Tài liệu tham khảo ôn tập thi tốt nghiệp PTTH môn toán

Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

NỘI DUNG ƠN TẬP

Nội dung, u cầu ơn luyện những kiến thức cơ bản cần nhớ, dạng bài toán
cần luyện tập cho tất cả học sinh dự thi; phần những kiến thức và dạng bài toán in nghiêng
và đậm là phần dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao.
HUỚNG DẪN NỘI DUNG ƠN TẬP
THEO CHUẨN KIẾN THỨC KĨ NĂNG
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ CẤU TRÚC ĐỀ THI
1. CÁC CHỦ ĐỀ
Chủ đề 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Các kiến thức cơ bản cần nhớ :
1. Hàm số, tính đơn điệu của hàm số, mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một
hàm số và dấu đạo hàm cấp một của nó.
2. Điểm uốn, điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số. Các điều kiện đủ để
có điểm cực trị của hàm số.
3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số.
4. Phép tịnh tiến hệ toạ độ và công thức đổi toạ độ qua phép tịnh tiến đó.
5. Đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang, tiệm cận xiên của đồ thị.
6. Các bước khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên,
tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị. Giao điểm của hai đồ thị. Sự
tiếp xúc của hai đường cong ( điều kiện cần và đủ để hai đường cong tiếp xúc nhau
).
Các dạng toán cần luyện tập :
1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo hàm
cấp một của nó. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương
trình hoặc chứng minh bất đẳng thức.
2. Tìm điểm cực trị của hàm số, tính giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số; tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng, ứng dụng vào việc
giải phương trình, bất phương trình.

3. Vận dụng được phép tịnh tiến hệ toạ độ để biết được một số tính chất của đồ thị.
4. Tìm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
1


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

5. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0),
y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0), y =

và y =

ax + b
(ac ≠ 0),
cx + d

trong đó a, b, c, d là những số cho trước;

ax 2 + bx + c
, trong đó a, b, c, d, m, n là các số cho trước, a.m ≠ 0.
mx + n

6. Dùng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của một phương trình.
7. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (tại một điểm thuộc đồ thị hàm số, đi
qua một điểm cho trước, biết hệ số góc); viết phương trình tiếp tuyến chung của hai
đường cong tại điểm chung.
Chủ đề 2. Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Các kiến thức cơ bản cần nhớ :
1. Luỹ thừa. Luỹ thừa với số mũ nguyên của số thực; Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ
thừa với số mũ thực của số thực dương (các khái niệm và các tính chất).

2. Lơgarit. Lơgarit cơ số a của một số dương (a > 0, a ≠ 1). Các tính chất cơ bản của
lơgarit. Lơgarit thập phân, số e và lôgarit tự nhiên.
3. Hàm số luỹ thừa. Hàm số mũ. Hàm số lơgarit (định nghĩa, tính chất, đạo hàm và đồ
thị ).
4. Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit.
Các dạng tốn cần luyện tập :
1. Dùng các tính chất của luỹ thừa để đơn giản biểu thức, so sánh những biểu thức có
chứa luỹ thừa.
2. Dùng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lơgarit đơn giản.
3. Áp dụng các tính chất của lơgarit vào các bài tập biến đổi, tính tốn các biểu thức chứa
lơgarit.
4. Áp dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai biểu
thức chứa mũ và lôgarit.
5. Vẽ đồ thị các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lơgarit.
6. Tính đạo hàm các hàm số y = e x , y = ln x . Tính đạo hàm các hàm số luỹ thừa, mũ,
lôgarit và hàm số hợp của chúng.
7. Giải một số phương trình, bất phương trình mũ đơn giản bằng các phương pháp :
phương pháp đưa về luỹ thừa cùng cơ số, phương pháp lơgarit hố, phương pháp dùng
ẩn số phụ, phương pháp sử dụng tính chất của hàm số.
2


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

8. Giải một số phương trình, bất phương trình lơgarit đơn giản bằng các phương pháp :
phương pháp đưa về lơgarit cùng cơ số, phương pháp mũ hố, phương pháp dùng ẩn số
phụ, phương pháp sử dụng tính chất của hàm số.
9. Giải một số hệ phương trình mũ, lơgarit đơn giản.
Chủ đề 3. Ngun hàm, Tích phân và ứng dụng
Các kiến thức cơ bản cần nhớ :

1. Định nghĩa, tính chất của nguyên hàm. Bảng nguyên hàm của một số hàm số tương đối
đơn giản. Phương pháp đổi biến số. Tính nguyên hàm từng phần.
2. Định nghĩa và các tính chất của tích phân. Tính tích phân của hàm số liên tục bằng
công thức Niu-tơn - Lai-bơ-nit. Phương pháp tích phân từng phần và phương pháp đổi
biến số để tính tích phân.
3. Diện tích hình thang cong. Các cơng thức tính diện tích, thể tích nhờ tích phân.
Các dạng tốn cần luyện tập :
1. Tính ngun hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và
cách tính nguyên hàm từng phần.
2. Sử dụng phương pháp đổi biến số ( khi đó chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số
quá một lần) để tính nguyên hàm.
3. Tính tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa hoặc phương
pháp tính tích phân từng phần.
4. Sử dụng phương pháp đổi biến số (khi đó chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số
quá một lần) để tính tích phân.
5. Tính diện tích một số hình phẳng, thể tích một số khối trịn xoay nhận trục hồnh, nhận
trục tung làm trục nhờ tích phân.
Chủ đề 4. Số phức
Các kiến thức cơ bản cần nhớ :
1. Số phức. Dạng đại số của số phức. Biểu diễn hình học của số phức, mơđun của số
phức, số phức liên hợp.
2. Căn bậc hai của số thực âm. Giải phương trình bậc hai, quy về bậc hai với hệ số thực.
3. Căn bậc hai của số phức. Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai với hệ
số phức.
4. Acgumen và dạng lượng giác của số phức. Công thức Moa-vrơ và ứng dụng.
Các dạng toán cần luyện tập :
3


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

1. Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức ở dạng đại số. Tìm nghiệm phức của
phương trình bậc hai với hệ số thực (nếu ∆ < 0 ).
2. Biểu diễn được số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác và ngược lại. Cách
nhân, chia các số phức dưới dạng lượng giác.
3. Tính căn bậc hai của số phức. Giải phương trình bậc hai với hệ số phức.
4. Biểu diễn cos3α , sin4α ,... qua cosα và sinα .
Chủ đề 5. Khối đa diện và thể tích khối đa diện
Các kiến thức cơ bản cần nhớ :
1. Khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt, khối đa diện. Phân chia và lắp ghép các khối
đa diện. Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của hai khối đa diện.
2. Khối đa diện đều, 5 loại khối đa diện đều : tứ diện đều, hình lập phương, bát diện đều,
thập nhị diện đều và nhị thập diện đều. Tính đối xứng qua mặt phẳng của khối tứ diện đều
và hình lập phương. Phép vị tự trong khơng gian.
3. Thể tích khối đa diện. Thể tích khối hộp chữ nhật. Cơng thức thể tích khối lăng trụ,
khối chóp và khối chóp cụt.
Các dạng tốn cần luyện tập :
Tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp và khối chóp cụt.
Chủ đề 6. Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
Các kiến thức cơ bản cần nhớ :
1. Mặt cầu. Giao của mặt cầu và mặt phẳng. Mặt phẳng kính, đường trịn lớn. Mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu. Giao của mặt cầu với đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu.
Cơng thức tính diện tích mặt cầu.
2. Mặt trịn xoay. Mặt nón, giao của mặt nón với mặt phẳng. Cơng thức tính diện tích
xung quanh của hình nón. Mặt trụ, giao của mặt trụ với mặt phẳng. Công thức tính
diện tích xung quanh của hình trụ.
Các dạng tốn cần luyện tập :
1. Tính diện tích mặt cầu. Tính thể tích khối cầu.
2. Tính diện tích xung quanh của hình nón, diện tích xung quanh của hình trụ. Tính thể
tích khối nón trịn xoay. Tính thể tích khối trụ trịn xoay.

Chủ đề 7. Phương pháp toạ độ trong không gian
Các kiến thức cơ bản cần nhớ :
1. Hệ toạ độ trong không gian, toạ độ của một vectơ, toạ độ của điểm, biểu thức toạ độ
4


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

của các phép toán vectơ, khoảng cách giữa hai điểm. Tích vectơ (tích có hướng của hai
vectơ). Một số ứng dụng của tích vectơ. Phương trình mặt cầu.
2. Phương trình mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Phương trình tổng quát của
mặt phẳng. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vng góc. Khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng.
3. Phương trình đường thẳng. Phương trình tham số của đường thẳng. Phương trình chính
tắc của đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau, cắt nhau, song song
hoặc vng góc với nhau. Cơng thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường
thẳng. Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng.
Các dạng tốn cần luyện tập :
1. Tính toạ độ của tổng, hiệu các vectơ, tích của vectơ với một số ; tính được tích vơ
hướng của hai vectơ, tích có hướng của hai vectơ. Tính được diện tích hình bình
hành, thể tích khối hộp bằng cách dùng tích có hướng của hai vectơ.
2. Tính khoảng cách giữa hai điểm có toạ độ cho trước. Xác định toạ độ tâm và bán kính
của mặt cầu có phương trình cho trước. Viết phương trình mặt cầu.
3. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng. Tính góc.
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Tính khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng.
4. Viết phương trình tham số của đường thẳng. Sử dụng phương trình của hai đường
thẳng để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng đó. Viết phương trình hình
chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng.
2. CẤU TRÚC ĐỀ THI

a. Cấu trúc đề thi THPT thi theo chương trình chuẩn
Thơng thường đề thi có 05 câu, trong đó 3 câu (1, 2, 3) bắt buộc thuộc phần chung, 2
câu cịn lại theo chương trình chuẩn là 4a, 5a hoặc theo chương trình nâng cao là 4b, 5b; cụ
thể như sau :
∗ Cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT thi theo chương trình chuẩn
Câu 1. Là một bài tốn có nội dung về :
• Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
• Các bài tốn liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số : Chiều
biến thiên của hàm số. Cực trị. Tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị
của hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước; tương giao giữa
5


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);...
Câu 2. Là một bài tốn có nội dung về :
• Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit.
• Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
• Tìm ngun hàm, tính tích phân.
• Bài tốn tổng hợp.
Câu 3. Là một bài tốn có nội dung về :
Hình học khơng gian (tổng hợp) : Tính diện tích xung quanh của hình nón trịn
xoay, hình trụ trịn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón trịn xoay,
khối trụ trịn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Câu 4a. Là một bài tốn có nội dung về phương pháp toạ độ trong trong khơng gian :
• Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
• Mặt cầu.
• Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
• Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường

thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 5a. Là một bài tốn có nội dung về :
• Số phức : Mơđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số thực
âm. Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ∆ âm.
• Ứng dụng của tích phân : Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối
trịn xoay.
∗ Cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT thi theo chương trình nâng cao
Câu 1. Là một bài tốn có nội dung về :
• Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
• Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số : Chiều
biến thiên của hàm số. Cực trị. Tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị
của hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước; tương giao giữa
hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);...
Câu 2. Là một bài tốn có nội dung về :
• Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit.
• Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
• Tìm ngun hàm, tính tích phân.
6


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

• Bài tốn tổng hợp.
Câu 3. Là một bài tốn có nội dung về :
Hình học khơng gian (tổng hợp) : Tính diện tích xung quanh của hình nón trịn
xoay, hình trụ trịn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón trịn xoay,
khối

trụ

trịn

xoay;

tính

diện

tích

mặt

cầu

và

thể

tích

khối cầu.
Câu 4b. Là một bài tốn có nội dung về phương pháp toạ độ trong trong khơng gian :
• Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
• Mặt cầu.
• Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
• Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách
giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 5b.

Là một bài tốn có nội dung về :

• Số phức : Mơđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số
phức. Phương trình bậc hai với hệ số phức. Dạng lượng giác của số phức.
• Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y =

ax 2 + bx + c
và một số yếu tố liên quan.
px + q

• Sự tiếp xúc của hai đường cong.
• Hệ phương trình mũ và lơgarit.
• Ứng dụng của tích phân : Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay.
b. Cấu trúc đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng
Thơng thường đề thi có 07 câu, trong đó 5 câu (1, 2, 3, 4, 5) bắt buộc thuộc phần
chung, 2 câu còn lại theo chương trình chuẩn là 6a, 7a hoặc theo chương trình nâng cao là
6b, 7b; cụ thể như sau :
∗ Cấu trúc đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng thi theo chương trình chuẩn
Câu 1. Là một bài tốn có nội dung về :
• Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số
 Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số : Chiều biến thiên
của hàm số. Cực trị. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và
ngang) của đồ thị hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước; tương giao
giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);...

Câu 2. Là một bài tốn có nội dung về :
• Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số.
7


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

• Cơng thức lượng giác, phương trình lượng giác.
Câu 3. Là một bài tốn có nội dung về :
• Tìm giới hạn.
• Tìm ngun hàm, tính tích phân.
 Ứng dụng của tích phân : Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay.
Câu 4. Là một bài tốn có nội dung về :
Hình học khơng gian (tổng hợp) : Quan hệ song song, quan hệ vng góc của đường
thẳng, mặt phẳng. Tính diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay, hình trụ trịn
xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón trịn xoay, khối trụ trịn xoay; tính
diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Câu 5. Là một bài tốn có nội dung về :
Bài toán tổng hợp.
Câu 6a. Là một bài toán có nội dung về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong khơng
gian :
• Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
• Đường trịn, elip, mặt cầu.
• Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
• Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường
thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 7a.

Là một bài tốn có nội dung về :
• Số phức.
• Tổ hợp, xác suất, thống kê.
• Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số.

∗ Cấu trúc đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng thi
theo chương trình nâng cao
Câu 1. Là một bài tốn có nội dung về :

• Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
• Các bài tốn liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số : Chiều
biến thiên của hàm số. Cực trị. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tiếp
tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có
tính chất cho trước; tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường
thẳng);...
8


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

Câu 2. Là một bài tốn có nội dung về :
• Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số.
• Cơng thức lượng giác, phương trình lượng giác.
Câu 3. Là một bài tốn có nội dung về :
• Tìm giới hạn.
• Tìm ngun hàm, tính tích phân.
• Ứng dụng của tích phân : Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay.
Câu 4. Là một bài tốn có nội dung về :
Hình học khơng gian (tổng hợp) : Quan hệ song song, quan hệ vng góc của đường thẳng,
mặt phẳng. Tính diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay, hình trụ trịn xoay; tính thể
tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón trịn xoay, khối trụ trịn xoay; tính diện tích mặt cầu
và thể tích khối cầu.

Câu 5. Là một bài tốn có nội dung về :
Bài toán tổng hợp.

Câu 6b. Là một bài toán có nội dung về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong khơng gian :
• Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
• Đường trịn, ba đường cơnic, mặt cầu.

• Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
• Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai
đường thẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.

Câu 7b. Là một bài tốn có nội dung về :
• Số phức.
• Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y =

ax 2 + bx + c
và một số yếu tố liên quan.
px + q

• Sự tiếp xúc của hai đường cong.
• Hệ phương trình mũ và lơgarit.
• Tổ hợp, xác suất, thống kê.

• Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số.

9


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

Phần thứ ba
BÀI TỐN ƠN TẬP THEO CHUẨN KIẾN THỨC – KĨ NĂNG

Chuyên đề 1

KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI
TỐN LIÊN QUAN

A. ƠN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ
Các bước khảo sát hàm số : (tối thiểu phải có đũ 6 bước)
Các bước khảo sát hàm đa thức
 Tập xác định.

Các bước khảo sát hàm hữu tỷ
 Tập xác định.

 Tìm y’ & sự biến thiên, cực trị.

 Tìm y’ & sự biến thiên, cực trị.
10


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

 Giới hạn & tiệm cận ( đứng + ngang;

 Giới hạn xlim y = .. ; xlim y = ..
→−∞
→+∞

đứng + xiên).

 Bảng biến thiên.
 Giá trị đặc biệt ( có tọa độ điểm uốn
khi khảo sát hàm số bậc 3 để chính xac hóa

 Bảng biến thiên.

 Giá trị đặc biệt ( giao điểm với Ox,
Oy, điểm cực trị…).

đồ thị).

 Đồ thị.

 Đồ thị.
 Các dạng đồ thị hàm số:

 Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) ( chỉ nêu 4/6 dạng đồ thị)
y

y

•

O

I

•

I

I

I

O

x

a>0

y

y

•

•

x

O

a<0

Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?

O

x

a>0

x
a<0

Dạng 2: hàm số khơng có cực trị ⇔ ?

 Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
y

y

O

O

x

a>0

y

y

x

O

a>0

a<0

Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ ?

 Hàm số nhất biến : y =

O

x

x

a<0

Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ⇔ ?

ax + b
(ad − bc ≠ 0)
cx + d
y

y

I
I
O

x

Dạng 1: hàm số đồng biến

O

x

Dạng 2: hàm số nghịch biến

11


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

ax 2 + bx + c
 Hàm số hữu tỷ (2/1) : y =
(tử, mẫu khơng có nghiệm chung, ... )
a1x + b1
y

y

•

•

I

O

I

O

x

y

y

•

x

Dạng 1: hàm số có cực trị

•

I

O

x

I

O

x

Dạng 2: hàm số khơng có cực trị

B. ƠN TẬP CÁC BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN
Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình:
f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát.
+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn

cùng phương với trục Ox.
Các bước giải:
Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1) và dùng 1 trong 3 bảng sau:
Bước : Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận:
m
........
........

Số giao điểm của (C) & (d)
........
.......

Số nghiệm của pt (1)
........
.......

Bảng 1

12


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

g(m)
......
.......

m
.......
.......

Số giao điểm của (C) & (d)
........
.........

Số nghiệm của pt (1)
.........
.........

Bảng 2

f(m)
......
.......

m
.......
.......

Số giao điểm của (C) & (d)
........
.........

Số nghiệm của pt (1)
.........
.........

Bảng 3

Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể trịn xoay.

• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b)
b

→ Ta sử dụng công thức

S = ∫ f ( x ) dx

(I)

a

Đặc biệt: Nếu f(x) khơng đổi dấu / (a;b) thì S =

b

∫ f ( x )dx

a

• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), y = g(x) , x = a, x = b ( a < b),
b

→ Ta sử dụng công thức S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx

(II)

a

Đặc biệt: Nếu f(x) – g(x) khơng đổi dấu / (a;b) thì S =

b

∫ [ f ( x ) − g ( x )] dx

a

• Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox.
→ Ta dùng công thức

b

V = π ∫ [ f ( x )] dx
2

(III)

a

13


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

• Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi
(C): x = g(y), trục Oy và 2 đường thẳng y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh Oy.
→ Ta dùng công thức

b

V = π ∫ [ g ( y )] dy
2

(IV)

a

Bài tập : ( Phần KSHS – Biện luận phương trình bằng dồ thị - tính diện tích hình
phẳng và thể tích vật thể :
Bài 1: Cho hàm số y = x3 – mx + m + 2 có đồ thị là (Cm).
a) Khảo sát hàm số khi m = 3.
b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x3 – 3x – k +1 = 0.
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3.
Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 2x2 – (m - 1)x + m = 0
a) Xác định m để hàm số có cực trị.
b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C).
c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi (C) và đoạn OA.
Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)2(x –1)2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình :
(x2 – 1)2 – 2n + 1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 4: Cho hàm số y =

(m − 1) x + m
(m khác 0) và có đồ thị là (Cm).

x−m

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C2).
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C2), tiệm cận ngang của nó và các đường
thẳng x = 3, x = 4.
− x2 + x
Bài 5: Cho hàm số y =
x +1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết pttt của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hồnh.
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hồnh.

14


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

Bài 6: Cho hàm số y =

x 2 − mx + 4
mx − 4

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C2).
b) Dùng đồ thị (C2) giải và biện luận phương trình :
x2 – 2(k + 1)x + 4(k + 1) = 0.
c) Tính diện tích hình phẳng của hình (H) giới hạn bởi: (C2), trục Ox, trục Oy, và
đường thẳng x = 1.
d)* Tính thể tích hình trịn xoay do (H) quay 1 vòng xung quanh Ox tạo ra.
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong :

y=

1 2
1
x ; y = − x 2 + 3x .
4
2

Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x2 + y – 5 = 0; x + y – 3 = 0. Tính thể
tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox.
Bài 9: Tính thể tích vật thể trịn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các
đường: y = x2 và y =

x quay quanh Ox.

Dạng 3: Viết PTTT của đồ thị hàm số?
 Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M0(x0;y0) ∈ (C).
 Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y0 = f’(x0) ( x − x0 ) hay y – y0 = k(x – x0) (*)
 Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x0, y0, f’(x0) thay vào (*).
Rút gọn ta có kết quả
 Bài tốn 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(xA;yA)
 Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k:
y – yA = k(x – xA)

(1)

 Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:
 f ( x) = k ( x − x A ) + y A

 f '( x) = k

 Bước 3: Giải tìm k và thay vào (1). Ta có kết quả.
 Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vng góc với 1 đường thẳng (D) )
C1:  Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k ⇒ .. ⇒ x = x0 ( hoành độ tiếp điểm)
 Bước 2: Tìm y0 và thay vào dạng y = k(x – x0) + y0. ta có kết quả
15


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

C2: Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**)
(trong đó m là tham số chưa biết)
 f ( x) = kx + m
⇒ k = ? thay vào (**).
 f '( x) = k

 Bước 2: Lập và giải hệ pt: 

Ta có kết quả
Bài tập về pttt của đồ thị:
Bài 10: Cho hàm số y = x2 – 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0.
a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B.
b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A, B vng góc nhau.
Bài 11: Cho hàm số y = x3 + mx2 – m – 1, có đồ thị (C).
a) Tìm các điểm cố định của (Cm).
b) Lập pttt tại các điểm cố định đó.
Bài 12: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 – 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vng góc nhau.
Bài 13: Cho hàm số y =

x+2
. Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm
x−2

với trục tung và trục hoành.
Bài 14: Cho hàm số y =

x 2 + ax - 2
. Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao
x−2

điểm với trục tung và trục hoành.
Bài 15: Cho hàm số y =

x+2
. Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5).
x−2

x2 + 2x + 2
Bài 16: Viết pttt của đồ thị hàm số y =
đi qua B(1;0).
x +1

Bài 17: Cho hàm số y = x3 – 3x. Lập các pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số.
Bài 18: Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 + 5. Lập pttt kẻ từ A(

19
; 4).
12

Bài 20: Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1. Tìm M thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho sao
cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O.
Dạng 4: Cực trị của hàm số:
Điều kiện để hàm số có cực trị:
Vắn tắt:

Xét hàm số y = f(x)

 Hàm số đạt cực trị tại x0 thì f’(x0) = 0 ( ngược lại không luôn đúng)
16


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

 Hàm số y = f(x) có : (Dấu hiệu thứ nhất )
 f’(x0) = 0 và f’(x) có đổi dấu khi x qua x0 thì hàm số có cực trị tại x0.
 f’(x0) = 0 và f’(x) có đổi dấu từ + >> - khi x qua x0 thì hàm số có cực đại tại x0.
 f’(x0) = 0 và f’(x) có đổi dấu từ - >> + khi x qua x0 thì hàm số có cực tiểu tại x0.
 Hàm số y = f(x) có :
 f’(x0) = 0 và f’’(x0) ≠ 0 thì thì hàm số có cực trị tại x0 .
 f’(x0) = 0 và f’’(x0) < 0 thì thì hàm số có cực đại tại x0.
 f’(x0) = 0 và f’’(x0) > 0 thì thì hàm số có cực tiểu tại x0.
u cầu đối với học sinh:
 Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:
 Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) → khơng có cực trị hoặc có 2 cực trị.
 Hàm số bậc 4 dạng : y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) → có 1 cực trị hoặc 3 cực trị.
 Hàm số nhất biến dạng: y =

ax+b

→ chỉ tăng hoặc chỉ giảm và khơng có cực trị.
cx+d

 Hàm số hữu tỷ (2/1) dạng: y =

ax 2 + bx + c
→ khơng có cực trị hoặc có 2 cực trị.
a 'x + b '

Bài tập 21: Định tham số m để:
1). Hàm số y =

1 3
x + mx 2 + (m + 6) x − 1 có cực đại và cực tiểu.
3

Kết quả: m < - 2 hay m > 3
2
2). Hàm số y = x + mx − 2 có cực trị.

mx − 1

Kết quả: - 1 < m < 1
3). Hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x1, x2
và khi đó x2 – x1 không phụ thuộc tham số m.
Kết quả : ∀m và x2 – x1 = 1
4). Hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M 1(x1;y1),
M2(x2;y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh rằng :

y1 − y2

= 2.
( x1 − x2 )( x1x2 − 1)

Kết quả : m < 1
Dạng 5: Giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số:
17


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

1) Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trên D
Số M gọi là GTLN của hàm số y = f(x) trên D nếu:
∀x ∈ D : f ( x) ≤ M
(ký hiệu M là Giá trị lớn nhất của f(x) trên D)

∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = M

Số m gọi là GTNN của hàm số y = f(x) trên D nếu:
∀x ∈ D : f ( x) ≥ m
(ký hiệu m là Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D)

∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m

2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b).
+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại (cực tiểu) thì giá trị
cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b).
3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b].
+ Tìm các điểm tới hạn x1,x2, ..., xn của f(x) trên [a,b].
+ Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b).

+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
M = max f ( x) ; m = min f ( x)
[ a ,b ]

[ a ,b ]

BÀI TẬP : ( Về GTLN – GTNN)
Bài tập 22: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a) y = 2 x 3 + 3 x 2 − 1 trên [-2;-1/2] ; [1,3).
4
3

3
b) y = 2s inx- sin x

c) y = 2cos2x+4sinx
2
d) y = x − 3x + 2

trên đoạn [0,π]
x∈[0,π/2]

(TN-THPT 03-04/1đ)
(TN-THPT 01-02/1đ)

trên đoạn [-10,10].

Bài tập 23: f ( x) = 25 − x 2 trên đoạn [-4; 4]
HD : max f ( x) = f (0) = 5 ; min] f ( x) = f ( −4) = f (4) = 3
[ −4;4

[ −4;4]
Bài tập 24: f ( x) = (3 − x) x 2 + 1 trên đoạn [0; 2]
HD : max f ( x) = f (0) = 3 ; min f ( x) = f (2) = 5
[ 0;2]
[ 0;2]
Bài tập 25: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x + 1 + −3x 2 + 6 x + 9 trên đoạn [-1,3].

18


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

6
x2 + 3
≤ 2
≤ 2 với mọi giá trị x.
7 x +x+2

Bài tập 26: Chứng minh rằng

Dạng 6: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
Số giao diểm của hai đường cong (C 1) y= f(x) và (C2) y=g(x) là số nghiệm của
phương trình hồnh độ giao điểm f(x) = g(x) (1)
Ví dụ: Cho hàm số y =

x +1
và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của
x −1

hai đường cong.
Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình

x +1
= mx − 1
x −1

(điều kiện x khác 1)
⇔ mx 2 − (m + 2) x = 0 ⇔ x(mx − (m + 2)) = 0

+ Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt
đường cong tại một điểm.
+ Nếu m ≠ 0 và m ≠ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và
x=

m+2
. Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt
m

(chú ý cả hai nghiệm đều khác 1)
Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm.
+ m ≠ 0 và m ≠ - 2 có hai giao điểm.
Bài tập: ( Về sự tương giao của 2 đường)

x3 x 2
Bài tập 27: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C): y =
+
− 2 x và đường thẳng (T):
3
2

y−

13
1
= m( x + ) .
12
2
KQ: 1 giao điểm ( m ≤ −

27
27
), 3 giao điểm ( m > −
)
12
12

Bài tập 28: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số y =

3x + 4
.
x −1

KQ: -28 < a ≤ 0

19


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

Bài tập 29: Cho đường cong (C): y =

x 2 − 2 x + 2 . Tìm các giá trị của k sao cho trên (C)
x −1
 xP + y P = k

.
 xQ + yQ = k


có 2 điểm khác nhau P, Q thỏa mãn điều kiện: 

MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP
Bài tập 30: Cho hàm số y =

x 2 + (m − 2)x + m
, m là tham số, có đồ thị là (Cm).
x

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của k thì (C) và đường thẳng (D): y = k có 2 giao điểm phân biệt A và
B. Trong trường hợp đó, tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB.
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2.
Bài tập 31: Cho hàm số y =

x 2 − 4mx + 5m
, có đồ thị là (Cm).
x−2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm phân biệt

đối xứng nhau qua O.
Bài tập 32: Cho các đường: y = x2 – 2x + 2, y = x2 + 4x + 5 và y = 1.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên.
Bài tập 33:
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =

2 x 2 − 4x − 3
.
2( x − 1)

2. Định m để phương trình : 2x2 – 4x – 3 + 2m|x - 1| = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
Bài tập 34: Cho hàm số y =

x+3
gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho.
x +1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên.
c) Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân
biệt MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất .
d) Tìm những điểm trên trục hồnh từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp
vẽ được hai tiếp tuyến có tiếp điểm là P; Q . Viết phương trình đường thẳng PQ.
20


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa
chúng bé nhất.

f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;
J.Chứng minh rằng S là trung điểm của IJ.
g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C).
Bài tập 35:

Cho hàm số y = ( x − 1) 2 (4 − x)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng .
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5).
d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau.
e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:
x3 − 6 x 2 + 9 x − 4 − m = 0

Bài tập 36: Cho hàm số y = 2 x 3 − 3(m + 1) x 2 + 6mx − 2m
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C).
b) Xác định m để hàm số có cực trị; tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình
đường thẳng qua điểm cực trị đó.
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;+∞).
Bài tập 37:

5
3

Cho hàm số y = -x 3 + 2 x 2 + x

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x3-6x2-5x+m=0.
c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M; tìm tọa độ điểm M.
d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình

y = kx.
e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hồnh.
f) Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng.

21


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ
VÀ HÀM SỐ LƠGARÍT

Chun đề 2
Chun đề 2

Ⓐ HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:
◙ Hàm số lũy thừa:
● Tính chất của lũy thừa:
▪ Về cơ số; khi xét lũy thừa aα :
+ α Ỵ ¥ : aα xác định  a  ¡ .
+ ẻ Â - : a xỏc nh khi a 0
+ ẻ Ă \ Â : a xỏc định khi a > 0.
▪ Tính chất: Với a, b > 0; m,n  ¡ :
m n

∗ a a =a

( )

∗ am

n

m+ n

am
; * n = a m- n .
a

= a m.n ;

m

∗ ( a.b ) = a m .b m

m
ổử
a ữ am
ỗ ữ= m .
ỗ ứ
ỗb ữ b
ố
m

a n = n a m (a > 0; m, n Î ¢ ; n > 0)

x xác định khi x ³ 0 (k  ¥ )

▪

2k

▪

2k + 1

x xác định x  ¡

(k  ¥ )
22


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

▪ Đạo hàm xα

( )

( x)

/

( u)

/

n

n

=

=

/

/

= α .xα - 1 ( x > 0, α Ỵ ¡ ) ; ( uα ) = α .uα - 1.u / (u > 0, ẻ Ă )

1

(n ẻ Ơ , n

u/
n. n u n- 1

2, x > 0 khi n chẵn, x ạ 0 khi n lẻ) ;

(n ẻ ¥ , n

n. n x n- 1

2, u > 0 khi n chẵn, u ạ 0 khi n lẻ)

Hm số mũ:
▪ Hàm số mũ y = ax (a > 0, a ≠ 1) có tập xác
định là ¡ ; tập giá trị là ¡

*

+

(tức là ax > 0, x  ¡ − chú

tính chất này để đặt điều kiện của ẩn phụ sau này); liên

ý
tục

trên ¡ .

( )

▪ Đạo hàm a x

/

= a x ln a (a > 0, a ≠ 1)

▪ Khi a > 1 hàm số y = ax đồng biến trên ¡ .
▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = ax nghịch biến trên ¡ .
▪ a0 = 1 ∀a ≠ 0 ,

a1 = a.

lim x
lim x
Khi a > 1: xđ+ Ơ a = + Ơ ; xđ- Ơ a = 0 .
lim x
lim x

▪ Khi 0 < a < 1: x®+ ¥ a = 0 ; x®- ¥ a = + ¥ .
▪ Với a > b > 0 ta có: ax > bx ⇔ x > 0 và ax < bx ⇔ x < 0.
(Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và 0 < a < 1 để nhớ các tính chất )
◙ Hàm số logarit:
 Chú ý: Khi xét log a x phải chú ý điều kiện a > 0; a ¹ 1 vµ x > 0.
Trong phần này, ta giả thiết mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa (có thể yêu cầu
học sinh nêu các điều kiện để các biểu thức có nghĩa như: Mẫu khác 0, cơ số a, b thỏa : 0
< a,b ≠ 1, đối số của logarit phải dương).
▪ Cho 0 < a ≠ 1 , x > 0: logax = y ⇔ a y = x.
▪ Với 0 < a ≠ 1 ta có: a log a n = n ( n > 0 ) ; log a a m = m (∀m ∈ ¡ ); loga1 = 0;

log a a = 1 .
23


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

▪ loga(x1.x2) = logax1 + logax2; log a

x1
= logax1 - logax2 ( x1; x2 > 0 ).
x2

▪ logaxα = α.logax (x > 0) và log aα x =
▪ Đổi cơ số: log a x =
▪ logab =

1
.log a x (x > 0, α ≠ 0).
α

log b x
hay logax = logab.logbx
log b a

1
và log a b.log b a = 1 .
logb a

▪ Hàm số y = logax xác định và liên tục trên

(0 ;

+ ∞ ).
/

▪ Đạo hàm ( log a x ) =

1
x.ln a

▪ Khi a > 1 hàm số y = logax đồng biến trên
( 0 ; + ∞ ).
▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = logax nghịch
biến trên ( 0; + ∞ ).
lim
Nu a > 1: xđ+ Ơ log a x = + ¥

; lim log a x = - ¥ .
xđ- Ơ

lim
Nu 0 < a < 1: xđ+ Ơ log a x = - ¥

; lim log a x = + Ơ .
xđ- Ơ

(V th ca hm s trong hai trường hợp a > 1 và 0 < a < 1 để nhớ các tính chất )
▪ Chú ý đến các công thức:

b = a loga b (0 < a ¹ 1; b > 0) và b = log a ab (0 < a ¹ 1)
◙ Phương trình, bất phương trình mũ:
▪ Phương trình ax = b có nghiệm ⇔ b > 0.
▪ af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x)

(0 < a ≠ 1)

▪ Nếu a > 1 thì: af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x).
▪ Nếu 0 < a < 1 thì: af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x).
▪ af(x) = b ⇔ f(x) = logab.
▪ af(x) < b (với b > 0) ⇔ f ( x ) < log a b nếu a > 1; f ( x ) > log a b nếu 0 < a < 1.

24


Tài liệu tham khảo Ôn Tập thi TN năm học 2009 - 2010

ộb Ê 0
ỡ
ù

ù
ờ
ớ
ờ f ( x) ẻ Ă
ù
ù
ợ
ờ
f(x)
a >b⇔ ê
ì
ï
êb > 0
ï
í
ê
ï
ê f ( x) > log a b khi a > 1; f ( x) < log a b khi 0 < a < 1.
ï
ỵ
ë
◙ Phương trình, bất phương trình logarit:
▪ Trước hết ta cần đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
logab có nghĩa ⇔ 0 < a ≠ 1 và b > 0
▪ log

an

bm =

m
log a b ( b > 0 ; 0 < a ≠ 1 ) .
n

▪ loga b2k = 2k.loga|b| với k ∈  .
▪ loga f(x) = loga g(x) ⇔ f(x) = g(x).

ì f ( x) ³ g ( x) khi a > 1
ï
ï
▪ loga f(x) ≥ loga g(x) ⇔ í
ï f ( x) £ g ( x) khi 0 < a < 1
ï
ỵ
ì g ( x) > 0 , g ( x) ¹ 1.
ï
▪ log g ( x ) f ( x) = log g ( x ) h( x) Û ï
í
ï f ( x ) = h( x )
ï
ỵ

Ⓐ. HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP:
▪ Cho học sinh nắm các bước giải như:
+ Yêu cầu học sinh phân tích đề bài xem giả thiết và kết luận là gì? có liên quan
đến các cơng thức nào về hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit…xem bài tốn
thuộc dạng chứng minh, tính tốn, giải phương trình hay bất phương trình.
+ Hướng dẫn học sinh xây dựng chương trình giải.
+ Cho học sinh lên bảng thực hiện chương trình giải từ đó u cầu các học sinh
khác nghiên cứu lời giải để học sinh nắm chắc kiến thức, khắc phục các sai sót vì chương

này các cơng thức có dạng gần giống nhau nên học sinh hay áp dụng sai và mắc nhiều sai
lầm.
+ Giáo viên tóm tắt, nêu lại qui trình giải cho dạng tốn.
▪ Phân loại các dạng toán cũng như các cách giải; cụ thể:
● Loại tính tốn:
▪ Ví dụ 1: Tính log 25 15 theo a khi biết log 3 15 = a .
 Hướng dẫn học sinh phân tích:

25