chuyên đề CM bất đẳng thức

CHUYêN Đề CHNG MINH BT ĐNG THC
1 . Định nghĩa :
- BĐT là 1 hệ thức có một trong các dạng : A > B ; A < B ; A B ; A B
(A , B là các biểu thức số hay chữ )
2 . Tính chất BĐT số :
. a > b

a - b > 0
. a > b và b > c

a > c
. a > b

a + c > b+ c
. a > b và c > d

a + c > b+ d
. a > b

ac > bc nếu c > 0
ac < bc nếu c < 0
. a > b > 0 và c > d > 0

ac > bd
.
1 1
0
a b
ab
a b
>

<

>


. a > b > 0 và n nguyên dơng


n n
a b>

. a > b > 0 và n nguyên dơng

n n
a b>
3. Một số hằng BĐT :
. A
2
0 với mọi A dấu bằng xảy ra

A =0
. |A| 0 với mọi A dấu bằng xảy ra

A = 0
. - |A| < A < |A|
. |A + B| |A| + |B| dấu bằng xảy ra

AB 0
. |A - B| |A| - |B|

. A > B

A
n
> B
n
với n lẻ
. |A| > |B|

A
n
> B
n
với n chẵn
.
0
1
m n
m n
A A
A
> >

>

>

.
0
0 1

m n
m n
A A
A
> >

<

< <

Ph
Ph
ơng pháp 1: Dùng định nghĩa
ơng pháp 1: Dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B ta đi chứng minh A - B > 0.
L u ý : dùng hằng BĐT M
2
0 với mọi M.
Ví dụ 1 : với mọi x, y, z chứng minh rằng:
a, x + y + z xy + yz + zx
b, x + y + z 2xy - 2xz + 2yz
c, x + y + z + 3 2( x + y + z )
Giải : a,Ta xét hiệu : x + y + z - xy - yz xz
=
2
2
2
1
.2( )
2

xy yz xz
y
x
z
+ +
=
2 2 2
1
(x y) (x z) (y z)
2

+ +


Vậy x + y +z xy + yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
b,Ta xét hiệu
: x +y + z - ( 2xy -2 xz + 2yz) = x + y + z - 2xy + 2xz - 2 yz
: x +y + z - ( 2xy -2 xz + 2yz) = x + y + z - 2xy + 2xz - 2 yz




= ( x - y + z )
= ( x - y + z )


0. Vậy x + y + z
0. Vậy x + y + z

2xy 2xz +2yz .
2xy 2xz +2yz .


Dấu bằng xảy ra khi x + z =y
Dấu bằng xảy ra khi x + z =y
c,Ta xét hiệu :
x + y + z + 3 - 2( x + y + z) = x - 2x + 1 + y - 2y + 1 + z
x + y + z + 3 - 2( x + y + z) = x - 2x + 1 + y - 2y + 1 + z
2z + 1
2z + 1


= ( x -1 ) + (y 1 ) + ( z -1 ) > 0.
= ( x -1 ) + (y 1 ) + ( z -1 ) > 0.


Dấu bằng xảy ra khi x = y =z =1 .
Dấu bằng xảy ra khi x = y =z =1 .
Ví dụ 2 : CMR : a,
2 2
2
2 2
a b a b+ +


ữ

b,
3 3
2
2 2 2
a b c a b c+ + + +


ữ


Giải :
a , Ta xét hiệu :
2 2
2
2 2
a b a b+ +


ữ

(
)
2
2
4 4
2 2
2 2
a b
a ab b
+

+ +
=


(
)
1
2 2 2
4
2 2 2 2
a b a b ab= +
( )
1
0
4
2
a b=


Vậy :
2 2
2
2 2
a b a b+ +


ữ

Dấu bằng xảy ra khi a = b
b, Ta xét hiệu :

3 3
2
2 2 2
a b c a b c+ + + +


ữ

( ) ( ) ( )
1
0
9
2 2 2
a b b c c a

= + +



Vậy:
3 3
2
2 2 2
a b c a b c+ + + +


ữ

Dấu bằng xảy ra khi a =b =c .
Tổng quát :

( a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n
2
): n (( a
1
+ a
2
+ + a
n
) : n )
2

Tóm lại : Các bớc để chứng minh A B theo định nghĩa :
Bớc I: Ta xét hiệu H = A B
Bớc II: Biến đổi
H =(C D)
2
Hoặc H =(C D)
2
+ + ( E F)
2

Bớc III: Kết luận A B
Ph

Ph


ơng pháp 2:
ơng pháp 2:

Dựng phộp bin i tng ng
L u ý : Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tơng đơng với BĐT đúng
hoặc BĐT đã đợc chứng minh là đúng .
Chú ý : Các hằng đẳng thức sau :
(A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2

(A+B+ C )
2
= A
2
+B
2
+C
2
+2AB +2AC + 2BC
(A + B )
3
=A
3

+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3

Ví dụ1 : Cho a, b, c, d, e là các số thực. CMR :
a ,
+
2
b
2
ab
a
4

b , a
2
+ b
2
+ 1 ab + a + b
c, a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2

+ e
2
a ( b + c + d +e )
Giải: a ,
+
2
b
2
ab
a
4

<=> 4a
2
+ b
2
4ab <=> 4a
2
4ab + b
2
0
<=> (2a b)
2
0 (Bất đẳng thức này luôn đúng )
Vậy:
+
2
b
2
ab

a
4
(Dấu bằng xảy ra khi 2a = b )
b, a
2
+ b
2
+ 1 ab + a + b
<=> 2 ( a
2
+ b
2
+1 ) 2 ( ab + a + b )
<=> a
2
- 2ab + b
2
+ a
2
- 2a + 1 + b
2
-2b + 1 0
<=> ( a b)
2
+ (a- 1 )
2
+ ( b-1)
2
0 (*)
=> BĐT (*) đúng

Vậy: a
2
+ b
2
+1 ab +a +b. Dấu bằng xảy ra khi: a = b =1 .
c, a
2
+ b
2
+ c
2
+d
2
+e
2
a( b + c + d +e )
4( a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+e
2
) 4a( b + c + d + e)
(a
2
- 4ab + 4b

2
)+( a
2
-4ac + 4c
2
)+(a
2
-4ad + 4d
2
)+(a
2
- 4ac + 4c
2
) 0
(a - 2b)
2
+ ( a -2c)
2
+ (a -2d)
2
+ ( a -2c)
2
0
=>BĐT đúng , vậy ta có điều phải chứng minh .
Ví dụ 2: CMR :
( a
10
+ b
10
)(a

2
+ b
2
) > ( a
8
+ b
8
)( a
4
+ b
4
) (*)
Giải : Ta có (*) tơng đơng với :
a
12
+ a
10
b
2
+ a
2
b
10
+ b
12
> a
12
+ a
8
b

4
+ a
4
b
8
+ b
12
a
10
b
2
- a
8
b
4
+ a
2
b
10
-a
4
b
8
> 0
a
8
b
2
( a
2

- b
2
)( a
6
- b
6
) > 0
a
2
b
2
( a
2
- b
2
)
2
( a
4
+ a
2
b
2
+a
4
) > 0
BĐT cuối đúng, ta có điều phải chứng minh.
Chú ý: ở đây ta dùng hằng đẳng thức :
x
3

y
3
= ( x y ) ( x
2
+ xy + y
2
) với x=a
2
; y =b
2


Ph
Ph


ơng pháp 2:
ơng pháp 2:

sử dụng bất đẳng thức Côsi
Cho n số a
1
, a
2
, , a
n
không âm, TBC của chúng không nhỏ hơn trung
bình nhân của chúng:

Đẳng thức xảy ra khi x

1
= x
2
= =x
n

Một số chú ý khi áp dụng BĐT CÔSI :
Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi
1, Cần chỉ rõ BĐT Côsi đợc áp dụng cho những số không âm nào .
o Đặc biệt với n = 2 ta có những BĐT quen thuộc :
(1) ( a , b 0 )
4ab ( a + b)
2

( 2)

(3) (nhân vế với vế của (1) và (2))
(*)
Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi
b, Đặc biệt với n =3. Ta có những BĐT quen thuộc :
. x + y + z (1) ( x , y , z 0 )
. xyz
. (2)
Từ (1) và (2). Ta có :
( x + y + z) 9

Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi
c , Với n = a
i

( a
1
+ a
2
+ +a
n
) n
2


( a
i
> 0 )
Khi dùng phải chứng minh nh n =2 , n =3 .
Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi
d, Khi áp dụng BĐT CÔSI thờng không phải chỉ áp dụng một lần đã đợc kết
quả. Có thể phải ghép hai hoặc ba lần với từng cặp các số. Hơn nữa cần
chú ý tới các đại lợng để tham gia vào bất đẳng thức CÔSI
áp dụng BĐT CÔSI ta chứng minh đợc:
(* )
Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi
Ví dụ 1: Cho các số dơng x, y, z, t thoả mãn :
x + y + z + t = 1
CMR :
Giải : áp dụng liên tiếp BĐT (*) ta có :
= 4 .

Suy ra : 16
Đẳng thức xảy ra khi x = y =z =t =
Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi

ví dụ 2: cho a , b , c là các số không âm . Chứng minh rằng :
(a+b) (b+c ) (c + a) 8 abc
Giải : áp dụng BĐT CÔSI ta có :
a+b 2 b+c 2
c +a 2
=> (a+b)(b+c )(c + a) 8 abc
Phýừng phỏp 4:
Dựng B T
Dựng B T














Bunhia
Bunhia


cụpski
cụpski
Cho 2n số tuỳ ý : a

1
, a
2
, a
3
, , a
n
b
1
, b
2
, b
3
, , b
n

Ta có :
(a
1
2
+ a
2
2
+ +a
n
2
)( b
1
2
+b

2
2
+ .+ b
n
2
) ( a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ + a
n
b
n
)
2

Đẳng thức xảy ra khi :
quy ớc : Nếu b
i
= 0 thì a
i
= 0
Một số chú ý : BCS không yêu cầu các số phải không âm, nên trong
BCS có thể sinh ra dấu - ở vế phải
* Nếu a
i

> 0, b
i
> 0 Ta có thể áp dụng BCS cho các số :
Phýừng phỏp 4:
Dựng B T
Dựng B T


















Bunh
Bunh


iacụpski
iacụpski

(a
1
2
/b
1
+ a
2
2
/b
2
+ .+ a
n
2
/b
n
)(b
1
+ b
2
+ + b
n
) (a
1
+ a
2
+ .+ a
n
)

2
=> a
1
2
/b
1
+ a
2
2
/b
2
+ + a
n
2
/b
n

( a
1
+ a
2
+ + a
n
)
2
/( b
1
+ b
1
+ +b

n
)
=> Đây là BĐT SVAC X
*Nếu cho b
i
=1 Ta có :
n ( a
1
2
+ a
2
2
+ .+ a
n
2
) ( a
1
+ a
2
+ .+ a
n
)
2
Phýừng phỏp 4:
Dựng B T
Dựng B T

Bunh
Bunh


iacụpski
iacụpski
* Nếu ai và b i 0, áp dụng BCS cho
( i = 1; 2 ; 3 ; .; n ) ta có BĐT:
(a
1
+ a
2
+ +a
n
)( b
1

+ b
2
+ + b
n
)

=>

Nếu chọn b
i
= 1 thì ta có :
*Với n =2 ta có BĐT quen thuộc :
( x
2
+ y
2
) ( a
2
+ b
2
) ( ax + by )
2
Phýừng phỏp 4:
Dựng B T
Dựng B T

Bunh
Bunh


iacụpski
iacụpski
*Với n = 3 Ta có :
( x
2
+ y
2
+z
2
) ( a
2
+ b
2

+ c
2
) ( ax + by + cz )
2

Cũng nh BĐT CÔ SI cần đặc biệt chú ý việc chọn đại lợng tham gia vào
BĐT.
Trong rất nhiều trờng hợp cần phải phối hợp giữa
CÔSI và BCS .
. Ví dụ 1 :
Cho 3 số a ; b ; c 0 . CMR :

Phýừng phỏp 4:
Dựng B T
Dựng B T

Bunh
Bunh


iacụpski
iacụpski
Giải
Ta có :
áp dụng BĐT BCS cho hai bộ số :
v
=> Suy ra :
Phýừng phỏp 4:
Dựng B T
Dựng B T

Bunh
Bunh


iacụpski
iacụpski
Ví dụ 2:
Cho x; y; z thoả mãn điều kiện : x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 .
CMR :
Giải : p dụng BĐT BCS Ta đợc :
(x +2y + 3z )
2
( 1
2
+ 2
2
+ 3
2
)(x

2
+ y
2
+ z
2
) 14
=> Suy ra :
Phýừng phỏp 4:
Dựng B T
Dựng B T


















Bunh
Bunh

iacụpski
iacụpski
Ví dụ 3 : CMR : a
2
+ b
2
+ c
2
> ab + bc + ca
Giải : Dùng BĐT BCS .
Xét cặp số ( 1;1;1 ) và ( a, b, c ) ta có :
(1
2
+ 1
2
+ 1
2
) (a
2
+ b
2
+ c
2
) > (1 .a + 1 . b + 1. c )
2
=> 3(a
2
+ b

2
+ c
2
) > (a
2
+ b
2
+ c
2
) + 2(ab + bc + ca)
=> a
2
+ b
2
+ c
2
> ab + bc + ca .
Điều phải chứng minh
Phýừng phỏp 5:
S
S


d
d


ng tớnh ch
ng tớnh ch

t
t




b
b






c c
c c






u
u


L u ý : A > B và B > C thì A > C
0 < x < 1 thì x
2

< x
Ví dụ 1: Cho a , b , c , d > 0 thoả mãn:
a > c + d ; b > c + d
Chứng minh : ab > ad + bc
Giải : Ta có : a > c + d và b > c + d => a c > d > 0
và b d >c >0
=> ( a c ) ( b d ) > cd
<=> ab ad - bc + cd > cd
<=> ab > ad + bc ( iều phải chứng minh )
Phýừng phỏp 5:
S
S


d
d


ng tớnh ch
ng tớnh ch


t
t




b
b

c c
c c






u
u


Ví dụ 2 : Cho a , b , c > 0 thoả mãn a
2
+ b
2
+ c
2
=
Chứng minh rằng :
Giải : Ta có :
( a + b c )
2
= a

2
+ b
2
+ c
2
+ 2( ab ac bc ) > 0
=> ac + bc - ab < ( a
2
+ b
2
+c
2
)
ac + bc - ab < 1
Chia cả 2 vế cho abc > 0 ta có :
( iều phải chứng minh )
Phýừng phỏp 5:
S
S


d
d


ng tớnh ch
ng tớnh ch


t

t




b
b






c c
c c






u
u


Ví dụ 3 : Cho 0 < a , b , c , d < 1 . CMR :
( 1 a)( 1- b )( 1- c )(1 d ) > 1 a b c d
Giải : Ta có ( 1 a)( 1- b) = 1 a b + ab
Do a > 0 , b > 0 Nên ab > 0 => ( 1 a)( 1- b ) > 1 a b (1 )
Do c< 1 nên 1- c > 0

Ta có (1-a)( 1 b)( 1- c) > ( 1 a b )( 1 c ) =1 a- b- c+ca+bc
Do a , b , c, d > 0 nên ca + bc > 0
=> ( 1 a)( 1 b )( 1 c ) > 1 a- b c (2 )
=> ( 1 a)( 1- b )( 1- c )( 1 d ) > ( 1 a b c )( 1 d )
=1 a b c d + ad + bd + cd
=>(1 a )(1- b)(1 c)( 1-d) > 1 a b c d
( Điều phải chứng minh )
Phýừng phỏp 5:
S
S


d
d


ng tớnh ch
ng tớnh ch


t
t




b
b

c c
c c






u
u


Ví dụ 4 : So sánh 31
11
& 17
14

Giải : Ta thấy:
31
11
< 32
11
= ( 2
5
)
11

= 2
55
< 2
56

Mặt khác: 2
56
= 2
4

. 14
= ( 2
4
)
14
= 16
14
< 17
14

=> 2
56
< 17
14
=> 2
55
< 17
14

=> Vậy 31

11
< 17
14
Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din
Để chứng minh A < B ta tìm một biểu thức C rồi chứng minh : A
< C < B
Khi đánh giá đại diện thờng đợc kết hợp với phơng pháp làm trội và
phơng pháp triệt tiêu dần
Ví dụ 1 : a , b , c là độ dài 3 cạnh của tam giác, x ,y ,z là độ dài
các đờng phân giác trong tam giac ABC. CMR :
Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din
Giải : S
ABC
= bc SinA = bxSin + cxSin
bcSinA=bxSin + cxSin
2bcSin Cos = x(b + c)Sin

2bcCos = x( b + c)


(1)

Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din
Tơng tự :
(2)
(3)
Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din
Cộng vế với vế (1);(2);(3) :
Cách khác :

(1)
Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din
Biểu thức tơng tự :
(2)

(3)

Cộng vế vế (1),(2),(3): Ta đợc :
Ph ơng pháp 7:
Dùng BĐT trong
Dùng BĐT trong
tam giác
tam giác
L u ý : Nếu a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác thì:
a , b , c > 0 và
< a < b +c ; < c < a + b ; <b < a+ c
Ví dụ : cho a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác chứng minh rằng :
a, a
2
+ b
2
+c
2
< 2( ab +bc +ca )
b, abc > ( a + b c)( b+c-a )(c +a b )
Ph ơng pháp 7:
Dùng BĐT trong
Dùng BĐT trong
tam giác
tam giác

Giải :
a , Vì a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác nên ta có:
0 < a < b + c a
2
< a(b + c)
0 < b < a + c => b
2
< b( a+c)
0 < c < a + b c
2
< c(a+ b)
Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta có:
a
2
+b
2
+c
2
< 2( ab +bc +ca)
( iều phải chứng minh )
Ph ơng pháp 7:
Dùng BĐT trong
Dùng BĐT trong
tam giác
tam giác
b, Ta có : a> => a
2
> a
2
(b-c)

2
> 0
b> => b
2
> b
2
-(c-a)
2
> 0
c> => c
2
> c
2
(a-b)
2
> 0
Nhân vế các BĐT ta đợc :
a
2
b
2
c
2
>
a
2
b
2
c
2

> ( a+b-c)
2
(b+c-a)
2
(c+a-b)
2

abc > ( a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
( iều phải chứng minh )

PHƯƠNG PHáP 8
PHƯƠNG PHáP 8
:
:
Sử dụng bất ph
Sử dụng bất ph
ơng
ơng
trình bậc 2
trình bậc 2
Nếu a x b <=>(x-a)(x-b) 0 để bất phơng trình :
ax
2
+ bx + c 0 với a>0
có nghiệm thì 0

Ví dụ 1
Ví dụ 1
:
: Cho 2 số x,y thoả mãn điều kiện :

(x+y+1)
2
+ 5(x+y) + 9 +y
2
= 0
CMR : -5 x+ y -2


Giải
Giải
:
: Đặt x + y= t ta có : (t+1)
2
+5t +9 = -y
2
0
t
2
+7t +10 0
-5 t -2
=> Vậy -5 x+ y -2 (đpcm)
PHƯƠNG PHáP 8
PHƯƠNG PHáP 8
:
:
Sử dụng bất ph
Sử dụng bất ph
ơng
ơng
trình bậc 2

trình bậc 2

Ví dụ 2
Ví dụ 2
:
: Cho 9x
2
+ 5y
2
+12xy +15x +10y +6 = 0
CMR : -3 3x+2y -2

Giải
Giải
:
:
9x
2
+4y
2
+12xy + 15x +10y +6 +y
2
=0
(3x +2y )
2
+5(3x+2y) +6 +y
2
=0
Đặt :3x +2y = t ta đợc : t
2

+ 5t +6 = - y2 0
=> -3 t -2
=> Vậy : -3 3x+2y -2


PHƯƠNG PHáP 9
PHƯƠNG PHáP 9
:
:
Dùng tam thức
Dùng tam thức
bậc 2
bậc 2

L
L


u ý
u ý


:
: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c
Nếu < 0 thì a.f(x) > 0 x
Nếu = 0 thì a.f(x) > 0
Nếu > 0 thì a.f(x) >0 với x< x
1

hoặc x > x
2

a.f(x) <0 với x
1
< x < x
2


PHƯƠNG PHáP 9
PHƯƠNG PHáP 9
:
:
Dùng tam thức
Dùng tam thức
bậc 2
bậc 2
Ví dụ 1
Ví dụ 1
:
: Chứng minh rằng :
f(x,y) = x
2
+5y
2
4xy +2x 6y +3 > 0 (1)

Giải
Giải
:

:
Ta có (1) x
2
- 2x(2y-1) +5y
2
- 6y +3 > 0

'
= (2y 1)
2
5y
2
+ 6y 3
= 4y
2
4y +1 -5y
2
6y 3
= - (y-1)
2
1 <0

Vậy f(x,y) > 0 x,y
Vậy f(x,y) > 0 x,y


PHƯƠNG PHáP 9
PHƯƠNG PHáP 9
:
:

Dùng tam thức
Dùng tam thức
bậc 2
bậc 2


Ví dụ 2
Ví dụ 2
:
: Chứng minh rằng :
f(x,y) = x
2
y
4
+2(x
2
+2 )y
2
+ 4xy + x
2
4xy
3
(2)


Giải
Giải
:
:
Bất đẳng thức (2) tơng đơng với :

x
2
y
4
+ 2(x
2
+ 2)y
2
+ 4xy + x
2
4xy
3
0
(y
2
+1)
2
x
2
+ 4y(1-y
2
)x +4y
2
0
ta có : ' = 4y
2
(1-y
2
)
2

- 4y
2
(y
2
+1)
2

= 4y
2
[(1-y
2
)
2
(y
2
+1)
2
]
= 4y
2
(1-y
2
+y
2
+1)(1- y
2
y
2
1)
=4y

2
.2.(-2y
2
) = -16 y
4
0
vì a = (y
2
+1)
2
> 0
=>
Vậy f(x,y) > 0 (đpcm)
Vậy f(x,y) > 0 (đpcm)
Ph
Ph


ơng pháp 10
ơng pháp 10


:
:
Chứng minh phản
Chứng minh phản
chứng
chứng

L

L


u ý
u ý


:
: Giả sử phải chứng minh BĐT nào đó đúng ta hãy giả sử BĐT đó sai
và kết hợp với các giả thiết suy ra điều vô lý. Điều vô lý có thể là điều trái
giả thiết có thể là điều trái ngợc nhau. Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh
là đúng .


Ví dụ 1
Ví dụ 1
:
: Chứng minh rằng: Trong 3 BĐT sau phải có ít nhất một BĐT sai :
x
2
< (y- z)
2
(1)
y
2
< ( z- x )
2
(2)
z
2

< ( x-y )
2
(3)

Giải
Giải
:
:
Giả sử cả 3 BĐT đều đúng:
(1) <=> x
2
(y- z)
2
< 0 (x y +z )(x+ y z) < 0
(2) <=> y
2
(z x)
2
< 0 (y z + x)(y+ z x) < 0
(3) <=> z
2
(x-y)
2
< 0 ( z- x + y)( z+ x y) < 0
Nhân vế với vế (1) ; (2) ;(3) ta đợc:
(-x+ y+z )
2
(x y +z )
2
(x + y z )

2
< 0 (Vô lý)

Vậy : Trong 3 bất đẳng thức đã cho ít nhất có 1 bất đẳng thức sai .
Vậy : Trong 3 bất đẳng thức đã cho ít nhất có 1 bất đẳng thức sai .
Ph
Ph


ơng pháp 10
ơng pháp 10


:
:
Chứng minh phản
Chứng minh phản
chứng
chứng


Ví dụ 2
Ví dụ 2
:
:
Cho x,y,z > 0 và xyz=1. CMR : Nếu thì có một
và chỉ một trong ba số này lớn hơn 1

Giải
Giải

:
:
Ta có (x-1)(y-1)(z-1) =xyz xy zy +x +y +z 1
=x+ y + z- ( ) vì xyz=1
Theo giả thiết nên (x-1)(y-1)(z-1) > 0
Trong 3 số x-1 ; y-1 ; z-1 chỉ có một số dơng
Thật vậy nếu cả 3 số dơng thì x,y,z >1=> xyz >1 (Trái với giả thiết)
Còn nếu 2 trong 3 số đó dơng thì (x-1)(y-1)(z-1) < 0 (Vô lý )
Vậy có một và chỉ một trong ba số
Vậy có một và chỉ một trong ba số
x,y,z
x,y,z
lớn hơn 1
lớn hơn 1
Phơng pháp 11
:
:
Ph
Ph
ơng pháp làm trội, làm
ơng pháp làm trội, làm
giảm
giảm




Ví dụ 1:
Ví dụ 1: Cho n > 1 CMR:
Giải:

Giải:
Ta có:
Vậy:
Vậy:

Phơng pháp 11
: Ph
: Ph
ơng pháp làm
ơng pháp làm
trội,
trội,
làm giảm
làm giảm
Với n=2 thì
Với thì
Vậy
Vậy với n >1 thì
Nên với n >1 thì

Phơng pháp 11:
Ph
Ph
ơng pháp làm trội, làm giảm
ơng pháp làm trội, làm giảm
Ví dụ 2:
Ví dụ 2: CMR:
Giải:
Giải:
Có

Vậy:
Vậy:
Phơng pháp 12
: Ph
: Ph
ơng pháp quy
ơng pháp quy
nạp toán học
nạp toán học

Ví dụ 3:
Ví dụ 3: CMR:
n dấu căn
Giải:
Giải:
Thử với n=1: đúng
Giả sử biểu thức đúng với n=k
k dấu căn
Ta phải CM biểu thức đúng với n= k+1
k+1 dấu căn
Thật vậy mà
Ph
Ph
ơng pháp 12:
ơng pháp 12:
Ph
Ph
ơng pháp quy nạp
ơng pháp quy nạp
toán học

toán học
Ph
Ph
ơng pháp 12
ơng pháp 12
: Ph
: Ph
ơng pháp quy nạp
ơng pháp quy nạp
toán học
toán học

Vớ d
Vớ d


4:
4: CMR: vi ta cú:
Gi
Gi


i:
i:
Th vi n=1: ỳng.
Gi s mnh ỳng v i n=k:
Ta cn CM mnh ỳng v i n =k+1
Tht vy:
Vỡ:
Ph

Ph
ơng pháp 12: Ph
ơng pháp 12: Ph
ơng pháp quy nạp toán học
ơng pháp quy nạp toán học
V
=>Để so sánh (1) và (2), ta đi so sánh và
(Do và Với )
Ta thấy:
Ta thấy:
Vậy
Vậy (1) > (2) hay
Tóm lại mệnh đề đúng với
Ph
Ph
ơng pháp 13
ơng pháp 13
: Đổi biến
: Đổi biến
Ví dụ 5: Cho a + b + c = 1 CMR:
Giải:
Giải:
Đặt:
Từ a + b + c = 1, ta có: Hay x + y + z = 0
Dấu bằng xảy ra:
Ph
Ph
ơng pháp 13
ơng pháp 13
:

:
PP Đổi biến
PP Đổi biến

Ví dụ 6:
Ví dụ 6:

Cho CMR:
Giải:
Giải:
Đặt:
Từ , ta có:
Do
(dấu bằng xảy ra <=> x=0)
Mà
Vậy
Ph
Ph
ơng pháp 14:
ơng pháp 14:
Ph
Ph
ơng pháp xét miền
ơng pháp xét miền
giá trị của biến
giá trị của biến
Ví dụ 7: CMR
Giải: (xét từng khoảng giá trị của biến)
Nếu x=1 => A =1 > 0
Nếu Có

Nếu thì Nếu thì
Vậy trong mọi trờng hợp , ta đều có
Ph
Ph
ơng pháp 14:
ơng pháp 14:
Ph
Ph
ơng pháp xét miền
ơng pháp xét miền
giá trị của biến
giá trị của biến

Ví dụ 8:
Ví dụ 8:

CMR:
Giải:
Giải:
(Xét khoảng giá trị của biến)
Nếu thì
Nếu thì
Ph
Ph
ơng pháp 14: Ph
ơng pháp 14: Ph
ơng pháp xét miền giá trị của biến
ơng pháp xét miền giá trị của biến
= do với (dấu bằng xảy ra
với (dấu bằng xảy ra

với (dấu bằng xảy ra
với
với
nếu
nếu thì
Vậy với
Trên đây là môt số phơng pháp chứng minh BĐT mà chúng tôi vẫn th-
ờng dùng để bổ xung cho học sinh trong quá trình dạy đại trà và dạy chất
lợng mũi nhọn, các em đã đợc hiểu và vận dụng các BĐT có kết quả. Tuy
nhiên ngoài các phơng pháp trên các đồng chí có thể tham khảo các phơng
pháp khác nh: Phơng pháp quy nạp, phơng pháp làm trội, phơng pháp
dùng véc tơ, phơng pháp lợng giác, phơng pháp miền giá trị, phơng pháp
đạo hàm mục tiêu để hớng dẫn học sinh trong quá trình làm bài tập .