Một số công thức phần xác suất

i. M t s công th c ph n xác su tộ ố ứ ầ ấ
I. Xác su t c a bi n cấ ủ ế ố :
*
n(A )
m (A)
P(A)
=

P(B)+P(C) n u ế B và C là xung kh cắ
* A=B+C ⇒ P(A)=P(B+C) =
P(B)+P(C)-P(B.C) n u ế B và C là không xung kh cắ
P(B).P(C) n u ế B và C là đ c l pộ ậ
• A=B.C ⇒ P(A)=P(B.C) =
P(B).P(C/B)=P(C).P(B/C) n u ế B và C là không đ c l pộ ậ

*
n21n21
A...AA...AAA
+++=
*
n21n21
A...A.A...AAA
=++

* P(A)+
( )
AP
=1
• Công th c ứ Bernoulli:
( ) ( )
xn

xx
nn
p1pCxP
−
−=
, x = 0,1,2,…,n
• Công th c ứ Xác su t đ y đấ ầ ủ:
∑
=
=
n
1i
ii
))P(A /HP(HP(A )
• Công th c ứ Bayes:
n1,2,..,i
/A ))P(HP(H
/A ))P(HP(H
P(A )
/A))P(HP(H
/A)P(H
n
1i
ii
iiii
i
=∀==
∑
=

II. Bi n ng u nhiên và quy lu t phân ph i xác su tế ẫ ậ ố ấ :
1. Các tham s đ c tr ngố ặ ư :

∑
=
n
1i
i
p
i
x
n u ế X là bi n ng u nhiên ế ẫ r i r cờ ạ
E(X) =

∫
+∞
∞−
xf(x)
n u ế X là bi n ng u nhiên ế ẫ liên t cụ

∑
=
n
i
ii
px
1
2
n u ế X là bi n ng u nhiên ế ẫ r i r cờ ạ
E(X

2
) =

∫
+∞
∞−
)(
2
xfx
n u ế X là bi n ng u nhiên liên t cế ẫ ụ
V(X)=
( )( )
2
XEXE
−
=
( )
( )( )
2
2
XEXE
−
( )
)(XVX
=
σ
Ph m H ng Huy n-TKTạ ươ ề
1
2. M t s quy lu t phân ph i xác su t thông d ngộ ố ậ ố ấ ụ :
♦X∼ A(P) ⇒

*
( ) ( )
1;01
1
=−==
−
xppxXP
x
x
* E(X)=p ; V(X)=p(1-p) ;
( )
)1( ppX
−=
σ
♦ X∼ B(n,p) ⇒


( q=1-p )
*
( ) ( )
nxppCxXP
xn
xx
n
,...,1,01
=−==
−
* E(X)=np ; V(X)=npq ;
( )

npqX
=
σ

Nx
∈
0

* M t c a Xố ủ ∼ B(n,p): x
0
=

pnpxpnp
+≤≤−+
0
1
♦ X∼ P(λ) ⇒
*
( )
!
1)(
x
e
ppCxXP
x
xn
xx
n
λ
λ

−
−
≈−==
; x=0,1,2,…
( n khá l n, p khá nh ; ớ ỏ λ=np )
* E(X)=V(X)=λ;
( )
λσ
=
X
* M t c a Xố ủ ∼ P(λ):
λλ
≤≤−
0
1 x
; x
0
∈N
♦ X∼ N(µ ,σ
2
)
( )
2
2
2σ
μx
e
2
1
f(x)

−
−
∏
=⇒
( σ > 0 )
* E(X)=µ ; V(X)=σ
2
; σ (X)=σ
*






−
Φ−






−
Φ=<<
σ
µ
σ
µ
ab

bXaP
00
)(
* P(X<b)
5,0
0
+






−
Φ≈
σ
µ
b
* P(X>a)






−
Φ−≈
σ
µ
a

0
5,0
*
( )






Φ=<−
σ
ε
εµ
0
2XP
Ph m H ng Huy n-TKTạ ươ ề
X 0 1
P 1-p p
X 0 1 … x … n
P

000
−
n
n
qpC

111
−

n
n
qpC
…
xnxx
n
qpC
−
…
0
qpC
nn
n
2
• Giá tr t i h n chu nị ớ ạ ẩ :
* Đ nh nghĩa: ị
( )
α
α
=>
UUP
, U∼ N(),1)
* Chú ý:
645,1;96,1;
05,0025,01
==−=
−
UUUU
αα

• Giá tr t i h n Studentị ớ ạ :
* Đ nh nghĩa: ị
( )
( )
α
α
=>
n
TTP
, T∼ T(n)
* Chú ý:
αααα
UTTT
nnn
≈−=
−
)()()(
1
;
v i ớ
30
≥
n
• Giá tr t i h n Khi bình ph ngị ớ ạ ươ :
* Đ nh nghĩa: ị
( )
( )
αχχ
α
=>

n
P
22
, χ
2
∼χ
2
(n)
• Giá tr t i h n Fisher- Snedecorị ớ ạ :
* Đ nh nghĩa: ị
( )
( )
α
α
=>
21
,nn
FFP
, F ∼ F(n
1
,n
2
)
* Chú ý:
( )
( )
12
21
,
1

,
1
nn
nn
F
F
α
α
−
=
III. Bi n ng u nhiên hai chi u r i r cế ẫ ề ờ ạ
X
Y

1
x
2
x
….
i
x
….
n
x
T ngổ
1
y
P(x
1
,y

1
) P(x
2
,y
1
) …. P(x
i
,y
1
) …. P(x
n
,y
1
) P(Y=y
1
)
2
y
P(x
1
,y
2
) P(x
2
,y
2
) ….. P(x
i
,y
2

) ….. P(x
n
,y
2
) P(Y=y
2
)
… …. …. … … … …. ….
j
y
P(x
1
,y
j
) P(x
2
,y
j
) …. P(x
i
,y
j
) …… P(x
n
,y
j
) P(Y=y
j
)
…. …. …. …. …. …. ….. ….

m
y
P(x
1
,y
m
) P(x
2
,y
m
) …. P(x
i
,y
m
) ….. P(x
n
,y
m
) P(Y=y
m
)
T ngổ P(X=x
1
) P(X=x
2
) … P(X=x
i
) …. P(X=x
n
) 1

•
( ) ( )
jiji
yYxXPyxP
===
,,
•
( )
( ) ( ) ( )
∑∑
==
====
n
i
jij
m
j
jii
yxPyYPyxPxXP
11
,;,
•
( )
( )( )
( )
( )
j
ji
ji
yYP

yYxXP
yYxXP
=
==
===
,
/
•
( ) ( )( )( )( )
( )
)()(,)(((,
1 1
YEXEyxPyxYEYXEXEYXCov
n
i
m
j
jijiXY
−=−−==
∑∑
= =
µ
•
( ) ( )
YX
XY
XY
σσ
µ
ρ

=
Ph m H ng Huy n-TKTạ ươ ề
3
•
( )
),(2)()(
22
YXabCovYVbXVabYaXV
++=+
III. M t s quy lu t s l nộ ố ậ ố ớ :
• B t đ ng th c Trêb sépấ ẳ ứ ư :
X b t kỳ; E(X), V(X) h u h n; ấ ữ ạ ε>0

( )
( )
2
)(
1
ε
ε
XV
XEXP
−≥<−

( )
( )
2
)(
ε
ε

XV
XEXP
≤≥−⇔
• Đ nh lý Trêb sépị ư :
X
1
, X
2
,…, X
n
đ c l p t ng đôi; E(Xộ ậ ừ
i
), V(X
i
) h u h n ữ ạ ∀i=1,2,…,n; ε>0
( )
1
11
11
=








<−
∑∑

==
∞→
ε
n
i
i
n
i
i
n
XE
n
X
n
PLim
• Đ nh lý Bernoulliị :
f là t n su t xu t hi n bi n c ầ ấ ấ ệ ế ố A trong l c đ Bernoulli v i 2 tham s n, pượ ồ ớ ố
ε > 0 , ta có
( )
1
=<−
∞→
ε
pfPLim
n
B. M t s công th c trong ph n Th ng kê toánộ ố ứ ầ ố
I. M t s công th c trên m uộ ố ứ ẫ :

( )
∑

∑∑
=
==
−=
−
=
−===
k
i
ii
k
i
ii
k
i
ii
xn
n
sMs
n
n
s
xxMsxn
n
xxn
n
x
1
22*
2

2
1
22
1
)(
1
;
1
;
1
;
1
µ

* T n su t m u f là hình nh c a tham s p trong t ng th trên m u.ầ ấ ẫ ả ủ ố ổ ể ở ẫ
* T ng th : Xổ ể ∼
( )
2
,
σµ
N
⇒
X
∼









n
N
2
,
σ
µ
⇒
( ) ( )
n
XVXE
2
,
σ
µ
==
* T ng th ổ ể X∼ A(p) ⇒ f ∼






n
pq
pN ,
⇒
( ) ( )
n

pq
fVpfE
==
,

( khi n đ l n).ủ ớ

II. M t s công th c v c l ngộ ố ứ ề ướ ượ :
1. c l ng giá tr tham sƯớ ượ ị ố
µ
trong quy lu t ậ
( )
2
,
σµ
N
Ph m H ng Huy n-TKTạ ươ ề
4
Cô
ng
th cứ
Tr ng h p đã bi t ườ ợ ế
2
σ
(ít g p)ặ
Tr ng h p ch a bi t ườ ợ ư ế
2
σ
(th ng g p)ườ ặ
n

≤
30 n>30
KTC
đ iố
x ngứ
22
αα
σ
µ
σ
U
n
xU
n
x
+<<−
)1(
2
)1(
2
−−
+<<−
nn
T
n
s
xT
n
s
x

αα
µ
22
αα
µ
U
n
s
xU
n
s
x
+<<−
KTC
cướ
l ngượ
max
µ
α
σ
µ
U
n
x
+<
<
µ

( )
1

−
+
n
T
n
s
x
α
<
µ

α
U
n
s
x
+
KTC
cướ
l ngượ
min
µ
α
σ
µ
U
n
x
−>
>

µ

( )
1
−
−
n
T
n
s
x
α
>
µ

α
U
n
s
x
−
Công
th cứ
xác
đ nhị
kích
th cướ
m u m iẫ ớ
(n
*

) sao
cho: Giữ
nguyên độ
tin c yậ
(1-
α
) và
mu n đố ộ
dài
kho ngả
tin c yậ
đ i x ngố ứ
I
≤
I
0

2
2/
2
0
2
*
4
α
σ
U
I
n
≥

2)1(
2/
2
0
2
*
)(
4
−
≥
n
T
I
s
n
α
2
2/
2
0
2
*
4
α
U
I
s
n
≥
Chú ý :

2
I
=
ε
2. c l ng giá tr tham s p trong quy lu t A(pƯớ ượ ị ố ậ )

KTC đ i x ngố ứ

22
)1()1(
αα
U
n
ff
fpU
n
ff
f
−
+<<
−
−
KTC c l ng ướ ượ
max
p

α
U
n
ff

fp
)1(
−
+<
KTC c l ng ướ ượ
min
p

α
U
n
ff
fp
)1(
−
−>
Ph m H ng Huy n-TKTạ ươ ề
5