Đề thi thử môn toán năm 2009-2010 của Đại Học Vinh Khối THPT chuyên pot

- Thư viện sách trực tuyến
TRƯỜNG ðAI HỌC VINH
®Ò thi thö ®¹i häc n¨m häc 2009-2010
Khối THPT Chuyên MÔN: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút


A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm)
Câu I. (2,0 ñiểm) Cho hàm số
mxxmxy −++−= 9)1(3
23
, với
m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ñã cho ứng với
1
=
m
.
2. Xác ñịnh
m
ñể hàm số ñã cho ñạt cực trị tại
21
, xx
sao cho
2
21
≤− xx
.
Câu II.
(2,0 ñiểm)

1. Giải phương trình:
)
2
sin(2
cossin
2sin
cot
2
1
π
+=
+
+ x
xx
x
x
.
2. Giải phương trình:
)12(log1)13(log2
3
5
5
+
=
+
−
xx
.
Câu III.
(1,0 ñiểm) Tính tích phân

∫
+
+
=
5
1
2
13
1
dx
xx
x
I
.
Câu IV.
(1,0 ñiểm) Cho hình lăng trụ tam giác ñều
'''. CBAABC
có
).0(',1
>
=
=
mmCCAB

Tìm
m
biết rằng góc giữa hai ñường thẳng
'
AB
và

'BC
bằng
0
60
.
Câu V.
(1,0 ñiểm) Cho các số thực không âm
z
y
x
,
,
thoả mãn 3
222
=++
zyx . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
zyx
zxyzxyA
++
+++=
5
.
B. PHẦN RIÊNG
(3,0 ñiểm)
Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần
(phần a, hoặc b).
a. Theo chương trình Chuẩn:
Câu VIa
.

(2,0 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ
,
Oxy
cho tam giác
ABC
có
)6;4(
A
, phương
trình các ñường thẳng chứa ñường cao và trung tuyến kẻ từ ñỉnh
C
lần lượt là
0132
=
+
−
yx
và
029136
=
+
−
yx
. Viết phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
2. Trong không gian với hệ toạ ñộ
,
Oxyz
cho hình vuông

MNPQ
có
)4;3;2(),1;3;5(
−
−
PM
. Tìm toạ
ñộ ñỉnh
Q
biết rằng ñỉnh
N
nằm trong mặt phẳng
.06:)(
=
−
−
+
zyx
γ

Câu VIIa.
(1,0 ñiểm) Cho tập
{
}
6,5,4,3,2,1,0
=
E
. Từ các chữ số của tập
E
lập ñược bao nhiêu số tự

nhiên chẵn gồm 4 chữ số ñôi một khác nhau?
b. Theo chương trình Nâng cao
:
Câu VIb.
(2,0 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ ,
Oxy
xét elíp )(
E
ñi qua ñiểm )3;2(
−
−
M
và có
phương trình một ñường chuẩn là .08
=
+
x
Viết phương trình chính tắc của ).(
E

2. Trong không gian với hệ toạ ñộ
,
Oxyz
cho các ñiểm
)2;3;0(),0;1;0(),0;0;1(
CBA
và mặt phẳng
.022:)(
=
+

+
yx
α
Tìm toạ ñộ của ñiểm
M
biết rằng
M
cách ñều các ñiểm
CBA
,,
và mặt phẳng
).(
α

Câu VIIb.
(1,0 ñiểm) Khai triển và rút gọn biểu thức
n
xnxx
)1( )1(21
2
−++−+−
thu ñược ña thức
n
n
xaxaaxP +++= )(
10
. Tính hệ số
8
a biết rằng
n

là số nguyên dương thoả mãn
n
CC
nn
171
32
=+ .
Hết

- Th vin sỏch trc tuyn
.
P N THI TH LN 1 NM 2009

Cõu ỏp ỏn im

1. (1,25 ủim)
Với
1
=
m
ta có
196
23
+= xxxy
.
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên

Chiều biến thiên:
)34(39123'

22
+=+= xxxxy

Ta có



<
>
>
1
3
0'
x
x
y
,
310'
<
<

<
xy
.
Do đó:
+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
)1,(

và
),3(

+
.
+ H

m số nghịch biến trên khoảng
).3,1(






0,5

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
1
=
x
và
3)1(
=
=
yy
CD
; đạt cực tiểu tại
3
=
x
và

1)3(

=
=
yy
CT
.

Giới hạn:
+
=

=
+
yy
xx
lim;lim
.


0,25

Bảng biến thiên:

0,25
* Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm
)1,0(

.
1 2 3 4
-1
1
2
3
x
y
O






0,25
2. (0,75 điểm)

Ta có

.9)1(63'
2
++= xmxy

+) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
21
, xx



phơng trình
0'
=
y
có hai nghiệm pb là
21
, xx



Pt
03)1(2
2
=++ xmx
có hai nghiệm phân biệt là
21
, xx
.

<
+>
>+=
31
31
03)1('
2
m
m
m

)1(





0,25

I
(2,0
ủim)

+) Theo định lý Viet ta có
.3);1(2
2121
=

+
=
+
xxmxx
Khi đó
(
)
(
)
41214442
2
21
2
2121
++ mxxxxxx




Trờng ại học vinh
Khối THPT chuyên
đáp án đề khảo sát chất lợng lớp 12 Lần 1 - 2009
Môn Toán, khối A

x
y
y
3
-1

+




0
0
3
1

+




+

+



- Th vin sỏch trc tuyn

)2(134)1(
2
+ mm

Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là
313
<

m
và
.131
<+
m

0,5

1. (1,0 điểm)
Điều kiện:
.0cossin,0sin

+

xxx

Pt đ cho trở thành
0cos2
cossin
cossin2
sin2
cos
=
+
+ x
xx
xx
x
x

02sin)
4
sin(cos
0
cossin
cos2
sin2
cos
2
=






+
=
+

xxx
xx
x
x
x


+)
.,

2
0cos +== kkxx








0,5

+)







+=
+=







+=

++=
+= nm
n
x
mx
nxx
mxx
xx ,
3
2
4
2
4
2
4
2
2
4
2
)
4
sin(2sin

.,
3
2
4
+= t
t
x



Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là


kx +=
2
;
.,,
3
2
4
+= tk
t
x

0,5

2. (1,0 điểm)
Điều kiện
.
3
1
>x
(*)
Với đk trên, pt đ cho
)12(log31)13(log
5
2
5
+=+ xx


32
3
5
2
5
)12()13(5
)12(log)13(5log
+=
+=

xx
xx




0,5

II
(2,0
ủim)






=
=

=
=+
8
1
2
0)18()2(
0436338
2
23
x

x
xx
xxx

Đối chiếu điều kiện (*), ta có nghiệm của pt là
.2
=
x




0,5

Đặt
3
2
132
3
13
tdt
dx
x
dx
dtxt =
+
=+=
.
Khi
1

=
x
thì t = 2, và khi x = 5 thì t = 4.
Suy ra


+









=
4
2
2
2
2
3
2
.
.
3
1
1
3

1
tdt
t
t
t
I



+=
4
2
2
4
2
2
1
2)1(
9
2
t
dt
dtt





0,5

III
(1,0
ủim)


.
5
9
ln
27
100
2
4
1
1
ln
2
4
3
1
9
2
3
+=
+

+

=
t
t
tt


0,5
- Th vin sỏch trc tuyn
- Kẻ
)''('// BADABBD


0
60)',()','( == BCBDBCAB


0
60'= DBC
hoặc
.120'
0
=DBC


0,5

IV

(1,0
điểm)

- Nếu
0
60'=DBC

Vì lăng trụ đều nên
).'''(' CBABB


áp dụng định lý Pitago và định lý cosin ta
có



1'
2
+== mBCBD
và
.3'=DC

Kết hợp
0
60'=DBC
ta suy ra
'BDC


đều.

Do đó
.231
2
==+ mm

- Nếu
0
120'=DBC

áp dụng định lý cosin cho
'BDC

suy
ra
0
=
m
(loại).
Vậy
.2=m



* Chú ý:
- Nếu HS chỉ xét trờng hợp góc
0
60
thì chỉ cho 0,5đ khi giải đúng.
- HS có thể giải bằng phơng pháp vectơ hoặc toạ độ với nhận xét:
'

'.
'.'
)','cos()','cos(
BC
AB
BCAB
BCABBCAB ==
.





0,5
Đặt
z
y
x
t
+
+
=


2
3
)(23
2
2

=+++++=
t
zxyzxyzxyzxyt
.
Ta có
30
222
=++++ zyxzxyzxy
nên
3393
2
tt
vì
.0
>
t

Khi đó
.
5
2
3
2
t
t
A +

=

0,5
V
(1,0
điểm)

Xét hàm số
.33,
2
35
2
)(
2
+= t
t
t
tf

Ta có
0
55
)('
2
3
2
>

==
t

t
t
ttf
vì
.3t

Suy ra
)(tf
đồng biến trên
]3,3[
. Do đó
.
3
14
)3()( = ftf

Dấu đẳng thức xảy ra khi
.13
=
=
=

=
zyxt

Vậy GTLN của A là
3
14
, đạt đợc khi
.1

=
=
=
zyx






0,5
1. (1 điểm)
VIa.
(2,0
điểm)

- Gọi đờng cao và trung tuyến kẻ từ C là CH
và CM. Khi đó
CH có phơng trình
0132
=
+

yx
,
CM có phơng trình
.029136
=
+

yx

- Từ hệ
).1;7(
029136
0132




=+
=+
C
yx
yx

-
)2,1(==
CHAB
unCHAB


0162:
=

+

yxABpt
.
- Từ hệ

)5;6(
029136
0162
M
yx
yx




=+
=+









0,5
A

2
1
m
+
C

C

B

B

A

m

D

3
1
1
0
120

M(6; 5)
A(4;
6)
C(-7; -1)
B(8; 4)
H
- Th vin sỏch trc tuyn

).4;8(B

- Giả sử phơng trình đờng tròn ngoại tiếp
.0:
22
=++++ pnymxyxABC

Vì A, B, C thuộc đờng tròn nên





=+
=+++
=+++
0750
04880
06452
pnm
pnm
pnm





=
=
=

72

6
4
p
n
m
.
Suy ra pt đờng tròn:
07264
22
=++ yxyx
hay
.85)3()2(
22
=++ yx



0,5
2. (1 điểm)
- Giả sử
);;(
000
zyxN
. Vì
)1(06)(
000
=


+

zyxN


- MNPQ là hình vuông
MNP


vuông cân tại N





=
=

0.PNMN
PNMN







=++++
+++=+++

0)4)(1()3()2)(5(
)4()3()2()1()3()5(
00
2
000
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
zzyxx
zyxzyx




0,5




=++++
=+

)3(0)4)(1()3()2)(5(
)2(01
00
2
000
00
zzyxx
zx

- Từ (1) và (2) suy ra



+=
+=
1
72
00
00
xz
xy
. Thay vào (3) ta đợc
065
0
2
0
=+ xx

===
===

2,1,3
1,3,2
000
000
zyx
zyx
hay





)2;1;3(
)1;3;2(
N
N
.
- Gọi I là tâm hình vuông

I là trung điểm MP và NQ

)
2
5

;3;
2
7
( I
.
Nếu
)13;2(

N
thì
).4;3;5(

Q

Nếu
)2;1;3(

N
thì
).3;5;4(

Q




0,5

Giả sử
abcd

là số thoả mn ycbt. Suy ra
{
}
6,4,2,0

d
.
+)
.0
=
d
Số cách sắp xếp
abc
là
.
3
6
A

+)
.2
=
d
Số cách sắp xếp
abc
là
.
2
5
3

6
AA



0,5

VIIa.
(1,0
điểm)

+) Với
4
=
d
hoặc
6
=
d
kết quả giống nh trờng hợp
.2
=
d

Do đó ta có số các số lập đợc là
(
)
.4203
2
5

3
6
3
6
=+ AAA



0,5
1. (1 điểm)

- Gọi phơng trình
)0(1:)(
2
2
2
2
>>=+ ba
b
y
a
x
E
.
- Giả thiết

=
=+

)2(8
)1(1
94
2
22
c
a
ba

Ta có
).8(88)2(
22222
cccccabca ====

Thay vào (1) ta đợc
1
)8(
9
8
4
=

+
ccc
.

0,5


VIb.
(2,0
điểm)


















=
=

=+
2
13
2
026172
2
c
c
cc




- Thư viện sách trực tuyến
* NÕu
2
=
c
th×
.1
12
16
:)(12,16
22
22
=+⇒==
yx
Eba

* NÕu

2
13
=c
th× .1
4
/
39
52
:)(
4
39
,52
22
22
=+⇒==
yx
Eba


0,5
2. (1 ®iÓm)
Gi¶ sö );;(
000
zyxM . Khi ®ã tõ gi¶ thiÕt suy ra
5
22
)2()3()1()1(
002
0
2

0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
++
=−+−+=+−+=++−
yx
zyxzyxzyx









++
=++−

−+−+=+−+
+−+=++−
⇔
)3(
5
)22(
)1(
)2()2()3()1(
)1()1()1(
2
00
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2

0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
yx
zyx
zyxzyx
zyxzyx





0,5

Tõ (1) vµ (2) suy ra



−=
=
00
00
3 xz
xy
.
Thay vµo (3) ta ®−îc
2
00
2
0
)23()1083(5 +=+− xxx






=
=
⇔
3
23
1
0

0
x
x





−
⇒
).
3
14
;
3
23
;
3
23
(
)2;1;1(
M
M




0,5

Ta cã






=
−−
+
−
≥
⇔=+
nnnnnn
n
nCC
nn
1
)2)(1(
!3.7
)1(
2
3
171
32


.9
0365
3
2
=⇔




=−−
≥
⇔ n
nn
n




0,5

VIIb.
(1,0
®iÓm)

Suy ra
8
a
lµ hÖ sè cña
8
x
trong biÓu thøc
.)1(9)1(8
98
xx −+−

§ã lµ

.89.9.8
8
9
8
8
=+
CC


0,5