Tuyển tập các dạng bài thi ĐH hình học giải tích 12

G
I
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Phần 1: Hệ toạ độ trong không gian
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Diện tích của hình bình hành ABCD
[ ]
ADABS ,=
2. Diện tích tam giác ABD
[ ]
ADABS ,
2
1
=
3. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ 3’. Thể tích tứ diện ABCD.
[ ]
'A., AADABV =
[ ]
'A.,
6
1
AADABV =
4. Một số tính chất của tích vô hướng và tích có hướng
0. =⇔⊥ vuvu
vu vµ
cùng phương
[ ]
0, =⇔ vu
w vµ vu,
đồng phẳng

[ ]
0., =⇔ wvu
5. Toạ độ trọng tâm của tam giác và trung điểm của đoạn thẳng



B. Bài tập
1. Cho ba vectơ
)2;7;1();1;2;0();3;5;2( =−=−= cba
. Tìm toạ độ các vectơ sau đây:
cbad 3
3
1
4 +−=
và
cbae 24 −−=
2. Tìm toạ độ của vectơ x biết rằng
a)
0=+ xa
và
)1;2;1( −=a
b)
axa 4=+
và
)1;2;0( −=a
c)
bxa =+ 2
và
)1;4;5( −=a
;

)3;5;2( −=b
3. a) Cho 3 điểm không thẳng hàng:
);;(
AAA
zyxA
;
);;(
BBB
zyxB
;
);;(
CCC
zyxC
. Tìm toạ độ trọng
tâm của tam giác ABC.
b) Cho 4 điểm không đồng phẳng
);;(
AAA
zyxA
;
);;(
BBB
zyxB
;
);;(
CCC
zyxC
;
);;(
DDD

zyxD
. Tìm
toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD.
4. Cho điểm M có toạ độ (x; y; z). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M:
a) Trên các mặt phẳng Oxy, Oxz, Oyz. b) Trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz.
c) Tìm toạ độ của điểm đối xứng với điểm M qua gốc toạ độ O (M
1
), qua trục Ox (M
2
), qua trục Oy
(M
3
), qua trục Oz (M
4
), qua mặt phẳng Oxy(M
5
), qua mặt phẳng Oxz(M
6
), qua mặt phẳng Oyz (M
7
).
5. Trong hai bộ ba điểm sau, bộ ba điểm nào thẳng hàng:
)1;3;1(A
;
)2;1;0(B
;
)1;0;0(C
và
)1;1;1('A
;

)1;3;4(' −B
;
)1;5;9(−C
6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết:
)1;0;1(A
;
)2;1;2(B
;
)1;1;1( −D
;
)5;5;4(' −C
. Tìm toạ độ các đỉnh
còn lại. Tương tự nếu
);;(
111
zyxA
;
);;(
333
zyxC
;
);;('
'
2
'
2
'
2
zyxB
;

);;('
'
4
'
4
'
4
zyxD
.
7. Cho bốn điểm
)1;2;5( −A
;
)4;3;1( −B
;
)3;1;2(−C
;
)2;6;2( −D
.
a) Chứng minh ABCD là hình bình hành. b) Tính AB, AD và diện tích hình bình hành ABCD.
8. Cho 3 điểm:
)2;1;1( −A
;
)2;6;5( −B
;
)1;3;1( −C
.
a) Tính AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC.
b) Tìm toạ độ trung điểm của AB, BC, CA và toạ độ trọng tâm tam giác ABC.
9. Cho tam giác ABC với
)1;2;0( −A

;
)2;2;3(B
;
)2;1;4( −C
.
a) Tính AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC.
b) Tìm toạ độ trung điểm của AB, BC, CA và toạ độ trọng tâm tam giác ABC.
c) Tìm chân D của đường phân giác trong AD của góc A.
2K2+ - 1 -
A
B
C
D
u
v
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
A(x
A
, y
A
, z
A
)

B
C
I
G
3
CBA
G
xxx
x
++
=
3
CBA
G
zzz
z
++
=
3
CBA
G
yyy
y
++
=
2
BA
I
xx
x

+
=
2
BA
I
yy
y
+
=
2
BA
I
zz
z
+
=
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!
10. Cho ba vectơ:
)1;1;1( −=a
;
)1;0;4( −=b
;
)1;2;3( −=c
. Tìm:
a) (
a
.
b
).
c

b)
2
a
.(
b
.
c
) c)
2
a
.
b
+
2
b
.
c
+
2
c
.
a
d) 3
a
-2(
a
.
b
).
b

+
2
c
.
b
e) 4
a
.
c
+
2
b
-5
c
11. Tìm góc giữa hai vectơ sau:
a)
)1;3;4(=a
;
)3;2;1(−=b
b)
)4;5;2(=a
;
)3;0;6(=b
c)
)1;1;1( −=a
;
)3;1;0(=b
12. a) Trên trục Oy, tìm điểm cách đều hai điểm:
)0;1;3(A
;

)1;4;2(−B
.
b) Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách đều ba điểm:
)1;1;1(A
;
)0;1;1(−B
;
)1;1;3( −C
.
13. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ sau:
a)
)1;1;1( −=a
;
)2;1;0(=b
;
)3;2;4(=c
. b)
)4;3;4(=a
;
)2;1;2( −=b
;
)1;2;1(=c
.
c)
)5;2;4(=a
;
)3;1;3(=b
;
)1;0;2(=c
. d)

)2;1;3( −−=a
;
)1;1;1(=b
;
)1;2;2(−=c
.
e)
))1)(1(,1,(
22
++−+= cbbccbp
;
))1)(1(,1,(
22
++−+= accaacq
;
))1)(1(,1,(
22
++−+= baabbar
14. Cho 3 điểm
)0;0;1(A
;
)1;0;0(B
;
)1;1;2(C
a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác (Chứng minh A, B, C không thẳng hàng).
b) Tính chu vi và diện tích tam giác.
c) Tìm toạ độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
d) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A.
e) Tính các góc của tam giác ABC.
f) Tìm tọa độ chân D

1
đường phân giác trong AD
1
và chân D
2
đường phân giác ngoài AD
2
của
.ABC
∆
15. Cho bốn điểm:
)0;0;1(A
;
)0;1;0(B
;
)1;0;0(C
;
)1;1;2( −−D
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tính góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện ABCD.
c) Tính thể tích tứ diện và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
16. Cho tam giác ABC biết:
)3;1;2( −A
;
)1;0;4(B
;
)3;5;10(−C
. Tìm độ dài các đường phân giác trong.
17. Chứng minh các tính chất của tích có hướng của hai vectơ sau:
a)

[ ] [ ]
abba ,, −=
b)
[ ] [ ] [ ]
.,,,, Rbababa ∈==
λλλλ
c)
[ ] [ ] [ ]
bcacbac ,,, +=+
18. Cho tam giác ABC với:
)2;1;1( −A
;
)3;0;1(−B
;
)1;2;0(C
a) Tính chu vi và diện tích tam giác.
b) Tìm toạ độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
c) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A.
d) Tính các góc của tam giác ABC.
e) Tìm tọa độ chân D
1
đường phân giác trong AD
1
và chân D
2
đường phân giác ngoài AD
2
của
.ABC∆
19. Cho bốn điểm:

)1;3;2(A
;
)2;1;4( −B
;
)7;3;6(C
;
)8;4;5( −−D
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện (Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng).
b) Tính góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện ABCD.
c) Tính thể tích tứ diện và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
d) Tìm toạ độ tâm hình tứ diện ABCD.
e) Tìm tọa độ của điểm I cách đều bốn điểm A, B, C, D.
f) Tìm toạ độ hình chiếu K của D lên mặt phẳng (ABC).
20. Cho ba điểm:
)1;2;1(A
;
)4;3;5(B
;
)2;3;8( −C
.
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông.
b) Tìm toạ độ chân của đường phân giác trong của tam giác xuất phát từ B.
c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
21. Cho bốn điểm:
)1;1;1( −A
;
)2;1;3( −B
;
)4;2;1(−C
;

)9;6;5( −D
a) Chứng tỏ D nằm ngoài mặt phẳng (ABC).
b) Tìm toạ độ trọng tâm của tứ diện ABCD.
c) Tính diện tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A.
22. Cho bốn điểm:
)2;7;5( −A
;
)1;1;3( −B
;
)4;4;9( −C
;
)0;5;1(D
a) Chứng minh A, B, C, D nằm trên cùng mặt phẳng.
b) Tìm toạ độ giao điểm I của AC và BD.
2K2+ - 2 -
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!
23. Cho tam giác CDE với:
)1;4;0( −C
;
)3;1;1( −−D
;
)3;2;1( −E
. Tính độ dài đường trung tuyến, đường
cao, đường phân giác xuất phát từ đỉnh E của tam giác.
24. Cho tứ bốn điểm
)1,2,1( −P
;
)1,4,2(A
;
)1,0,1(−B

;
)2,4,1(−C
. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H
của P lên mặt phẳng ABC.
25. Cho bốn điểm:
)4,2,3(−A
;
)2,5,2( −B
;
)2,2,1( −C
;
)3,2,4(D
a) Tính cosin của góc tạo bởi
AB
và
CD
.
b) Tính diện tích tam giác BCD.
c) Tính độ dài đường cao của hình tứ diện ABCD xuất phát từ đỉnh A.
Phần 2: Phương trình mặt cầu.
A. Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình mặt cầu tâm
);;(
000
zyxI
, bán kính R:
Dạng chính tắc:
22
0
2

0
2
0
)()()( Rzzyyxx =−+−+−
Dạng khai triển:
0222
222
=++++++ dczbyaxzyx
(Với
0
222
>−++ dcba
)
- Tâm:
);;( cbaI −−−
- Bán kính:
dcbaR −++=
222
2. Một mặt phẳng (P) cắt mặt cầu bởi thiết diện là một đường tròn C tâm I’, bán kính r: C(I’,r)
- d là khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng P:
)).(,( PId
- Tâm I’ là giao điểm của đường thẳng (d) (qua tâm I của mặt cầu và vuông góc với mặt phẳng (P)) và
mặt phẳng (P).
- Bán kính:
22
dRr −=
* Nếu (P) đi qua tâm I của mặt cầu thì: I
≡
I’ và R=r.
3. Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(I, R):

222
))(,(
CBA
CcBbAa
PId
++
++
=
B. Bài tập: Phương trình mặt cầu
1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a)
0128
222
=++−++ yxzyx
b)
04284
222
=−−++++ zyxzyx
b)
021536333
222
=−+−+++ zyxzyx
c)
086246
222
=−−+−++ zyxzyx
e)
0246412
222
=+−+−++ zyxzyx

f)
07212126
222
=++−−++ zyxzyx
g)
04248
222
=−++−++ zyxzyx
h)
043
222
=+−++ yxzyx
i)
076
222
=−−++ zzyx
j)
0442
222
=+−−++ zyxzyx
2. Viết phương trình của mặt cầu đường kính AB với A, B có toạ độ:
a)
)1,3,1( −−A
;
)5,1,3(−B
. b)
)5,2,6( −A
;
)7;0;4(−B
.

3. Cho hai mặt cầu:
064:)(
222
1
=−++ zyxS
và
07212126:)(
222
2
=++−−++ zyxzyxS
.
Chứng minh rằng (S1) và (S2) cắt nhau theo một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của nó.
4. Cho bốn điểm
)0;1;0(A
;
)1,3,2(B
;
)2,2,2(−C
;
)2,1,1( −D
a) Chứng minh rằng ABCD là tứ diện có ba mặt vuông tại A.
b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
5. Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCO với
)0;0;(aA
;
)0,,0( bB
;
),0,0( cC
;
)0;0;0(O

.
6. Cho
)4;1;3( −−S
;
)0;1;3(−A
;
)0;3;1(B
;
)0;1;3( −C
;
)0;3;1( −−D
.
a) Chứng minh rằng ABCD là hình vuông và SA là đường cao của hình chóp S.ABCD.
b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.
7. Cho hai mặt cầu
09:)(
222
1
=−++ zyxS
và
07212126:)(
222
2
=++−−++ zyxzyxS
. Tìm
phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường nối tâm của 2 mặt cầu trên, tiếp xúc với hai mặt cầu
trên và có bán kính lớn nhất.
Mặt cầu đi qua các điểm
8. Viết phương trình mặt cầu nếu biết:
a) Tâm I(1; -3; 5), bán kính

3=R
.
2K2+ - 3 -
5x - 4y + 3z + 20 = 0
3x - 4y + z - 8 = 0
2x + 4y -z - 7 = 0
4x +5y +z - 8 = 0
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!
b) Tâm I(5; -3; 7). bán kính R = 2.
c) Tâm I(3; -2; 1) và qua điểm A(2; 1; -3).
d) Tâm I(4; -4; -2) và đi qua gốc toạ độ.
e) Tâm I(4; -1; 2) và qua điểm A(1; -2; -4)
f) Hai đầu đường kính là A(4; -3; -3) và B(2; 1; 5).
g) Hai đầu đường kính là A(2; -3; 5) và B(4; 1; -3).
h) Nhận AB làm đường kính với A(6; 2; -5) và B(-4; 0; 7).
i) Đi qua bốn điểm: A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2).
j) Đi qua bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0).
k) Qua ba điểm: A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz).
9. Cho các điểm: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) trong đó a, b, c là các hằng số dương.
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác nhọn.
b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
c) Tìm toạ độ O’ đối xứng với O qua mặt phẳng (ABC).
10. Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng (d):
tại hai điểm A, B sao cho AB = 16.
11. Cho các điểm: A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4).
a) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Viết phương trình tham số của đường thẳng qua I và vuông
góc với mặt phẳng (ABC).
Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
12. Xét vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng sau:

a)
05426
222
=+++−++ zyxzyx
, x + 2y + z -1 = 0.
b)
010226
222
=+−+−++ zyxzyx
, x + 2y + 2z = 0.
c)
04284
222
=−−++++ zyxzyx
, x + y -z - 10 = 0.
d)
0221626
222
=+−+−++ zyxzyx
, z - 3 = 0.
e)
014624
222
=+−−+++ zyxzyx
, y - 1 = 0.
f)
04242
222
=−−+−++ zyxzyx
, x- 5 = 0.

g)
02042
222
=−−−++ yxzyx
, x + 2y - z - 8 = 0.
h)
032
222
=−−++ zzyx
, x - 2y - z + 5 = 0.
i)
082
222
=−−++ xzyx
, x - 2y - 3 = 0.
j)
4)1(
222
=++− zyx
, x - 2 = 0.
k)
0242
222
=−−−−++ mzyxzyx
, 2x - 4y - 2z + 5 = 0.
l)
4)2()1(
222
=−++− zyx
, 2x + y - z + m = 0.

m)
024
222
=−−+++ mzxzyx
, x + y - z - 4 = 0.
13. Cho điểm D(-3; 1; 2) và mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8).
a) Viết phương trình đường thẳng AC.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P).
c) Viết phương trình mặt cầu tâm D bán kính R = 5. Chứng minh rằng mặt cầu này cắt AC.
d) Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu tâm D bán kính R khi R thay đổi.
Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
14. Viết phương trình mặt cầu:
a) Tâm I(3; -5; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng 2x - y -3z + 1 = 0.
b) Tâm I(1; 4; 7) và tiếp xúc với mặt phẳng 6x +6y -7z +42 = 0.
c) Tâm I(1; 1; 2) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y + 2z + 3 = 0.
d) Tâm I(-2; 1; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng: x + 2y - 2z + 5 = 0.
e) Bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng x + 2y + 2z + 3 = 0 tại điểm M(1; 1; -3).
f) Tiếp xúc với các mp: 6x -3y -2z -35 = 0, 6x -3y -2z+63 = 0 và với 1 trong 2 mp ấy tại M(5; -1; -1).
g) Tâm I nằm trên (d): và tiếp xúc với 2 mp (P): x+2y-2z-2=0, (Q): x +2y-2z+4= 0.
2K2+ - 4 -
2x - y - 1 = 0
z - 1 = 0
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!
h) Tâm I nằm trên (d): y = x - 4, z = 2x - 6 và tiếp xúc với 2 mặt phẳng Oxy và Oyz.
15. Cho 4 điểm: A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). Tìm toạ độ tiếp điểm.
16. Cho 4 điểm A(-2; 0; 1), B(0; 10; 3), C(2; 0; -1) và D(5; 3; -1).
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C.
b) Viết phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với mp(P).

c) Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với mp(P).
17. Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + 6z - 18 = 0 cắt Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C. Viết phương trình mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (tiếp diện)
18. Viết phương trình mặt phẳng:
a) Tiếp xúc với mặt cầu:
24)2()1()3(
222
=++−+− zyx
tại điểm M(-1; 3; 0).
b) Tiếp xúc với mặt cầu:
05426
222
=++−−++ zyxzyx
tại M(4; 3; 0).
c) Tiếp xúc với mặt cầu:
49)2()3()1(
222
=−+++− zyx
tại M(7; -1; 5).
d) Tiếp xúc với mặt cầu:
2222
)()()( Rczbyax =−+−+−
và song song với mp: Ax+By+Cz+D=0.
e) Tiếp xúc với mặt cầu:
022222
222
=−−−−++ zyxzyx
và song song với mp: 3x-2y+6z+14=0.
f) Tiếp xúc với mặt cầu:

011246
222
=−++−++ zyxzyx
và song song với mp: 4x +3z -17 = 0.
g) Tiếp xúc với mặt cầu:
0442
222
=+−−++ zyxzyx
và song song với mp: x +2y +2z +5 = 0.
h) Chứa đường thẳng: x=4t+4, y=3t+1, z=t+1 và tiếp xúc với mc:
.08262
222
=+++−++ zyxzyx
i) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp ABCD tại A với A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0).
j) Tiếp xúc với mặt cầu:
011326210
222
=−++−++ zyxzyx
và song song với 2 đường thẳng:
2
13
3
1
2
5 +
=
−
−
=
+ zyx

;
0
8
2
1
3
7 −
=
−
+
=
+ zyx
.
k) Chứa đường thẳng (d): và tx với mc:
015262
222
=−+−+++ zyxzyx
.
l) Tiếp xúc với mặt cầu
05642
222
=++−−++ zyxzyx
và vuông góc với đường thẳng (d):
19. Với giá trị nào của a thì mặt phẳng x +y +z +a = 0 tiếp xúc với mặt cầu
12
222
=++ zyx
. Xác định
tiếp điểm.
20. Cho mặt cầu (S):

26)1()2(
222
=+−++ zyx
và đường thẳng (d): x = 1, y = 2 -5t, z = -4 +5t.
a) Tìm giao điểm A, B của đường thẳng và mặt cầu. Tính khoảng cách từ tâm (S) đến (d).
b) Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại A, B.
21. Cho mặt cầu (S):
05642
222
=+−−+++ zyxzyx
. Viết phương trình tiếp diện của (S):
a) Đi qua T(1; 1; 1).
b) Đi qua đường thẳng:
c) Đi qua đường thẳng:
34
1
1
zyx
=
−
−
=
.
d) Vuông góc với đường thẳng:
2
2
1
1
2
3

−
−
=
+
=
− zyx
.
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
22.Cho mặt cầu (S):
02642
222
=−+−−++ zyxzyx
. Xét vị trí tương đối của (S) với (d):
a) (d): (x = 1 - 2t; y = 2 + t; z = t + 3). b) (d): (x = 1 - t; y = 2 - t; z = 4).
c) (d):
0
3
2
2
2
1 −
=
−
−
=
− zyx
.
2K2+ - 5 -
x - 2y - z - 1 = 0
x + y + 2 = 0

x - 2y - z + m = 0
x + y + 2 = 0
2x + y - z - 1 = 0
x - 2z - 3 = 0
x - 2y - 3 = 0
2x + z - 1 = 0
x - 2y + 3z - 2 = 0
x + y - z = 0
x - 2y - 1=0
z - 1 = 0
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!
23. Tìm vị trí tương đối của đường thẳng (d) với mỗi mặt cầu (S) sau:
a) (S):
01422
222
=−+−++ yxzyx
b) (S):
081024
222
=−−−+++ zyxzyx
c) (S):
25)1()2()1(
222
=−+−+− zyx
24. Tuỳ theo m, xét vị trí tương đối của (d): với mặt cầu (S):
8)1()2()1(
222
=++−+− zyx
25. Tìm vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng sau:
a)

0142
222
=++−++ zxzyx
,
1
2
1
1
2 −
−
=
−
=
zyx
.
b)
16)2()1(
222
=+−+− zyx
,
c)
02242
222
=−+−−++ zyxzyx
, (x = -2 - t; y = t; z = 3 - t).
d)
0142
222
=++−++ zxzyx
, (x = 1 - t; y = m + t; z = 2 + t).

e)
0422
222
=++−+++ mzyxzyx
,
Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (tiếp tuyến)
26. Cho mặt cầu (S), tâm I(2; 1; 3), bán kính R = 3.
a) Chứng minh rằng T(0, 0, 5) nằm trên mặt cầu (S).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (S) tại T, biết rằng tiếp tuyến đó:
- có vectơ chỉ phương là:
).2;2;1(=a
- vuông góc với mặt phẳng:
.03223:)( =++− zyx
α
- Song song với đường thẳng (d’):
27) Cho mặt cầu (S):
03242
222
=−+−−++ zyxzyx
. Viết phương trình tiếp tuyến của (S):
a) Có vectơ chỉ phương
)1;1;4(=a
và đi qua A(-4; 3; m).
b) Đi qua A(-2; 1; 3) và B(-4; -2; n).
28. Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; -1) tiếp xúc với đường thẳng:
a) x = 1 - t; y = 2; z = 2t.
b)
3
2
12

1 −
=
−
=
− zyx
c)
Vị trí tương đối của hai mặt cầu
29. Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu (S
1
) và (S
2
) sau:
a)
0142
222
=++−++ zxzyx
,
05462
222
=+−−−++ zyxzyx
b)
02642
222
=−+−−++ zyxzyx
,
02222
222
=+−+−++ zyxzyx
c)
02622

222
=−+−−++ zyxzyx
,
04622
222
=−+−−++ zyxzyx
d)
01422
222
=−+−++ yxzyx
,
010226
222
=+−−−++ zyxzyx
e)
081024
222
=−−−+++ zyxzyx
,
0662
222
=−−−++ zyzyx
f)
015262
222
=−+−+++ zyxzyx
,
0222
222
=−−−++ yxzyx

Đường tròn trong không gian
Phương trình:
0
)()()(
2222
=+++
=−+−+−
DCzByAx
Rczbyax
hoặc
2222
2222
')'()'()'(
)()()(
Rczbyax
Rczbyax
=−+−+−
=−+−+−
Điều kiện: (Aa + Bb + Cc)
2
< R
2
(A
2
+ B
2
+ C
2
) hay (R- R’)
2

<(a- a’)
2
+ (b- b’)
2
+ (c- c’)
2
< (R+ R’)
2
30. Tìm tâm và bán kính các đường tròn sau:
2K2+ - 6 -
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!
a)
093
16)1()7()4(
222
=−−+
=++−+−
zyx
zyx
b)
014623
022)(2
222
=++−
=−++−++
zyx
zyxzyx
c)
0122
010226

222
=+−+
=+−+−++
zyx
zyxzyx
d)
0122
0246412
222
=+++
=+−+−++
zyx
zyxzyx
e)
0122
5)3()3()2(
222
=++−
=++++−
zyx
zyx
f)
0122
010226
222
=+−−
=+−+−++
zyx
zyxzyx
g)

0922
086246
222
=+−−
=−−+−++
zyx
zyxzyx
h)
0922
100)11()2()3(
222
=+−−
=−+++−
zyx
zyx
31. Cho ba điểm A(2; 4; 1), B(-1; 4; 0), C(0; 0; -3).
a)Định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ đó viết phương trình đường tròn.
b)Cho (d): x = 2 - 5t, y = 4 + 2t, z = 1. Chứng minh (d) cắt đường tròn đã cho tại 2 điểm. Tìm toạ độ.
32.Cho đường tròn (C) có phương trình:

0422
49)2()2()1(
222
=+−+
=++−+−
zyx
zyx
. Viết phương trình mặt cầu chứa (C) và đi qua gốc O.
33. Cho đường tròn (C) và đường thẳng (d) có phương trình là:
(d):

zy
x
=
= 0
(C):
0
02
22
=
=−+
z
Rxyx
Tìm phương trình đường thẳng (d) tựa trên (C), cắt (d) và vuông góc với (d).
34.Cho đường tròn (C) xác định bởi:
(C):
0122
017664
222
=++−
=+++−++
zyx
zyxzyx
a) Tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn (C).
b) Lập phương trình mặt cầu chứa đường tròn (C) và có tâm thuộc mặt phẳng x + y + z + 3 = 0.
Phần 3: Phương trình mặt phẳng
I. Phương trình mặt phẳng
A. Kiến thức cần nhớ
a) Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 với
0C B A
222

≠++
,
);;( CBAn =
là vtpt của mp.
b) Phương trình mặt phẳng đi qua
( )
000
;; zyxM
và có vectơ pháp tuyến
);;( CBAn =
có dạng:
0)()()(
000
=−+−+− zzCyyBxxA
c) Phương trình mp theo đoạn chắn, đi qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có dạng:
1=++
c
z
b
y
a
x
d) Mặt phẳng đi qua
( )
000
;; zyxM
và có cặp vectơ chỉ phương
),,(
1
cbau =

và
)',','(
2
cbau =
thì có
vectơ pháp tuyến








=
''
;
''
;
'' b
b
a
a
a
a
c
c
c
c
b

b
n
và phương trình:
.0)(
''
)(
''
)(
''
000
=−+−+− zz
b
b
a
a
yy
a
a
c
c
xx
c
c
b
b
e) Phương trình pháp dạng của mặt phẳng:
0
000
=+++ DzCyBxA
với

.1
2
0
2
0
2
0
=++ CBA
B. Bài tập
1. Mặt phẳng (P) có phương trình 3x - 5y+ z - 15 = 0
a) Tìm một vectơ pháp của mặt phẳng đó.
b) Tìm toạ độ giao điểm của mặt phẳng với các trục toạ độ.
2. Mặt phẳng (P) có phương trình 2x - 3y + 5z - 1 = 0.
a) Tìm toạ độ một vetcơ pháp của mặt phẳng đó.
b) Tìm toạ độ giao điểm của mặt phẳng với các trục toạ độ Ox, Oy, Oz.
3. Viết phương trình mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) và phương trình mặt phẳng đi qua M(2; -1; 3) và
lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ đó.
4. Viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua điểm M(3; 2; -5) và có vectơ pháp tuyến
)1;4;3(−=n
.
2K2+ - 7 -
000
000
114
OBOAOC
OBOAOC
+=
+=
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

b) Đi qua M(1; -3; 7) và có vectơ pháp
)0;2;3(=n
.
c) Đi qua
);;(
0000
zyxM
và song song với các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
d) Đi qua M(1; 3; -2) và vuông góc với trục Oy.
e) Đi qua điểm M(1; 3; -2) và vuông góc với đường thẳng M
1
M
2
với M
1
(0; 2; -3) và M
2
(1; -4; 1).
f) Đi qua M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0.
g) Qua P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z - 1= 0.
h) Qua các hình chiếu của A(2; 3; 4) lên các trục toạ độ.
i) Qua M(2; -1; 2) song song với Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0.
j) Qua P(2; -1; 3), Q(3; 1; 2) và song song với vectơ
( )
4;1;3 −−=a
.
k) Qua A(3; 4; -5) và song song với 2 vectơ
( )
1;1;3 −=u
và

( )
1;2;1 −=v
.
l) Qua P(8; -3; 1), Q(4; 7; 2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 5y - 7z - 21 = 0.
m) Qua I(3; -1; 5) và vuông góc với MN, trong đó M(4; 2; -1), N(1 ; -2, 3).
n) Qua K(-1; -2; 5) đồng thời vuông góc với 2 mp (P
1
):x + 2y - 3z + 1 = 0 và (P
2
):2x - 3y + z + 1 = 0.
o) Qua A(-1; 1; 2) và vuông góc với BC, trong đó B(3; -1; 0), C(2; 1; 1).
p) Qua M(1; -2; 3) và song song với mặt phẳng x - 3y + 2z + 13 = 0.
q) Qua M(1; 0; -2) và vuông góc với 2mp (P
1
): 2x + y - z - 2 = 0 và (P
2
): x - y - z - 3 = 0.
r) Qua A(2; 1; 1), B(3; 2; 2) và vuông góc với mặt phẳng x + 2y - 5z - 3 = 0.
s) Qua A( 1; 0; 2), song song với
( )
1;3;2=a
và vuông góc với mặt phẳng 2x - y - 5z = 0.
t) Qua M(2; -1; 4) và cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại P, Q, R sao cho OR = 2OP = 2OQ.
u) Qua các hình chiếu vuông góc của M(2; 3; -5) lên các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
v) Qua AB và song song với CD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
w) Qua A(2; 0; 0), B(1; 2; 0), C(2; 1; -2).
x) Qua A(1; 2; 1), B(0; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng x - 2y + z + 3 = 0.
y) Chứa Oz và qua R(2; 1; 0).
z) Qua M(1; 0; 0), N(0; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng x + y - z = 0.
5. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng sau:

a) PQ với P(3; -1; -2), Q(-3; 1; 2). b) MN với M(1; 3; 2), N(-3; 5; 6).
c) EF với E(1; 2; -4), F(5; 4; 2). d) IJ với I(0; 0; 1), J(0; 0; -1).
e) M
1
M
2
với M
1
(2; 3; -4), M
2
(4; -1; 0). f) AB với A(-1; 2; 3), B(0; 3; -1).
6. Với mỗi tam giác sau, viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện.
a) Tam giác ABC với A(3; -5; 2), B(1; -2; 0), C(0; -3; 7) .
b) Tam giác MNP với M(-3; 5; 7), N(0; -1; 1), P(3; 1; -2).
7. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Với:
a) A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6). b) A(3; -1; 5), B(4; 2; -1), C(1 ; -2, 3).
c) A(-1; 1; 2), B(3; -1; 0), C(2; 1; 1). d) A(2; 1; 3), B(-1; -2; 4), C(4; 2; 1).
e) A(2; -3; 1), B(-2; 0; 5), C(3; 2; 0). f) A(2; -4; 0), B(5; 1; 7), C(-1; -1; -1).
g)A(1; -1; 2), B(-3; 0; 4), C(1; 1; 0). h) A( 5; 0; 0), B(0; -3; 0), C(0; 0; -5).
8.a) Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm M(-4; -9; 12), A(2; 0; 0) và cắt Oy, Oz lần lượt tại
B và C sao cho OB = 1 + OC (B, C không trùng với gốc O).
b) Tìm phương trình mp(Q) đi qua M và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A
0
, B
0
, C
0
sao cho:
9. Cho tứ diện ABCD với các đỉnh A(7; 9; 1), B(-2; -3; 2), C(1; 5; 5), D(-6; 2; 5). G là trọng tâm của tứ
diện, I là điểm cách đều 4 đỉnh của tứ diện. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm B, G, I.

10. Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; -2; 1), C(-4; 1; 1), D(1; 1; -3). Gọi I là điểm cách đều 4
đỉnh của tứ diện, U, V, R lần lượt là những hình chiếu vuông góc của I lên các trục Ox, Oy, Oz. Tìm
phương trình của mặt phẳng (UVR).
11. Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Xác định toạ độ hình chiếu H của O lên mặt phẳng (ABC). Tính OH.
2K2+ - 8 -
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!
c) Tính diện tích S của tam giác ABC.
d) Giả sử a, b, c thay đổi nhưng thoả mãn
2222
kcba =++
không đổi. Khi nào S đạt giác trị lớn nhất?
Chứng tỏ rằng khi đó OH cũng lớn nhất.
12. Cho tứ diện ABCD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
a) Viết phương trình các mặt của tứ diện.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua CD và song song với AB.
13. Tìm phương trình của mp(P) biết phương trình pháp dạng của nó là:
02
000
=−++ zCyBxA
và A
0
,
B
0
, C
0
thoả mãn điều kiện:
.

841
000
CBA
==
−
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng - chùm của mặt phẳng.
A. Lý thuyết cần nhớ
Cho hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0
(Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0
1.
''''
)//()(
D
D
C
C
B
B
A
A
QP ≠==⇔
2.
''''
)()(
D
D
C
C
B
B

A
A
QP ===⇔≡
3.
.CC'BB'AA'(Q)(P) 0=++⇔⊥
4.
''
)()(
B
B
A
A
QP ≠⇔∩
hoặc
'' C
C
B
B
≠
hoặc
'' C
C
A
A
≠
Chùm mặt phẳng là tập hợp tất cả các mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng. Có dạng:
0)''''()( =+++++++ DzCyBxADCzByAx
βα
với
0

22
≠+
βα
B. Bài tập
1. Xác định m, n,
λ
để các cặp đường thẳng sau song song với nhau:
a) 3x + my - 2z - 7 = 0; nx + 7y - 6z + 4 = 0. b) 5x - 2y + mz - 11 = 0; 3x + ny + z - 5 = 0.
c) 2x + my + 3z - 5 = 0; nx - 6y - 6z + 2 = 0. d) 3x - y + mz - 9 =0; 2x + ny + 2z - 3 = 0.
e) 2x +
λ
y + 3z - 5 = 0; mx - 6y - 6z - 2 = 0. f) (
λ
-2)x + (
λ
+1)y+
λ
z+
λ
=0; x+my+
λ
(m+
λ
)z+1=0
g) 3x - 5y + mz - 3 = 0; 2x +
λ
y - 3z + 1 = 0. h) mx + 3y - 2z - 1 = 0; 2x - 5y -
λ
z = 0.
2. Viết phương trình mặt phẳng:

a) Qua M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x + 2y - 5z + 1 = 0
b) Qua gốc toạ độ và song song với mặt phẳng 6x - 5y + z - 7 = 0.
c) Qua M(2; -3; 1) và song song với mặt phẳng (Oyz).
d) Qua M(1; 3; -2) và vuông góc với 2 mp x - 3y + 2z + 5 = 0; 3x - 2y + 5z + 4 = 0.
e) Qua M(3; -3; 1) và vuông góc với 2 mp 3y - 2z + 11 = 0; z = 0.
f) Qua M(3; -2; -7) và song song với mặt phẳng 2x + y - 3z + 5 = 0.
g) Qua M(1; 4; -2) và song song với mp (Oxz).
h) Qua M (3; -1; -5) và vuông góc với 2 mp: 3x - 2y + 2z + 7 = 0; 5x - 4y + 3z + 1 = 0.
i) Qua A(2; -1; 1) và vuông góc với 2 mp: 2x - z + 1 = 0; y = 0.
3. Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc:
a) 2x - 7y + mz + 2; 3x + y - 2z + 15. b) 4x - 3y - 3z = 0; mx + 2y - 7z - 1 = 0.
c) 3x - 5y + mz - 3 = 0; x + 3y + 2z + 5 = 0. d) 7x - 2y - z = 0; mx + y - 3z - 1 = 0.
4. Cho ba mp:(P):(4 -
λ
)x- (
λ
-5)+
λ
z+
λ
= 0,(Q):2x + 3y + mz + 5 = 0,(R):
.0)(3 =+−++ lzllyx
λλ
a) Định m,
λ
để (P)//(Q). b) Định
l
,
λ
để (P)//(R).

5. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng có phương trình sau:
a) x + 2y - z + 5 = 0; 2x + 3y - 7z - 4 = 0. b) x - 2y + z + 3 = 0; 2x - y + 4z - 2 = 0.
c) x + y + z - 1 = 0; 2x + 2y - 2z + 3 = 0. d) 3x - 2y -3z + 5 = 0; 9x - 6y -9z - 5 = 0.
e) x - y + 2z + 4 = 0; 10x - 10y + 20z + 40 = 0. f) 5x + 6y - 3z + 8 = 0; -5x + 6y - 12 = 0.
g) 2x - 2y - 4z + 5 = 0; 5x - 5y - 10z + 25/2 = 0. h) 3x - 4y + 3z + 6 = 0; 3x - 2y + 5z - 3 = 0.
6. Cho hai mặt phẳng có phương trình: 2x - my + 3z - 6 = 0; (m+3)x - 2y + (5m+1)z - 10 = 0.
Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó: a) Song song? b) Trùng nhau? c) Cắt nhau?
Tương tự với hai mặt phẳng: 3x - (m-3)y + 2z - 5 = 0; (m+2)x - 2y + mz - 10 = 0.
7. Viết phương trình của mặt phẳng trong các trường hợp sau đây:
a) Đi qua điểm M(1; 2; -3) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng 2x - 3y + z - 5 = 0; 3x - 2y + 5z - 1 = 0
b) Qua giao tuyến của hai mp: 2x + 3y - 4 = 0; 2y - 3z - 5 = 0 và vuông góc với mp: 2x + y - 3z - 2 = 0.
c) Đi qua trục Oz và điểm M(2; 3; -1).
d) Đi qua giao tuyến của hai mp: x - 4y +2z - 5 = 0; y + 4z- 5 = 0 và song song với mp: 2x - y+ 19 = 0.
2K2+ - 9 -
x + 2y - z -6 = 0
2x - y + 3z + 13 = 0
3x - 2y + 3z + 16 = 0
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!
e) Đi qua M(2; 1; -1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng sau: x - y + z - 4 = 0; 3x - y + z - 1 = 0.
f) Qua giao tuyến của hai mp: y + 2z - 4; x + y - z + 3 và vuông góc với mp: x + y + z - 2 = 0.
g) Đi qua trục Oy và điểm M(1; 1; -1).
h) Qua giao tuyến của hai mp: 3x- y+ z- 2 = 0; x + 4y - 5 = 0 và song song với hai mp: 2x - z + 7 = 0.
i) Qua M(0; 0; 1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng: 5x - 3y + 2z - 5 = 0; 2x - y - z - 1 = 0.
j) Qua M(3; 4; 1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng: 19x - 6y - 4z + 27 = 0; 42x - 8y + 3z + 11 = 0.
k) Qua giao tuyến của 2mp: x +2y - z - 4 = 0; 2x +y +z + 5 = 0 và vuông góc với mp: x- 2y- 3z+ 6 = 0.
8. Xác định m, n để mp: 5x + ny + 4z + m = 0 thuộc chùm
.0)529()373( =+−−+−+− zyxzyx
βα
9. Gọi (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng: x + 2y - 3z + 1 = 0 và 2x - 3y + z + 1 = 0.
a) Với m cho trước lập phương trình mặt phẳng (P) qua (d) và song song với vectơ

).3;2;( −= ma
b) Xác định m để có mặt phẳng (Q) đi qua (d) và vuông góc với
).3;2;( −= ma
10. Cho ba mặt phẳng có phương trình:
(P): (1+m)x - y + mz - m = 0 (Q): x + 2y - mz + 1 = 0 (R): (m+2)x + y = 0
Với giá trị nào của m thì ba mặt phẳng đó cùng đi qua một đường thẳng.
11. Với giác trị nào của
lm,
để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng.
(P):
.045 =+++ mzlyx
(Q): 3x - 7y + z - 3 = 0 (R): x - 9y - 2z + 5 = 0.
12. Tìm điểm chung của ba mặt phẳng:
13. a, b, c là ba số khác 0.
a) Tìm phương trình của mặt phẳng (P) qua điểm (1; 1; 1) và chứa trục Ox.
b) Tìm phương trình (S) qua điểm (a; b; c) và chứa trục Oy.
c) Tìm phương trình của mặt phẳng (Q) qua ba điểm (0; b; c), (a; 0; c), (a; b; 0).
d) Tìm phương trình của mặt phẳng (R) qua điểm (a; 0;
)
1
c
a−
và có vectơ pháp tuyến
).;;( cban =
e) Giả sử
0≠+ cb
và
bca ≠
2
, tìm điểm chung của ba mặt phẳng (P), (Q), (R).

14. Cho hình tứ diện ABCD với các đỉnh A(3; 2; 1), B(1; 3; 2), C(1; -2; 3), D(-1; 2; 2).
a) Tìm phương trình của mặt phẳng (ABC).
b) Tìm phương trình của mặt phẳng (P) qua C và có cặp vectơ chỉ phương
CDv =
1
,
).2;1;(
2
λλλ
+=v
c) Với giá trị nào của
λ
thì
).()( ABCP ⊥
d) Định
l,
λ
để (P) song song với mặt phẳng
.014 =+++ lzyx
15. Chứng tỏ bốn mặt phẳng sau đây là bốn mặt bên của hình hộp chữ nhật:
7x + 4y - 4z + 30 = 0, 36x - 51y + 12z + 17 = 0
14x + 8y - 8z - 12 = 0, 12x - 17y + 4z - 3 = 0
16. Cho mặt phẳng (P) qua (-1;
3
1
; 0) có vectơ pháp tuyến
);3;2( mn =
và mặt phẳng (Q) qua 3 điểm
(-3; 2; 1), (1; 3; -4), (3; -1;
λ

).
a) Tìm phương trình tổng quát của (P) và (Q).
b) Định
λ
, m để (P)//(Q).
c) Tìm hệ thức giữa
λ
, m để
).()( QP ⊥
III. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
A. Kiến thức cần nhớ
1. Khoảng cách từ
);;(
000
zyxM
đến mặt phẳng
)(
α
có phương trình Ax + by + Cz + D = 0 là:
.
222
000
CBA
DCzByAx
d(M,(P))
++
+++
=
2. Khoảng cách giữa hai mp // là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
3. Vị trí của hai điểm

);;(
AAA
zyxA
và
);;(
BBB
zyxB
đối với mặt phẳng
)(
α
:
- Nếu
0)).(( >++++++ DCzByAxDCzByAx
BBBAAA
thì A và B nằm về cùng một phía của
)(
α
.
- Nếu
0)).(( <++++++ DCzByAxDCzByAx
BBBAAA
thì A và B nằm về hai phía của
)(
α
.
2K2+ - 10 -
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!
B. Bài tập
1. Cho bốn điểm A(-1; -2; 4), B(-4; -2;0), C(3; -2; 1), D(1; 1; 1). Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh D
của tứ diện ABCD.

2. Cho hình hộp chữ nhật với các đỉnh A(3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và D là đỉnh đối
diện với O. Xác định toạ độ đỉnh D. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABD). Tính khoảng
cách từ C tới mặt phẳng (ABD).
3. Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng:
a) x - 2y + 3z + 1 =0 và 2x - y + 3z + 5 = 0. b) 6x - 2y + z + 1 = 0 và 6x - 2y + z - 3 = 0.
c) 2x - y + 4z + 5 = 0 và 3x + 5y - z - 1 = 0. d) 4x - y + 8z + 1 và 4x - y + 8z + 5 = 0.
e) 2x - y + 4z + 5 = 0 và 3x + 5y - z - 1 = 0. f) 3x + 6y - 3z + 7 và x + 2y - z + 1 = 0.
4. a) Tìm điểm M trên trục Oz cách đều điểm (1; 2; -2) và mặt phẳng 2x + 2y + z - 5 = 0.
b) Tìm M trên trục Oy và cách đều hai mặt phẳng: x + y - z + 1 = 0 và x - y + z - 5 = 0.
c) Tìm M trên trục Oz cách đều điểm (2; 3; 4) và mặt phẳng 2x + 3y + z - 17 = 0.
d) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: 7x - 5y + 11z - 3 = 0 và 7x - 5y + 11z - 5.
e) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: 5x - 2y + 3z = 0 và 5x - 2y + 3z - 11 = 0.
f) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D’ = 0.
g)Tính khoảng cách từ các điểm M
1
(1; -1; 2), M
2
(3; 4;1), M
3
(-1;4; 3) đến mặt phẳng x +2y +2z -10= 0.
h) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng (P): 2x + y - z - 6 = 0.
i) Tính khoảng cách từ S(1; 3; -2) đến đi qua 3 điểm A(3; 6; -7). B(-5; 2; 3), C(4; -7; -2). Tính
.
SABC
V
j) Tìm khoảng cách từ M(-1; 1; -2) đến mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2).
k) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng 2x - y + 2z + 9 = 0 và 4x - 2y + 4z - 21 = 0.
5. Cho phương trình họ mặt phẳng (P
m
): 2x + y + z -1 + m(x + y + z + 1) = 0 ( m là tham số).

a) Chứng minh rằng với mọi m, mặt phẳng (P
m
) luôn đi qua một đường thẳng cố định.
b) Tìm m để (P
m
) vuông góc với mặt phẳng (P
0
)có phương trình 2x + y + z - 1 = 0. Tính
)).(,( dOd
6. Cho mặt phẳng
)(
α
đi qua các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c >0.
a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng
)(
α
.
b) Chứng minh hệ thức:
.
1111
2222
OCOBOAOH
++=
7. Cho mặt phẳng
)(
α
: 2x - 3y + z - 7 = 0 và các điểm M(0; 2; -1), N(2; 1; 8), P(-1; -3; 0).
a) Hai điểm nào cùng phía đối với
)(
α

.
b) Hai điểm nào khác phía đối với
)(
α
.
8. Xét xem các cặp điểm sau đây cùng phía hay khác phía đối với mặt phẳng
)(
α
.
a) M(2; 1; -3), N(2; 3; -1), mp
)(
α
: 2x - y - z + 4 = 0.
b) M(2; 0; 1), N(-1; 2; 0), mp
)(
α
qua P(1; 3; 2) và có cặp vectơ chỉ phương
)4;3;1(=a
;
).2;1;2(−=b
9. Mặt phẳng
)(
α
chia đoạn MN và MP theo tỷ số nào:
a) M(1; -2; 1), N(2; 0; 3), P(3; 2; -1) và mp
)(
α
: x - 2y - z - 1 = 0.
b) M(2; 3; 0), N(1; 2; 3), P(0; 1; 3) và mp
)(

α
: 2x - 2y - 3z + 7 = 0.
10. Cho mặt phẳng
)(
α
có phương trình: 3x - 2y - z + 5 = 0 và điểm M(2; -1; 3).
a) Lập phương trình mặt phẳng
)(
β
qua M và vuông góc với mặt phẳng
)(
α
theo giao tuyến (d).
b)Viết phương trình tham số của (d).
c)Tính khoảng cách từ M đến (d). Chứng tỏ đó là khoảng cách từ M đến mặt phẳng
)(
α
.
d) Tính lại kết quả đó bằng cách áp dụng công thức tính khoảng cách từ M đến
)(
α
.
IV. Góc giữa hai mặt phẳng.
A. Kiến thức cần nhớ
Góc giữa hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0, (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 được ký hiệu:
oo
QP 90))(),((0 ≤=≤
α
, xác định bởi hệ thức:
.cos

222222
C'B'A'.CBA
CC'BB'AA'
α
++++
++
=
Đặc biệt:
.0''')()( =++⇔⊥ CCBBAAQP
B. Bài tập
1. Tính cosin góc tạo bởi các vectơ sau:
2K2+ - 11 -
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!
a)
)1;2;1( −=a
;
).2;1;0( −=b
c)
)3;2;2(=a
;
).2;2;3( −−=b
b)
)3;1;2(=a
;
).1;2;1( −=b
d)
)1;1;2( −=a
;
).2;2;3( −−=b
2. Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng :

a) x - 2y - z - 3 = 0, 2x + y + 2z + 10 = 0. b) 3y - z - 9 = 0, 2y + z = 0.
c) x + 2y + 2z - 3 = 0, 16x + 12y - 15z - 1 = 0. d) x - y
2
+ z - 1 = 0, x + y
2
- z + 3 = 0.
e) 6x + 3y - 2z = 0, x + 2y + 6z - 12 = 0. f) x + 2y + z + 4 = 0, -x +y + 2z + 3 = 0.
g)
013 =++ zy
,
.0332 =+−− zyx
h)
03 =+ zx
,
.0=+ zx
g) (HIK) và (Oxy) với H(1/2; 0; 0), I(0;1/2; 0), K(1; 1;1/3).
3. a) Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng:
)(
α
: 3y - z - 1 = 0,
)(
β
2y + mz = 0 bằng 45
o
.
b) Tìm phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm (0; 2; 0), (2; 0; 0) và tạo với mp(Oyz) một góc 60
o
.
4. Cho tứ diện ABCD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
a) Tìm cosin của góc tạo bởi các cặp vectơ:

AB
và
CD
,
AC
và
BD
.
b) Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (ABD).
5. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là các tam giác vuông đỉnh O. Gọi
γβα
,,
là
góc lần lượt hợp bởi các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt phẳng (ABC). Bằng phương pháp
toạ độ, chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC có ba góc nhọn. b)
1coscoscos
222
=++
γβα
.
V. Chân đường vuông góc - Điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng.
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Tìm toạ độ chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống một mặt phẳng.
H(x; y; z) là chân đường vuông góc hạ từ
);;(
AAA
zyxA
xuống mặt phẳng
)(

α
: Ax + By + Cz + D = 0.
Khi đó bộ số (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình sau:
0
//
)
=+++
−
=
−
=
−
⇔
DCzByAx
C
zz
B
yy
A
xx
nAA'
AAA
(α
2. Tìm toạ độ của điểm đối xứng với một điểm qua một mặt phẳng.
Cho điểm
);;(
AAA
zyxA
và A’(x; y; z) đối xứng với nhau qua mặt phẳng
)(

α
: Ax + By + Cz + D = 0.
Khi đó bộ số (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình sau:
0
222
//
)
=+
+
+
+
+
+
−
=
−
=
−
⇔
D
zz
C
yy
B
xx
A
C
zz
B
yy

A
xx
nAA'
AAA
AAA
(α
Cách khác: Tìm chân đường vuông góc H rồi áp dụng công thức trung điểm tìm A’.
B. Bài tập
1. Tìm toạ độ của điểm A’ đối xứng với:
a) A(2; 3; -1) qua mặt phẳng 2x - y - z - 5 = 0. b) A(-2; 1; 3) qua mặt phẳng 2x + y - z - 3 = 0.
c) M(2; -3; 1) qua mặt phẳng x + 3y - z + 2 = 0. d) M( 2; 4; 6) qua mặt phẳng 2x - 2y + 3z + 10 = 0.
2. Tìm hình chiếu H của:
a) M(1; -1; 2) lên mặt phẳng 2x - y + 2z + 12 = 0. b) A( 2; 4; 6) lên mặt phẳng 2x - 2y + 3z + 10 = 0.
c) B(3; 1; 4) lên mặt phẳng 3x - 2y + 2z + 8 = 0.
VI. Đường thẳng, mặt phẳng đối xứng qua mặt phẳng.
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Tìm phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với (d) qua mặt phẳng
)(
α
:
- Tìm M(x; y; z) nằm trên đường thẳng (d).
- Tìm M’ đối xứng M qua mặt phẳng
)(
α
.
- Tìm giao điểm I của đường thẳng (d) với mặt phẳng
)(
α
.
- (d’) là đường thẳng qua I và M.

2. Tìm phương trình mặt phẳng (P’) đối xứng với (P) qua mặt phẳng
)(
α
.
- Tìm M(x; y; z) nằm trên mặt phẳng (P).
2K2+ - 12 -
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!
- Tìm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng
)(
α
.
- (P’) là mặt phẳng thuộc chùm (P),
)(
α
và đi qua M’.
B. Bài tập
1. Tìm phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với (d) qua mặt phẳng
)(
α
với:
a) (d): x = t, y = 1 - t, z = 1 + 2t và
)(
α
: 2x + y - 2z + 5 = 0.
b) (d):
05
03
=−+
=−−−
yx

zyx
và
)(
α
: 2x + y - 3z - 5 = 0.
2. Tìm phương trình mặt phẳng (P’) đối xứng với (P) qua mặt phẳng
)(
α
với:
a) (P): 2x - y - z - 5 = 0 và
)(
α
: 2x - 3y + z - 7 = 0. b) (P): x - 2y - z - 1 = 0 và
)(
α
: 3x - 2y - z + 5 = 0.
VII. Tổng khoảng cách nhỏ nhất - Hiệu khoảng cách lớn nhất
A. Lý thuyết cần nhớ
Cho hai điểm
);;(
AAA
zyxA
và
);;(
BBB
zyxB
và mp
).(
α

1. Tìm
)(
α
∈M
sao cho MA + MB nhỏ nhất.
a) Nếu A và B khác phía với
)(
α
thì M là giao điểm của đường thẳng AB với mp
)(
α
.
b) Nếu A và B cùng phía thì M là giao điểm của đường thẳng AB’ với mp
)(
α
, B’đối xứng B qua
)(
α
.
2. Tìm
)(
α
∈N
sao cho |NA - NB| lớn nhất.
a) Nếu A và B khác phía thì N là giao điểm của đường thẳng AB’ với mp
)(
α
, B’ đối xứng B qua
)(
α

.
b) Nếu A và B cùng phía thì N là giao điểm của đường thẳng AB với mp
)(
α
.
B. Bài tập
1. Tìm
)(,
α
∈NM
sao cho MA + MB nhỏ nhất với:
a) A(1; 1; 2), B(2; 1; -3) và mp
)(
α
: 2x + y - 3z - 5 = 0.
b) A(-7; 4; 4), B(-6; 2; 3) và mp
)(
α
: 3x - y - 2z + 19 = 0.
c) A(1; 0; 2), B(2; -1; 3) và mp
)(
α
: x - 2y + z - 4 = 0.
d) A(1; 1; 0), B(0; -1; 1) và mp
)(
α
: x - 2y + z - 4 = 0.
e) A(0; 1; 2), B(1; 2; -1) và mp
)(
α

: x - 2y + z - 4 = 0.
f) A(0; -1; -1), B(1; -1; 0) và mp
)(
α
: x - 2y + z - 4 = 0.
Phần 4: Phương trình đường thẳng
I. Phương trình đường thẳng
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Phương trình tổng quát:

(Q) 0''''
)( 0
=+++
=+++
DzCyBxA
PDCzByAx
là giao tuyến của hai mp(P) và (Q) có vectơ chỉ phương:
[ ]
)()(
;
QP
nnu =
.
2. Phương trình tham số:

ctzz
btyy
atxx
+=
+=

+=
0
0
0
là đường thẳng qua
);;(
0000
zyxM
và có vectơ chỉ phương
).;;( cbau =
3. Phương trình chính tắc:
c
zz
b
yy
a
xx
000
−
=
−
=
−
là đường thẳng qua
);;(
0000
zyxM
và có vectơ chỉ phương
).;;( cbau =
B. Bài tập

1. Cho A(1; 4; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 4). Viết phương trình tham số, chính tắc và tổng quát của các
đường thẳng AB, BC, CA.
2. Cho mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8) và điểm D(-3; 1; 2).
a) Viết phương trình mặt phẳng (P).
a) Viết phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của đường thẳng AC.
b) Viết phương trình qua D và vuông góc với mặt phẳng (P).
3. Cho điểm A(-2; 4; 3) và mặt phẳng (P): 2x - 3y + 6z + 19 = 0.
2K2+ - 13 -
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!
a) Viết phương trình của mp(Q) chứa điểm A và song song với mp(P). Tính
)).(),(( QPd
b) Tìm chân đường vuông góc H hạ từ A xuống mp(P) bằng cách viết phương trình đường thẳng.
4. Viết phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) Qua (2; 0; -1) và có vectơ chỉ phương
).5;3;1(−=a
b) Qua (-2; 0; 5) và có vectơ chỉ phương
).4;1;0(=a
c) Qua hai điểm A(2; 3; -1) và B(1; 2; 4).
d) Qua hai điểm A(3; 1; -5) và B(2; 1; -1).
e) Qua hai điểm A(1; 2; -7) và B(1; 2; 4).
f) Qua (3; 4; 1) và song song với đường thẳng (d): x = 1 + 25t, y = -4t, z = 5 + 3t.
g) Qua (2; 0; -5) và song song với đường thẳng (d):
.
3
2
2
5
0
1 −
=

−
+
=
− zyx
h) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Ox.
i) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Oy.
j) Qua M(1; 2; 3) và song song với trục Oz.
k) Qua hai điểm A(1; -1; 0) và B(0; 1; 2).
l) Qua A(1; 3; -1) và có vectơ chỉ phương
).1;2;1( −=a
m) Qua A(2; 1; 0) và B(0; 1; 2).
n) Qua A(2; 3; 5) và vuông góc với mỗi mặt phẳng toạ độ.
o) Qua hai điểm A(-2; 1; 3) và B(4; 2; -2).
p) Qua A(1; 4; -2) và song song với đường thẳng
01253
03226
=−−−
=+++
zyx
zyx
.
q) Nằm trong mp x + 3y - z + 4 =0 và vuông góc với đt
02
032
=−
=−−
zy
zx
tại giao tuyến của mp và đt.
r) Qua điểm (3; 2; 1) và vuông góc với đường thẳng

1
3
42
+
==
zyx
và cắt đường thẳng đó.
s) Qua điểm (-4; -5; 3) và cắt cả hai đường thẳng:
1
2
2
3
3
1
−
−
=
−
+
=
+ zyx
;
.
5
1
3
1
2
2
−

−
=
+
=
− zyx
t) Qua (2; 1; -1) và tựa trên hai đường thẳng:
5
3
4
2
3
1 +
=
+
=
− zyx
;
02
0
=−
=+
zy
yx
u) Qua (0; 1; 1), vuông góc với đt:
11
2
3
1 zyx
=
+

=
−
và cắt đt:
01
02
=+
=+−+
x
zyx

v) Qua (3; -1; -4) cắt trục Oy và song song với mặt phẳng 2x + y = 0.
w) Qua (1; 1; 1) cắt trục Oz và cắt đường thẳng
01
03
=−+
=−−
zy
zx
.
x) Qua (1; -1; 1) và cắt cả hai đường thẳng x = 1 + 2t, y = t, z = 3 - t;
032
01
=−+
=−++
zy
zyx
.
y) Nằm trong mp y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng: x = 1-t, y = t, z = 4t; x = 2- t, y = 4 + 2t, z = 1.
z) Song song với đt x = 3t, y = 1 - t, z = 5+ t và cắt 2 đt
3

2
4
2
1
1 −
=
+
=
− zyx
;
012
034
=+−−
=−+−
zyx
zyx
.
5. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1); D(1; 1; 1). Viết phương trình tham số, chính
tắc, tổng quát của:
a) Các cạnh của tứ diện ABCD.
b) Đường thẳng qua C và vuông góc với mp(ABD).
c) Đường thẳng qua A và qua trọng tâm của tam giác BCD.
6. Cho A(2; 3; 1), B(4; 1; -2), C(6; 3; 7), D(-5; -4; 8). Hãy viết pt tham số, chính tắc, tổng quát của:
a) Đường thẳng AG với G là trọng tâm của tam giác ACD.
b) Đường cao AH của tứ diện.
7. Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) và hai trung tuyến:
2K2+ - 14 -
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!
1
3

2
6
2
3
:)(
1
−
=
−
=
−
− zyx
d
;
1
2
4
2
1
4
:)(
2
−
=
−
−
=
− zyx
d
a) Viết phương trình tham số và chính tắc các cạnh của tam giác.

b) Viết phương trình chính tắc của đường phân giác góc A.
8. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng:
a)
032
04332
=+−+
=−+−
zyx
zyx
b)
0626
07433
=−++
=+−+
zyx
zyx
c)
01
032
=−++
=+−+
zyx
zyx
d)
063
05
=+−
=−+−
yx
zyx

e)
02
01
=−
=−+
y
zx
f)
01
012
=−+
=−++
zx
zyx
9. Cho hai mặt phẳng (P): 2x - y + z + 2 = 0, (Q): x + y + 2z - 1 = 0.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng trên cắt nhau.
b) Viết phương trình tham số của giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q).
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
II. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng
A. Lý thuyết cần nhớ
Cho mp
)(
α
có vectơ pháp tuyến
);;( CBAn =
đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương
).;;( cbau =
1.
0) =++=⇔⊂ CcBbAau.n((d)
α

và
).()(
α
∈→∈∀ MdM
2.
0)// =++=⇔ CcBbAau.n((d)
α
và
).()(
α
∉→∈∀ MdM
3.
0.)()( ≠++=⇔∩ CcBbAaund
α
.
Cách khác: Giải hệ phương trình của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).
1. Hệ vô nghiệm
).//()( Pd⇔
2. Hệ có nghiệm duy nhất
).()(
α
∩⇔ d
3. Hệ có vô số nghiệm
).()(
α
⊂⇔ d
B. Bài tập
1. Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P):
a) (d):
1

1
3
9
4
12 −
=
−
=
− zyx
; (P): 3x + 5y - z - 2 = 0.
b) (d):
34
3
2
11 zyx
=
−
=
+
; (P): 3x - 3y + 2z - 5 = 0.
c) (d):
3
4
2
1
8
13 −
=
−
=

− zyx
; (P): x + 2y - 4z + 1 = 0.
d) (d): x = 2t, y = 1 - t, z = 3 + t; (P): x + y + z - 10 = 0.
e) (d):
4
5
1
4
5
7 −
=
−
=
− zyx
; (P): 3x - y + 2z - 5 = 0.
f) (d):
062
016753
=−+−
=+++
zyx
zyx
; (P): 5x - z - 4 = 0.
g) (d):
05
010632
=+++
=−++
zyx
zyx

; (P): y + 4z + 17 = 0.
h) (d): x = 2t, y = 1 - t, z = 3 + t; (P): x + y + z - 10 = 0.
2. Cho đường thẳng (d
m
):
0)1(
034
=−−
=−+
myxm
mmzx

)0( ≠m
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d
m
) luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh rằng đường thẳng (d
m
) luôn nằm trên một mặt phẳng (P) cố định.
c) Tính thế tích khối tứ diện giới hạn bởi mặt phẳng (P) và các mặt phẳng toạ độ x = 0; y = 0; z = 0.
III. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng.
A. Lý thuyết cần nhớ
2K2+ - 15 -
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!
Cho hai đường thẳng: (d) qua điểm
);;(
000
zyxM
và có vectơ chỉ phương
);;( cbau =

.
(d’) qua điểm
);;('
'
0
'
0
'
0
zyxM
và có vectơ chỉ phương
)';';'(' cbau =
.
1. Hai đường thẳng không đồng phẳng (chéo nhau)
[ ]
0'.'; ≠⇔ MMuu
.
2. Hai đường thẳng đồng phẳng
[ ]
0'.'; =⇔ MMuu
.
a) Hai đường thẳng cắt nhau
''
)'()(
b
b
a
a
dd ≠⇔∩
hoặc

'' c
c
b
b
≠
hoặc
.
'' a
a
c
c
≠
b) Hai đường thẳng song song
'''
)'//()(
c
c
b
b
a
a
dd ==⇔
và
b
yy
a
xx
'
00
'

00
−
≠
−
hoặc
c
zz
b
yy
'
00
'
00
−
=
−

hoặc
.
'
00
'
00
a
xx
c
zz −
=
−
(

)(:)(:)(':':'::
'
00
'
00
'
00
zzyyxxcbacba −−−≠=
)
c) Hai đường thẳng trùng nhau
'''
)'()(
c
c
b
b
a
a
dd ==⇔≡
và
c
zz
b
yy
a
xx
'
00
'
00

'
00
−
=
−
=
−
(
)(:)(:)(':':'::
'
00
'
00
'
00
zzyyxxcbacba −−−==
)
Cách khác: Xét hệ phương trình hai đường thẳng:
1.
u
và
'u
cùng phương.
a)
).'()()'()( dAdAdd ∈⇒∈⇔≡
b)
).'()()'//()( dAdAdd ∉⇒∈⇔
2.
u
và

'u
cùng phương.
a)
⇔∩ )'()( dd
hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) (d) chéo (
'd
)
⇔
hệ phương trình vô nghiệm.
* Hai đường thẳng vuông góc
.0''' =++⇔ ccbbaa
Cách khác: Xét các tích có hướng và tích vô hướng sau:
[ ]
';uu
,
[ ]
';MMu
;
[ ]
'.'; MMuu
.
1. Hai đường thẳng trùng nhau
⇔

[ ] [ ]
0';'; == MMuuu
2. Hai đường thẳng song song
⇔

[ ]
[ ]
0';
0';
≠
=
MMu
uu
3. Hai đường thẳng cắt nhau
⇔

[ ]
[ ]
0'.';
0';
=
≠
MMuu
uu
4. Hai đường thẳng chéo nhau
⇔
[ ]
0'.'; ≠MMuu
B. Bài tập
1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) sau:
a)

01
02
=++−
=++
zyx
zyx
; x = -2 + 2t, y = -t, z = 2 + t.
b)
3
4
1
2
2
1 −
=
+
=
−
− zyx
; x = t - 1, y = -t, z = 3t - 2.
c) x = 5 + 2t, y = 1 - t, z = 5 - t; x = 3 + 2t’, y = - 3 - t’, z = 1 - t’.
d)
3
3
6
2
9
1 −
=
−

=
− zyx
;
2
5
4
6
6
7 −
=
−
=
− zyx
.
e)
4
3
1
5
2
1 −
=
+
=
− zyx
;
1
3
2
1

3
6 +
=
+
=
− zyx
.
f)
12
2
2
1 zyx
=
−
−
=
−
;
0
4
3
5
2
−
=
+
=
−
zyx
.

g)
8
1
64
2
−
+
=
−
=
− zyx
;
129
2
6
7 zyx
=
−
=
−
−
.
2K2+ - 16 -
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!
h) x = 9t, y = 5t, z = - 3 + t;
032
09332
=−+−
=−−−
zyx

zyx
i)
032
032
=+
=+−
yx
yx
;
08
082
=−+
=−+
zx
zx
j) x = 2 + 2t, y = -1 + t, z = 1; x = 1, y = 1 + t, z = 3 - t.
k)
1
9
2
3
1
7
−
−
=
−
=
− zyx
;

3
1
2
1
7
3 −
=
−
=
−
− zyx
.
l) x = t, y = 1 + 2t, z = 4 + 5t;
01
012
=−+−
=++
zyx
yx
.
IV. Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng - đường thẳng và đường thẳng.
A. Lý thuyết cần nhớ
1.Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
2.Giao điểm của đường thẳng và đường thẳng là nghiệm của hệ đường thẳng và đường thẳng.
B. Bài tập
1. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:
a) x = 2t - 1, y = t + 2, z = t = 3; x - y + z - 4 = 0.
b)
0273
0724

=−+
=+−+
zyx
zyx
; 3x + y - z + 1 =0.
c) x = 5 + 3t, y = 2t, z = -25 - 2t; 2x + 3y + z + 5 = 0.
d)
032
052
=+−+
=−−−
zyx
zyx
; x - 3y + z - 1 = 0.
2. Tìm m để đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau.
a) Đường thẳng x = m + t, y = 2 - t, z = 3t cắt mặt phẳng 2x - y + z - 5 = 0 tại điểm có tung độ bằng 3.
b) Đưởng thẳng
052
032
=++
=−−
zy
yx
cắt mặt phẳng 2x + y + 2z - 2m = 0 tại điểm có cao độ bằng -1.
c) Mặt phẳng x + y + z + m = 0 cắt đường thẳng
0723
032
=−−
=−+
zx

yx
3. Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
a) x = 3t, y = 1 - 2t, z = 3 + t; x = 1 + t, y = 2t, z = 4 + t.
b)
062
042
=+++
=−−−
zyx
zyx
;
072
02
=++
=−−
zy
zx
.
c)
01
012
=−+−
=++
zyx
yx
;
012
033
=+−
=+−+

yx
zyx
d)
012
03
=+−
=+++
yx
zyx
; x = 1 + t, y = -2 + t, z = 3 - t.
4. Tìm m để hai đường thẳng sau cắt nhau, tìm toạ độ giao điểm:
a) x = 1 + mt, y = t, z = -1 + 2t; x = 1 - t, y = 2 + 2t, z =3 - t.
b)
03
042
=−+
=−−+
yx
zyx
;
062
032
=−++
=−++
zyx
mzyx
.
c) x = 1 - t, y = 3 + 2t, z = m + t; x = 2 + t’, y = 1 + t’, z = 2 - 3t’.
V. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - khoảng cách giữa hai đường thẳng.
A. Lý thuyết cần nhớ

1. Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng qua điểm M
o
có vectơ chỉ phương
u
.
[ ]
u
uMM
dMd
;
),(
0
=
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này
đến đường thẳng kia.
2K2+ - 17 -
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
(d) qua điểm M và có vectơ chỉ phương
u
và (d’) qua điểm M’ và có vectơ chỉ phương
'u
là:
[ ]
[ ]
';
'.';
)',(
uu
MMuu

ddd =
4. Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường
thẳng đến mặt phẳng hoặc khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đến đường thẳng.
B. Bài tập
1. Cho điểm A(1; 2; 1) và đường thẳng (d) có phương trình:
1
3
4
1
3
+
=
−
=
zyx
.
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng (d).
b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (d).
2. Tính khoảng cách:
a) Từ điểm A(1; 0; 0) đến đường thẳng (d):
.
12
1
1
2 zyx
=
−
=
−
b) Từ điểm M(2; 3; 1) đến đường thẳng

.
2
1
2
1
1
2
−
+
=
−
=
+ zyx
c) Từ điểm M(1; -1; 1) đến đường thẳng
.
2
1
2
1
1
2
−
+
=
−
=
+ zyx
d) Từ điểm M(2; 3; -1) đến đường thẳng
0223
012

=+++
=−−+
zyx
zyx
.
e) Giữa hai đường thẳng chéo nhau: x = 2 + 2t, y = -1 + t, z = 1; x = 1, y = 1 + t, z = 3 - t.
f) Giữa hai đường thẳng chéo nhau:
104
0238
+−
=+−
zy
zx
;
022
032
=++
=−−
zy
zy
.
g) Giữa hai đường thẳng chéo nhau: x = 1, y = -4 + 2t, z = 3 + t; x = -3u, y = 3 + 2u, z = -2.
h) Giữa hai đường thẳng song song: x = 3 + 2t, y = 4 + 3t, z = 2 + t; x = 4 + 4t, y = 5 + 6t, z = 3 + 2t.
i) Giữa đường thẳng x = 1 - 2t, y = t, z = 2 + 2t và mặt phẳng x + z + 8 = 0
j) Giữa hai đường thẳng
13
2
4
9 zyx
=

−
+
=
−
và
2
2
9
7
2
−
=
+
=
−
zyx
.
3. Chứng minh hai đường thẳng sau song song và tìm khoảng cách giữa chúng:
)(
1
∆
:
022
01022
=−−−
=−−+
zyx
zyx
;
)(

2
∆
:
4
9
1
5
3
7 −
=
−
−
=
+ zyx
.
VI. Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Góc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) có vectơ chỉ phương
);;( cbau =
và
)';';'(' cbau =
.
222222
'''.
'''
cos
cbacba
ccbbaa
++++
++

=
ϕ

).900(
oo
≤≤
ϕ
Đặc biệt:
.0''')'()( =++⇔⊥ ccbbaadd
2. Góc giữa đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương
);;( cbau =
và mp
)(
α
có vectơ pháp
).;;( CBAn =
222222
.
sin
cbaCBA
CcBbAa
++++
++
=
ϕ

).900(
oo
≤≤
ϕ

Đặc biệt:
)//()(
α
d
hoặc
)()(
α
⊂d
.0=++⇔ CcBbAa
B. Bài tập
1. Tính góc hợp bởi các cặp đường thẳng sau:
a) x = 9t, y = 5t, z = -3 + t;
032
09332
=++−
=−−−
zyx
zyx
.
2K2+ - 18 -
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!
b)
01737
022
=−+−
=+−
zyx
zx
; x = 2 + 3t, y = -1, z = 4 - t.
c)

1
2
1
1
2
3 −
=
−
=
+ zyx
và các trục toạ độ.
d) x = 1 + 2t, y = -1 + t, z = 3 + 4t; x = 2 - t, y = -1 + 3t, z = 4 + 2t.
e)
4
2
1
2
3
1 +
=
+
=
− zyx
;
0232
012
=−+
=−−+
zx
zyx

.
f)
0
0132
=++
=−+−
zyx
zyx
;
012
04
=++−
=−+−
zyx
zyx
.
g)
052
042
=+−+
=−+−
zyx
zyx
;
02
093
=+
=−−
zy
zx

.
h) x = 3 + t, y = -2 -t, z = 1+
t2
;
052
05
=−−
=−−
zx
yx
.
i)
0723
0432
=+−+
=−+−
zyx
zyx
;
0734
032
=++−
=+−+
zyx
zyx
j)
2
4
1
2

2
1 −
=
−
+
=
− zyx
;
2
4
6
3
3
2
−
+
=
−
=
+ zyx
.
2. Tính góc hợp bởi đường thẳng và mặt phẳng sau:
a)
3
3
2
1
1
1 +
=

−
−
=
− zyx
; 2x - y - 2z - 10 = 0.
b) x = 2 + t, y = 1 - t
2
; x + y
2
-z - 5 = 0.
c)
0273
0724
=−+
=+−+
zyx
zyx
; 3x + y - z + 1 = 0.
d)
0532
032
=++−
=+−+
zyx
zyx
; 3x - 4y + 2z - 5 = 0.
e) x = 1, y = 2 + t
4
5
, z = 3 + t; x

4
5
+ z + 4 = 0.
3. Cho mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 3 = 0 và ba đường thẳng:
(d
1
):
0732
073
=+−
=−−
zx
yx
(d
2
):
0103
01
=−−
=+−
zy
yx
(d
3
):
2
3
2
1
1

1
−
−
=
−
=
+ zyx
a) Tìm góc giữa ba cặp đường thẳng.
b) Tìm góc giữa ba đường thẳng và mặt phẳng (P).
c) Tìm giao điểm của (d
3
) và (P).
4. Chứng minh hai đường thẳng sau vuông góc với nhau:
03457
01527
=++
=−−
zy
zx
01143
07
=−−
=−−−
yx
zyx
5. Tìm m để góc giữa hai đt sau đây bằng 60
o
: x=-1+ t, y= -t
2
, z = 2 + t; x=2+ t, y=1+t

2
, z=2+ mt.
VII. Hình chiếu của điểm lên đường thẳng, điểm đối xứng qua đường thẳng.
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Hình chiếu H(x; y; z) của điểm
);;(
MMM
zyxM
lên đt (d) qua
);;(
0000
zyxM
và có vtcp
).;;( cbau =
Vậy
ctzz
btyy
atxx
+=
+=
+=
0
0
0

→

⇔⊥ uMH
0)()()(
000

=−++−++−+
MMM
zzctcyybtbxxata
→
Giải ra ta được
222
000
)()()(
cba
zzcyybxxa
t
MMM
++
−+−+−
=
2. Điểm đối xứng M’(x; y; z) với
);;(
MMM
zyxM
qua đt (d) qua
);;(
0000
zyxM
và có vtcp
).;;( cbau =
- Tìm H là hình chiếu của M lên đường thẳng (d).
2K2+ - 19 -
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!
- Áp dụng công thức trung điểm tìm (x; y; z).
Cách khác: Toạ độ trung điểm MM’ là

)
2
;
2
;
2
(
MMM
zzyyxx
H
+++
nằm trên đường thẳng (d). Ta có:
0)()()( ;
2
zz
2
;
2
0
M
00
=−+−+−+=
+
+=
+
+=
+
MMM
MM
zzcyybxxactz

bty
yy
atx
xx
B. Bài tập
1. Tìm A’ đối xứng với A qua (d) với:
a) A(1; 2; -1) và đường thẳng (d):
32
1
1
2 zyx
=
−
=
−
−
.
b) A(2; 1; -3) và đường thẳng (d):
052
02
=−−+
=−−
zyx
zyx
c) A(2; 1; -3) và đường thẳng (d): x = 2t, y = 1 - t, z = -1 + 2t.
d) A(2; 1; -3) và đường thẳng (d):
1
3
2
2

1
1
−
+
=
−
=
− zyx
.
e) A(2; -1; 3) và đường thẳng (d):
.
2
2
5
7
3
−
=
+
=
zyx
f) A(4; -3; 2) và đường thẳng (d):
12
2
3
2
−
=
+
=

+ zyx
.
g) A(2; -1; 1) và đường thẳng (d):
022
04
=+−−
=−+
zyx
zy
h) A(3; -1; 2) và đường thẳng (d):
017322
0322
=−−−
=−−−
zyx
zyx
2. Cho đường thẳng (d): x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3t và mặt phẳng (P): 2x - y - 2z + 1 = 0.
a) Tìm toạ độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến (P) bằng 1.
b) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2; -1; 3) qua đường thẳng (d). Hãy xác định toạ độ điểm K.
3. Cho M(1; 2; -1) và đt (d):
2
2
2
2
3
3 −
=
−
−
=

+ zyx
. N là điểm đối xứng của M qua (d). Tính MN.
4. Cho (d
1
):
01
012
=−+−
=++
zyx
yx
và (d
2
): x = t, y = 1 + 2t, z = 4 + 5t. B và C lần lượt là điểm đối xứng của
A(1; 0; 0) qua (d
1
) và (d
2
). Tính diện tích tam giác ABC.
VIII. Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
A. Kiến thức cần nhớ
Hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P):
- Tìm mặt phẳng (Q) đi qua (d) và vuông góc với mặt phẳng (P).
- Hình chiếu chính là giao điểm của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q).
B. Bài tập
1. Tìm phương trình hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) với:
a) (d):
1
1
4

2
3
2 −
=
+
=
− zyx
; (P): x + 2y + 3z + 4 = 0.
b) (d):
022
05245
=−+
=−−−
zx
zyx
; (P): 2x - y + z - 1 = 0.
c) (d):
022
01
=−+
=−−−
zx
zyx
; (P): x + 2y -z - 1 = 0.
d) (d):
12
2
1
1
−

=
−
−
=
− zyx
; (P): 2x - y - 3z + 5 = 0.
2. Trong không gian cho đường thẳng (d) có phương trình:
01
0
=−−+
=−+−
mzymx
mzmyx
.
2K2+ - 20 -
CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!
a) Viết phương trình hình chiếu (d’) của (d) lên mp(Oxy).
b) Chứng minh khi m thay đổi, (d’) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
IX. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
A. Lý thuyết cần nhớ
Viết phương trình đường vuông góc chung (d) của hai đường thẳng chéo nhau (d1) và (d2):
- Viết phương trình mặt phẳng (P) qua (d2) và song song với (d1).
- Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua (d1) và vuông góc với (P).
- Đường vuông góc chung chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
B. Bài tập
1. Chứng tỏ rằng các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau, tìm đường vuông góc chung của chúng.
a) x = 1 - 2t, y = 3 + t, z = -2 - 3t; x = 2t, y = 1 + t, z = 3 - 2t.
b)
012
05

=+−
=+−+
yx
zyx
; x = 1 + t, y = -2 + t, z = 3 - t.
c)
012
053
=−−
=−+
zy
yx
;
02
02
=+
=−−
zx
zyx
d) x = 1 + 2t, y = 2 - 2t, z = -t; x = 2t, y = 5 - 3t, z = 4.
e)
22
1
3
2 zyx
=
−
+
=
−

;
4
1
2
1
1
+
=
−
=
zyx
f)
063
05
=+−
=−−−
yx
zyx
;
04524
052
=−+−
=−−
zyx
zy
g)
1
9
2
3

1
7
−
−
=
−
=
− zyx
;
3
1
2
1
7
3 −
=
−
=
−
− zyx
» «
+> Cám ơn bạn đã tải và sử dụng Ebook, Đề thi, Đề Kiểm tra miễn phí từ CtnSharing.Com
+> CtnSharing.Com, trang tải Ebook, Đề thi, Đề Kiểm tra Update liên tục trong ngày
» «
InFo
» «
Admin
Họ và tên: Nguyễn Lê Hoàng
Yahoo:
Bir: 24/04/1992

Địa Chỉ: Toán K19 – Chuyên Thái Nguyên
Phone: 01694614654
Email:
» «
wWw.CtnSharing.Com
» «
2K2+ - 21 -