phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình nhiều ẩn

§3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT NHIỀU ẨN


Nội dung
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn:
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn:
--Định nghĩa.
Định nghĩa.
--Phương pháp giải.
Phương pháp giải.
--Biểu diễn tập nghiệm.
Biểu diễn tập nghiệm.

2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
--Định nghĩa.
Định nghĩa.
--Phương pháp giải.
Phương pháp giải.
--Biểu diễn tập nghiệm.
Biểu diễn tập nghiệm.


I. ƠN TẬP VỀ TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC
PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN
NHẤT NHIỀU ẨN

1/ Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x , y có dạng
tổng quát là : ax + by = c
(1)
Trong đó : a , b , c là các hệ số , với điều kiện a và
b khơng đồng thời bằng 0

Ví dụ: 2x+3y=0;

-x+ 6y=0


I. ƠN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN
Cặp (1;-2) có phải là một nghiệm của phương trình 3x - 2y = 7
khơng? Phương trình ú cũn nhng nghim khỏc na khụng?
Kết quả

Câu hỏi

H1: Cp (1;-2) có phải là một
nghiệm của phương trình :
- 2y = 7 không?

TL1: Ta thấy 3.1 – 2(-2) = 7
3x

H2: Chỉ ra các nghiệm khác của
phương trình?

H3: Có thể nêu cơng thức
nghiệm của phương trình
3x - 2y = 7 ?

Vậy (1; -2) là nghiệm của phương
trình : 3x - 2y = 7

TL 2:
TL 3:

7 7 

 0; − ;  ; 0 
2 3 


 x0
 y0

Hoặc  2 y + 7

 3 x0 − 7
0


3


2

I. I. ƠN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH
ƠN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC
NHẤT HAI ẨN
BẬC NHẤT HAI ẨN
Chú ý:
a) Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c. Nếu c ≠ 0
thì phương trình này vơ nghiệm, cịn nếu c = 0 thì mọi cặp (
x0 ; y0) đều là nghiệm.
b) Khi b ≠ 0 phương trình ax + by = c trở thành:

a
c
y = - x + (2)
b
b

Cặp số (x0 ; y0) là một nghiệm của phương trình (1) Khi và chỉ
khi điểm M (x0 ; y0) thuộc đường thẳng (2)
Tổng quát:
# Phương trình bậc nhất hai ẩn ln ln có vơ số nghiệm.
# Biễu diễn hình học tập nghiệm của phương trình (1) là một
đường thẳng.


I. ƠN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN
Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình a)3x – 2y = 6
b)x +y = 2
Ta có:

3x-2y=6
3
⇔ 2y = 3x - 6 ⇔ y = x − 3
y
2
3
y=
x−3
Cho x = 0 ⇒ y = -3

2

y=0⇒x=2

y

2
2
x

2

O
-3

y=

O

-3

Các em có phương trình
Nếu biểu diễn Hai nhận xét gì
a) vànếu chúng ta biểu trục
b) trên cùng một hệ diễn
hai phương nhau trên
tọa độ thì chúng cắttrình tại
3một điểm có tọa độ :(2tọa độ?
cùng một hệ trục ; 0)
x−3

2

y =- x +2

x


I. ƠN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Định nghĩa
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ dạng:
ax + by = c

I) 
(
a ' x + b ' y = c '


( a + b ≠ 0)
( a ' + b ' ≠ 0)
2

2

2

2

- Mỗi cặp số (x0; y0) đồng thời là nghiệm của cả hai
phương trình trong hệ được gọi là nghiệm của hệ
- Giải hệ phương trình là đi tìm tập nghiệm của nó.
 Có 2 cách giải hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn: Phương

pháp thế và phương pháp cộng đại số


H 1 Giải các hệ sau

Hệ có nghiệm
(x; y) = (2; 1)

y
2x-5

x+3y
=5
= -1

−2 x + 6 y = 2
b) 
 x − 3 y = −2

Hệ vô nghiệm

=-2
x-3y
=2
x+6y
-2

3 x − y = 1

c)  1
1
x− y =
 3
3


Hệ có vơ số
nghiệm dạng
(x; y)=(x; 3x-1)
với x ∈ R
x- 1/
3y 1
3x-y = /3
=1

2 x − 5 y = −1
a) 
x + 3y = 5


- Ý nghĩa hình học của tập nghiệm
Giả sử (d) là đường thẳng ax+by=c và (d') là đường thẳng
a'x+b'y=c'. Khi đó:
1) Hệ (I) có nghiệm duy nhất ⇔ (d) và (d') cắt nhau.
2) Hệ (I) vô nghiệm
⇔ (d) và (d') song song
3) Hệ (I) có vơ số nghiệm
⇔ (d) và (d') trùng nhau.
y

y
(d)

(d')

y
(d)

(d)
(d')

(d')
O

x

O

x

O

x


HĐ2: Giải các hệ phương trình sau bằng MTBT

a)

37

 x = 24
a, 
29
y =
12


b)

x = 2

3
b, 
y = 2



c)

34

 x = 13
c, 
1
y =
13



Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng định thức
ax + by = c
a2 + b2 ≠ 0)
(

( I) 
2
2
a ' x + b ' y = c ' ( a ' + b ' ≠ 0 )


Đặt:
a b
c b
a c
D=

= ab '− a ' b; Dx =
= cb '− c ' b; D y =
= ac '− a ' c
a' b'
c' b'
a' c'

1, D ≠ 0 : Hệ có nghiệm duy nhất trong đó ( x; y )
Dy
Dx
x=
;y=
.
D
D

2, D = 0
* Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0 : Hệ vô nghiệm.
* Dx = Dy = 0 : Hệ vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của pt
ax+by=c


Giải và biện luận hệ phương trình

 mx + y = m + 1

 x + my = 2

Ta tính các định thức:
Ta tính các định thức:

D = m 2 − 1 = (m + 1)(m − 1)

Dx = m 2 + m − 2 = (m − 1)(m + 2)

Ta xét các trường hợp sau:
Ta xét các trường hợp sau:
1, D≠0, tức là m ≠ ± 1. Ta có, hệ có nghiệm duy nhất
1, D≠0, tức là m ≠ ± 1. Ta có, hệ có nghiệm duy nhất


x =


y =



2, D =0, tức là m = 11hoặc m = -1.
2, D =0, tức là m = hoặc m = -1.
--Nếu m = 11thì Dx = Dy = 0 và hệ phương trình trở thành
Nếu m = thì
và hệ phương trình trở thành

Dx
( m − 1)( m + 2)
m+2
=
=
D

(m − 1)(m + 1)
m +1
Dy
m −1
1
=
=
D
( m − 1)( m + 1)
m +1

x ∈ R
x+ y = 2⇔ 
 y = 2 − x.

--Nếu m = -1 thì Dx ≠ 0 nên hệ pt vơ nghiệm.
Nếu m = -1 thì
nên hệ pt vơ nghiệm.
Kết luận:
Kết luận:
m+2
--m ≠ ± 1, hệ có nghiệm duy nhất
m ≠ ± 1, hệ có nghiệm duy nhất
;


1 
÷
 m +1 m +1

--m = -1, hệ vơ nghiệm;
m = -1, hệ vơ nghiệm;
--m = 1, hệ có vơ số nghiệm (x;y) tính theo cơng thức
m = 1, hệ có vơ số nghiệm (x;y) tính theo cơng thức

Dy = m − 1

x ∈ R

y = 2 − x


Củng cố và vận dụng
Câu 2: Phương trình x+2y=1
A

1
có một nghiệm (0; )
2

1
(0; )
2

B

có 2 nghiệm (1; 0) và

C

 1 − x0 

có vơ số nghiệm  x0 ;
2 


D

vơ nghiệm


Củng cố và vận dụng
Câu 3: Hệ phương trình  2 x + 3 y = 4 Có nghiệm là:

− x + y = 2
A

C

2 8
(− ; − )
5 5
2 8
( ;− )
5 5

2 8
( ; )
5 5

B

D

2 8
( ; )
5 5

2 8
(− ; )
5 5


Củng cố và vận dụng
Bài toán: Hai bạn Vân và Lan đến cửa hàng mua trái cây. Bạn
Vân mua 10 quả quýt, 7 quả cam với giá tiền là 17800 đồng. Bạn
lan mua 12 quả quýt, 6 quả cam hết 18000 đồng. Hỏi giá tiền
mỗi quả quýt và mỗi quả cam là bao nhiêu?
Giải
Gọi x ( đồng ) là giá tiền mỗi quả quýt. ( x > 0 )
Gọi y ( đồng ) là giá tiền một quả cam. ( y > 0 )
Ta có hệ phương trình:

10 x + 7y = 17800 ⇒  x = 800


 y = 1400
12x + 6y = 18000
Vây: Giá mỗi quả quýt là 800 đ
Giá mỗi quả cam là 1400 đ

Tóm tắt
Phương trình:
ax+by=0
Phương trình:
ax+by=0
# Có vơ số nghiệm
# Có vơ số nghiệm
# Biểu diễn hình học của tập nghiệm là đường thẳng
# Biểu diễn hình học của tập nghiệm là đường thẳng
ax + by = c
( a2 + b2 ≠ 0)
Hệ phương trình
Hệ phương trình

I) 
(
a ' x + b ' y = c ' ( a '2 + b ' 2 ≠ 0 )


# Phương pháp giải: Thế, Cộng, Định thức .DT.pptx
# Phương pháp giải: Thế, Cộng, Định thức .DT.pptx
# Ý nghĩa hình học
# Ý nghĩa hình học
y
(d)

(d')

y

y

(d)
(d')

(d)
(d')

O

x

O

x

O

x