Một số dạng toán thi vào 10

Mt s dng toỏn ụn thi vo 10
Dạng 1: Toán tìm điều kiện để phơng trình nguyên
1. Ví dụ 1 Cho biểu thức:
b2ab2a2
ba1a
ba
1
bbaa
a3
baba
a3
M
++


+


++
=
))((
:)(
a, Rút gọn
b, Tìm những giá trị của a để M nguyên
Giải
a, Rút gọn
M =
1a
2

b, Để M nguyên thì a-1 phải là ớc của 2

a 1 = 1 => a = 2
a 1 = -1 => a = 0 ( loại )
a 1 = 2 => a = 3
a 1 = -2 => a = -1 ( loại )
Vậy M nguyên khi a = 2 hoặc a = 3
2, Ví dụ 2:
Cho biểu thức:
1
1a
1
1a
1
A +
+


=
Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên

Giải
1
1a
2
1
1a
1a1a
1
1a
1a1a
A +

=+

++
=+

+
=
)(
Để A nguyên thì a 1 là ớc của 2
Tổng quát : Để giải toán tìm điều kiện để biểu thức nguyên ta
làm theo các bớc sau:
Bớc 1: Đặt điều kiện
Bớc 2: Rút gọn về dạng
)(
)(
xf
a
hay
a
xf
Nếu
a
xf )(
thì f(x) là bội của a
Nếu
)(xf
a
thì f(x) là ớc của a
Bớc 3: Căn cứ vào điều kiện loại những giá trị ngoại

lai
Dạng 6: Toán tính giá trị biểu thức chứa căn nhiều tầng
Ví dụ : Tính
1281812226A ++=
Ta có :
242424228412818
22
===+= )(
1313132332423261326A
1313132341224122
2
2
==+===+=
+=+=++=+=++
)()(
)(
Dạng 2: Phơng trình vô tỷ
I.Định nghĩa : Phơng trình vô tỷ là phơng trình chứa ẩn ở biểu thức
dới căn bậc hai .
II. Cách giải:
Cách 1: Để khử căn ta bình phơng hai vế
Cách 2: Đặt ẩn phụ
III. Ví dụ
1,Ví dụ 1:
Giải phơng trình:
)1(75 = xx
Cách 1: Bình phơng hai vế
x 5 = x
2
14x + 49

x
2
14x x + 49 + 5 = 0
x
2
15x + 54 = 0
x
1
= 6 ; x
2
= 9
Lu ý :
* Nhận định kết quả : x
1
= 6 loại vì thay vào phơng trình (1) không
phải là nghiệm . Vậy phơng trình có nghiệm x = 9
* Có thể đặt điều kiện phơng trình trớc khi giải : Để phơng trình có
nghiệm thì :
7
7
5
07
05

x
x
x
x
x
kết hợp
Sau khi giải ta loại điều kiện không thích hợp
Cách 2 Đặt ẩn phụ
Đa phơng trình về dạng :
255 = xx
Đặt
5= xy
phơng trình có dạng
y = y
2
2
y
2
y 2 = 0
Giải ta đợc y
1
= - 1 ( loại) y
2
=2
2, Ví dụ 2:

Giải phơng trình
2173 =++ xx
Giải:
Đặt điều kiện để căn thức có nghĩa:
1
01
073




+
+
x
x
x
Chú ý : Không nên bình phơng hai vế ngay vì sẽ phức tạp hơn mà
ta nên chuyển vế.
2173 ++=+ xx
Bình phơng hai vế ta đợc :
121 +=+ xx
Bình phơng hai vế (x + 1)
2
= 4( x+ 1)
x
2
- 2x 3 =0 có nghiệm x
1
= -1; x
2

= 3
Cả hai giá trị này thoả mãn điều kiện
Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ.
1, Ví dụ 1:
Giải phơng trình
0212
2
=++ xx

Đặt điều kiện
* Nếu 2x + 1 0 ta có ph ơng trình x
2
( 2x + 1 ) + 2 = 0
9
45
25
=
=
=
x
x
x
x
2
2x 1 + 2 = 0
x
2
2x +1 = 0
=> x

1
= x
2
= 1
* Nếu 2x + 1 0 ta có ph ơng trình x
2
( -2x -1 ) + 2 =0
x
2
+ 2x + 3 = 0
Phơng trình vô nghiệm
Vậy phơng trình ( 1) có nghiệm x= 1
2, Ví dụ 2:
Giải phơng trình
51225 =+ xx

( Đề thi học sinh giỏi lớp 7 1999 2000)
3, Ví dụ 3: Giải phơng trình
124
2
= xx
Dạng 3 : Hệ phơng trình
Cách giảI một số hệ phơng trình phức tạp
1, Ví dụ 1:
Giải hệ phơng trình

=+
=+
1
y
10
x
6
36
13
y
3
x
4
Giải :
Đặt ẩn phụ :
y
Y
x
X
1
;
1
==
Ta có hệ :

=+
=+
36
36
106
36
13
34
YX
YX
2, Ví dụ 2:
Giải hệ phơng trình








=
+
+

=
+

+

1
14
8
312
7
1
14
5
312
10
xx
xx
3, Ví dụ 3:
Giải hệ phơng trình :






=++
=++
=++
)3(232
)2(323
)1(1132
zyx
zyx

zyx
Hớng dẫn: Rút z từ (1) thay vào (2); (3)
4, Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình:




=++
=++
)2(12
)1(6
222
zyx
zyx
Hớng dẫn: Nhân (1) với 4 rồi trừ cho (2)
=> (x
2
+ y
2
+ z
2
) 4( x+ y + z ) = 12 24
x
2
4x + y
2
-4y + z
2
- 4z + 12 = 0
( x

2
4x + 4 ) + ( y
2
4y + 4 ) + ( z
2
4z -4 ) = 0
( x 2 )
2
+ ( y 2 )
2
+ ( z 2 )
2
= 0
=> x = y = z = 2
5, Ví dụ 5:
Giải hệ phơng trình








=


+
=

+
+
4
3
2
1
3
5
3
1
1
2
yx
yx
( Đề thi vào 10 năm 1998
1999)
6, Ví dụ 6:
Giải hệ phơng trình :








=
+
+

=
+
+

5
1
3
1
1
11
1
1
1
5
yx
yx
( Đề thi vào 10 năm 2002
2003 )

Dạng 4: Toán cực trị
1.Ví dụ 1:
Cho biểu thức:
x1
1
x1
1
x1
1
:
x1

1
x1
1
A

+






+









+

=
a. Rút gọn A.
b. Với giá trị nào của x thì A nhỏ nhất.
Giải:
a. Rút gọn đợc:
( )

x1x
1

b. A nhỏ nhất nếu mẫu
( )
x1x
là lớn nhất
Gọi
Kx =
ta có K(1- K) = -K
2
+ K
-(K
2
- K) = -(K
2
- 2K/2 +1/4 -1/4)
= -[(K-1/4)
2
1/4]
Mẫu này lớn nhất khi: -[(K-1/4)
2
- 1/4] là nhỏ nhất
Và nó nhỏ nhất khi: K= 1/4
Hay
21x41x // ==
=>A nhỏ nhất =4
2.Ví dụ 2:
Cho biểu thức:

3x
3x2
x1
2x3
3x2x
11x15
M
+
+



+
+

=
a, Rút gọn
b, Tìm giá trị lớn nhất của M và giá trị tơng ứng của x
3. Ví dụ 3:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1xx
x
M
24
2
++
=


Giải:

Ta nhận thấy x = 0 => M = 0. Vậy M lớn nhất x 0.
Chia cả tử và mẫu cho x
2
1
x
1
x
1
M
2
2
++
=
Vậy M lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất
Mẫu nhỏ nhất khi
2
2
x
1
x +
nhỏ nhất
0
x
1
x
2
2
>+
Vậy

2
2
x
1
x +
nhỏ nhất x =1
Vậy
3
1
12
1
M =
+
=
4.Ví dụ 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
1x2x1x2xY ++=

Giải:
( )
1x111x
1x111x11x11x
11x21x11x21xY
222
2
++=
++=++=
++++=
)()()(
Biết rằng |A| + |B| |A + B|

Vậy Y nhỏ
nhất là 2 khi
01x111x + )()(
2x1
01x1
1x







)(
Dạng 5: Toán tính giá trị biểu thức chứa căn nhiều tầng
Ví dụ : Tính
1281812226A ++=
Ta có :
242424228412818
22
===+= )(
1313132332423261326A
1313132341224122
2
2
==+===+=
+=+=++=+=++
)()(
)(
Loại 7: Biện luận phơng trình

21x111x1x111x
11x11x11x11xY
++++=
++++=
1.Ví dụ 1:
Cho phơng trình: x
2
( m + 2 )x + m + 1 = 0 ( x là ẩn )
a, Giải phơng trình khi
2
3
m =
b, Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c, Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm phơng trình . Tìm giá trị m để :
x
1
( 1 2x
2
) + x
2
( 1 2x
1
) = m
2

Giải

a, Thay
2
3
m =
vào ta có phơng trình :

01x2x2
01
2
3
x2
2
3
2x
2
2
=+
=++ )(
Phơng trình có hai nghiệm :
2
31
x
2
31
x
21
+
=
+
= ,

b, Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi x
1
x
2
=
0
a
c
<
hay a.c < 0
1(m + 1) < 0
m < -1
c, x
1
( 1 2x
2
) + x
2
( 1 2x
1
) = m
2

( )
*)(
2
2121
2
212211
mxx4xx

mxx2xxx2x
=+
=+

Theo viet ta có :
( )
( )
1m
a
c
xx
2m2
1
2m2
a
b
xx
21
21
+==
+=
+
==+
Thay vào (*) ta có :
2(m + 2 ) 4 ( m + 1 ) = m
2
2m + 4 4m 4 = m
2
m
2

+ 2m = 0
m ( m + 2 ) = 0



==+
=

2m02m
0m

2.Ví dụ 2:
Cho phơng trình : x
2
2mx + 2m 1 = 0
1, Chng tỏ phơng trình có hai nghiệm với mọi m
2, Đặt
( )
21
2
2
2
1
xx5xx2A +=
a. Chứng minh A = 8m
2
18m + 9
b. Tìm m sao cho A = 27
3, Tìm m sao cho nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
Giải

1. Xét
( ) ( ) ( )
m01m1m2m1m2m
2
2
2
=+==
'
=> Phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
a.
( )
21
2
2
2
1
xx5xx2A +=
=
21
2
2
2
1
xx5x2x2 +
( )
( )
21
2
21
2121

2
2
2
1
2121
2
2
2
1
xx9xx2
xx9xx2xx2
xx9xx4x2x2
+=
++=
++=
Theo viet ta có :
( ) ( )
( )
9m18m89m18m421m29m22
a
c
xx
a
b
xx
22
2
21
21
+=+=

=
=+
=>
điều phải chứng minh
b, Tìm m để A = 27 chính là giảI phơng trình
8m
2
18m + 9 = 27
8m
2
18m 18 = 0
4m
2
9m 9 = 0
Phơng trình có hai nghiệm : m
1
= 3 , m
2
= -3/4
2.Tìm m để x
1
= 2x
2

Theo viet ta có : x
1
+ x
2
= -b/a = 2m
Hay 2x
2
+ x
2
= 2m
3x
2
= 2m
x
2
= 2m/3
x
1
= 4m/3
Theo viet:
09m18m8
9m18m8
1m2
9
m8
1m2
3
m4
3
m2

1m2
a
c
xx
2
2
2
21
=+−⇔
−=⇔
−=⇔
−==>
−==
.

Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : m
1
= 3/2; m
2
= 3/4
VÝ dô : §Ò 8 ( trang 91)
§Ò 17 ( trang 121)
§Ò 18 ( trang 124)