Phương trình hệ phương trình và bất phương trình logarit

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 1

CHƯƠNG 5:
PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH
-BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT






















I. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Bài 1: Giải phương trình:
2
log
(x
2
+3x+2)+
2
log
(x
2
+7x+12)=3+
2
log
3 (*)
Giải
Điều kiện:
2
2
x 3x 2 0

x 7x 12 0
ì
+ + >
ï
í
+ + >
ï
î
Û
2 1
4 3
x x
x x
ì
< - Ú > -
í
< - Ú > -
î
Û
x<-4
Ú
x>-1
Ta có: (*)
2 2 3
2 2
log ( 3 2).( 7 12) log (3.2 )
x x x xÛ + + + + =
Cho a> 0, a
¹
1và

1
N
,
2
N
,N > 0, M
Î
R

· Định nghĩa: a
M
= N
Û
log
a
N =M
· Tính chất:
log
a
(
1
N
.
2
N
)=
log
a

1

N
+
log
a

2
N


log
a

1
2
N
N
=
log
a

1
N
-
log
a

2
N

log
a
N
a
=
a
log
a
N(với
a

Î
R)
· Công thức đổi cơ số: a,b,c >0 và a,b,c
¹
1

log
a
N=
log
log
b
b
N
a

Hay
log
a

N=
log
a
b.
log
b
N
Hệ quả
log
a
b=
1
log
b
a
;
a
a
log
.N=
a
a
Î
1
log ( )
a
N R


b

log c
a
=
b
log a
c

Cách 1:
Áp dụng công thức
log
a
u(x) = b
Û
0 1
( )
b
a
a u x
ì
< ¹
ï
í
=
ï
î

log
a
u(x) =
log

a
v(x)
Û
ì
< ¹
ï
>
í
ï
=
î
0 1
( ) 0
( ) ( )
a
u x
u x v x


TRNG THCS V THPT LC HNG CH BIấN: T. TRNG QUANG NGC-T.HONG HU VINH


Trang 2

[

2 2
4 3 2
2
( 3 2).( 7 12) 24

10 35 50 0
( 5)( 5 10) 0
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + + =
+ + + =
+ + + =



x = 0

x= - 5 (nhn so iu kin)
Bi 2:Gii phng trỡnh log
5
x+log
3
x = log
5
3.log
9
225 (*)
Gii:
Ta cú: (*)

+ = + =
5
5 5 5 5 5 5
5 5

log
1
log log 3.log 15 log (1 ) log 3.log 15
log 3 log 3
x
x x


ổ ử
+
=
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
5
5 5
5
log 3 1
log log 15
log 3
x


=
5
5 5
5
log 15
log log 15
log 3

x


5 5
log log 3
x =

x = 3(nhn so iu kin x >0)
Bi 3: Gii phng trỡnh:
( )
2
2
9 3
3
1 1
log 5x 6 log log 3
2 2
x
x x
-
- + = + -
(*)
Gii
iu kin:
1
2 3
x
x x
ỡ
>

ớ
ạ ạ
ợ

Ta cú: (*)

2
3 3 3
1
log 5x 6 log log 3
2
x
x x
-
- + = + -



3 3
3 ( 1)
log 2 3 log
2
x x
x x
- -
- - =


2 3
x x

- -
=
1
3 ( 1)
2
x x
- -


3 0
2 2 1
x
x x
ộ
- =
ờ
ờ
- = -
ở



=
3(loaùi) 2(x-2)=x-1 2(x-2)=1-x
x



x = 3(loi) & x=
5

3
(nhn so vi iu kin)

x =
5
3

Bi 4: Gii phng trỡnh: 2
(
)
(
)
2
9 3
3
log log .log 2 1 1
x x x
= + -
(*)
Gii
iu kin:
0
1
2
2 1 1
x
x
x
ỡ
>

ù
ù
-
ớ
ù
ù
+ >
ợ


0
2x 1 1
x
ỡ
>
ớ
+ >
ợ

x>0

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 3

Ta có:(*)
Û
( )
= + -

2
3 3 3
1
log log .log ( 2 1 1)
2
x x x

Û
3
3 3
log 0
1
log log 2 1 1
2
x
x x
é
=
ê
ê
= + -
ê
ë


Û
1
2 1 1
x
x x

é
=
ê
= + -
ê
ë
Û
1
1 2 1
x
x x
é
=
ê
+ = +
ê
ë


Û
1
1 2 2x 1
x
x x
é
=
ê
+ + = +
ê
ë

Û
1
2
x
x x
é
=
ê
=
ê
ë


Û
x = 1
Ú
4x = x
2

Û
x = 1
Ú
x = 4
Ú
x = 0(loại)

Û
x = 1

Ú
x = 4
Bài 5: Giải phương trình:
2 3
4 8
2
log ( 1) 2 log 4 log (4 )
x x x
+ + = + + + (*)
Giải
Điều kiện:
( )
2
1 0
4 0
4 0
x
x
x
ì
+ >
ï
ï
- >
í
ï
+ >
ï
î

Û
ì
¹ -
í
- < <
î
1
4 4
x
x

Ta có: (*)
Û
2
2 2 2 2
log 1 log 2 log (4 ) log (4 )
x x x
+ + = - + +


Û
2
2 2
log 4 1 log (16 )
x x
+ = -

Û
2
2

4 1 16
16 0
x x
x
ì
+ = -
ï
í
- >
ï
î


Û
2
2)
16 0
4( 1) (16
x
x x
ì
- >
ï
í
+ = ± -
ï
î


Û

2 2
4 4
4x 12 0 4x 20 0
x
x x
ì
- < <
ï
í
+ - = Ú - - =
ï
î


Û
4 4
6 2 2 2 6
x
x x x
ì
- < <
ï
í
= - Ú = Ú = ±
ï
î


Û
2 2

x x
= Ú = -
2 6
(Nhận so với điều kiện ban đầu)
Cách 2 ĐẶT ẨN PHỤ:
Bài 6: Giải hệ phương trình:
+ =
2 2
log 2 log 4x 3
X
(*)
TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 4

Giải
Điều kiện:
2
0
2
1
4x 0
x
x
ì
>
ï
ï
ï

¹
í
ï
>
ï
ï
î
Û
0
2
x
x
ì
>
í
¹
î

Ta có: = =
-
2
2
2
1 1
log 2
2
1 log
log
X
x

x

Và
2 2 2 2
log 4x log 4 log 2 log
x x
= + = +
Đặt t =
2
log
x
thì phương trình(*) thành:

1
2 3( 1)
1
t t
t
+ + = ¹
-
Û
1
1 0
1
t
t
+ - =
-

Û

2
2 0
t t
- + =

Û
0 2
t t
= Ú =

Vậy
0
2
log 0 2 1
x x
= Û = =

2
log 2 4
x x
= Û = Þ
(nhận so với điều kiện)
Bài 7: : Giải hệ phương trình:
(
)
(
)
+
+ = - -
1

2 1
2
log 4 4 log 2 3
x x
x (*)
Giải
Đặt t = 2
x
> 0
2
log
x t
Þ =
Phương trình(*) thành :
+ = + -
2
2 2 2
log ( 4) log log (2 3)
t t t
Û
( )
2
2 2
3
2
log 4 log (2 3)
t
t t t
ì
>

ï
í
ï
+ = -
î

Û
2
3
2
4 (2 3)
t
t t t
ì
>
ï
í
ï
+ = -
î
Û
2
3
2
3 4 0
t
t t
ì
>
ï

í
ï
- - =
î
Û
t = 4
Vậy 2
x
= 4
Û
x = 2
Bài 8: Giải phương trình:
(
)
1
3 3
log 3 1 .log (3 3) 6
x x+
- - =
(*)
Đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2006
Giải
Ta có: (*)
Û
3 3
3 1
log ( 1).log 3( 1) 6
x
t
t t

ì
= >
ï
í
- - =
ï
î

Û
ì
ì
= >
= >
ï ï
Û
í í
- + -
- + - - =
ï
ï
î
î
2
3 3 3
3 3
3 1
3 1
log ( 1).[log 3 log ( 1)]=6
log ( 1) log ( 1) 6 0
x

x
t
t
t t
t t

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 5

Û

3 3
3 1
log ( 1) 3 log ( 1) 2
x
t
t t
ì
= >
ï
í
- = - Ú - =
ï
î
Û
-
ì
= >

ï
í
- = = Ú - =
ï
î
3 2
3 1
1
1 3 1 3
27
x
t
t t

Û
3 1
28
10
27
x
t
t t
ì
= >
ï
í
= Ú =
ï
î
Û

28
3 3 10
27
x x
= Ú =

Û
3
28
log log10
27
x x= Ú =
Bài 9: Giải hương trình:
( )
2 2
1
log 4 15.2 27 2log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
-
(*)
Đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2007
Giải
Ta có: (*)
Û
( )
2
2 2

3
2
4
log 4 15.2 27 log (4.2 3)
x
x x x
ì
>
ï
í
ï
+ + = -
î



Û
( )
2
2
3
2
4
15 27 4 3
x
t
t t t
ì
= >
ï

í
ï
+ + = -
î


Û
2
3
2
4
15 39 18 0
x
t
t t
ì
= >
ï
í
ï
- - =
î


Û
3
2
4
2
3

5
x
t
t t
ì
= >
ï
ï
í
ï
= Ú = -
ï
î
Û = = Û
2 3
x
t
2
log 3
x =
Bài 10: Giải phương trình:
2 2
2x 1 1
log (2x 1) log (2x 1) 4
x
x
- +
+ - + - =
(*)
Đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2008

Giải
Điều kiện: x>
1
2
và
1
x
¹

Phương trình đã cho:
Û
2x 1
log
-
(
)
(
)
2x 1 1
x
- +
+2
1
log (2x 1) 4
x+
- =

Û
1+
2x 1

log
-
(x+1)+
=
+
2x-1
2
4
log ( 1)x

Đặt t =
2x 1
log
-
(x+1) ta có phương trình
TRNG THCS V THPT LC HNG CH BIấN: T. TRNG QUANG NGC-T.HONG HU VINH


Trang 6

t+
2
t
=3

t
2
-3t+2=0

t = 1

t = 2
Vi t = 1 ta cú
2x 1
log
-
(x+1) = 1

2x- 1 = x+1

x = 2
Vi t = 2 ta cú
2x 1
log
-
(x+1) = 2

x+1 = (2x- 1)
2

4x
2
5x = 0

0(loaùi)
5
( )
4
x
x nhaọn

ộ
=
ờ
ờ
=
ờ
ở

Do ú: Phng trỡnh(*)

x = 2
5
4
x
=

Bi 11: Gii phng trỡnh:
2
2 2 2
log 2x log 6 log 4x
4 2.3x- = (*)
Gii
iu kin: x> 0. Ta cú:
(*)

2 2 2
1 log log 2 2log
4 6 2.3
x x x
+ +

- =



2 2 2
log log log
4.4 6 18.9
x x x
- =


log
2
2
log
3 9
4 18.
2 4
x
x
ổ ử ổ ử
- =
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ


2
2 2
log
log log

2 2
3
3 3
( ) 0
( ) 0 ( ) 0
2
2 2
4 1
4 18 18 4 0
9 2
x
x x
t
t t
t t
t t t t
ỡ
ỡ ỡ
= >
ù
= > = >
ù ù ù

ớ ớ ớ
ù ù ù
= = -
- = + - =
ợ ợ
ù
ợ

Vy
2
log 2
2
3 4 3
( ) ( ) log 2
2 9 2
x x-
= = = -


1
4
x
=
(nhn so vi iu kin x > 0)
Bi 12. Gii phng trỡnh:
Log
3x+7
(9 + 12x + 4x
2
) + log
2x+3
(6x
2
+ 23x + 21) = 4 (*)
Gii.
iu kin:
2 2

2
9 12 4 (3 2 ) 0
3 7 0 3 7 1
7 3
6 23 21 6( )( ) 0
3 2
2 3 0 2 3 1
x x x
x x
x x x x
x x
ỡ
+ + = + >
ù
+ > + ạ
ù
ù
ớ
+ + = + + >
ù
ù
+ > + ạ
ù
ợ

(loi)
TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 7

Û

3
2
7
2
3
7 3
3 2
3
1
2
x
x x
x x
x x
ì
¹ -
ï
ï
ï
> - Ù ¹ -
ï
í
ï
< - Ú > -
ï
ï
ï

> - Ù ¹ -
î

Û
3
2
1
x
x
ì
> -
ï
í
ï
¹ -
î

Ta có : (*)
Û
log
3x+7
(2x + 3)
2
+ log
2x+3
(3x + 7)(2x + 3) = 4

Û
2log
3x+7

(2x + 3) + log
2x+3
(3x + 7) = 3

Û
3 7
log (2 3)
1
2 3
x
t x
t
t
+
= +
ì
ï
í
+ =
ï
î


Û
3 7
2
log (2 3)
2 3 1 0
x
t x

t t
+
= +
ì
í
- + =
î


Û
t = log
3x+7
(2x + 3) = 1 ٧ t = log
3x+7
(2x + 3) =

Û
3x + 7 = 2x + 3 ٧ = 2x + 3

Û
x = 4 (loại) ٧ 4x
2
+ 9x + 2 = 0

Û
x = 2 (loại) ٧ x =

Û
x =

Bài 13. Giải phương trình:
2 2
log log
2
(2 2) (2 2) 1
x x
x x
+ + - = +
(*)

Giải.
Điều kiện: x
Ta có:
2 2 2
log log log
(2 2) .(2 2) 2
x x x
x
+ - = =

Đặt
2
log
(2 2)
x
t = + (điều kiện t )
Thì
2
log

(2 2)
x
x
t
+ =

Phương trình (*) thành:
2
2
1
x
t x
t
+ = +

Û
t
2
– (1 + x
2
)t + x
2
= 0
Û
t = 1 ٧ t = x
2

Do đó:
Û
log

2
x = 0
Û
x = 2
0
= 1 (nhận so với điều kiện)
+
2
log
2
(2 2)
x
x
+ =

Û
log
2
x . log
2
(2 2)
+ = 2 log
2
x
TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 8

Û

log
2
x .
[log (2 2) 2]
¶
+ -
= 0
Û
log
2
x = 0
Û
x = 1 (nhận so với điều kiện)
Do đó nghiệm của phương trình (*) là x = 1

Cách 3: NHẪM NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH NGHIỆM DUY NHẤT
Bài 14. Giải phương trình:
log
5
x = log
7
(x + 2) (*)
Giải.
Điều kiện: x > 0
Đặt t = log
5
x
Û
x = 5
t

Phương trình (*) trở thành: t = log
7
(5
t
+ 2)

Û
7
t
= 5
t
+ 2

Û
5 1
1 ( ) 2( )
7 7
t t
= + (**)
Nhẩm thấy t = 1 là nghiệm phương trình.
Mặt khác y =
5 1
( ) 2( )
7 7
t t
+ là hàm giảm trên R
y = 1 là hàm hằng
Do đó t = 1 là nghiệm duy nhất của (**)
Ta có: t = 1

Û
x = 5
t
= 5 là nghiệm của (*)
Bài 15. Giải phương trình:
log
3
2
2
3
2 4 5
x x
x x
+ +
+ +

= x
2
+ 3x + 2 (*)
Giải.
Đặt u = x
2
+ x + 3 > 0
v = 2x
2
+ 4x + 5 > 0
thì v – u = x
2
+ 3x +2
Phương trình (*) thành: log

3
= v – u

Û
log
3
u – log
3
v = v – u (**)
+ Khi u = v thì (**) nghiệm đúng
+ Khi u > v: vế trái log
3
u – log
3
v > 0 Vế phải v – u > 0
Phương trình (**) không nghiệm đúng
+ Khi u < v thì vế trái log
3
u – log
3
v < 0 Vế phải v – u > 0
Phương trình (**) không nghiệm đúng
Do u = v nên x
2
+ x + 3 = 2x
2
+ 4x + 5

Û
x

2
+ 3x + 2 = 0
Vậy nghiệm của phương trình (*) là x = -1, x = 2
Bài 16. Giải phương trình:
log
3
(x
2
+ x + 1) – log
3
x = 2x – x
2
(*)
Giải.
TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 9

(*)
Û
2
2
3
0
1
log 2
x
x x
x x

x
>
ì
ï
í
+ +
= -
ï
î


Û
2
2
0
1
32
x x
x
x x
x
-
>
ì
ï
í
+ +
=
ï
î

Xét y = f(x) =
2
1
x x
x
+ +
= x + 1 + với x > 0

Û
f’(x) = 1
2
2 2
1 1
x
x x
-
- =
x
0 1
f’
+ 0 0 +
f
CT
3

Do đó f(x)
3 0
x
³ " >

(1), Dấu = xảy ra
Û
x = 1
Xét y = g(x) =
2
2
3
x x
-
với x > 0
Û
g’(x) = (2 – 2x)
2
2
3 ln3
x x-

x
0 1
g’ +
+ 0
g
3
CĐ

Do đó g(x)
3 0
x
£ " >
(2), dấu = xảy ra

Û
x = 1
Từ (1) và (2)
Û
2
2
2
1
3 3
x x
x x
x
-
+ +
³ ³
Vậy
2
2
2
1
3
x x
x x
x
-
+ +
= =
3
Û
x = 1

Do đó (*)
Û
x = 1
Bài 17. Cho phương trình:
2 2
3 3
log log 1 2 1 0
x x m
+ + - - =
(1)
a. Giải phương trình khi m = 2
b. Tìm m để (1) có ít nhất một nghiệm trên
3
[1,3 ]

Đề thi tuyển sinh đại học khối A-2002
Giải.
Điều kiện x > 0
Đặt
2 2 2
3 3
log 1( 1) log 1
t x t x t
= + ³ Û = -

Lúc đó phương trình (1) trở thành: t
2
+ t – 2m – 2 = 0 (2)
a/ Khi m = 2 ta có phương trình: t
2

+ t – 6 = 0

Û
t = -3 (loại)
Ú
t = 2
Vậy
2 3
3 3
log 3 log 3 3
x x x
±
= Û = ± Û =
TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 10

b/ Khi
3
1 3
x£ £ thì
3
0 log 3
x£ £
2 2
3
1 log 1 4 1 2
t x t
Û £ = + £ Û £ £

Ta có: (2)
Û
t
2
+ t – 2 = 2m
Đặt y = f(t) = t
2
+ t – 2 với t
[1,2]
Î

Thì f’(t) = 2t + 1


x 1 2
f’
0 +

f
4
0 (d)

Yêu cầu bài toán
Û
y = 2m (d) cắt (C) y = f(x) trên [1,2]
Û
0
2 4 0 2
m m

£ £ Û £ £

Bài 18. Cho phương trình:
2
1 1
2 2
( 1)log ( 2) ( 5)log ( 2) 1 0
m x m x m
- - - - - + - =
(1)
Tìm m để (1) có nghiệm x
1
, x
2
thỏa
1 2
2 4
x x
< £ <

Giải.
Đặt t = log
2
(x – 2) với x > 2
(1) thành (m – 1)t
2
+ (m – 5)t + m – 1 = 0 (2)
Ta có: (1) hai nghiệm x
1
, x

2
mà
1 2 1 2
2 4 0 2 2 2
x x x x
< £ < Û < - £ - <

Û
log
2
(x
1
– 2)
2 2
log ( 2)
x
£ -
< 1
(2)
Û
có 2 nghiệm t
1
, t
2
mà t
1
< t
2
< 1
Ta có: (2)

Û
(t
2
+ t + 1)m = t
2
+ 5t +1
Û
m =
2
2
5 1
1
t t
t t
+ +
+ +
(do t
2
+ t + 1
Xét y =
2
2
5 1
1
t t
t t
+ +
+ +
(C) và (d) y = m trên miền D = (
Ta có: y’ =

2
2 2
4 4
( 1)
t
t t
- +
+ +

t

1
y’
0 + 0
y
1



-3


Yêu cầu bài toán
Û
(d) và (C) có 2 điểm chung
Û
-3

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 11



II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH LOG
Bài 1. Giải hệ phương trình:
8 8
log log
4 4
4
log log 1
y x
x y
x y
ì
+ =
í
- =
î
(*)
Giải.
Điều kiện: x, y > 0
Do
8 8
log log
y x
x y+

Hệ (*)
8
log
8 2 2
4
log .log log 2
2 4

4
log 1
x
y y
x
x
x
y
y
=
ì
ì
=
ï ï
Û Û
í í
=
=
ï ï
î
î

2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
3
1
log (log 4 ) 3
log .log 1

3
4
4
log (2 log ) 3
log log 3 0

4
4
1
log 1 log 3
8
2

1
2
4
2
8
y y

y x
x y
x y
y y
y y
x y
x y
x
y y
x
y
x y
y
-
ì
=
=
ì
ï
Û Û
í í
=
î
ï
=
î
+ =
ì
+ - =
ì

Û Û
í í
=
=
î
î
ì
=
ï
= Ú = -
=
ì
ì
ï
Û Û Ú
í í í
=
=
î
î
ï
= =
ï
î

Bài 2.Giải hệ phương trình:
log (3 2 ) 2
log (2 3 ) 2
x
y

x y
x y
+ =
ì
ï
í
+ =
ï
î

Giải.
Điều kiện:
3 2 0
, 0
2 3 0
, 1
, 0 và , 0
x y
x y
x y
x y
x y x y
+ >
ì
>
ì
ï
+ > Û
í í
¹

î
ï
> ¹
î

Lúc đó hệ phương trình

Û
2
2
3 2
2 3 y
x y x
x y
ì
+ =
ï
í
+ =
ï
î

Û

2
2 2 2
3
2
3 1
2 ( 3 ) ( 3 )

2 4
x x
y
x x x x x
ì
-
=
ï
ï
í
ï
+ - = -
ï
î


Û
2
4 3 2
1
( 3 )
2
6 3 10 0
y x x
x x x x
ì
= -
ï
í
ï

- + + =
î


Û
2
1
( 3 )
2
( 1)( 2)( 5) 0
y x x
x x x x
ì
= -
ï
í
ï
+ - - =
î

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 12

(loại do y>0)

Û
0
0

x
y
=
ì
í
=
î
(loại)
1
2
x
y
= -
ì
Ú
í
=
î
(loại)
2
1
x
y
=
ì
Ú
í
= -
î
(loại)

5 5
5 5
x x
y y
= =
ì ì
Ú Û
í í
= =
î î

Bài 3. Giải hệ phương trình:
1 4
4
2 2
1
log ( ) log 1
y 25
y x
y
x
ì
- - =
ï
í
ï
+ =
î

Đề thi tuyển sinh đại học khối A-2004

Giải.
Điều kiện:
0
y
y x
>
ì
í
>
î

Hệ đã cho
Û
1 1
4 4
2 2
1
log ( ) log 1
y 25
y x
y
x
ì
- + =
ï
í
ï
+ =
î
Û

1
4
2 2
log ( ) 1
y 25
y x
y
x
-
ì
=
ï
í
ï
+ =
î

Û
2 2
1
4
y 25
y x
y
x
-
ì
=
ï
í

ï
+ =
î
Û
2 2
4
3
16
25
9
y x
x x
ì
=
ï
ï
í
ï
+ =
ï
î

Û
2
4
3
9
y x
x
ì

=
ï
í
ï
=
î
Û
3
4
x
y
= -
ì
í
= -
î
(loại)
3
4
x
y
=
ì
Ú
í
=
î

Û
3

4
x
y
=
ì
í
=
î

Bài 4. Giải hệ phương trình:
3
2
log 3
(2 12)3 81
x
x y
y y y
+ =
ì
í
- + =
î
(1)
(2)

Giải.
Điều kiện: y > 0
Ta có: (1)
Û
log

3
y = 3 – x
Û
y = 3
3-x
=
Û
3
x
=
Thay vào (2) ta được (2y
2
– y + 12) = 81y
Û
2y
2
– y + 12 = 3y
2
Û
y
2
+ y – 12 = 0

Û
4
3
y
y
= -
é

ê
=
ë

Vậy 3
x
=
27
y
= 3
2

Û
x = 2
Hệ có nghiệm là
2
3
x
y
=
ì
í
=
î

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 13

Bài 5. Giải hệ phương trình:
2 3
9 3
1 2 1
3log (9 ) log 3
x y
x y
ì
- + - =
ï
í
- =
ï
î

Đề thi tuyển sinh đại học khối B-2005
Giải.
Điều kiện: x 1 và 0 < y 2
Ta có:
2 3
9 3
3log (3 ) log 3
x y
- =


3 3
3
3log (3 ) 3log 3
3 3

log 1 3
x y
x x
x y
y y
Û - =
Û = Û = Û =

Thay vào phương trình
1 2 1
x y
- + - =

Ta được
1 2 1
x y
- + - =


1 2
1 2 ( 1)(2 ) 1
1 2
( 1)(2 ) 0
1 2
x
x x
x
x x
x x
£ £

ì
ï
Û
í
+ - - =
ï
î
£ £
ì
ï
Û
í
- - =
ï
î
Û = Ú =

Do đó: Hệ đã cho
Û
1 2
1 2
x x
y y
= =
ì ì
Ú
í í
= =
î î

Bài 6. Giải hệ phương trình:
2 2 2
3 3 3
3
log 3 log log
2
2
log 12 log log
3
x
x y y
y
x x y
ì
+ = +
ï
ï
í
ï
+ = +
ï
î

Giải.
Điều kiện: x > 0
Ù
y >0
Hệ phương trình
Û

2 2 2 2
3 3 3 3
3
log 3 log log 2 log
2
2
log 12 log log 3 log
3
x y
x y
x
y
y
x
ì
+ = +
ï
ï
í
ï
+ = +
ï
î

2 2
3 3
3
log (3 . ) log (2 . )
2
2

log ( .12 ) log ( .3 )
3
3
2 .3 3 .2
.3 .2
2 .3 3 .2
2
3 2
2
2 .3 3 .12
.12 .3
3 12
3
x y
x y
x y
x y
x y
x y
y x
x y
y x
x
y
y
x
x
y x
y
y x

y
y x
x
ì
=
ï
ï
Û
í
ï
=
ï
î
ì
ì
=
=
ï
ì
=
ï ï ï
Û Û Û
í í í
=
=
ï
îï ï
=
î
ï

î

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 14

Û
2 .3 3 .2
36 6
x y
x y
y x
ì
=
ï
í
=
ï
î

Û
2
2 .3 3 .2
6 6
x y
x y
y x
ì
=

ï
í
=
ï
î

Û
2
4 .3 3 .4
x x
y x
x x
=
ì
í
=
î

2
1
3 3
2
( )
4 4
x
y x
x
y
=
ì

=
ì
ï
Û Û
í í
=
=
î
ï
î

Bài 7. Giải hệ phương trình:
3
3 4
( 1 1)3
log 1
y
x
x
x
x y
ì
-
+ - =
ï
í
ï
+ =
î

(1)
(2)

Giải.
Điều kiện: 0 < x
4
£

Ta có: (2)
Û
log
3
x = 1 – y
Û
x = 3
1 – y
=
Û
3
y
=
Thay vào (1) ta được phương trình:
3 3 4
( 1 1)
x
x
x x
-
+ - =
2

2
1 1 4 1 4 1
1 5 2 4 2 4
2
4 4 4
2
2
0 3
3 0
x x x x
x x x x x
x
x x x
x
x
x x
x x
Û + - = - Û + = - +
Û + = - + - Û - = -
³
ì
Û
í
- + = -
î
³
³
ì
ì
Û Û

í í
= Ú =
- =
î
î

Û
x = 3 (nhận so với điều kiện 0 < x
4
£
)
Mà
3
y
=
3
x
= 1
Û
y = 0
Vậy hệ có nghiệm
3
0
x
y
=
ì
í
=
î

Bài 8. Giải hệ phương trình:
log ( )
3
2 2
4 2 ( )log 2
y 3 3 12
a
xy
xy
x x y
ì
= +
ï
í
+ - - =
ï
î

(1)
(2)

Giải.
Điều kiện: xy > 0 và xy
Ta có: (1)
Û

3
log ( )
log3( )

4 2 2
xy
xy
= +
(do
log log
b b
c a
a c= )

3 3
2log ( ) 1 log ( )
3 3
3
2 2
2log ( ) 1 log ( )
log ( ) 1 3
xy xy
xy xy
xy xy
+
Û =
Û = +
Û = Û =

Ta có: (2)
Û
(x + y)
2
– 2xy – 3(x + y) = 12

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 15

(vô nghiệm)

Û
(x + y)
2
– 3(x + y) – 18 = 0

Û
x + y = 6 ٧ x + y = -3
Do đó
6 3
3 3
x y x y
xy xy
+ = + =
ì ì
Ú
í í
= =
î î

Vậy x, y là nghiệm phương trình
2
2
6 3 0

3 3 0
t t
t t
é
- + =
ê
+ + =
ë


Û
t = 3
6
±
Do đó hệ có nghiệm

3 6 3 6
3 6 3 6
x x
y y
ì ì
= + = -
ï ï
Ú
í í
= - = +
ï ï
î î
(nhận do xy > 0)
Bài 9. Giải hệ phương trình:

2 2 2
2
lg lg lg ( )
lg ( ) lg .lg 0
x y xy
x y x y
ì
= +
ï
í
- + =
ï
î

Giải.
Điều kiện: x > y > 0
Ta có: (1)
2 2 2
lg lg (lg lg )
x y x y
Û = + +

2 2 2
lg 2lg lg 2lg .lg
x y x x y
Û = + +

Û
2lgy(lgy + lgx) = 0

Û
lgy = 0 v lgy = lg
1
1y y
x
Û = Ú =

Thay y = 1 vào (2) được:
2
2 2
1 1
lg ( ) lg .lg 0
1
lg ( ) lg
1 1 1
lg( ) lg lg( ) lg
x x
x x
x x
x
x x x
x x x
- + =
Û - =
Û - = Ú - =

1
x x
x
Û - =

(vô nghiệm)
1 1
x
x x
Ú - =

Û
x
2
= 2
Û
x =
2
(do x > 0)
Vậy hệ có nghiệm
1
( 2, )
2
x y= = nhận do x > y > 0
Bài 10. Chứng minh với mọi a dương hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
ln(1 ) ln(1 )
x y
e e x y
y x a
ì
- = + - +
í
- =
î

(1)
(2)

Đề thi tuyển sinh đại học khối D-2005
Giải.
Điều kiện: x > -1 và y > -1
Thay y = x + a vào (1) ta được e
x
– e
x+a
= ln
1
1
x
x a
+
+ +

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 16

-¥
Xét f(x) = e
x
(1 – e
a
)
-

ln
1
1
x
x a
+
+ +
(C)
Trên D = (-1,
+¥
)
Ta có: f’(x) = (1 – e
a
) e
x

( 1)( 1 )
a
x x a
-
+ + +

Do a > 0
Û
e
a
> e
0
= 1
Û

1 – e
a
< 0
Vậy f’(x) < 0
"
x > -1
Do đó: f’
X

f’(x)


Ta có: (d) y = 0 luôn cắt (C) tại 1 điểm có hoành độ
1
α
> -
với
0
a
" >

Vậy a > 0 hệ đã cho
Û
x a
y
α a
=
ì
í
= +

î










III.BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOG
Cách 1: Sử dụng các công thức sau:
+ Nếu a > 1: log
a
u(x)
³
log
a
v(x)
Û
u(x)
³
v(x) > 0
+ Nếu 0 < a < 1: log
a
u(x)
³
log
a

v(x)
Û
v(x)
³
u(x) > 0
+ Nếu a thay đổi
log
a
u(x)
³
log
a
v(x)
Û
0 1
( ) 0 ( ) 0
( 1)[ ( ) ( )] 0
a a
u x x
a u x v x
> Ú ¹
ì
ï
> Ù >
í
ï
- - ³
î

Bài 1. Giải bất phương trình: (4x
2
– 16x + 7)log
3
(x – 3) >0 (*)
Giải.
Ta có: (*)
2 2
3 3
4 16 7 0 4 16 7 0
log ( 3) 0 log ( 3) 0
x x x x
x x
ì ì
- + > - + <
Û Ú
í í
- > - <
î î

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 17


0 0
1 7 1 7
2 2 2 2
3 0 3 0

3 3 1 3 3 1
1 7 1 7
2 2 2 2
3 3
4 4
7
4 3
2
x x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
ì ì
< Ú > < <
ï ï
ï ï
Û - > Ú - >
í í
ï ï
- > = - < =
ï ï
î î
ì ì
< Ú > < <
ï ï
ï ï
Û > Û >

í í
ï ï
> <
ï ï
î î
Û > Ú < <

Bài 2: Giải bất phương trình:
2
1
2
3x 2
log 0
x
x
- +
³
(*)
Đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2008
Giải
Ta có(*)
Û
2
2
1 1
2 2
3x 2
0
3x 2
log log 1

x
x
x
x
ì
- +
>
ï
ï
í
- +
ï
³
ï
î


Û

2
0 1 2
3x 2
1
x x
x
x
ì
< < Ú >
ï
í

- +
£
ï
î

Û
2
0 1 2
4x 2 0
x x
x
ì
< < Ú >
ï
í
- + £
ï
î


Û
0 1 2
2 2 2 2
x x
x
ì
< < Ú >
ï
í
- £ £ +

ï
î

Û
2 2
x
- £
<1
Ú
2 2
x £ +
Bài 3: Giải bất phương trình:
2
0.7 6
log log 0
4
x x
x
é ù
+
<
ê ú
+
ë û
(*)
Đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2008
Giải
Ta có (*)
Û

2
6
log 1
4
x x
x
+
>
+

Û
2
4
x x
x
+
+
>6

Û
2
5 24
0
4
x x
x
- -
>
+

Û
-4<x<-3
Ú
x>8

Bài 4: Giải bất phương trình:
2 2
5 5 5
log (4 144) 4log 1 log (2 1)
x x-
+ - < + +

Đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2006
Giải
TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 18

Ta có: Bất phương trình đã cho

Û
2
5 5
4
4 144
log log 5(2 1)
2
x
x-

+
< +

Û
0<
4
4 144
2
x
+
<
2
5(2 1)
x-
+


Û
2x
2
2 144 8 1
4
x
æ ö
+ < - +
ç ÷
è ø

Û
(

)
- + <
2
x
2 20.2 64 0
x


Û
2 4
2 2 2
x
< <

Û
2<x<4
Bài 5: Giải bất phương trình:
(
)
(
)
- + + £
3 1
3
2log 4x 3 log 2x 3 2
(*)
Đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2007
Giải
Ta có: (*)
Û

( ) ( )
ì
>
ï
í
ï
- - + £
î
2
3 3
3
4
log 4x 3 log 2x 3 2
x


Û
( ) ( )
ì
>
ï
í
ï
- £ +
î
2
3
4
4x 3 9 2x 3
x

Û
2
3
4
8x 21x 9 0
x
ì
>
ï
í
ï
- - £
î


Û
ì
>
ï
ï
í
ï
- £ £
ï
î
3
4
3
3

8
x
x
Û
3
3
4
x
< £

Bài 6. Giải phương trình: log
x

2 1
1
x
x
-
-
> 1 (*)
Giải.
Ta có: (*)
Û
log
x

2 1
1
x
x

-
-
> log
x
x
TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 19


2
0 1
2 1
( 1)( ) 0
1
2 1
0
1
1
0 1
0 1
2
3 1 0
3 5 3 5
1
1
2 2
2
3 5 1

2 2
3 5
1
2
x x
x
x x
x
x
x
x x
x x
x x
x
x x
x
x
ì
ï
> Ù ¹
ï
-
ï
Û - - >
í
-
ï
-
ï
>

ï
-
î
ì
ì
> Ù ¹
ï
< < Ú >
ï
ï
ï
Û - + < Û
í í
- +
ï ï
< <
ï ï
< Ú >
î
î
é
-
< <
ê
ê
Û
ê
+
< <
ê

ë

Bài 7. Giải bất phương trình: log
3
+

(*)
Giải.
Điều kiện
2
5 6 0
2 3
2 3
2
3
x x
x x
x x
x
x
ì
- + >
< Ú >
ì
ï
> Û Û >
í í
>
î
ï

> -
î

(*)
2
3 3 3
1 1 1
log ( 5 6) log ( 2) log ( 3)
2 2 2
x x x x
Û - + - - > - +

2
3 3 3
log ( 5 6) log ( 3) log ( 2)
( 2)( 3)( 3) 2
2 9 1( do 3 nên 2 0)
x x x x
x x x x
x x x
Û - + + + > -
Û - - + > -
Û - > > - >

10
xÛ < - (loại)
10
xÚ >
10
xÛ >

Bài 8: Giải bất phương trình:
(
)
3
log [log 9 72 ] 1
x
p
- £
(*)
Đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2002
Giải
Điều kiện:
Û
3
0 1
log (9 72) 0
9 72 0
x
x
x x
ì
> Ù ¹
ï
- >
í
ï
- >
î
Û
ì

> Ù ¹
ï
- >
í
ï
>
î
0 1
9 72 0
9 72
x
x
x x
Û
0 1
9 72 1
9 72
x
x
x x
ì
> Ù ¹
ï
- >
í
ï
>
î

Û
0 1
9 73
x
x x
ì
> Ù ¹
ï
í
>
ï
î

Û
x>
9
log 73

Do
9
log 73
>
9
log 9
=1 nên x > 1
TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 20

Ta có:
Bất phương trình (*)
Û
( )
9
3
log 73 1
log 9 72 1
x
x
ì
> >
ï
í
- £
ï
î
Û
9
log 73 1
9 72 3
x x
x
ì
> >
ï
í
- £
ï
î

Û
( )
9
2
log 73 1
3 3 72 0
x x
x
ì
> >
ï
í
- - £
ï
î
Û
9
log 73 1
0 3 9
x
x
ì
> >
ï
í
< £
ï
î
Û

9
log 73
<x
£
2
Bài 9: Giải bất phương trình:
(
)
(
)
2 3
2 2
2
log x 1 log x 1
3x 4x
+ - +
- -
>0 (*)
Giải
(*)
Û
( ) ( )
( )( )
ì
+ >
ï
ï
+ - +
í
>

ï
+ -
ï
î
2 3
2 3
1 0
log x 1 log x 1
0
x 1 x 4
x


Û
( ) ( )
( )
2 3
2 2 2
1 0
2log x 1 3log 2log x 1
0
x 4
x
ì
+ >
ï
ï
+ - +
í
>

ï
-
ï
î


Û
( )
( )
3
3 2
1 0
[2 log 8]log x 1
0
x 4
x
ì
+ >
ï
ï
- +
í
>
ï
-
ï
î


Û

2
3 3
1
log ( 1)
0( 3 log 9 log 8)
4
x
x
do
x
ì
> -
ï
í
+
> = >
ï
-
î


Û
2
1
log ( 1) 0
4 0
x
x
x
ì

> -
ï
+ >
í
ï
- >
î
Ú
2
1
log ( 1) 0
4 0
x
x
x
ì
> -
ï
+ <
í
ï
- <
î


Û
0
1
1 2
4

x
x
x
ì
> -
ï
+ > Ú
í
ï
>
î
0
1
1 2
4
x
x
x
ì
> -
ï
+ <
í
ï
<
î

Cách 2: ĐẶT ẨN PHỤ
Bài 10: Giải bất phương trình:
(

)
2 2 2
2 1 4
2
log log 3 5 log 3
x x x
+ - > -
(*)
Giải
Điều kiện: x>0, đặt t =
2
log
x

Bất phương trình(*) thành:
(
)
2
2 3 5 3
t t t
- - > -

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 21

Û
( )
2

2
2
2 3 5 3
2 3 0
3 0
3 0
t t t
t t
t
t
ì
ì - - > -
- - ³
ï ï
Ú
í í
- <
ï
- ³
ï
î
î

2
3
1 3
3
4 28 48 0
3
1

3 4
1 3 4
t
t t
t
t t
t
t
t
t t
³
£ - Ú ³
ì
ì
Û Ú
í í
<
- + <
î
î
³
ì
Û £ Ú
í
< <
î
Û £ - Ú < <

Do đó(*)
ì ì

> >
ï ï
Û Ú
í í
£ < <
ï ï
î î
2 2
0 0
log 1 3 log 4
x x
x x

Û
1
8 16
2
o x x
< £ Ú < <

Bài 11: Giải bất phương trình:
2 2
9 3
log (3 4 2) 1 log (3 4 2)
x x x x
+ + + > + +

Giải:
Ta có:
2

3 4 2 0
x x x R
+ + > " Î

Đặt
2
9
log (3 4 2)
t x x
= + +
với
0
t
³

Û
2 2
3
1
log (3 4 2)
2
t x x
= + +

Bất phương trình đã cho trở thành: t + 1
2
2
t
>
2

2 1 0
0 1( do 0)
t t
t t
Û - - <
Û £ £ ³

Vậy
2
9
log (3 4 2) 1
x x
+ + <

2
3
2 2
3 3 3
2
2
1
0 log (3 4 2) 1
2
log 1 0 log (3 4 2) 2 log 2
1
3 4 1 1
1
3
3 4 7 0
7 1

1
7 1 1
3
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
Û £ + + <
Û = £ + + < =
ì
ì
+ + ³
£ - Ú ³ -
ï ï
Û Û
í í
+ - <
ï
î
ï
- < <
î
Û - < < Ú - £ £

Bài 12: Giải bất phương trình:
2 3
log (2 1) log (4 2) 2

x x
+ + + £

Giải:
Đặt f(x)=
2 3
log (2 1) log (4 2)
x x
+ + +

Thì f’(x) =
2 4 ln 4
0
2 1 ln3(4 2)
x x
x x
x R
+ > " Î
+ +

Vậy f(x) đồng biến trên R
TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 22

Do đó:
0
x
" £

thì
2 3
( ) (0) log 2 log 3 2
f x f
£ = + =

0
x
" >
thì
( ) (0) 2
f x f
> =

Vậy tập nghiệm của bất phương trình S= (-∞,0]
Bài 13: Giải bất phương trình:
8 6
6 64
log ( ) log
x x x
+ ³
Giải:
Điều kiện: x > 0
Đặt t =
6
x
(với
0
t
>

) nên
6
t x
=

Bất phương trình đã cho trở thành
6
2 6
2
2
log6( ) log log
t t t t
+ ³ =
Xét f(t) =
2
6 2
log ( ) log
t t t
+ - với t > 0
Û
f’(t) =
2 1 1 (2 1)ln 2 ( 1)ln 6
( 1)ln6 ln2 ( 1)ln 2ln6
t t t
t t t t t
+ + - +
- =
+ +

f’(t) = 0

Û
(2ln2-ln6)t +ln2 – ln6=0
Û
t =
ln3
2
ln
3

0
ln3
( 0)
2
ln
3
t
= <

Ta có: f’(1)=
3ln 2 2ln6
2ln 2ln6
-
<
0 nên f’(t) < 0
0
t
" >


Nên:

t 2 +
f’(t) + 0
f(t) +
0


Ta có: f(2) =
6 2
log 6 log 2
- = 0
Do đó f(t)
0 0 2
t
³ Û < £


Û
0 <
6
2
x
<

Û
0 < x
6
2 64
< =

Bài 14. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
2
12 log (2 4 )
x x x m x
+ + £ + -

Giải:
Điều kiện: 0
4
x
£ £

Do
2 4 2
x
+ - ³
nên
2
log (2 4 ) 1 0
x
+ - ³ >

Nên bất phương trình
+ +
Û £
+ -
2
12
log (2 4 )

x x x
m
x

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 23

Xét: y = f(x) =
3
2
2
12
log (2 4 )
x x
x
+ +
+ -
(c) với
0 4
x
£ £

Thì
1
2
2
2
2

3 1 12
( )log (2 4 )
2
2 12 2( 4 )(2 4 )ln2
'
[log (2 4 )]
x x x
x x
x x x
y
x
+ +
+ + - +
+ - + -
=
+ -

ta có: y’ > 0
[0,4]
x
" Î





x 0 4
y’ +
y
12 y=m

Yêu cầu bài toán
Û
có phần ( C ) trên [0,4] nằm dưới (d) y = m
Û
12
m
£

Bài 48. Cho bất phương trình
2 2
2 4
log 2 4 log ( 2 ) 5
x x m x x m
- + + - + £

Tìm m sao cho bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
Giải:
Điều kiện:
2
2
2
2
4
2 0
2 0
2 1
log ( 2 ) 0

x x m
x x m
x x m
x x m
ì
- + ³
ì
- + ³
ï ï
Û
í í
- + ³
- + ³
ï
î
ï
î

Đặt t =
2
log4( 2 )
x x m
- + (điều kiện t
0
³
)
Û

2 2 2
4 2

1
log ( 2 ) log ( 2 )
2
t x x m x x m
= - + = - +

Bất phương trình đã cho thành:
2
4 5 0
t t
+ - £

Û

0 1( do 0)
t t
£ £ ³

Vậy:
2
4
0 log ( 2 ) 1
x x m
£ - + £

2
4
2
0 log ( 2 ) 1
1 2 4

x x m
x x m
Û £ - + £
Û £ - + £

Đặt f(x) =
2
2
x x m
- +

Yêu cầu bài toán
Û
1 ( ) 4
f x
£ £
với
[0,2]
x
" Î

Û
[0,2]
[0,2]
( ) 4
( ) 1
Max f x
Min f x
£
ì

ï
í
³
ï
î

Mà f’(x) = 2x-2
'( ) 0 1
f x x
Þ = Û =

Ta có: f(0) = f(2) = m
TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 24

và f(1) = m – 1
do đó yêu cầu bài toán
4
2 4
1 1
m
m
m
£
ì
Û Û £ £
í
- ³

î

BÀI TẬP:
BT1.Giải các phương trình sau:
a)
2 7 2 7
log 2log 2 log .log
x x x x
+ = + b)
4
log ( 2).log 2 1
x
x
+ =

c)
3 2 3 2
log log log .log
x x x x
+ = d)
2 2
2
log 16log 15
x
x x x
= +


BT2. Giải các phương trình sau:
a) + =25 b) x+

c) + = d)(x – 1) +
e) - = 2. g) +
h) = - k) - = +
l) . =
m) - = 2. n)2
2
9
log
x = .
p) +
2
4
log ( 5)
x - + = 0
q) +x+1)+ - x+1) =
r)
s) = t) + + = 0
t) + - 5 = 0
u) = (DB/D06)
v) (DB/A02)
x) =
2
log 8
x
(DB/A06)
y)2( . + =0 (DB/06)
z)3+
3
1
log

x
= (DB/A08)
w)2
2 1
2
log (2 2) log (9 1) 1
x x
+ + - =
(DB/B08)
BT3.Giải các phương trình sau:
a) = b) =lg
c)x+ = d)2 =
e)(x+3) (x+2) +4(x+2)
f)2 + = 0
g) =1-x (DB/D03)
TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 25

BT4.Cho Phương trình :
Tìm m để phương trình có nghiệm x (ĐS 1 )
BT5.(DB/B03) Cho phương trình:4 - +m=0. Tìm m để phương trình có
nghiệm trên (0,1).
BT6. Tìm m để phương trình lg( (ĐS: m<-3)
BT7.Giải các hệ phương trình sau đây:
a)
(
)
(

)
2 2
3 3
log log 2
16
x y y x xy
x y
ì
- = - +
ï
í
+ =
ï
î
b)(DB/B02)
4 2
4 3 0
log log 0
x y
x y
ì
- + =
ï
í
- =
ï
î

c)
(

)
2 2
2 2
log log ( 1)
1
x y
e e y x xy
x y
ì
- = - +
ï
í
+ =
ï
î
d) (DB/B02)
(
)
( )
3 2
3 2
log 2x 3x 5 3
log 2 3 5x 3
x
y
x y
y y y
ì
+ - - =
ï

í
+ - - =
ï
î

e)
( )
3
3 4
1 1 3
log 1
y
x
x
x
x y
ì
-
+ - =
ï
í
ï
+ =
î
f)
( ) ( )
3 3
4 32
log 1 log
x y

y x
x y x y
ì
ï
=
í
ï
- = - +
î

g) (DB/B03)
log log
2 2 3
y x
x y
xy y
ì
=
ï
í
+ =
ï
î
h) (DB/B06)
2 2
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0
x y x y
x y y
ì

+ - + = -
ï
í
- = =
ï
î

i)(A/09)
(
)
ì
+ = +
ï
í
ï
- + =
î
2
2 2
2 2
x 2
log 1 log ( )
3 81
x y xy
xy y
j) (B/2010)
(
)
2
2

log 3 1
4 2 3
x x
y x
y
ì
- =
ï
í
+ =
ï
î

k)(D/2010)
( )
ì
-
ï
í
- - =
ï
î
2
2
2
4x+y+2=0
2log x 2 log 0
x
y

BT8:Cho hệ phương trình:
2
3 3
3
2
1
log log 0
2
0
x y
x y ay
ì
- =
ï
í
ï
+ - =
î

a)Giải hệ phương trình khi a = 2
b)Tìm a để hệ phương trình có nghiệm
BT9: (D/05) Chứng minh
0
a
" >
hệ:
ln(1 ) ln(1 )
x y
e e x y

y x a
ì
- = + - +
í
- =
î
có nghiệm duy nhất

BT10:Giải các bất phương trình sau đây:
a)
(
)
2
1
log x 2
x
x
-
- >
b)
1 log 2000 2
x
+ <

c)
2 2
1 3
log log
2 2
2x 2

x x
³
(DBA04) d)
2
2
8x 1
log 2
1
x
x
+ -
£
+