Giáo trình kỹ thuật điều khiển 2 ppsx

12
mức chất lỏng trong bể. Một ví dụ nữa rất quen thuộc với cuộc sống của chúng ta
là chiếc tủ lạnh. Người sử dụng có thể đặt một mức nhiệt độ mong muốn, một
nhiệt kế sẽ đo nhiệt độ thực sự trong tủ lạnh và độ sai lệch của nhiệt độ thực sự
với nhiệt độ mong muốn, còn độ
ng cơ nén khí của tủ lạnh đóng vai trò của bộ
khuyếch đại công suất.
Quá trình
Tín hiệu
vào hay
đối sánh
Tín
hiệu ra
Hình 1.7. Một hệ thống điều khiển vòng kín cơ bản
Cơ cấu
chấp hành
Khuyếch
đại
Hệ đo
_
+
Tự động hóa được định nghĩa như một công nghệ trong đó các mệnh lệnh đã
được lập trình được sử dụng để vận hành một quá trình nhất định, và được kết
hợp với sự phản hồi thông tin để xác định xem các mệnh lệnh đó có được thực
hiện một cách đúng đắn hay không. Tự động hóa thường được áp dụng cho các
quá trình vốn đã đượ
c vận hành bởi con người. Khi được tự động hóa, quá trình
có thể vận hành mà không cần tới sự trợ giúp hay can thiệp của con người. Trong
thực tế, phần lớn các hệ thống tự động có khả năng thực hiện các chức năng của
chúng với độ chính xác cao hơn và tốn ít thời gian hơn so với khả năng con
người có thể làm được.

Một trong những lĩnh vực đặc biệ
t của tự động hóa là robotics. Robot là
những thiết bị tự động được điều khiển bằng máy tính. Robot công nghiệp là một
lĩnh vực đặc biệt của tự động hóa, trong đó các thiết bị tự động (robot) được thiết
kế để thay thế lao động của con người. Để làm được điều đó, robot cần phải
mang một số những đặc tính t
ương tự như con người. Một trong những thiết bị
có đặc tính tương tự con người được sử dụng phổ biến nhất là các cánh tay máy,
thiết bị chấp hành cơ khí có cấu trúc phỏng theo cánh tay và cổ tay của con
người.
Một ứng dụng rất quan trọng của công nghệ điều khiển là các bộ phận điều
khiển trong ô tô hiện đại: các hệ thống điều khi
ển cho giảm xóc, trợ lái, điều
khiển hiệu suất làm việc của động cơ, hay các hệ thống lái bốn bánh, điều khiển
chống trượt
Người ta hay nói đến khoảng cách giữa lý thuyết và thực tiễn trong kỹ thuật
điều khiển. Cũng giống như nhiều ngành khác, trong nhiều lĩnh vực của kỹ thuật
điều khiển lý thuyết đã đi trước
ứng dụng khá xa. Tuy nhiên, có một lĩnh vực mà
khoảng cách này là không đáng kể, đó là trong công nghiệp năng lượng điện.
Ngành năng lượng điện chủ yếu bao gồm các lĩnh vực chuyển hóa năng lượng
thành điện năng, kiểm soát và phân phối. Các hệ thống điều khiển bằng máy tính
đã được sử dụng để tăng tính hiệu quả trong việc sử dụng các nguồn n
ăng lượng.
Ngoài ra, việc kiểm soát lượng chất thải của các nhà máy điện để giảm thiểu ô
nhiễm đã trở thành một vấn đề vô cùng quan trọng. Các nhà máy điện hiện đại
với công suất lớn tới hàng trăm megawatts cần những hệ thống điều khiển tự
13
động chịu trách nhiệm về các mối quan hệ giữa các biến của toàn bộ quá trình và
thực hiện việc tối ưu hóa quá trình sản xuất điện năng. Một quá trình như vậy có

thể có tới hơn 90 biến đặt dưới một sự điều khiển thống nhất. Ví dụ, để điều
khiển hoạt động của lò hơi, hệ thống cần đo các giá tr
ị biến thiên như nhiệt độ, áp
suất, nồng độ ôxy và cung cấp cho máy tính thực hiện việc tính toán. Sơ đồ
khối của một hệ thống điều khiển bằng máy tính được biểu diễn trong Hình 1.8.
Ngành công nghiệp năng lượng điện đã sử dụng được nhiều khía cạnh hiện đại
của kỹ thuật điều khiển vào những ứng dụng có ý nghĩ
a quan trọng. Bài học của
ngành công nghiệp năng lượng điện cho thấy, yếu tố làm duy trì khoảng cánh
giữa lý thuyết và ứng dụng của kỹ thuật điều khiển trong nhiều lĩnh vực là việc
thiếu những thiết bị dùng để đo đạc tất cả các biến quan trọng của các quá trình,
bao gồm cả chất lượng và thành phần của sản phẩm. Khi những thiết b
ị này trở
nên sẵn có, các ứng dụng của lý thuyết điều khiển hiện đại vào các hệ thống công
nghiệp sẽ tăng lên nhanh chóng.

Quá trình
Tín hiệu
đối sánh
Tín hiệu
ra
Hình 1.8. Một hệ thống điều khiển bằng máy tính
Cơ cấu
chấp hành
Máy tính
Hệ đo
_
+

Ứng dụng của khái niệm điều khiển phản hồi đã và đang xuất hiện trong rất

nhiều lĩnh vực như điều khiển tự động việc tàng trữ hàng hóa, các hệ thống tự
động hóa trong nông nghiệp, các hệ thống sưởi ấm và làm lạnh sử dụng năng
lượng mặt trời, các ứng dụng của lý thuyết điều khiển trong các lĩ
nh vực y-sinh
học như thí nghiệm, chẩn đoán, cấy ghép bộ phận giả và các hệ thống điều khiển
sinh học.
Cuối cùng, một lĩnh vực đang thu hút nhiều sự quan tâm là mô hình hóa các
quá trình phản hồi phổ biến trong các hệ thống xã hội, kinh tế và chính trị. Các
mô hình như vậy rất có ích cho việc tìm hiểu, giải thích và dự đoán các hoạt động
của các hệ thống này, ví dụ như
để đánh giá tác động của sự điều tiết và chi tiêu
của nhà nước tới các hoạt động của hệ thống kinh tế.
Bài tập
Bài 1.1
. Một nguồn phát laser có thể điều khiển mức năng lượng của ánh sáng
phát ra bao gồm các bộ phận sau: một laser được điều khiển bởi một dòng điện
vào để phát ra năng lượng dưới dạng ánh sáng, một bộ vi điều khiển có chức
năng điều khiển dòng điện cấp cho laser và một cảm biến. Vi xử lý so sánh mức
năng lượng được mong mu
ốn với một tín hiệu từ bộ cảm biến tỷ lệ với năng
lượng thực sự đang phát ra của nguồn laser. Vẽ sơ đồ khối của hệ thống điều
khiển vòng kín đó.
Bài 1.2
. Vẽ sơ đồ khối biểu diễn một hệ thống điều khiển phản hồi mô tả việc
điều khiển tốc độ của xe ô tô bởi người lái xe.
14
Bài 1.3. Một máy ảnh tự động sử dụng laser hay siêu âm để xác định khoảng
cách tới đối tượng được chụp và tự điều chỉnh tiêu cự của ống kính cho phù hợp.
Vẽ sơ đồ khối của hệ thống.
Bài 1.4

. Chúng ta có thể coi việc tắm như là điều khiển một quá trình có hai lối
vào là đường nước nóng và đường nước lạnh với lưu lượng được điều khiển bởi
hai van độc lập với nhau. Mục đích của việc điều khiển lượng nước vào mỗi
đường là để nước ở phun ra ở vòi tắm có lưu lượng và nhiệt độ như mong muốn.
Vẽ sơ
đồ khối của hệ thống vòng kín.
Bài 1.5
. Một người lính dừng chân hàng ngày bên cạnh một cửa hiệu trên đường
tới doanh trại và chỉnh đồng hồ đeo tay của anh ta theo đồng hồ treo tại cửa hiệu
vào đúng 9 giờ sáng mỗi ngày. Một ngày, anh ta bước vào cửa hiệu và khen ngợi
tính chính xác của chiếc đồng hồ tại cửa hiệu với người chủ cửa hiệu. Ông ta trả
lời rằng ông chỉnh chiếc đồng hồ hàng ngày vào lúc 5 giờ chi
ều theo tiếng đại
bác chào cờ tại doanh trại quân đội. Người lính nói, anh ta là một pháo thủ và
chính anh ta là người bắn phát đại bác vào lúc 5 giờ chiều mỗi ngày đó.
Thông tin phản hồi trong trường hợp này là phản hồi âm hay dương? Giả sử
cứ sau 24 giờ chạy liên tục, chiếc đồng hồ tại cửa hiệu sẽ bị chậm một phút và
chiếc đồng hồ của người lính sẽ bị chậm ba phút, sai l
ệch về thời gian của phát
đại bác sau 15 ngày sẽ là bao nhiêu?
15
Chương II

MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG

Tóm tắt nội dung
Để phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển, cần phải có được mô hình toán
học định lượng của những hệ thống này. Chúng ta sẽ xem xét nhiều loại hệ thống
khác nhau như các hệ thống cơ học hay điện, cùng với các phương trình vi phân
được sử dụng để mô tả động lực của những hệ thống này. Để có thể giải các

ph
ương trình vi phân bằng cách sử dụng phương pháp biến đổi Laplace, trước hết
cần phải thiết lập các phương pháp xây dựng các mô hình tuyến tính cho các
thành phần của mỗi hệ thống. Khi đó, chúng ta có thể kết hợp tất cả các phương
trình vi phân mô tả một hệ thống và thực hiện phép biến đổi Laplace cho những
phương trình này.
Phần tiếp theo của chương mô tả phương thức biểu diễn các mối quan h
ệ vào-
ra giữa các thành phần hay hệ thống con dưới dạng hàm chuyển. Tập hợp các
hàm chuyển thể hiện các bộ phận liên kết với nhau của một hệ thống có thể biểu
diễn được bằng mô hình sơ đồ khối hoặc đồ thị dòng tín hiệu. Các phương pháp
phân tích được sử dụng để thiết lập các phương trình cho các biến ra của một hệ
thống điều khi
ển với một số dạng tín hiệu vào chọn lọc.
2.1. Giới thiệu
Để hiểu và điều khiển các hệ thống phức tạp, cần phải thiết lập được các mô hình
toán học định tính của những hệ thống này. Mô hình toán học được thiết lập dựa
trên sự phân tích các mối quan hệ giữa các biến của hệ thống. Bởi vì các hệ thống
chúng ta cần quan tâm là nhữ
ng hệ thống động về bản chất, người ta thường dùng
các phương trình vi phân để mô tả chúng. Nếu những phương trình đó có thể
được tuyến tính hóa, phương pháp biến đổi Laplace có thể được sử dụng để đơn
giản hóa việc giải chúng. Trong thực tế, do sự phức tạp của hệ thống và do nhiều
yếu tố có liên quan không được xác định, chúng ta phải sử dụ
ng đến các giả thiết
về hệ thống. Vì vậy, khi nghiên cứu các hệ thống vật lý, cần phải đưa ra được
những giả thiết cần thiết để tuyến tính hóa hệ thống. Khi đó, chúng ta có thể sử
dụng các định luật vật lý mô tả hệ thống tuyến tính để thiết lập được một hệ
phương trình vi phân tuyến tính. Cuối cùng, các công cụ toán học, ví dụ nh
ư biến

đổi Laplace, được sử dụng để giải ra nghiệm của hệ phương trình mô tả hoạt
động của hệ thống. Tóm lại, phương pháp phân tích vấn đề của các hệ thống
động có thể bao gồm những bước như sau:
1. Xác định hệ thống và các thành phần của hệ thống
2. Thiết lập mô hình toán học và các giả thiết cần thiết
3. Viết các ph
ương trình vi phân mô tả mô hình của hệ thống
4. Giải các phương trình cho các biến ra cần xác định
5. Kiểm tra xem các nghiệm tìm được có phù hợp với các giả thiết
6. Phân tích lại hoặc chuyển sang bước thiết kế
16
2.2. Phương trình vi phân của các hệ thống vật lý
Các phương trình vi phân mô tả hoạt động của một hệ thống vật lý được thiết lập
bằng cách sử dụng các định luật vật lý của các quá trình. Phương pháp này có thể
áp dụng cho các hệ thống cơ khí, điện, chất lỏng, nhiệt động
Ví dụ, chúng ta có thể mô hình hóa hệ thống giảm xóc của ô tô bằng một hệ
thống cơ họ
c đơn giản như trong Hình 2.1, bao gồm một vật có khối lượng M
được treo bằng một lò xo, có thể trượt theo phương thẳng đứng bên trong một
ống có vai trò cản dao động (damper). Hệ số ma sát giữa bề mặt vật và bề mặt
ống là f. Hệ số đàn hồi của lò xo là K. Vật có thể chuyển động theo chiều thẳng
đứng y dưới tác động của một ngoại l
ực F(t). Theo định luật 2 của Newton:

)()(
)()(
2
2
tFtKy
dt

tdy
f
dt
tyd
M =++
(2.1)

y
F(t)
K
Hệ số ma
sát f
Hình 2.1. Hệ thống lò xo-vật-cản
M

Kéo vật tới một vị trí ban đầu rồi thả ra, khi đó chuyển động của vật sẽ là một
dao động tắt dần. Giải phương trình (2.1) cho y(t) chúng ta sẽ thu được phương
trình chuyển động của vật dưới dạng:

)sin()(
111
1
θβ
α
+=
−
teKty
t
(2.2)
Ví dụ thứ hai là một mạch RLC (Hình 2.2) sử dụng một nguồn dòng có cường

độ dòng điện là i(t) và sinh ra một hiệu điện thế v(t). Theo định luật Kirchhoff,
chúng ta có được phương trình sau:

)()(
1)()(
0
tidv
Ldt
tdv
C
R
tv
t
=++
∫
ττ
(2.3)
Giả sử i(t) = 0 và hiệu điện thế v ban đầu khác không, giải phương trình (2.3) cho
v(t) chúng ta sẽ thu được phương trình của hiệu điện thế có dạng:

)cos()(
222
2
θβ
α
+=
−
teKtv
t
(2.4)

Đây cũng là phương trình của một dao động tắt dần (Hình 2.3), tương tự như
phương trình chuyển động (2.2) của hệ thống cơ học trong Hình 2.1.
17
R L C i(t) v(t)
Hình 2.2. Một mạch RLC

Để thấy rõ sự tương tự của các phương trình vi phân của hai hệ thống cơ học
và điện nêu trên, chúng ta làm một phép biến đổi nhỏ: viết lại phương trình (2.1)
của hệ thống cơ học theo vận tốc v(t) = dy(t)/dt, phương trình sẽ trở thành:

)()()(
)(
0
tFdvKtfv
dt
tdv
M
t
=++
∫
ττ
(2.5)
Do sự tương tự của hai phương trình (2.5) và (2.3) cũng như của hai biến: vận tốc
v(t) trong (2.5) và hiệu điện thế v(t) trong (2.3), hai biến đó được gọi là hai biến
đồng dạng, và hai hệ thống cũng được gọi là các hệ thống đồng dạng. Khái niệm
đồng dạng giữa các hệ thống rất hữu ích và là một kỹ thuật mạnh cho việc mô
hình hóa hệ
thống. Ngoài các cặp biến đồng dạng của các hệ thống điện và cơ
học là hiệu điện thế-vận tốc hay dòng điện-lực, người ta còn thường sử dụng sự
đồng dạng của cặp hiệu điện thế-lực.

t
v(t)
0
e
-
α
2
t

2π/
β
2

Hình 2.3. Dao động tắt dần của hiệu điện thế v(t) trong mạch RLC

Các hệ thống đồng dạng với các giải pháp tương tự nhau bao gồm cả các hệ
thống điện, cơ học, nhiệt và chất lỏng. Sự tồn tại của các hệ thống và giải pháp
18
đồng dạng cho phép chúng ta mở rộng kết quả phân tích của một hệ thống cho tất
cả các hệ thống đồng dạng với nó, cũng được mô tả bằng chính những phương
trình vi phân của hệ thống đầu tiên. Vì vậy những kiến thức chúng ta có được
trong việc phân tích và thiết kế một loại hệ thống, ví dụ như các hệ thống điện, sẽ
có thể áp dụng ngay lậ
p tức cho các hệ thống cơ học, nhiệt, chất lỏng
2.3. Xấp xỉ tuyến tính của các hệ thống vật lý
Phần lớn các hệ thống vật lý chỉ tuyến tính trong những khoảng nhất định của các
biến. Tất cả các hệ thống trong thực tế đều trở thành phi tuyến nếu các biến của
chúng có thể thay đổi không giới hạn. Ví dụ, hệ thống dao động lò xo trong Hình
2.1 là một hệ thống tuyến tính được biểu diễn bằng phương trình 2.1, chừng nào

vị trí của vật, y(t), ch
ỉ xê dịch trong một khoảng nhỏ nhất định. Nếu ta tác dụng
lực để y(t) tăng lên mãi thì đến một mức độ nào đó lò xo sẽ không còn chịu được
và đứt. Vì vậy, câu hỏi về sự tuyến tính và khoảng áp dụng được cần phải đặt ra
cho mỗi hệ thống.
Tính tuyến tính của một hệ thống được xác định dựa trên mối quan hệ giữa tín
hi
ệu kích thích (tín hiệu vào) và đáp ứng của hệ thống. Trong mạng điện ở Hình
2.2, tín hiệu kích thích là dòng điện i(t) và đáp ứng của hệ thống là hiệu điện thế
v(t). Phát biểu một cách tổng quát, một hệ thống là tuyến tính khi và chỉ khi nó
thỏa mãn được cả điều kiện sau:
1.
Nguyên lý chồng: Nếu đáp ứng của hệ thống là y
1
(t) khi tín hiệu kích thích
là x
1
(t) và đáp ứng của hệ thống là y
2
(t) khi tín hiệu kích thích là x
2
(t) thì
đáp ứng của hệ thống sẽ là y
1
(t)+y
2
(t) khi tín hiệu kích thích là x
1
(t)+x
2

(t).
2.
Tính chất đồng nhất: Nếu y là tín hiệu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là x
thì khi tín hiệu vào được nhân với một hệ số tỷ lệ, tín hiệu ra của hệ thống
cũng phải thay đổi theo cùng tỷ lệ, nghĩa là đáp ứng của hệ thống sẽ là
β
y
khi tín hiệu kích thích là
β
x, với
β
là một giá trị bất kỳ.
Ví dụ, hệ thống được mô tả bởi quan hệ y = x
2
không phải là một hệ thống
tuyến tính vì không thỏa mãn cả hai điều kiện. Hệ thống được mô tả bởi quan hệ
y = mx+b cũng không tuyến tính vì không thỏa mãn được tính chất đồng nhất.
Tuy nhiên, hệ thống này có thể coi là tuyến tính xung quanh một điểm (x
0
, y
0
)
cho các thay đổi ∆x, ∆y: ∆x = x−x
0
, ∆y = y−y
0
; vì mối quan hệ giữa ∆x và ∆y,
biểu diễn bằng phương trình ∆y = m∆x, thỏa mãn cả hai điều kiện đã nêu.
Phần lớn các hệ thống cơ học và điện đều có thể coi là tuyến tính trong một
miền giá trị khá rộng của các biến. Điều đó thường không đúng với các hệ thống

nhiệt và chất lỏng, vì nhữ
ng hệ thống này có khá nhiều đặc trưng phi tuyến. Tuy
nhiên, chúng ta có thể tuyến tính hóa các phần tử phi tuyến với giả thiết tín hiệu
thay đổi trong khoảng khá nhỏ. Xét một phần tử với tín hiệu kích thích là x(t) và
đáp ứng là y(t), ở đó mối quan hệ giữa hai biến được biểu diễn bằng phương
trình:
y(t) = g(x(t)) (2.6)
ở đó g biể
u thị rằng y(t) là một hàm của x(t). Xác định một giá trị của tín hiệu
vào, x
0
, gọi là điểm làm việc bình thường của phần tử. Thực hiện khai triển
Taylor tại x
0
, chúng ta có:
19

!2
)(
!1
)()(
2
0
2
2
0
0
00
+
−

+
−
+==
==
xx
dx
gd
xx
dx
dg
xgxgy
xxxx
(2.7)
Với giả thiết tín hiệu thay đổi rất nhỏ xung quanh điểm làm việc bình thường,
chúng ta có thể xấp xỉ (2.7) bằng phương trình:

)(
!1
)(
00
0
0
0
xxmy
xx
dx
dg
xgy
xx
−+=

−
+=
=
(2.8)
hay:
∆y = m∆x (2.9)
Độ chính xác của phép xấp xỉ tuyến tính này phụ thuộc vào khả năng áp dụng giả
thiết trong từng trường hợp cụ thể.
Nếu biến ra y phụ thuộc vào nhiều biến vào, x
1
, x
2
, , x
n
, quan hệ giữa y và
các biến vào có thể được biểu diễn dưới dạng:
y = g(x
1
, x
2
, , x
n
) (2.10)
Tương tự như đối với trường hợp hàm đơn biến, chúng ta có thể thực hiện khai
triển Taylor tại điểm làm việc xác định bởi x
1
0
, x
2
0

, , x
n
0
, và bỏ qua các thành
phần có bậc cao để thu được xấp xỉ tuyến tính:

)( )(), ,,(
0
0
0
0
11
000
11
1
21 nn
xx
n
xx
n
xx
x
g
xx
x
g
xxxgy
nn
−
∂

∂
++−
∂
∂
+=
==
(2.11)
 Ví dụ 2.1
Xét một hệ thống con lắc bao gồm một vật có khối lượng M được treo bằng một
sợi dây có độ dài L (Hình 2.4). Giả thiết sợi dây không có khối lượng và không
đàn hồi. Mômen quay trên vật được tính bằng công thức:
T = MgLsin
θ
(2.12)

M
L
θ

Hình 2.4. Hệ thống con lắc

ở đó g là gia tốc trọng trường và
θ
là góc giữa sợi dây với phương thẳng đứng.
20
Điểm cân bằng của hệ thống là
θ
0
= 0
o

. Áp dụng khai triển Taylor tới đạo hàm
bậc nhất tại
θ
0
, chúng ta có được xấp xỉ tuyến tính của T:

θθθθθ
θ
θ
θθ
MgLMgLMgLT =−=−
∂
∂
=
=
))(0(cos)(
sin
00
0
(2.13)
Xấp xỉ này tương đối chính xác với -π/4 ≤
θ
≤ π/4. Ví dụ, sai số của phép xấp xỉ
khi con lắc qua các vị trí ±30
o
là khoảng 2%.
2.4. Biến đổi Laplace
Khả năng xấp xỉ tuyến tính các hệ thống vật lý cho phép chúng ta xem xét tới
việc sử dụng biến đổi Laplace (Laplace transform). Phương pháp biến đổi
Laplace cho phép biến các phương trình vi phân tuyến tính thành các phương

trình đại số dễ giải hơn. Với phương pháp này, việc xác định đáp ứng của hệ
thống theo thời gian bao gồm những bước sau:
1.
Thiết lập các phương trình vi phân mô tả hoạt động của hệ thống
2.
Áp dụng biến đổi Laplace cho các phương trình vi phân
3.
Giải các phương trình đại số thu được sau các phép biến đổi cho các biến
cần quan tâm
Biến đổi Laplace tồn tại cho một phương trình vi phân nếu tích phân không
thực sự của biến đổi hội tụ. Nói một cách khác, điều kiện đủ để một hàm f(t) có
biến đổi Laplace là f(t) liên tục từng đoạn trong miền [0, ∞), và:

∞<>∃
∫
∞
−
0
)(:0 dtetfs
st
(2.14)
Nếu ∀t > 0: |f(t)| < Me
α
t
với các giá trị thực M > 0 và
α
> 0 nào đó, tích phân trên
sẽ hội tụ với mọi ∞ > s >
α
. Giá trị nhỏ nhất có thể của

α
được gọi là giới hạn
của hội tụ tuyệt đối. Biến đổi Laplace của hàm f(t) tồn tại với mọi s >
α
và được
định nghĩa như sau:

∫
∞
−
==
0
)()]([)( dtetftfsF
st
L
(2.15)
Phép biến đổi Laplace nghịch (inverse Laplace transform) của F(s) được định
nghĩa như sau:

∫
∞+
∞−
−
==
i
i
st
dsesF
πi
sFtf

σ
σ
)(
2
1
)]([)(
1
L
(2.16)
ở đó
σ
được chọn sao cho tất cả các điểm cực (pole) của F(s) đều nằm bên trái
của đường biên của tích phân trong mặt phẳng phức, nghĩa là F(
σ
+i
ω
) hội tụ với
mọi
ω
nằm trong khoảng (−∞, +∞).
Một số tính chất của biến đổi Laplace:
1.
Tính duy nhất
21
F(s) ≡ G(s) ⇒ f(t) ≡ g(t)
2.
Tuyến tính
L[
α
f

1
(t) +
β
f
2
(t)] =
α
F
1
(s) +
β
F
2
(s)
L
−1
[
α
F
1
(s) +
β
F
2
(s)] =
α
f
1
(t) +
β

f
2
(t)
3.
Vi phân
−
Đạo hàm bậc 1
)0()(
)(
fssF
dt
tdf
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
L

−
Đạo hàm bậc 2
0
2
2
2
)(
)0()(
)(

=
−−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
t
dt
tdf
sfsFs
dt
tfd
L

−
Đạo hàm bậc n
∑
=
=
−
−
−
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

⎡
n
k
t
k
k
knn
n
n
dt
tfd
ssFs
dt
tfd
1
0
1
1
)(
)(
)(
L

4.
Tích phân
s
sF
df
t
)(

)(
0
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∫
ττ
L
)()()()(
0
sGsFdgtf
t
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
∫
τττ

L
5.
Dịch tần số
L[e
−
α
t
f(t)] = F(s+
α
)
6.
Dịch thời gian
L[f(t−
τ
)] = e
−s
τ
F(s)
7.
Nhân tỷ lệ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
αα
α
s

Ftf
1
)]([
L
8.
Nhân chập
L[f
1
(t) ∗ f
2
(t)] = F
1
(s)F
2
(s)
9. Giá trị khởi đầu
)(lim)0( ssFf
s ∞→
=
10.
Giá trị cuối cùng
)(lim)(
0
ssFf
s→
=
∞
Bảng 2.1. Biến đổi Laplace của một số hàm quan trọng
f(t) (t ≥ 0)
F(s)

Hàm xung đơn vị
δ
(t)
1 (s > 0)
1
s
1
(s > 0)
22
t
2
1
s
(s > 0)
t
n
(n∈Ζ
+
)
1
!
+n
s
n
(s > 0)
e
−
α
t

α
+s
1
(s > max(0,−
α
))
sin(
ω
t)
22
ω
ω
+s
(s > 0)
cos(
ω
t)
22
ω
+s
s
(s > 0)
Xem xét hệ thống lò xo-vật-cản được mô tả bởi phương trình (2.1). Biến đổi
Laplace của phương trình (2.1) là:

[]
)()()0()()0()(
0
2
sFsKYyssYf

dt
dy
sysYsM
t
=+−+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
=
(2.17)
Với các điều kiện F(s) = 0, y(0) = y
0
và 0
0
=
=t
dt
dy
, chúng ta có:
Ms
2
Y(s) − Msy
0
+ fsY(s) − fy

0
+ KY(s) = 0 (2.18)
Giải phương trình (2.18) cho Y(s):

)(
)(
)(
)()(
)(
2
0
2
0
sq
sp
MKsMfs
yMfs
KfsMs
yfMs
sY =
++
+
=
++
+
= (2.19)
Phương trình q(s) = 0 được gọi là phương trình đặc trưng (characteristic
equation) của Y(s) bởi vì nghiệm của phương trình này quyết định đặc trưng của
đáp ứng theo thời gian của hệ thống. Nghiệm của phương trình đặc trưng được
gọi là các điểm cực (pole), còn nghiệm của phương trình p(s) = 0 được gọi là các

đ
iểm không (zero) của Y(s). Để xác định đáp ứng theo thời gian y(t) của hệ thống
bằng biến đổi Laplace nghịch của Y(s), người ta thường dùng phương pháp khai
triển phân thức đơn giản. Phương pháp này có thể phát biểu như sau: Giả sử hàm
Y(s) có thể biểu diễn được dưới dạng:

)) ()((
)) ()((
)(
21
21
n
m
pspsps
zszszs
sY
−−−
−
−
−
= (2.20)
ở đó z
i
(i = 1 m) là các điểm không của Y(s) và p
j
(j = 1 n) là các điểm cực của
Y(s). Khi đó Y(s) có thể khai triển được thành tổng của các phân thức đơn giản:

n
n

ps
k
ps
k
ps
k
sY
−
++
−
+
−
= )(
2
2
1
1
(2.21)
k
j
(j = 1 n) được gọi là các phần dư (residue). Để tính nhanh được k
1
, chúng ta
nhân cả hai vế của phương trình (2.21) với (s − q
1
):