Một số dạng toán ôn thi vào lớp 10

Dạng 1: Phơng trình vô tỷ
I.Định nghĩa : Phơng trình vô tỷ là phơng trình chứa ẩn ở biểu thức dới căn bậc hai .
II. Cách giải:
Cách 1: Để khử căn ta bình phơng hai vế
Cách 2: Đặt ẩn phụ
III. Ví dụ
1,Ví dụ 1:
Giải phơng trình:
)1(75
=
xx
Cách 1: Bình phơng hai vế
x 5 = x
2
14x + 49
x
2
14x x + 49 + 5 = 0
x
2
15x + 54 = 0
x
1
= 6 ; x
2
= 9
Lu ý :
* Nhận định kết quả : x
1
= 6 loại vì thay vào phơng trình (1) không phải là nghiệm .
Vậy phơng trình có nghiệm x = 9

* Có thể đặt điều kiện phơng trình trớc khi giải : Để phơng trình có nghiệm thì :
7
7
5
07
05












x
x
x
x
x
kết hợp
Sau khi giải ta loại điều kiện không thích hợp
Cách 2 Đặt ẩn phụ
Đa phơng trình về dạng :
255
=
xx

Đặt
5
=
xy
phơng trình có dạng
y = y
2
2
y
2
y 2 = 0
Giải ta đợc y
1
= - 1 ( loại) y
2
=2
2, Ví dụ 2:
Giải phơng trình
2173
=++
xx
Giải:
Đặt điều kiện để căn thức có nghĩa:
9
45
25
=
=
=
x

x
x
1
01
073




+
+
x
x
x
Chú ý : Không nên bình phơng hai vế ngay vì sẽ phức tạp hơn mà ta nên chuyển vế.
2173
++=+
xx
Bình phơng hai vế ta đợc :
121
+=+
xx
Bình phơng hai vế (x + 1)
2
= 4( x+ 1)
x
2
- 2x 3 =0 có nghiệm x
1
= -1; x

2
= 3
Cả hai giá trị này thoả mãn điều kiện
Dạng 2: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ.
1, Ví dụ 1:
Giải phơng trình
0212
2
=++
xx

Đặt điều kiện
* Nếu 2x + 1 0 ta có phơng trình x
2
( 2x + 1 ) + 2 = 0
x
2
2x 1 + 2 = 0
x
2
2x +1 = 0
=> x
1
= x
2
= 1
* Nếu 2x + 1 0 ta có phơng trình x
2
( -2x -1 ) + 2 =0

x
2
+ 2x + 3 = 0
Phơng trình vô nghiệm
Vậy phơng trình ( 1) có nghiệm x= 1
2, Ví dụ 2:
Giải phơng trình
51225
=+
xx

( Đề thi học sinh giỏi lớp 7 1999 2000)
3, Ví dụ 3: Giải phơng trình
124
2
=
xx
Dạng 3 : Hệ phơng trình
Cách giảI một số hệ phơng trình phức tạp
1, Ví dụ 1:
Giải hệ phơng trình








=+

=+
1
y
10
x
6
36
13
y
3
x
4
Giải :
§Æt Èn phô :
y
Y
x
X
1
;
1
==
Ta cã hÖ :








=+
=+
36
36
106
36
13
34
YX
YX
2, VÝ dô 2:
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh








=
+
+
−
=
+
+
−
1
14

8
312
7
1
14
5
312
10
xx
xx
3, VÝ dô 3:
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :






−=++
=++
=++
)3(232
)2(323
)1(1132
zyx
zyx
zyx
Híng dÉn: Rót z tõ (1) thay vµo (2); (3)
4, VÝ dô 4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:




=++
=++
)2(12
)1(6
222
zyx
zyx
Híng dÉn: Nh©n (1) víi 4 råi trõ cho (2)
=> (x
2
+ y
2
+ z
2
) – 4( x+ y + z ) = 12 – 24
x
2
– 4x + y
2
-4y + z
2

- 4z + 12 = 0
( x
2
– 4x + 4 ) + ( y
2

– 4y + 4 ) + ( z
2
– 4z -4 ) = 0
( x – 2 )
2
+ ( y – 2 )
2
+ ( z – 2 )
2
= 0
=> x = y = z = 2
5, VÝ dô 5:
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh








=


+
=

+
+
4

3
2
1
3
5
3
1
1
2
yx
yx
( Đề thi vào 10 năm 1998 1999)
6, Ví dụ 6:
Giải hệ phơng trình :








=
+
+

=
+
+

5
1
3
1
1
11
1
1
1
5
yx
yx
( Đề thi vào 10 năm 2002 2003 )

Dạng 4: Toán cực trị
1.Ví dụ 1:
Cho biểu thức:

x1
1
x1
1
x1
1
:
x1
1
x1
1
A

+






+









+

=
a. Rút gọn A.
b. Với giá trị nào của x thì A nhỏ nhất.
Giải:
a. Rút gọn đợc:
( )
x1x
1

b. A nhỏ nhất nếu mẫu

( )
x1x

là lớn nhất
Gọi
Kx
=
ta có K(1- K) = -K
2
+ K
-(K
2
- K) = -(K
2
- 2K/2 +1/4 -1/4)
= -[(K-1/4)
2
1/4]
Mẫu này lớn nhất khi: -[(K-1/4)
2
- 1/4] là nhỏ nhất
Và nó nhỏ nhất khi: K= 1/4
Hay
21x41x //
==
=>A nhỏ nhất =4
2.Ví dụ 2:
Cho biểu thức:

3x

3x2
x1
2x3
3x2x
11x15
M
+
+



+
+

=
a, Rút gọn
b, Tìm giá trị lớn nhất của M và giá trị tơng ứng của x
3. Ví dụ 3:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1xx
x
M
24
2
++
=


Giải:

Ta nhận thấy x = 0 => M = 0. Vậy M lớn nhất x 0.
Chia cả tử và mẫu cho x
2
1
x
1
x
1
M
2
2
++
=
Vậy M lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất
Mẫu nhỏ nhất khi
2
2
x
1
x
+
nhỏ nhất
0
x
1
x
2
2
>+
Vậy

2
2
x
1
x
+
nhỏ nhất x =1
Vậy
3
1
12
1
M
=
+
=
4.Ví dụ 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
1x2x1x2xY
++=

Giải:
( )
1x111x
1x111x11x11x
11x21x11x21xY
222
2
++=
++=++=

++++=
)()()(
Biết rằng |A| + |B| |A + B|
Vậy Y nhỏ nhất là 2 khi
01x111x
+
)()(
2x1
01x1
1x







)(
Dạng 5: Toán tìm điều kiện để phơng trình nguyên
1. Ví dụ 1 Cho biểu thức:
b2ab2a2
ba1a
ba
1
bbaa
a3
baba
a3
M
++

+


++
=
))((
:)(
a, Rút gọn
b, Tìm những giá trị của a để M nguyên
21x111x1x111x
11x11x11x11xY
++++=
++++=