Dung PPTD Giai toan HHKG

Trần Minh Hùng Tự chọn HH 12 NC
BT- HHKG GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
……………*………….
Bài 1: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân có AB =
BC = a. Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là đường cao hạ từ A của tam giác SAC.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
b) CMR: SC vuông góc với mp(AB’C’)
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’.
Giải.

a
a
a
C'
B'
z
y
x
C
B
A
S


Chon hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ sao cho: A
≡
O( 0; 0; 0), B(a ; 0 ; 0), C(a ; a ; 0),
S(0 ; 0 ;a), B’(
)
2
;0;

2
aa
a) V =
6
1
[ ]
OSOCOB
.
)0;0;(aOB =
,
)0;;( aaOC =
,
);0;0( aOS =
.
[ ]
);0;0(,
2
aOCOB =
.
[ ]
3
aOSOCOB =
Vậy V =
6
2
a
b) Ta có: AC’
SC
⊥
(1)

=SC
(a ; a ; -a),
)
2
;0;
2
('
aa
AB =
''0
2
0
2
'.
22
ABSCABSC
aa
ABSC ⊥⇒⊥⇒=−+=
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra : SC
)''( CAB⊥
1
Trần Minh Hùng Tự chọn HH 12 NC
c) +
0:)(0:)(
);;()(
)0;0;0(
:)( =−+⇒=−+⇒






−=⊥
zyxazayax
aaaSC
Oqua
mp
αα
α
α
+(d) :
)(:)(
)1;1;1(
);0;0(
Rt
taz
ty
tx
d
SCuVTCP
aSqua
∈





−=

=
=
⇒





−==
→
(d)






=∩
3
2
;
3
;
3
')(
aaa
C
α
V
SAB’C’

=
[ ]
'.,'
6
1
OCOSOB






=
2
;0;
2
'
aa
OB
,
);0;0(,
3
2
;
3
;
3
' aOS
aaa
OC =







=
.
[ ]
)0;
2
;0(,'
2
a
OSOB =
⇒
[ ]
6
'.,'
3
a
OCOSOB =
Vậy V
SAB’C’
=
366
.
6
1
33

aa
=
Bài 2: Cho hình chóp tam giác OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với
nhau và OA = a, OB = b, OC = c.
a) Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
b) Tính đường cao OH của hình chóp.
Giải.

H
z
y
x
C
B
A
O
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O(0 ; 0 ; 0) như hình vẽ. Khi đó A(a ; 0 ; 0), B( 0 ; b ; 0)
C(0 ; 0 ; c).
a)
=AB
(-a ; b ; 0) ,
=AC
(-a ; 0 ; c)
CosA =
⇒>
++
= 0
.
.
.

2222
caba
a
ACAB
ACAB
A < 90
o

Tương tự ta chứng minh được tam giác ABC có ba góc nhọn.
2
Trần Minh Hùng Tự chọn HH 12 NC
B) Phương trình mp(ABC):
01 =−++⇔=++ abcabzacybcx
c
z
b
y
a
x
OH = d(O,(ABC)) =
222222222222
bacacb
abc
bacacb
abc
++
=
++
−
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Gọi I

là trung điểm cạnh SC
a) Tính khỏang cách từ S đến mặt phẳng (ABI ).
b) Mặt phẳng (ABI ) cắt SD tại J. Tính thể tích khối chóp S.ABIJ.
Giải.

M
J
I
z
y
x
O
S
D
C
B
A
a) Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O là tâm O của đáy, trục Ox chứa
OA, trục Oy chứa OB, trục Oz chứa OS
Khi đó: A








0;0;
2

2a
, B








0;
2
2
;0
a
, C








− 0;0;
2
2a
, S(0 ; 0 ; h)
SO
MAI =∩

, M là trọng tâm của tam giác SAC nên M(0 ; 0 ;
)
3
h
Mp(ABI )
≡
mp(ABM), do đó có phương trình là:
1
3
2
2
2
2
=++
h
z
a
y
a
x
d = d(S, (ABI)) =
22
222
94
2
922
2
ah
ah
haa

+
=
++
=
b) V
SABIJ
=
dS
ABIJ
.
3
1
ABIJ là hình thang cân , S
ABIJ
=
),()(
2
1
ABJdIJAB +
=
),()
2
(
2
1
ABId
a
a +
3
Trần Minh Hùng Tự chọn HH 12 NC

I là trung điểm của SC nên I(-
)
2
;0;
4
2 ha








−
=
2
;0;
4
23 ha
AI
,
aAB
aa
AB =⇒









−
= 0;
2
2
;
2
2
[ ] [ ]
22
2
94
4
,
4
3
;
4
2
;
4
2
, ah
a
ABAI
aahah
ABAI +=⇒









−−−
=
d(I, AB) =
[ ]
AB
ABAI,
=
4
94
22
ah +
S
ABIJ
=
16
943
4
94
.
4
3
2222
ahaaha +

=
+
Vậy V
SABIJ
=
8
94
2
.
16
943
3
1
2
22
22
ha
ah
ahaha
=
+
+
• Ta chứng minh được
88
3
8
3
2

.

.
ha
VV
V
V
ABCDSABIJS
ABCDS
ABIJS
==⇒=
Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, đường cao hình chóp
bằng a .Mặt phẳng (P) qua AB và vuông góc với SC cắt SC tại M. Tính thể tích khối
chóp S.ABM.
Giải.

a
O
N
a
M
z
y
x
S
C
B
A
Chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc tọa độ O là trọng tâm của tam giác ABC , trục Ox qua
trung điểm AB, Oy song song AB, Oz chứa đường cao hình chóp.
Khi đó A









−
0;
2
;
6
3 aa
, B








0;
2
;
6
3 aa
, C









−
0;0;
3
3a
, S( 0 ; 0 ; a)
4
Trần Minh Hùng Tự chọn HH 12 NC








−
−
= a
a
SC ;0;
3
3
Đường thẳng SC:










−=
=
−
=
⇒





=
→
taaz
y
t
a
x
SC
SCuVTCP
Squa
0
3

3
:
(1)
Mp(P)
0
6
3
3
3
:)( =−








−
−
⇒





=
→
za
a

x
a
P
SCnVTPT
Bqua
(2)
Thế (1) vào (2) ta có t =
8
5
. Vậy M








−
8
3
;0;
24
35 aa
Ta có









−−
=








−
−−
=








−
−
=
8
5
;0;

24
35
,;
2
;
6
3
,;
2
;
6
3 aa
SMa
aa
SBa
aa
SA
[ ] [ ]
48
35
.,
6
3
;0;,
32
2
a
SMSBSA
a
aSBSA =⇒









−=
Vậy V
SABM
=
[ ]
288
35
.,
6
1
3
a
SMSBSA =
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông
góc với đáy và SA = 2a. Gọi M và N lần lượt là trung diểm các cạnh SA, SD.
a) Tính khỏang cách từ đỉnh S tới mp(BCM)
b) Tính khỏang cách giữa hai đường thẳng SB và CN.
Giải.

z
y
x

N
M
S
D
C
B
A
5
Trần Minh Hùng Tự chọn HH 12 NC
Chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc O là điểm A, AB thuộc trục Ox, AD thuộc trục Oy, AS
thuộc trục Oz.
Khi đó A(0 ; 0 ; 0) , B(a ; 0 ; 0) , C(a ; a ; 0) , D(0 ; a ; 0) , S(0 ; 0 ; 2a) , M(0 ; 0 ; a) ,
N(0 ;
2
a
; a)
a)
(=BC
0 ; a ; 0),
=BM
(-a ; 0 ; a)
[ ]
==
→
BMBCn ,
(a
2
; 0 ; a
2
) = a

2
(1 ; 0 ; 1)
Phương trình mp(BCM): 1(x – a) + 1(z – 0) = 0
⇔
x + z – a = 0
d(S, (BCM)) =
22
2
a
aa
=
−
b)
=BS
(- a ; 0 ; 2a),
=CN
(- a ;
2
a
−
; a),
=SC
(a ; a ; -2a)
[ ]









−−=⇒
2
;;,
2
22
a
aaCNBS
[ ]
2
3
4
,
24
44
aa
aaCNBS =++=⇒

[ ]
3
., aSCCNBS −=
d(SB,CN)
[ ]
[ ]
3
2
2
3
,

.,
2
3
a
a
a
CNBS
SCCNBS
=
−
=
Bài 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.
a) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BB’. Chứng minh rằng AC’
⊥
MN.
b) Gọi P là tâm của mặt CDD’C’. Tính thể tích khối chóp A’.MNP.
Giải.

M
N
O
z
y
x
P
D'
C'
B'
A'
D

C
B
A
6
Trần Minh Hùng Tự chọn HH 12 NC
a) Chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc tọa độ O trùng với A. AB thuộc Ox, AD thuộc Oy ,
AA’ thuộc Oz.
Khi đó M(0 ;
2
1
, 0), N(1 ; 0 ;
2
1
)
)
2
1
;
2
1
;1( −=⇒ MN
A’(0 ; 0 ; 1), C(1 ; 1 ; 0)
(' =⇒ CA
1 ; 1 ; -1)
Ta có :
CAMNCAMN '0
2
1
2
1

1'. ⊥⇒=−−=
hay MN
⊥
A’C
b)P(
)
2
1
;1;
2
1
)1;
2
1
;0('),
2
1
;1;
2
1
('),
2
1
;0;1(' −=−=−= MAPANA
[ ]







=












−
−
−
−
= 1;
4
1
;
2
1
1
2
1
01
;
2

1
2
1
1
2
1
;
2
1
1
2
1
0
',' PANA
[ ]
8
7
1
8
1
0'.',' −=−+=MAPANA
Vậy V
A’MNP
=
[ ]
48
7
8
7
6

1
'.','
6
1
=
−
=MAPANA
(đvtt)
7