E(X)=µ ; V(X)=σ
2
; σ(X)=σ
*






−
Φ−






−
Φ=<<
σ
µ
σ

µ
ab
bXaP
00
)(
* P(X<b)
5,0
0
+






−
Φ≈
σ
µ
b
* P(X>a)






−
Φ−≈
σ

µ
a
0
5,0
*
( )






Φ=<−
σ
ε
εµ
0
2XP
• Gi¸ trÞ tíi h¹n chuÈn:
* §Þnh nghÜa:
( )
α
α
=>
UUP
, U∼N(),1)
Phạm Hương Huyền-TKT
X
0 1 … x … n
P

000
−
n
n
qpC

111
−
n
n
qpC
…
xnxx
n
qpC
−
…
0
qpC
nn
n
2
* Chú ý:
645,1;96,1;
05,0025,01
===

UUUU

Giá trị tới hạn Student:
* Định nghĩa:
( )
( )


=>
n
TTP
, TT(n)
* Chú ý:

UTTT
nnn
=

)()()(
1
;
với
30

n
Giá trị tới hạn Khi bình ph ơng:
* Định nghĩa:
( )
( )

=>
n
P
22
,
2

2
(n)
Giá trị tới hạn Fisher- Snedecor:
* Định nghĩa:
( )
( )


=>
21
,nn
FFP
, F F(n
1
,n
2
)
* Chú ý:
( )
( )
12
21
,

1
,
1
nn
nn
F
F



=
III. Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc
X
Y

1
x
2
x
.
i
x
.
n
x
Tổng
1
y
P(x
1

,y
1
) P(x
2
,y
1
) . P(x
i
,y
1
) . P(x
n
,y
1
) P(Y=y
1
)
2
y
P(x
1
,y
2
) P(x
2
,y
2
) P(x
i
,y

2
) P(x
n
,y
2
) P(Y=y
2
)
. . . .
j
y
P(x
1
,y
j
) P(x
2
,y
j
) . P(x
i
,y
j
) P(x
n
,y
j
) P(Y=y
j
)

. . . . . . .
m
y
P(x
1
,y
m
) P(x
2
,y
m
) . P(x
i
,y
m
) P(x
n
,y
m
) P(Y=y
m
)
Tổng P(X=x
1
) P(X=x
2
) P(X=x
i
) . P(X=x
n

) 1

( ) ( )
jiji
yYxXPyxP
===
,,

( )
( ) ( ) ( )

==
====
n
i
jij
m
j
jii
yxPyYPyxPxXP
11
,;,

( )
( )( )
( )
( )
j
ji
ji

yYP
yYxXP
yYxXP
=
==
===
,
/

( ) ( )( )( )( )
( )
)()(,)(((,
1 1
YEXEyxPyxYEYXEXEYXCov
n
i
m
j
jijiXY
===

= =
à

( ) ( )
YX
XY
XY

à

=

( )
),(2)()(
22
YXabCovYVbXVabYaXV
++=+
III. Một số quy luật số lớn:
Bất đẳng thức Trêb sép:
Phm Hng Huyn-TKT
3
X bất kỳ; E(X), V(X) hữu hạn; >0

( )
( )
2
)(
1


XV
XEXP
<
( )
( )
2
)(

XV
XEXP

Định lý Trêb sép:
X
1
, X
2
,, X
n
độc lập từng đôi; E(X
i
), V(X
i
) hữu hạn i=1,2,,n; >0
( )
1
11
11
=








<

==


n
i
i
n
i
i
n
XE
n
X
n
PLim
Định lý Bernoulli:
f là tần suất xuất hiện biến cố A trong lợc đồ Bernoulli với 2 tham số n, p
> 0 , ta có
( )
1
=<


pfPLim
n
B. Một số công thức trong phần Thống kê toán
I. Một số công thức trên mẫu:

( )

=
==
=

=
===
k
i
ii
k
i
ii
k
i
ii
xn
n
sMs
n
n
s
xxMsxn
n
xxn
n
x
1
22*
2

2
1
22
1
)(
1
;
1
;
1
;
1
à

* Tần suất mẫu f là hình ảnh của tham số p trong tổng thể ở trên mẫu.
* Tổng thể : X
( )
2
,
à
N

X

n
N
2
,

à

( ) ( )
n
XVXE
2
,

à
==
* Tổng thể XA(p) f






n
pq
pN ,

( ) ( )
n

pq
fVpfE
==
,

( khi n đủ lớn).

II. Một số công thức về ớc l ợng:
1. ớc lợng giá trị tham số
à
trong quy luật
( )
2
,
à
N

Công
thức
Trờng hợp đã biết
2

(ít gặp)
Trờng hợp cha biết
2

(thờng gặp)
n

30 n>30

KTC
đối
xứng
22


à

U
n
xU
n
x
+<<
)1(
2
)1(
2

+<<
nn
T
n
s
xT
n
s
x

à

22

à
U
n
s
xU
n
s
x
+<<
Phm Hng Huyn-TKT
4
KTC -
ớc l-
ợng
max
à


à
U
n
x
+<
<
à

( )
1

+
n
T
n
s
x

<
à


U
n
s
x
+
KTC -
ớc l-
ợng
min
à


à
U
n
x
>
>

à

( )
1


n
T
n
s
x

>
à


U
n
s
x

Công
thức
xác
định
kích thớc
mẫu mới
(n
*
) sao

cho: Giữ
nguyên độ
tin cậy
(1-

) và
muốn độ
dài
khoảng tin
cậy đối
xứng I


I
0

2
2/
2
0
2
*
4


U
I
n

2)1(

2/
2
0
2
*
)(
4


n
T
I
s
n

2
2/
2
0
2
*
4

U
I
s
n

Ch ú ý :
2

I
=

2. ớc lợng giá trị tham số p trong quy luật A(p)

KTC đối xứng

22
)1()1(

U
n
ff
fpU
n
ff
f

+<<


KTC ớc lợng
max
p


U
n
ff
fp

)1(

+<
KTC ớc lợng
min
p


U
n
ff
fp
)1(

>
Công thức xác định kích thớc
mẫu mới (n
*
) sao cho: Giữ
nguyên độ tin cậy (1-) và
muốn độ dài khoảng tin cậy
đối xứng I

I
0

( )
2
2/
2

0
*
14

U
I
ff
n



Ch ú ý :
2
I
=

Chú ý:
Nếu P=
N
M
thì có thể ớc lợng M qua P và N (quan hệ M và P là thuận chiều), có thể ớc lợng
N qua P là M (quan hệ N và P là ngợc chiều).
3. ớc lợng giá trị tham số
2

trong quy luật
( )
2
,N
Công thức Trờng hợp đã biết

à
(ít gặp)
Trờng hợp cha biết
à
(thờng gặp)
KTC hai phía
( )
nn
snsn
2
2
1
2*
2
)(2
2/
2*





<<
( )
12
2
1
2
2
)1(2

2/
2
)1()1(




<<

nn
snsn




Phm Hng Huyn-TKT
5
KTC ớc lợng
max
2


( )
n
ns
2
1
2*
2

<
( )
12
1
2
2
)1(



<
n
sn



KTC ớc lợng
min
2


( )
n
ns
2
2*
2

>
( )
12
2
2
)1(


>
n
sn



III. Một số công thức về kiểm định giả thuyết thống kê
Kiểm định về tham số của quy luật phân phối gốc
1. Bài toán kiểm định về tham số
à
trong quy luật
( )
2
,
à
N
:
a. Bài toán so sánh
à

với giá trị thực cho trớc
0
à
Trờng hợp
2

đã biết (ít gặp)
Cặp giả thuyết cần kiểm
định
Miền bác bỏ của giả thuyết H
0
H
0
:
0
àà
=

H
1
:
0
àà
>


( )

>

==


à
UU
nx
UW ;
0
H
0
:
0
àà
=

H
1
:
0
àà
<

( )










<

==


à
UU
nx
UW ;
0
H
0
:
0
àà
=

H
1
:
0
àà



( )










>

==
2/
0
;


à
UU
nx

UW
Trờng hợp
2

cha biết (thờng gặp)
Cặp giả thuyết
cần
kiểm định
Miền bác bỏ của giả thuyết H
0
Trờng hợp n

30 Trờng hợp n>30
H
0
:
0
àà
=
H
1
:
0
àà
>

( )
( )

>

==

1
0
;
n
TT
s
nx
TW

à

( )

>

==

à
UU
s
nx
UW ;
0
H
0
:
0
àà
=

H
1
:
0
àà
<

( )
( )

<

==

1
0
;
n
TT
s
nx
TW

à
( )

<

==

à
UU
s
nx
UW ;
0
H
0
:
0
àà
=

H
1
:
0
àà


( )

( )










>

==

1
2/
0
;
n
TT
s
nx
TW

à
( )

>

==
2/
0
;

à
UU
s
nx
UW
b. Bài toán so sánh hai tham số
1
à
với
2
à
của 2 quy luật phân phối chuẩn
Trờng hợp
2
2
2

1
,

đã biết (ít gặp)
Cặp giả thuyết cần kiểm
định
Miền bác bỏ của giả thuyết H
0
Phm Hng Huyn-TKT
6
H
0
:
21
àà
=

H
1
:
21
àà
>

>
+

==


UU
nn
xx
UW ;
2
2
2
1
2
1
21
H
0
:
21

àà
=

H
1
:
21
àà
<
















<
+

==

UU
nn
xx
UW ;
2
2
2
1
2
1
21
H
0
:
21
àà
=

H
1
:
21
àà

>
+

==
2/
2
2
2
1
2
1
21
;


UU
nn
xx
UW

Trờng hợp
2
2
2
1
,

cha biết; n
1

30

, n
2

30

(thờng gặp)
Cặp giả thuyết cần kiểm
định
Miền bác bỏ của giả thuyết H
0
H
0
:
21
àà
=

H

1
:
21
àà
>
















>
+

==

UU
n
s
n

s
xx
UW ;
2
2
2
1
2
1
21
H
0
:
21
àà
=

H
1
:
21
àà
<

<
+

==

UU
n
s
n
s
xx
UW ;
2
2
2
1
2
1
21
H
0

:
21
àà
=

H
1
:
21
àà

















>
+

==
2/
2
2
2
1
2
1
21
;

UU
n
s
n
s
xx
UW
Trờng hợp
2
2
2
1
,

cha biết
Cặp giả thuyết cần kiểm
định
Miền bác bỏ của giả thuyết H
0

H
0
:
21
àà
=

H
1
:
21
àà
>

( )














>

+

==
k
TT
n
s
n
s
xx
TW

;
2
2
2
1
2
1
21
Phm Hng Huyn-TKT
7
H
0
:
21
àà
=

H

1
:
21
àà
<

( )














<
+

==
k
TT
n
s
n

s
xx
TW

;
2
2
2
1
2
1
21
H
0
:
21
àà
=

H
1
:
21
àà


( )

>
+

==
k
TT
n
s
n
s
xx
TW
2/
2
2
2
1
2
1

21
;


( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
2
2
21
2
1
1
2
1
2
1
2
2
21
//
/
;
111
11
nsns
ns
c
cncn
nn

k
+
=
+

=
2. Bài toán kiểm định về tham số
2

trong quy luật
( )
2
,
à
N
:
a. Bài toán so sánh
2

với giá trị thực cho trớc
2
0

Cặp giả thuyết cần kiểm
định
Miền bác bỏ của giả thuyết H
0
H
0
:

2
0
2

=

H
1
:
2
0
2

>


( )






>

==

)1(22
2
0

2
2
;
1
n
sn
W




H
0
:
2
0
2

=

H
1
:
2
0
2

<

( )






<

==


)1(2
1
2
2
0
2
2
;
1
n
sn
W





H

0
:
2
0
2

=

H
1
:
2
0
2



( )






<>

==

)1(2
2/1
2)1(2
2/
2
2
0
2
2
;
1
nn
hay
sn
W




b. Bài toán so sánh hai tham số
2
1

với
2
2

của 2 quy luật phân phối chuẩn
Cặp giả thuyết cần
kiểm định

Miền bác bỏ của giả thuyết H
0
H
0
:
2
2
2
1

=

H
1
:
2
2
2
1

>







>==

)1,1(
2
2
2
1
21
;
nn
FF
s
s
FW

H
0
:
2
2
2
1

=

H
1
:
2
2
2
1

<







<==


)1,1(
1
2
2
2
1
21
;
nn
FF
s
s
FW

Phm Hng Huyn-TKT
8
H
0

:
2
2
2
1

=

H
1
:
2
2
2
1









<>==



)1,1(
2/1

)1,1(
2/
2
2
2
1
2121
;
nnnn
FFhayFF
s
s
FW

3. Bài toán kiểm định về tham số p trong quy luật A(p):
a. Bài toán so sánh giá trị tham số p với giá trị thực p
0
cho trớc:
Cặp giả thuyết cần
kiểm định
Miền bác bỏ của giả thuyết H
0
H
0
:
0
pp
=

H

1
:
0
pp
>


( )
( )










>


==

UU
pp
npf
UW ;
1
00

0
H
0
:
0
pp =

H
1
:
0
pp <


( )
( )










<


==

UU
pp
npf
UW ;
1
00
0
H
0
:
0
pp =

H
1
:
0
pp

( )
( )

>


==
2/
00
0
;
1

UU
pp
npf
UW
b. Bài toán so sánh hai tham số
1
p
với
2
p
của 2 quy luật Không-Một

Trong đó:
21
2211
nn
fnfn
f

+
+
=

Kiểm địnhphi tham số
Kiểm định về dạng quy luật phân phối gốc:
* Cặp giả thuyết cần kiểm định:
H
0
: X Quy luật A
H
1
: X Quy luật A
(Xét quy luật A là rời rạc)
* Miền bác bỏ của giả thuyết H
0
:
Phm Hng Huyn-TKT
Cặp giả thuyết cần
kiểm định
Miền bác bỏ của giả thuyết H
0

H
0
:
21
pp =
H
1

:
21
pp >
( )














>








+

==

UU
nn
ff
ff
UW ;
11
1
21
21

H
0
:
21
pp =
H
1
:
21
pp <

( )

<








+

==

UU
nn
ff
ff
UW ;
11
1
21
21

H
0
:
21
pp =
H
1
:
21
pp

( )














>

+

==
2/
21
21
;
11
1

UU
nn
ff
ff
UW

9
( )
( )

>



==

=

122
1
2
2
;
rk
k
i
i
ii
n
nn
W



Trong đó:
Mẫu ngẫu nhiên 1 chiều về X là X (n); x

i
xuất hiện n
i
lần ;
nn
k
i
i
=

=
1
;
ii
npn
=

;
( )
ii
xXPp
==
; r là số tham số trong quy luật A cần ớc lợng, tham số của quy luật A đợc ớc lợng
bằng phơng pháp ớc lợng hợp lý tối đa;
Kiểm định về tính độc lập hay phụ thuộc của 2 dấu hiệu định tính:
* Cặp giả thuyết cần kiểm định:

H
0
: X , Y là độc lập

H
1
: X , Y là phụ thuộc
* Miền bác bỏ của giả thuyết H
0
:
( )( )( )










>








==

= =

1122
1 1
2
2
;1
kh
h
i
k
j
ji
ij
mn
n
nW


Trong đó:
Mẫu ngẫu nhiên 2 chiều về X,Y là X(n); giá trị (x
i
,y
j
)xuất hiện n
ij
lần;
nmnnnnmn
k
j
j
h

i
i
h
i
k
j
iji
k
j
ijj
h
i
ij
=====

=== ===
111 111
,,
.
Kiểm định Jarque-Bera về dạng phân phối chuẩn:
H
0
: X tuân theo quy luật phân phối chuẩn
+> H
1
: X không tuân theo quy luật phân phối chuẩn
MBB của H
0
:

>







+==
2(2)

2
4
2
3

JB;
24
3)(a
6
a
nJBW
( a
3
là hệ số bất đối xứng, a

4
là hệ số nhọn)

Phm Hng Huyn-TKT
10