Đề Toán TN Trường Phan Đình Phùng

http://ductam_tp.violet.vn/
http://ductam_tp.violet.vn/
TRƯỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG
Ngày thi 21/04/2010
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2
MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)
CÂU I:
a. Khảo sát,vẽ đồ thò (C) của hàm số
3 2
3y x x= +
b. Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được đúng ba tiếp tuyến của đồ
thò (C) ,trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau.
CÂU II:
a. Tính tích phân
2
2
0
cos sin 2x xdx
∏
∫
b. Chứng minh rằng :
2 2
6 5
0 0
cos cos 6 cos sin sin 6x xdx x x xdx
∏ ∏
=
∫ ∫

và tính

2
5
0
cos cos7x xdx
∏
∫
CÂU III:
a. Giải hệ phương trình:
3 3
6
126
x y
x y
− =


− =

b. Xác đònh m để bất phương trình sau có nghiệm:
2
12 .log (2 4 )x x x m x+ + ≤ + −
CÂU IV:
a. Giải phương trình :1+cosx+cos2x+cos3x=0
b. Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C là góc nhọn.Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: P =
tgA.tgB.tgC.
CÂU V:
Cho hai đường thẳng:
2 3 4 0
:
4 0

x y
d
y z
+ − =


+ − =

và
1 3
' : 2
1 2
x t
d y t
z t
= +


= +


= − +

a. Chứng minh rằng hai đường thẳng d và d’ chéo nhau
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d’
c. Hai điểm A, B khác nhau và cố đònh trên đường thẳng d sao cho
117AB =
.Khi C di động trên
đường thẳng d’,tìm giá trò nhỏ nhất của diện tích tam giác ABC.
ĐAP AN

CÂU I:
a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:
3 2
3 ( )y x x C= +
• TXĐ: D = R
•
2
' 3 6 3 ( 2)y x x x x= + = +
http://ductam_tp.violet.vn/
•
0
' 0
2
x
y
x
=

= ⇔

= −

•
'' 6 6y x= +
•
'' 0 1 2y x y= ⇔ = − ⇒ = ⇒ Điểm uốn I(-1, 2)
• BBT:
• Đồ thò:
Cho x = -3, y = 0
x = 1, y = 4

b) Tìm điểm M trên Ox sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông
góc nhau.
Gọi
∈M(a,0) Ox
, đường thẳng (d) qua M và có hệ số góc K là:
y = k( x - a)
(d) tiếp xúc (C)
2
3 ( ) (1)
2
3 6 (2)
x x k x a
x x k

+ = −

⇔


+ =

3
co ùnghiệm
Thay (2) vào (1):
2 2
3 3 6 ( )
2 3( 1) 6 0
2 3( 1) 6 0
0

2 3( 1) 6 0 (3)
x x x x x a
x a x ax
x x a x a
x
x a x a
+ = + −
⇔ + − − =
 
⇔ − − − =
 
 
=

⇔

− − − =


3
3 2
2
2
Với x = 0
⇒
k = 0
⇒
1 tiếp tuyến là y = 0.
http://ductam_tp.violet.vn/
• Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

⇔
(3) có 2 nghiệm phân biệt
, 0
1 2
x x ≠
và
1
1 2
k k = −
.
0
0
2
0 9( 1) 48 0
2 2 2
(3 6 )(3 6 ) 1 9( ) 18 ( ) 36 1
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
3
3
2
81 81 ( 1) 108 1 0 ( vì x x = - 3a
1 2
3(a-1)
x + x = )
1 2
2
1
3
3

a
a
a a
x x x x x x x x x x x x
a a
a a a a
a a
 
≠
≠
 
 
⇔ ∆ > ⇔ − + >
 
 
+ + = − + + + = −
 
 

< − ∨ > − ≠



⇔ − − − + =







< − ∨ > − ≠

⇔

và a 0
và a 0
-27a +1= 0
1
27
a⇔ =


Vậy chỉ có 1 điểm
1
( ,0)
27
M Ox∈
thoả điều kiện bài toán.
CÂU II:
a) Tính I=
2
2
0
cos sin 2x xdx
∏
∫
Ta có:
2
3
2 cos .sin .

0
I x x dx
π
=
∫
Đặt
cos sint x dt x
= ⇒ = −
Đổi cận:
0 1
0
2
x t
x t
π
= ⇒ =
= ⇒ =
Suy ra:
1
1
1 1
3 4
2
2 2
0
0
I t dt t
 
= = =
∫

 
 
b) Chứng minh rằng :
2 2
6 5
0 0
cos cos 6 cos sin sin 6x xdx x x xdx
∏ ∏
=
∫ ∫

Dùng phương pháp từng phần cho
2
6
cos . s6 .
0
x co x dx
π
∫
Đặt:
6 5
cos 6cos sinu x du x xdx= ⇒ = −
cos 6dv xdx=
, chọn
1
sin 6
6
v x=
.
Suy ra:

http://ductam_tp.violet.vn/
2 2
1
6 6 5
2
cos . s6 . sin 6 cos cos .sin .sin 6 .
6
0
0 0
x co x dx x x x x x dx
π
π π
 
= +
∫ ∫
 
 

2
5
cos .sin .sin 6 .
0
x x x dx
π
=
∫
(đpcm)
Ta có:
2
5

cos . s(6 ).
0
2
5
cos .( s 6 cos sin 6 .sin ).
0
2 2
6 5
cos . s6 . cos .sin 6 .sin .
0 0
0
K x co x x dx
x co x x x x dx
x co x dx x x x dx
π
π
π π
= +
∫
= −
∫
= −
∫ ∫
=
CÂU III:
a) Giải hệ phương trình:
6 (1)
3 3
126 (2)
x y

x y
− =



− =


Ta có:
2 2
(2) ( )( ) 126
2
( ) ( ) 3 126
2
6(6 3 ) 126 ( (1))
5
( 6) 5 ( (1))
2
6 5 0
1 5
5 1
x y x y xy
x y x y xy
xy do
xy
x x do
x x
x y
x y
⇔ − + + =

 
⇔ − − + =
 
 
⇔ + =
⇔ = −
⇔ − = −
⇔ − + =
= ⇒ = −

⇔

= ⇒ = −

Vậy hệ có 2 nghiệm
1 5

5 1
x x
y y
= =
 
⇔ ∨
 
= − = −
 
b) Tìm m để
2
12 .log (2 4 )x x x m x+ + ≤ + −
có nghiệm:

Điều kiện:
0
12 0 0 4
4 0
x
x x
x
≥


+ ≥ ⇔ ≤ ≤


− ≥

Với:
0 4x≤ ≤
thì
log (2 4 ) 0
2
x+ − >
http://ductam_tp.violet.vn/
Do đó: bất phương trình
12
log (2 4 )
2
x x x
m
x
+ +

⇔ ≤
+ −
Ta có:
•
12y x x x= + +
là hàm số tăng và có giá trò dương trên [0,4] (vì y’= 0).
•
log (2 4 )
2
y x= + −
là hàm số giảm và có giá trò dương trên [0,4] (vì y’= 0).
1
log (2 4 )
2
y
x
⇒ =
+ −
là hàm số tăng và có giá trò dương trên [0,4].
Suy ra hàm số
12
( )
log (2 4 )
2
x x x
f x
x
+ +
=
+ −

tăng trên [0,4].
Do đó: bất phương trình có nghiệm:
(0)
3
m f
m
⇔ ≥
⇔ ≥

CÂU IV:
a) Giải phương trình :1 + cosx + cos2x + cos3x = 0
Ta có: phương trình
(1 cos 2 ) (cos3 cos ) 0
2
2cos 2 cos 2 .cos 0
cos (cos cos 2 ) 0
2
cos (2cos cos 1) 0
cos 0
2
cos 1 2 ( )
1
cos 2
2 3
x x x
x x x
x x x
x x x
x k
x

x x k k
x x k
π
π
π π
π
π
⇔ + + + =
⇔ + =
⇔ + =
⇔ + − =


= +


=


⇔ = − ⇔ = + ∈




= = ± +




¢

b) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: P = tgA. tgB. tgC.
Vì tam giác ABC nhọn nên tgA, tgB, tgC > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
3
3 (*)tgA tgB tgC tgAtgBtgC+ + ≥
Do tgA + tgB + tgC = tgA. tgB. tgC nên từ (*) ta có:
3
. . 3tgAtgB tgC tgAtgBtgC≥
3
3
3 3
P P
P
⇒ ≥
⇒ ≥
Mặt khác khi
3
A B C
π
= = =
thì
3 3P ≥
Do đó
3 3Min P =
CÂU V:
http://ductam_tp.violet.vn/
1 3
2 3 4 0
: ' : 2
4 0

1 2
x t
x y
d d y t
y z
z t
= +

+ − =


= +
 
+ − =


= − +

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.
• d đi qua A(2, 0, 4) có VTCP
(3, 2, 2)a
d
= −
uur
• d đi qua B(1, 2, -1) có VTCP
(3,1,2)
'
a
d
=

uuur
•
, ( 6, 0,9)
'
a a
d d
 
= −
 
uur uuur
•
( 1,2, 5)AB = − −
uuur
Ta có:
, . 6 45 39 0
'
a a AB
d d
 
= − = − ≠
 
uur uuur uuur
.
⇒
d và d’ chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d’.
Gọi
α
là mặt phẳng chứa d và song song d’
⇒

α
Qua A(2, 0, 4) và
, ( 6,0,9)
'
n a a
d d
α
 
= = −
 
uuur uur uuur
.
⇒
Phương trình
α
:
6( 2) 9( 4) 0
2 3 8 0
x z
x z
− − + − =
⇔ − + − =
Ta có:
2 3 8
( , ') ( , ') ( , ) 13
4 9
d d d d d d B
α α
− − −
= = = =

+
c) Tìm giá trò nhỏ nhất của diện tích tam giác ABC.
• Gọi h là khoảng cách từ C đến d thì
13h ≥
.
• Ta có
1 1 1
. 117. 117 13
2 2 2
39
2
S AB h h
ABC
S
ABC
= = ≥
⇒ ≥
Vậy S
ABC
nhỏ nhất là
39
2
khi h là độ dài đoạn vuông góc chung của d, d’.