Đề Toán TN Trường Lam Sơn

http://ductam_tp.violet.vn/
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2010
TRƯỜNG THPT CHUN LAM SƠN- THANH HỐ
MƠN: TỐN
Thời gian: 180 phút khơng kể thời gian giao đề
CÂU I:
Cho hàm số
3 2
7 3y x mx x= + + +
(1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số (1) với m= 5
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu. Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực đại
và cực tiểu đó.
CÂU II:
1. Cho bất phương trình:
2
4 (2 5)2 5 0
x x
m m m− + + + >
a. Giải bất phương trình trên với m=1
b. Xác đònh m để bất phương trình trên nghiệm đúngvới mọi x.
2. Tìm:
0
2
1 sin cos 2
lim
2
x
x x x
x
tg

→
+ −
CÂU III:
1. Giải phương trình 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0
2. Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

4 4
6 6
sin cos
sin cos
x x
y
x x
+
=
+
CÂU IV:
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác nội tiếp trong hình tròn tâm O, bán kính r, cạnh SA=h
vuông góc với mặt phẳng đáy.
a. Xác đònh tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
b. Giả sử S, A cố đònh , còn B, C, D chuyển động trên đường tròn đã cho ,sao cho hai đường
chéo AC và BD vuông góc với nhau.Tìm giá trò lớn nhất của thể tích hình chóp.
2. Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai đường thẳng
1
( )∆
và
2
( )∆
:

1
8 23 0
( ) :
4 10 0
x z
x y
− − =

∆

− − =

và
2
2 3 0
( ) :
2 2 0
x z
x y
− + =

∆

+ + =

Viết phương trình đường thẳng
( )∆
song song với trục Ox và đồng thời cắt cả
1
( )∆

và
2
( )∆
CÂU V:
1. Tính :
4
3
0
sin
cos
x x
dx
x
∏
∫
2. Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

2
2 2
1 sin
1
ax a y x
y tg x

+ − = −


+ =



ĐAP AN
Câu I:
Cho
3 2
7 3y x mx x= + + +
(1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số khi m= 5.
http://ductam_tp.violet.vn/
3 2
5 7 3y x x x= + + +
• TXĐ :
¡
• y’= 3x
2
+10x + 7
1 0
' 0
7 32
3 27
'' 6 10
5 16
'' 0
3 27
x y
y
x y
y x
y x y
= − ⇒ =



= ⇔

= − ⇒ =

= +
= ⇔ = − ⇒ =
⇒
điểm uốn
5 16
,
3 27
 
−
 ÷
 
.
• BBT :
• Đồ thò:
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu.
Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và cực tiểu.
Ta có :
3 2
2
7 3
' 3 2 7
y x mx x
y x mx
= + + +
= + +

2
' 0 3 2 7 0(*)y x mx= ⇔ + + =
Hàm số có cực đại và cực tiểu
(*)⇔
có hai nghiệm phân biệt
2
' 0 21 0m⇔ ∆ > ⇔ − >
21m⇔ < −
v
21m >
Chia y cho y’ ta được :
2
1 2(21 ) 27 7
'( )
3 9 9 9
m m m
y f x x
− −
 
= + + +
 ÷
 
http://ductam_tp.violet.vn/
Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và điểm cực tiểu là:
2
2(21 ) 27 7
9 9
m m
y
− −

= +
Câu II:
1) Cho
2
4 (2 5).2 5 0
x x
m m m− + + + >
a. Giải bất phương trình khi m = 1.
Đặt
2
x
t =
. Điều kiện t > 0
Khi đó bất phương trình trở thành :
2 2
( ) (2 5). 5 0 (*)f t t m t m m= − + + + >
Với m = 1, (*) trở thành :
2
7 6 0t t− + >
0 1 6t t
⇔ < < ∨ >
Vậy: Bất phương trình
2 1 2 6
x x
⇔ < ∨ >

2
0 log 6x x⇔ < ∨ >
b. Tìm m để bất phương trình đúng với
∀

x.
f(t) có
2 2
(2 5) 4( 5 ) 25m m m∆ = + − + =
( ) 0f t⇒ =
có 2 nghiệm
1 2
5t m t m= ∨ = +
.
Ta có: Bất phương trình đúng
x∀
.
⇔
(*) đúng
0t∀ >
⇔
5 0m + ≤
⇔
5m ≤ −
2.
0
2
0
2
2
0
2
2
2
0

2
2
1 sin cos 2
lim
2
1 sin cos 2
lim
( 1 sin cos 2 )
2
2sin sin
lim
( 1 sin cos 2 )
2
sin sin
2
3
lim
8
2
4 ( 1 sin cos 2 )
4
x
x
x
x
x x x
x
tg
x x x
x

tg x x x
x x x
x
tg x x x
x x
x x
x
tg
x x x
x
→
→
→
→
+ −
+ −
=
+ +
+
=
+ +
+
= =
+ +
Câu III:
1) Giải :1 + sin2x + cosx + sin2x + cos2x = 0
Ta có:
Phương trình :
(1 sin ) cos 2 (sin cos ) 0x x x x⇔ + + + + =
http://ductam_tp.violet.vn/

2 2 2
(sin cos ) (cos sin ) (sin cos ) 0
(sin cos )(2cos 1) 0
sin cos 0
2cos 1 0
1
4
( )
1
2
cos
2
2
3
x x x x x x
x x x
x x
x
tgx
x k
k
x
x k
⇔ + + − + + =
⇔ + + =
+ =

⇔

+ =


π

= −
= − + π



⇔ ⇔ ∈


π
= −

= ± + π



¢

2) Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của
4 4
6 6
sin cos
sin cos
x x
y
x x
+
=

+
Ta có:
4 4 2 2 2 2 2
2
6 6 2 2 4 4 2 2
2 2
2
sin cos (sin cos ) 2sin cos
1
1 sin 2
2
sin cos (sin cos )(sin cos sin cos )
1 1
1 sin 2 sin 2
2 4
3
1 sin 2
4
x x x x x x
x
x x x x x x x x
x x
x
+ = + −
= −
+ = + + −
= − −
= −
Nếu
2

sin 2 (0 1)t x t= ≤ ≤
thì hàm số trở thành :
2 4
( )
3 4
t
y f t
t
−
= =
−
Ta có :
2
4
' 0, [0,1]
(3 4)
y t
t
= > ∀ ∈
−
Suy ra:
2 4
3 4
t
y
t
−
=
−
liên tục tăng trên [0,1].

Do đó: Maxy = f(1 ) = 2
Miny = f(0) = 1
Câu IV:
1.a)Xác đònh tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD:
Gọi I là tâm hình cầu ngoại tiếp S.ABCD, ta có:
IA= IB = IC = ID => I
∈
trục đường tròn ngoại tiếp tứ diện ABCD
=> I
∈
Ox // AS.
IA = IS => I nằm trong mặt phẳng trung trực (
π
) của SA.
Vậy tâm I là giao điểm của Ox và mặt phẳng (
π
).
Tam giác vuông AOI cho:
2
2 2
2 2
4
2 4
h r h
R r
+
 
= + =
 ÷
 

Vậy:
2 2
4
2
r h
R
+
=

http://ductam_tp.violet.vn/
b. Tìm giá trò lớn nhất của thể tích hình chóp:
Ta co : S, A cố đònh, B, C, D di động trên (O) sao cho:
AC BD⊥
.
Thể tích hình chóp :
V=
1 1 1
. . . .
3 3 2
ABCD
S SA AC BD SA=
1
. .
6
V h AC BD⇔ =
⇒
V lớn nhất
⇔
AC. BD lớn nhất
⇔

AC. BD =
2
4r
⇔
Max
2
2
.
3
V h r=
2.
1
8 23 0
( ) :
4 10 0
x z
x y
− − =

∆

− − =

;
2
2 3 0
( ) :
2 2 0
x z
x y

− + =

∆

+ + =

Viết phương trình
( )∆
song song Ox và cắt cả
1
( )∆
và
2
( )∆
.
Gọi
α
là mặt phẳng chứa
1
( )∆
và song song với Ox.
Gọi
β
là mặt phẳng chứa
2
( )∆
và song song với Ox.
Suy ra:
( )
α β

∆ = ∩
• (
α
) chứa
1
( )∆
nên phương trình có dạng:
m(8x – z - 23) + n(4x – y - 10) = 0
⇔
(8m + 4n)x – ny – mz - 23m - 10n = 0
Ox//(
α
)
⇔
8m + 4n = 0
Chọn m = 1 => n = -2
=> (
α
): 2y – z - 3 = 0
• Tương tự (
β
): y + z –1 = 0
Vậy
( )∆
:
2 3 0
1 0
y z
y z
− − =



+ − =

Câu V:
http://ductam_tp.violet.vn/
1.Tính
4
3
0
sin
cos
x x
I dx
x
π
=
∫
Đặt: u = x => du = dx
3 3
sin (cos )
cos cos
x d x
dv dx
x x
−
= =
, chọn
2
1

2cos
v
x
=
Vậy :
4
4
2 2
0
0
4
0
1
2cos 2cos
1 1
4 2 4 2
x
I dx
x x
tgx
π
π
π
= −
π π
 
= − = −
 ÷
 
∫

2. Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất:
2
2 2
1 sin
1
ax a y x
y tg x

+ − = −


+ =


Nhận xét:
Nếu
0 0
( , )x y
là nghiệm của hệ thì
0 0
( , )x y−
cũng là nghiệm của hệ.
Do đó hệ có nghiệm duy nhất thì
0 0
x x= −

0
0x⇒ =
Thế x = 0 vào hệ ta được :
2

1
1 1
2 0
1
y a
y y
a a
y
= −
= = −

 
⇒ ∨
  
= =
=
 

Thử lại:
• Với a= 2: hệ trở thành :
2
2 2
2 1 sin (1)
1 (2)
x y x
y tg x

+ = −



+ =


Ta có: (1)
2
2 sin 1 1y x x⇔ = + + ≥
Từ (2) ta lại có:
1y ≤
.
Suy ra y = 1 thế vào (2) ta được:
0 ( )tgx x k k= ⇔ = π ∈¢
Thế x và y vào (1) ta được k = 0
Vậy hệ có nghiệm duy nhất:
0
1
x
y
=


=

=> nhận a = 2.
Với a= 0 hệ trở thành:
2 2
1 sin
1
y x
y tg x


− = −


+ =


Nhận thấy
0
1
x
y
=


= −

,
1
x
y
= π


= −

là nghiệm của hệ.
Suy ra hệ không có nghiệm duy nhất.
Do đó khôngnhận a= 0.
Tóm lại: Khi a = 2 thì hệ có nghiệm duy nhất.
http://ductam_tp.violet.vn/