phương pháp làm trội để CM bất đẳng thức­

Phơng pháp làm trội để chứng minh bất
đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức A < B ta có thể chọn số C sau đó chứng minh
A <C và C < B
Có những bất đẳng thức ta phải sử dụng nhiều đại lợng trung gian để chứng
minh
Bài 1 : Cho các số dơng a, b ,c ,d.Chứng minh rằng:

1
a b c d
b c d c d a d a b a b c
+ + + >
+ + + + + + + +
Giải:
Vì a, b, c , d là các số dơng nên : b + c + d < a+ b + c +d
c + d + a < a+ b +c + d
d + a + b < a + b +c +d
a + b + c < a + b + c + d
Ta có:
a a
b c d a b c d
>
+ + + + +

b b
c d a a b c d
>
+ + + + +

c c
d a b a b c d

>
+ + + + +

d d
a b c a b c d
>
+ + + + +

Cộng các vế tơng ứng của các bất đẳng thức trên ta có :

a b c d
b c d c d a d a b a b c
+ + + >
+ + + + + + + +

a b c
a b c d a b c d a b c d
+ + +
+ + + + + + + + +
d
a b c d+ + +
=
a b c d
a b c d
+ + +
+ + +
=1
Vậy
1
a b c d

b c d c d a d a b a b c
+ + + >
+ + + + + + + +
(ĐPCM)
Bài 2:Cho các số dơng a , b .Chứng minh rằng:

1
2 2
a b
a b b a
+ <
+ +
Giải:
Do a, b là các số dơng => 2a + b > a + b và 2b + a > a + b
=>
2
a a
a b a b
<
+ +
;
2
b b
b a a b
<
+ +
Cộng các vế tơng ứng của các bất đẳng thức trên ta có:
1

1

2 2
a b a b a b
a b b a a b a b a b
+
+ < + = =
+ + + + +
Bài 3: Cho a, b , c > 0 .Chứng minh rằng:

2
a b c
a b b c c a
+ + <
+ + +
Giải:
Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:
Nếu x , y, z > 0 và x < y thì
x x z
y y z
+
<
+
Thật vậy xét hiệu:
x x z
y y z
+

+
=
( ) ( )
( )

x y z y x z
y y z
+ +
+
=
( )
xy xz xy yz
y y z
+
+
=
( )
( )
z x y
y y z

+
<0
(Vì x < y => x - y < 0 )
Vậy :
x x z
y y z
+
<
+

Sử dụng kết quả này ta có:

a a c
a b a b c

+
<
+ + +
;
b b a
b c a b c
+
<
+ + +
;
c c b
c a a b c
+
<
+ + +
Cộng từng vế tơng ứng của các bất đẳng thức trên ta có:
a b c a c b a c b
a b b c c a a b c a b c a b c
+ + +
+ + < + +
+ + + + + + + + +
=
2( )a b c
a b c
+ +
+ +
= 2
Suy ra điều phải chứng minh.

Bài 4: Cho ba số dơng a , b ,c .Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
+ +
+ + + + + +
Giải :
Ta có : a
3
+ b
3
- ab(a+b) = (a + b)(a
2
- ab + b
2
) - ab(a + b)
= (a + b)(a
2
- ab +b
2
- ab) = (a + b)(a
2
- 2ab + b
2
)
=(a + b)(a - b)
2


0

a
3
+ b
3


ab(a + b)
a
3
+ b
3
+ abc

ab(a + b) + abc => a
3
+ b
3
+ abc

ab(a + b + c)

3 3
1 1
( ) ( )
c
a b abc ab a b c abc a b c
=
+ + + + + +
Chứng minh tơng tự ta có :

3 3
1 1
( ) ( )
a
b c abc bc a b c abc a b c
=
+ + + + + +

3 3
1 1
( ) ( )
b
c a abc ac a b c abc a b c
=
+ + + + + +
Cộng từng vế tơng ứng của các bất đẳng thức trên ta có:
2

3 3 3 3 3 3
1 1 1
a b abc b c abc c a abc
+ +
+ + + + + +


( )
c
abc a b c+ +
+
( )

a
abc a b c+ +
+
( )
b
abc a b c+ +
=
( )
a b c
abc a b c
+ +
+ +
=
1
abc
Dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức:

2 2 2 2 2
167 1 1 1 1 1 2008
...
335 2 3 4 2008 2009 2009
< + + + + + <
Giải
Số hạng tổng quát có dạng :
2
1
k
với 2

k

2009
Ta có :
2
1
k
<
1
( 1)k k
=
1 1
1k k


áp dụng bất đẳng thức này với k = 2,3,4,.,2009 ta có:

2
1 1 1
2 1 2
<

2
1 1 1
3 2 3
<
..

2
1 1 1

2009 2008 2009
<
Cộng các vế tơng ứng của các bất đẳng thức trên ta có
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
...
2 3 4 2008 2009
+ + + + + <

1 1 1 1 1 1 1 1
...
1 2 2 3 2007 2008 2008 2009
+ + + +
=
1008 2008
1
2009 2009
=
Mặt khác
2
1 1 1 1
( 1) 1k k k k k
> =
+ +
áp dụng bất đẳng thức này với k = 2 ,3 ,4,, 2009 ta có :

2
1 1 1
2 2 3
>

2
1 1 1
3 3 4
>

2
1 1 1
4 4 5
>
..

2
1 1 1
2009 2009 2010
>
3
=>
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
...
2 3 4 2008 2009
+ + + + + >


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
2 3 3 4 4 5 2008 2009 2009 2010
+ + + + +
=

1 1 1004
2 2010 2010
=
Mà
1004 1002 6.167 167
2010 2010 6.335 335
> = =
=>
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
...
2 3 4 2008 2009
+ + + + + >

167
335
Ta có điều phải chứng minh
Bài 6: Chứng minh rằng:
2 2
1 1 1 1
....
5 13 2002 2003 2
+ + + <
+
Giải:
Nhận xét :
1 2
1 1
5 1 2
=

+
;
2 2
1 1
13 2 3
=
+
..
Do đó số hạng tổng quát có dạng:
2 2
1
( 1)k k+ +
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có:
k
2
+ (k + 1)
2
> 2k(k +1)
=>
2 2
1 1 1 1 1
( 1) 2 ( 1) 2 1k k k k k k

< =
ữ
+ + + +

áp dụng kết quả trên với k = 1 , 2 , 3 ,.2002 ta có
2 2
1 1 1

....
5 13 2002 2003
+ + + <
+

1 1 1 1 1 1 1 1 1
. ...
2 1 2 2 3 2001 2002 2002 2003

+ + + +
ữ

=
=
1 1 1
.
2 1 2003


ữ

<
1
2
Bài 7: Chứng minh rằng:
87<
1 1 1 1 1
...
2 3 4 2024 2025
+ + + + +

< 88
Giải
Số hạng tổng quát là:
1
k
với k > 1
Ta có :

2 1 2
1 1k k k k k
< <
+ + +
Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu,rồi thu gọn ta đợc:
2(
1k k+
) <
1
k
< 2(
1k k
)
4
áp dụng bất đẳng thức này với k = 2 , 3 , 4 , , 2025 ta có
1 1 1 1 1
...
2 3 4 2024 2025
+ + + + +
> 2(
3 2 4 3 ... 2026 2025 + + +
)

=>
1 1 1 1 1
...
2 3 4 2024 2025
+ + + + +
> 2(
2026 2
) > 2(45 1,5) = 87
1 1 1 1 1
...
2 3 4 2024 2025
+ + + + +
< 2(
2 1 3 2 ... 2025 2024 + + +
)
=>
1 1 1 1 1
...
2 3 4 2024 2025
+ + + + +
< 2(
2025 1
) > 2(45 1) = 88
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số dơng n > 2 ta có:
1 1 1 1
...
2 3 2 4 3 ( 1)n n
+ + + +
+
< 2

Giải
Số hạng tổng quát là :
1 1 1
( 1) 1
( 1)
k
k
k k k k
k k

= =
ữ
+ +
+

=
1 1 1 1
1 1
k
k k k k

+
ữ ữ
+ +

=
1 1
1
1 1
k

k k k


+
ữ
ữ
ữ
+ +


< 2
1 1
1k k


ữ
+

Vậy
1 1 1
2
( 1) 1k k k k

<
ữ
+ +

áp dụng bất đẳng thức này với k = 1,2,3,n ta có
1 1 1 1
...

2 3 2 4 3 ( 1)n n
+ + + +
+
< 2
1 1 1 1 1 1
...
1 2 2 3 1n n

+ + +
ữ
+

= 2
1
1
1n


ữ


< 2
Bài tập tham khảo:
1) Cho các số dơng a , b , c .Chứng minh rằng :

2008 2008 2008
2009 2009 2009
a b c
c a b
b c a

+ +
+ + +
> 1
2) Cho 3 số dơng a, b , c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1a b b c c a
+ +
+ + + + + +
5