Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn và ứng dụng


I.Nhắc lại hệ phương trình bậc nhất hai ẩn :
- Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng: ax+by=c(1) (a,b,c
là các hằng số cho trước, a+b≠0).
- Phương trình (1) có vô số nghiệm trong mặt phẳng toạ độ Oxy.Tập nghiệm
của nó được biểu diễn bởi một đường thẳng: ax+by=c.
Hoạt
động 1
Cặp (1;-2) có phải là một nghiệm của phương trình 3x - 2y = 7
không? Phương trình đó còn những nghiệm khác nữa không?

 Chú ý
1. Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c. nếu c ≠ 0 thì
phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số (x
0
;y
0
)
đều là nghiệm.
2. Khi b ≠ 0, phương trình ax + by = 0 trở thành
(2)
Cặp số (x
0
;y
0
) là nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm
M(x
0
;y
0
) thuộc đường thẳng (2).

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn
luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương
trình (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ Oxy.
Hoạt
động 2
Hãy biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình 3x - 2y = 6.
II.Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
- Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by=c (a+b≠0) và a’x+b’y=c’
(a’+b’≠0).Khi đó, ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
(I)
- Mỗi cặp số (x
0
;y
0
) đồng thời là nghiệm của hai phương trình trong hệ đượ
gọi là một nghiệm của hệ.
Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô
nghiệm.
- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
III.Minh hoạ hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc
nhất hai ẩn:
- Trên mặt phẳng toạ độ, nếu gọi (d) là đường thẳng ax+by=c và (d’) là
đường thẳng a’x+b’y=c’ thì điểm chung (nếu có) của hai đường thẳng ấy có
toạ độ là nghiệm chung của hai phương trình của (I).
→ Vậy tập nghiệm của hệ phương trình (I) được biểu diễn bởi tập hợp các
điểm chung của (d) và (d’).
Ví dụ: Xét hệ phương trình

Gọi (d): x+y=3
(d’): x-2y=0

Vẽ (d) và (d’) trong cùng một hệ toạ độ, ta thấy chúng cắt nhau tại một điểm
duy nhất M. Ta xác định được toạ độ điểm M(2;1).(Thử lại, ta thấy (2;1) là
một nghiệm của hệ ).
Hoạt
động 3
Hãy biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ phương trình
Hoạt
động 4
Hãy biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ phương trình .
Một cách tổng quát, ta có :
Đối với hệ phương trình (I),
- Nếu (d) cắt (d’) thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.
- Nếu (d) song song (d’) thì hệ (I) vô nghiệm.
- Nếu (d) trùng với (d’) thì hệ (I) có vô số nghiệm.
 Chú ý :
Từ kết quả trên ta thấy, có thể đoán nhận số nghiệm của hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn (I) bằng cách xét vị trí tương đối của các đường
thẳng ax+by=c và a’x+b’y=c’.
IV.Hệ phương trình tương đương :
Định nghĩa: Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng
có cùng tập nghiệm.
Ta dùng “⇔” để chỉ sự tương đương của hai hệ phương trình.
Chẳng hạn ta viết
⇔ .
V.Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn :
1.Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế :
a.Quy tắc thế :
Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương
trình tương đương.
Quy tắc thế gồm 2 bước:

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ
nhất ), ta biểu diển một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai
để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn ).
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ
hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ
thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).
Ví dụ :
Xét hệ phương trình :
(I)
Bước 1: Từ phương trình đầu, biểu diễn x theo y, ta có
x=3y+2(*).Thế vào phương trình thứ hai ta được
.
Bước 2: Dùng phương trình vừa có, thay thế cho phương trình thứ hai
của hệ và dùng (*) thay thế cho phương trình thứ nhất,ta được hệ
phương trình

⇒ Sau khi áp dụng quy tắc thế, có thể giải hệ (I) như sau :
(I) ⇔ ⇔ .
Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất là (-13;-5).
Cách giải như trên gọi là giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
b. Áp dụng :
i.Giải hệ phương trình :
(II)
Giải :
(II) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y)=(2;1).

Hoạt
động 5
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

.
 Chú ý :
Nếu trong quá trình giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta thấy xuất
hiện phương trình có các hệ số của cả hai ẩn đều bằng 0 thì hệ phương
trình đã cho có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.
ii.Giải hệ phương trình :
(III) .
Giải :
(III) ⇔ ⇔
Phương trình 0x=0 nghiệm đúng với mọi x ∈ R.
Vậy hệ (III) có vô số nghiệm.
2.Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số :
a.Quy tắc cộng đại số :
- Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ
phương trình tương đương.
- Quy tắc cộng đại số gồm hai bước :
Bước 1 : Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho
để được một phương trình mới.
Bước 2 : Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình
của hệ.
Ví dụ : Xét hệ phương trình :
(I)
Bước 1: Cộng từng vế của hai phương trình của (I) ta được :
(2x - y) + (x + y) = 3 ⇔ 3x=3.
Bước 2: Dùng phương trình mới thay thế cho phương trình thứ nhất, ta được
hệ :
⇔ .
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(1;1).
Cách giải như trên gọi là giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng
đại số.

b.Áp dụng:
i. Trường hợp 1 : Các hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình
bằng nhau hoặc đối nhau.
Ví dụ : Giải hệ phương trình :
(II)
Giải:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ (II), ta được :
3x=9 ⇔ x=3.
Do đó,
(II) ⇔ ⇔ .
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(3;-3).
ii.Trường hợp 2 : Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình không
bằng nhau và không đối nhau.
Ví dụ : Giải hệ phương trình :
(IV)
Giải:
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2 và hai vế của phương trình thư
hai với 3, ta có hệ tương đương :
(IV) ⇔ ⇔ ⇔ .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y)=(3;-1).
3.Giải hệ phương trình bằng phương pháp định thức :
a.Xây dựng công thức:
- Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
(I) .
+ Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với b’, hai vế của phương trình thứ
hai với -b rồi cộng vế theo vế, ta được
. (1)
+ Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -a’, hai vế của phương trình thứ
hai với a rồi cộng vế theo vế, ta được
. (2)

+ Đặt
' ' , ' ' , ' ' .
x y
D ab a b D cb c b D ac a c
= − = − = −
Khi đó, ta có hệ
phương trình hệ quả

.
( )
. .
x
y
D x D
II
D y D
=



=


Đối với hệ (II), ta xét các trường hợp:
i).
0D
≠
, hệ (II) có một nghiệm duy nhất
( ; ) ( ; ).
y

x
D
D
x y
D D
=
Đây cũng là nghiệm của hệ (I).
ii).
0D
=
, hệ (II) trở thành

0
0 .
x
y
x D
y D
=



=


-Nếu
0
x
D
≠

hoặc
0
y
D
≠
thì hệ (II) vô nghiệm nên hệ (I) vô nghiệm.
-Nếu
0
x y
D D
= =
thì hệ (II) có vô số nghiệm.
Theo giả thiết, hai số a và b không cùng bằng 0 nên không mất tính tổng
quát ta có thể giả sử a≠0.Ta có
'
' ' 0 ' .
a
D ab a b b b
a
= − = ⇒ =
'
' ' 0 ' .
y
a
D ac a c c c
a
= − = ⇒ =
Hệ (I) trở thành
ax
' '

(ax ) .
by c
a a
by c
a a
+ =



+ =


Do đó, tập nghiệm của hệ (I) trùng với tập nghiệm của phương trình
ax by c
+ =
.
b.Giải và biện luận:
Bước 1:Tính các định thức
' ' .
' '
' ' .
' '
' ' .
' '
x
y
a b
D ab a b
a b
c b

D cb c b
c b
a c
D ac a c
a c
= = −
= = −
= = −

Bước 2: Biện luận
-Nếu
0D
≠
thì hệ có nghiệm duy nhất (x;y):
( ; ) ( ; ).
y
x
D
D
x y
D D
=
-Nếu
0D
=
:
+ Nếu
0
x
D

≠
hoặc
0
y
D
≠
thì hệ (II) vô nghiệm nên hệ (I) vô nghiệm.
+ Nếu
0
x y
D D
= =
thì hệ (II) có vô số nghiệm.Tập nghiệm của hệ là tập
nghiệm của phương trình
ax by c
+ =
.
c.Ví dụ :
i).Giải hệ phương trình

Giải:
5 2
23 0
4 3
9 2
23
2 3
5 9
46
4 2

x
y
D
D
D
−
= = ≠
− −
= =−
−
= =
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ; ) ( 1; 2).
y
x
y
D
D
x y
D D
= =− =
Hoạt
động 6
Bằng định thức, giải hệ phương trình
.
ii).Giải và biện luận hệ phương trình
.
Giải:

2

2
1
1 ( 1)( 1).
1
1 1
2 ( 1)( 2).
2
1
1
1 2
x
y
m
D m m m
m
m
D m m m m
m
m m
D m
= = − = − +
+
= = + − = − +
+
= = −
Xét các trường hợp :
1)
0 ( 1)( 1) 0 1.D m m m
≠ ⇔ − + ≠ ⇔ ≠ ±
Ta có

( 1)( 2) 2
;
( 1)( 1) 1
( 1) 1
.
( 1)( 1) 1
x
y
D
m m m
x
D m m m
D
m
y
D m m m
− + +
= = =
− + +
−
= = =
− + +
Hệ có một nghiệm duy nhất
2 1
( ; ) ; .
1 1
m
x y
m m
+

 
=
 ÷
+ +
 
2.
1
0 ( 1)( 1) 0
1
m
D m m
m
=

= ⇔ − + = ⇔

= −

-Nếu m=1 thì
0
x y
D D D= = =
và hệ trở thành ⇔ x+y=2 ⇔
2
x
y x
∈


= −


¡
- Nếu m=-1 thì
0D
=
, nhưng
0
x
D
≠
nên hệ vô nghiệm.
 Kết luận:
Với
1m
≠ ±
, hệ có nghiệm duy nhất
2 1
( ; ) ;
1 1
m
x y
m m
+
 
=
 ÷
+ +
 
.
Với m=-1, hệ vô nghiệm.

Với m=1, hệ có vô số nghiệm (x;y) tính theo công thức
2
x
y x
∈


= −

¡
.
VI.Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
1.Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị
lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị, và nếu viết hai chữ số theo thứ tự
ngược lại thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị.
Hướng dẫn:
Trong bài toán trên, ta thấy có hai đại lượng chưa biết là chữ số hàng chục
và chữ số hàng đơn vị của số cần tìm.Theo giả thiết, khi viết hai chữ số ấy
theo thứ tự ngược lại, ta vẫn được một số có hai chữ số.Điều đó chứng tỏ
rằng cả hai chữ số ấy đều phải khác 0.
Giải:
Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x, chữ số hàng đơn vị là y(x và y là
những số nguyên, , ). Khi đó, số cần tìm là 10x+y.
Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số 10y+x.
Theo điều kiện đầu, ta có : 2y-x=1 ⇔ -x+2y=1 (1).
Theo điều kiện sau, ta có :
⇔ 9x-9y=27 ⇔ x-y=3 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
(I) ⇔ ⇔ (thoả điều kiện).

Vậy số cần tìm là 74.
Ví dụ 2 : Một chiếc xe tải đi từ TP.Hồ Chí Minh đến TP.Cần Thơ, quãng
đường dài 189 km. Sau khi xe tải xuất phát 1 giờ, một chiếc xe khách bắt
đầu đi từ TP.Cần Thơ về TP.Hồ Chí Minh và gặp xe tải sau khi đã đi được 1
giờ 48 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh
hơn xe tải 13 km.
Hướng dẫn :
Từ giả thiết của bài toán, ta thấy khi hai xe gặp nhau thì :
- Thời gian xe khách đã đi là 1giờ 48 phút, tức là giờ.
- Thời gian xe tải đã đi là 1 giờ + giờ = giờ (vì xe tải khởi hành trước
xe khách 1 giờ).
Giải :
Gọi vận tốc xe tải là x (km/h) và vận tôc xe khách là y (km/h) (x, y nguyên
dương).
Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km/h nên ta có phương trình y-x
=13 ⇔ -x+y=13. (1).
Đến lúc gặp nhau:
- Xe khách đi hết 1 giờ 48 phút = giờ nên quãng đường xe khách đi được là
y (km).
- Xe tải đi hết 1 giờ + giờ = giờ nên quãng đường xe tải đi được là
x (km).
Vì cả quãng đường là 189 km nên ta có phương trình y+x=189 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
⇔ ⇔ ⇔ (thoả điều kiện).
Vậy vận tốc xe tải là 36 km/h và vận tốc xe khách là 49 km/h.
2.Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
- Cho hai đường thẳng (d) và (d’) lần lượt có phương trình: ax+by=c và
a’x+b’y=c’.
i.(d) cắt (d’) khi và chỉ khi hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.
ii.(d) song song với (d’) khi và chỉ khi hệ phương trình vô nghiệm.

iii.(d) trùng (d’) khi và chỉ khi hệ phương trinh có vô số nghiệm.
Ví dụ: Cho hai đường thẳng (d): x+my=3 và (d’): mx+4y=6.Với giá trị nào
của m thì :
i. Hai đường thẳng cắt nhau ?
ii. Hai đường thẳng song song với nhau ?
iii. Hai đường thẳng trùng nhau ?
Giải :
Xét hệ phương trình : (I)
2
1
4 (2 )(2 ).
4
3 6
12 6 6(2 ).
4
1 3
6 3 3(2 ).
6
x
y
m
D m m m
m
D m m
m
D m m
m
= = − = − +
= = − = −
= = − = −

i. Hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau khi và chỉ khi hệ (I) có một
nghiệm duy nhất ⇔D≠0 ⇔ ⇔ m= ± 2.
ii. Hai đường thẳng (d) và (d’) song song khi và chỉ khi hệ (I) vô
nghiệm ⇔ ⇔ m=-2.
iii. Hai đường thẳng (d) và (d’) trùng nhau khi và chỉ khi hệ (I) có vô số
nghiệm
0
2
0 2.
2
0
x
y
D
m
D m
m
D

=
= ±


⇔ = ⇔ ⇔ =
 
=


=


I. Mục tiêu bài học :
- Học sinh nắm vững các cách giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
bằng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp định thức.
-Học sinh biết cách giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương
pháp thế, phương pháp cộng đại số và phương pháp định thức.
-Học sinh biết ứng dụng cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
II.Tiến trình thực hiện :
Nội dung Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh
I.Nhắc lại hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn
-giáo viên nêu định
nghĩa phương trình bậc
nhất hai ẩn.
-giáo viên gọi học sinh
cho ví dụ về phương
trình bậc hai.
-giáo viên nêu cách biểu
diễn tập nghiệm
phương trình bậc nhất
hai ẩn.
-giáo viên yêu cầu học
sinh thực hiện hoạt
động 1 &2.
-học sinh liên hệ sang
bài cũ.
-học sinh cho ví dụ
phương trình bậc nhất
hai ẩn.
-học sinh đọc và thực
hiện hoạt động 1 & 2.

II.Khái niệm hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn.
-giáo viên nêu khái niệm
hệ phương trình bậc
-học sinh nắm vững kiến
thức về khái niệm và
nhất hai ẩn.
-giáo viên trình bày
nghiệm của hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn.
-giáo viên gọi học sinh
cho ví dụ về hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn.
nghiệm của hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn.
-học sinh cho ví dụ về
hệ phương trình bậc
nhất hai ẩn.
III.Minh họa hình học
của hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn.
-giáo viên trình bày cách
biểu diễn tập nghiệm
của hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn.
-giáo viên đưa ra ví dụ
và yêu cầu học sinh tìm
hiểu bài toán.
-giáo viên yêu cầu học
sinh thực hiện hoạt

động 3 & 4.
-giáo viên trình bày cách
xét vị trí tương đối của
đường thẳng để đoán
nhận số nghiệm của hệ
phương trình bậc nhất
hai ẩn.
-học sinh nắm vững
cách biểu diễn tập
nghiệm của hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn để
tìm hiểu ví dụ của giáo
viên.
-học sinh đọc và thực
hiện hoạt động 3 & 4.
IV.Giải hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn:
-giải hệ phương trình
bằng phương pháp thế.
-giải hệ phương trình
bằng phương pháp
cộng đại số.
-giải hệ phương trình
bằng phương pháp định
thức.
-giáo viên yêu cầu học
sinh nêu các phương
pháp giải hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn đã
được học ở THCS.

-học sinh nghe và thực
hiện yeu cầu của giáo
viên:phương pháp thế
và phương pháp cộng
đại số.
-giải hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn bằng
phương pháp thế.
+giáo viên định nghĩa
quy tắc thế?và nêu các
bước của quy tắc thế.
+giáo viên đưa qui tắc
thế lên bảng.
+giáo viên đưa ra ví
dụ minh họa và yêu cầu
học sinh thực hiện bài
toán.
+giáo viên gọi học sinh
nêu từng bước trong
quy tắc thế và yêu cầu
học sinh giải hệ.
+giáo viên nêu bài tập
áp dụng và gọi học sinh
thực hiện hoạt động 5.
-học sinh nắm vững
định nghĩa quy tắc thế,
các bước của quy tắc
thế để biết cách giải một
hệ phương trình bậc
nhất hai ẩn bằng

phương pháp thế.
-từ lí thuyết đã được
học, học sinh đọc và
thực hiện bài toán mà
giáo viên đưa ra.
-học sinh áp dụng các
bước thế đã được học
và giải hệ sau khi áp
dụng các bước thế.
-học sinh đọc và thực
hiện hoạt động 5.
-giải hệ phương trình -học sinh nắm vững
bằng phương pháp
cộng đại số.
+giáo viên định
nghĩa quy tắc cộng đại
số.
+giáo viên giới thiệu
qui tắc cộng đại số gồm
2 bước thông qua ví
dụ :cộng từng vế hai
phương trình của hệ ta
có pt ?
-dùng pt mới này cùng
với một trong hai
phương trình của hệ ta
có hệ mới tương đương
là ?
⇒ qui tắc cộng đsgồm
hai bước?

Hãy giải hệ phương
trình mới này và kết
luận nghiệm duy nhất
+giáo viên đưa ra ví
dụ minh họa và yêu cầu
học sinh thực hiện bài
toán.
+giáo viên trình bày
các trường hợp xảy ra
khi giải hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn bằng
phương pháp cộng đại
số.
+giáo viên gọi học sinh
nêu từng bước trong
quy tắc cộng đại số và
yêu cầu học sinh giải
hệ.
định nghĩa quy tắc cộng
đại số và các bước của
quy tắc cộng đại số
thông qua ví dụ của giáo
viên.
-học sinh biết các
trường hợp(các dạng
của quy tắc cộng đại
số).
-học sinh trả lời từng
bước trong quy tắc cộng
đại số và giải hệ.

-giải hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn bằng
phương pháp định thức.
+giáo viên xây dựng
công thức tìm nghiệm
của hệ phương trình.
+giáo viên trình bày
cách giải và biện luận
tập nghiệm của hệ.
+giáo viên đưa ra ví
dụ minh họa giải hệ
-học sinh nắm vững
công thức tìm nghiệm
của hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn bằng
phương pháp định thức.
-từ công thức tìm
nghiệm rút ra cách giải
và biện luận tập nghiệm
của hệ.
-từ lí thuyết đã được
giáo viên trình bày, học
bằng phương pháp định
thức và yêu cầu học
sinh thực hiện bài toán.
+giáo viên trình bày
cách biện luận một hệ
phương trình có chứa
tham số.
sinh tìm hiểu ví dụ của

giáo viên và thực hiện
bài toán.
-học sinh biết cách biện
luận một hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn có
chứa tham số.
V.Ứng dụng của hệ
phương trình bậc nhất
hai ẩn.
1.giải bài toán bằng
cách lập hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn.
III.Hướng dẫn học ở nhà :
-Học sinh làm tất cả các bài tập trong sách giáo khoa và làm thêm ở sách bài
tập.
-Học sinh học tất cả các định nghĩa, các cách giải hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn.