Tuyển tập dạng bài thi ĐH hình học giải tích 12

G
I
Phương pháp toạ độ trong không gian NXT - FIT
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Phần 1: Hệ toạ độ trong không gian
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Diện tích của hình bình hành ABCD
[ ]
ADABS ,
=
2. Diện tích tam giác ABD
[ ]
ADABS ,
2
1
=
3. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ 3’. Thể tích tứ diện ABCD.
[ ]
'A., AADABV
=
[ ]
'A.,
6
1
AADABV
=
4. Một số tính chất của tích vô hướng và tích có hướng
0.
=⇔⊥
vuvu
vu vµ

cùng phương
[ ]
0,
=⇔
vu
w vµ vu,
đồng phẳng
[ ]
0.,
=⇔
wvu
5. Toạ độ trọng tâm của tam giác và trung điểm của đoạn thẳng



B. Bài tập
1. Cho ba vectơ
)2;7;1();1;2;0();3;5;2(
=−=−=
cba
. Tìm toạ độ các vectơ sau đây:
cbad 3
3
1
4
+−=
và
cbae 24
−−=
2. Tìm toạ độ của vectơ x biết rằng

a)
0
=+
xa
và
)1;2;1(
−=
a
b)
axa 4
=+
và
)1;2;0(
−=
a
c)
bxa
=+
2
và
)1;4;5(
−=
a
;
)3;5;2(
−=
b
3. a) Cho 3 điểm không thẳng hàng:
);;(
AAA

zyxA
;
);;(
BBB
zyxB
;
);;(
CCC
zyxC
. Tìm toạ độ
trọng tâm của tam giác ABC.
b) Cho 4 điểm không đồng phẳng
);;(
AAA
zyxA
;
);;(
BBB
zyxB
;
);;(
CCC
zyxC
;
);;(
DDD
zyxD
.
Tìm toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD.
4. Cho điểm M có toạ độ (x; y; z). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M:

a) Trên các mặt phẳng Oxy, Oxz, Oyz. b) Trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz.
c) Tìm toạ độ của điểm đối xứng với điểm M qua gốc toạ độ O (M
1
), qua trục Ox (M
2
), qua trục Oy
(M
3
), qua trục Oz (M
4
), qua mặt phẳng Oxy(M
5
), qua mặt phẳng Oxz(M
6
), qua mặt phẳng Oyz (M
7
).
5. Trong hai bộ ba điểm sau, bộ ba điểm nào thẳng hàng:
)1;3;1(A
;
)2;1;0(B
;
)1;0;0(C
và
)1;1;1('A
;
)1;3;4('
−
B
;

)1;5;9(
−
C
6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết:
)1;0;1(A
;
)2;1;2(B
;
)1;1;1(
−
D
;
)5;5;4('
−
C
. Tìm
toạ độ các đỉnh còn lại. Tương tự nếu
);;(
111
zyxA
;
);;(
333
zyxC
;
);;('
'
2
'
2

'
2
zyxB
;
);;('
'
4
'
4
'
4
zyxD
.
7. Cho bốn điểm
)1;2;5(
−
A
;
)4;3;1(
−
B
;
)3;1;2(
−
C
;
)2;6;2(
−
D
.

a) Chứng minh ABCD là hình bình hành. b) Tính AB, AD và diện tích hình bình hành ABCD.
8. Cho 3 điểm:
)2;1;1(
−
A
;
)2;6;5(
−
B
;
)1;3;1(
−
C
.
a) Tính AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC.
b) Tìm toạ độ trung điểm của AB, BC, CA và toạ độ trọng tâm tam giác ABC.
9. Cho tam giác ABC với
)1;2;0(
−
A
;
)2;2;3(B
;
)2;1;4(
−
C
.
a) Tính AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC.
b) Tìm toạ độ trung điểm của AB, BC, CA và toạ độ trọng tâm tam giác ABC.
c) Tìm chân D của đường phân giác trong AD của góc A.

10. Cho ba vectơ:
)1;1;1(
−=
a
;
)1;0;4(
−=
b
;
)1;2;3(
−=
c
. Tìm:
2K2+ - 1 -
A
B
C
D
u
v
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
A(x
A

, y
A
, z
A
)
B
C
I
G
3
CBA
G
xxx
x
++
=
3
CBA
G
zzz
z
++
=
3
CBA
G
yyy
y
++
=

2
BA
I
xx
x
+
=
2
BA
I
yy
y
+
=
2
BA
I
zz
z
+
=
Phương pháp toạ độ trong không gian NXT - FIT
a) (
a
.
b
).
c
b)
2

a
.(
b
.
c
) c)
2
a
.
b
+
2
b
.
c
+
2
c
.
a
d) 3
a
-2(
a
.
b
).
b
+
2

c
.
b
e) 4
a
.
c
+
2
b
-5
c
11. Tìm góc giữa hai vectơ sau:
a)
)1;3;4(
=
a
;
)3;2;1(
−=
b
b)
)4;5;2(
=
a
;
)3;0;6(
=
b
c)

)1;1;1(
−=
a
;
)3;1;0(
=
b
12. a) Trên trục Oy, tìm điểm cách đều hai điểm:
)0;1;3(A
;
)1;4;2(
−
B
.
b) Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách đều ba điểm:
)1;1;1(A
;
)0;1;1(
−
B
;
)1;1;3(
−
C
.
13. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ sau:
a)
)1;1;1(
−=
a

;
)2;1;0(
=
b
;
)3;2;4(
=
c
. b)
)4;3;4(
=
a
;
)2;1;2(
−=
b
;
)1;2;1(
=
c
.
c)
)5;2;4(
=
a
;
)3;1;3(
=
b
;

)1;0;2(
=
c
. d)
)2;1;3(
−−=
a
;
)1;1;1(
=
b
;
)1;2;2(
−=
c
.
e)
))1)(1(,1,(
22
++−+=
cbbccbp
;
))1)(1(,1,(
22
++−+=
accaacq
;
))1)(1(,1,(
22
++−+=

baabbar
14. Cho 3 điểm
)0;0;1(A
;
)1;0;0(B
;
)1;1;2(C
a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác (Chứng minh A, B, C không thẳng hàng).
b) Tính chu vi và diện tích tam giác.
c) Tìm toạ độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
d) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A.
e) Tính các góc của tam giác ABC.
f) Tìm tọa độ chân D
1
đường phân giác trong AD
1
và chân D
2
đường phân giác ngoài AD
2
của
.ABC
∆
15. Cho bốn điểm:
)0;0;1(A
;
)0;1;0(B
;
)1;0;0(C
;

)1;1;2(
−−
D
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tính góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện ABCD.
c) Tính thể tích tứ diện và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
16. Cho tam giác ABC biết:
)3;1;2(
−
A
;
)1;0;4(B
;
)3;5;10(
−
C
. Tìm độ dài các đường phân
giác trong.
17. Chứng minh các tính chất của tích có hướng của hai vectơ sau:
a)
[ ] [ ]
abba ,,
−=
b)
[ ] [ ] [ ]
.,,,, Rbababa
∈==
λλλλ
c)
[ ] [ ] [ ]

bcacbac ,,,
+=+
18. Cho tam giác ABC với:
)2;1;1(
−
A
;
)3;0;1(
−
B
;
)1;2;0(C
a) Tính chu vi và diện tích tam giác.
b) Tìm toạ độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
c) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A.
d) Tính các góc của tam giác ABC.
e) Tìm tọa độ chân D
1
đường phân giác trong AD
1
và chân D
2
đường phân giác ngoài AD
2
của
.ABC
∆
19. Cho bốn điểm:
)1;3;2(A
;

)2;1;4(
−
B
;
)7;3;6(C
;
)8;4;5(
−−
D
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện (Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng).
b) Tính góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện ABCD.
c) Tính thể tích tứ diện và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
d) Tìm toạ độ tâm hình tứ diện ABCD.
e) Tìm tọa độ của điểm I cách đều bốn điểm A, B, C, D.
f) Tìm toạ độ hình chiếu K của D lên mặt phẳng (ABC).
20. Cho ba điểm:
)1;2;1(A
;
)4;3;5(B
;
)2;3;8(
−
C
.
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông.
b) Tìm toạ độ chân của đường phân giác trong của tam giác xuất phát từ B.
c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
21. Cho bốn điểm:
)1;1;1(
−

A
;
)2;1;3(
−
B
;
)4;2;1(
−
C
;
)9;6;5(
−
D
a) Chứng tỏ D nằm ngoài mặt phẳng (ABC).
b) Tìm toạ độ trọng tâm của tứ diện ABCD.
c) Tính diện tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A.
22. Cho bốn điểm:
)2;7;5(
−
A
;
)1;1;3(
−
B
;
)4;4;9(
−
C
;
)0;5;1(D

a) Chứng minh A, B, C, D nằm trên cùng mặt phẳng.
2K2+ - 2 -
Phương pháp toạ độ trong không gian NXT - FIT
b) Tìm toạ độ giao điểm I của AC và BD.
23. Cho tam giác CDE với:
)1;4;0(
−
C
;
)3;1;1(
−−
D
;
)3;2;1(
−
E
. Tính độ dài đường trung
tuyến, đường cao, đường phân giác xuất phát từ đỉnh E của tam giác.
24. Cho tứ bốn điểm
)1,2,1(
−
P
;
)1,4,2(A
;
)1,0,1(
−
B
;
)2,4,1(

−
C
. Tìm toạ độ hình chiếu vuông
góc H của P lên mặt phẳng ABC.
25. Cho bốn điểm:
)4,2,3(
−
A
;
)2,5,2(
−
B
;
)2,2,1(
−
C
;
)3,2,4(D
a) Tính cosin của góc tạo bởi
AB
và
CD
.
b) Tính diện tích tam giác BCD.
c) Tính độ dài đường cao của hình tứ diện ABCD xuất phát từ đỉnh A.
Phần 2: Phương trình mặt cầu.
A. Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình mặt cầu tâm
);;(
000

zyxI
, bán kính R:
Dạng chính tắc:
22
0
2
0
2
0
)()()( Rzzyyxx
=−+−+−
Dạng khai triển:
0222
222
=++++++
dczbyaxzyx
(Với
0
222
>−++
dcba
)
- Tâm:
);;( cbaI
−−−
- Bán kính:
dcbaR
−++=
222
2. Một mặt phẳng (P) cắt mặt cầu bởi thiết diện là một đường tròn C tâm I’, bán kính r: C(I’,r)

- d là khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng P:
)).(,( PId
- Tâm I’ là giao điểm của đường thẳng (d) (qua tâm I của mặt cầu và vuông góc với mặt phẳng (P)) và
mặt phẳng (P).
- Bán kính:
22
dRr
−=
* Nếu (P) đi qua tâm I của mặt cầu thì: I
≡
I’ và R=r.
3. Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(I, R):
222
))(,(
CBA
CcBbAa
PId
++
++
=
B. Bài tập: Phương trình mặt cầu
1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a)
0128
222
=++−++
yxzyx
b)
04284
222

=−−++++
zyxzyx
b)
021536333
222
=−+−+++
zyxzyx
c)
086246
222
=−−+−++
zyxzyx
e)
0246412
222
=+−+−++
zyxzyx
f)
07212126
222
=++−−++
zyxzyx
g)
04248
222
=−++−++
zyxzyx
h)
043
222

=+−++
yxzyx
i)
076
222
=−−++
zzyx
j)
0442
222
=+−−++
zyxzyx
2. Viết phương trình của mặt cầu đường kính AB với A, B có toạ độ:
a)
)1,3,1(
−−
A
;
)5,1,3(
−
B
. b)
)5,2,6(
−
A
;
)7;0;4(
−
B
.

3. Cho hai mặt cầu:
064:)(
222
1
=−++
zyxS
và
07212126:)(
222
2
=++−−++
zyxzyxS
.
Chứng minh rằng (S1) và (S2) cắt nhau theo một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của nó.
4. Cho bốn điểm
)0;1;0(A
;
)1,3,2(B
;
)2,2,2(
−
C
;
)2,1,1(
−
D
a) Chứng minh rằng ABCD là tứ diện có ba mặt vuông tại A.
b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
5. Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCO với
)0;0;(aA

;
)0,,0( bB
;
),0,0( cC
;
)0;0;0(O
.
6. Cho
)4;1;3(
−−
S
;
)0;1;3(
−
A
;
)0;3;1(B
;
)0;1;3(
−
C
;
)0;3;1(
−−
D
.
a) Chứng minh rằng ABCD là hình vuông và SA là đường cao của hình chóp S.ABCD.
b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.
7. Cho hai mặt cầu
09:)(

222
1
=−++
zyxS
và
07212126:)(
222
2
=++−−++
zyxzyxS
. Tìm phương
trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường nối tâm của 2 mặt cầu trên, tiếp xúc với hai mặt cầu trên và có
bán kính lớn nhất.
Mặt cầu đi qua các điểm
8. Viết phương trình mặt cầu nếu biết:
a) Tâm I(1; -3; 5), bán kính
3
=
R
.
2K2+ - 3 -
5x - 4y + 3z + 20 = 0
3x - 4y + z - 8 = 0
2x + 4y -z - 7 = 0
4x +5y +z - 8 = 0
Phương pháp toạ độ trong không gian NXT - FIT
b) Tâm I(5; -3; 7). bán kính R = 2.
c) Tâm I(3; -2; 1) và qua điểm A(2; 1; -3).
d) Tâm I(4; -4; -2) và đi qua gốc toạ độ.
e) Tâm I(4; -1; 2) và qua điểm A(1; -2; -4)

f) Hai đầu đường kính là A(4; -3; -3) và B(2; 1; 5).
g) Hai đầu đường kính là A(2; -3; 5) và B(4; 1; -3).
h) Nhận AB làm đường kính với A(6; 2; -5) và B(-4; 0; 7).
i) Đi qua bốn điểm: A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2).
j) Đi qua bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0).
k) Qua ba điểm: A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz).
9. Cho các điểm: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) trong đó a, b, c là các hằng số dương.
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác nhọn.
b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
c) Tìm toạ độ O’ đối xứng với O qua mặt phẳng (ABC).
10. Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng (d):
tại hai điểm A, B sao cho AB = 16.
11. Cho các điểm: A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4).
a) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Viết phương trình tham số của đường thẳng qua I và vuông góc
với mặt phẳng (ABC).
Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
12. Xét vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng sau:
a)
05426
222
=+++−++
zyxzyx
, x + 2y + z -1 = 0.
b)
010226
222
=+−+−++
zyxzyx
, x + 2y + 2z = 0.

c)
04284
222
=−−++++
zyxzyx
, x + y -z - 10 = 0.
d)
0221626
222
=+−+−++
zyxzyx
, z - 3 = 0.
e)
014624
222
=+−−+++
zyxzyx
, y - 1 = 0.
f)
04242
222
=−−+−++
zyxzyx
, x- 5 = 0.
g)
02042
222
=−−−++
yxzyx
, x + 2y - z - 8 = 0.

h)
032
222
=−−++
zzyx
, x - 2y - z + 5 = 0.
i)
082
222
=−−++
xzyx
, x - 2y - 3 = 0.
j)
4)1(
222
=++−
zyx
, x - 2 = 0.
k)
0242
222
=−−−−++
mzyxzyx
, 2x - 4y - 2z + 5 = 0.
l)
4)2()1(
222
=−++−
zyx
, 2x + y - z + m = 0.

m)
024
222
=−−+++
mzxzyx
, x + y - z - 4 = 0.
13. Cho điểm D(-3; 1; 2) và mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8).
a) Viết phương trình đường thẳng AC.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P).
c) Viết phương trình mặt cầu tâm D bán kính R = 5. Chứng minh rằng mặt cầu này cắt AC.
d) Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu tâm D bán kính R khi R thay đổi.
Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
14. Viết phương trình mặt cầu:
a) Tâm I(3; -5; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng 2x - y -3z + 1 = 0.
b) Tâm I(1; 4; 7) và tiếp xúc với mặt phẳng 6x +6y -7z +42 = 0.
c) Tâm I(1; 1; 2) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y + 2z + 3 = 0.
d) Tâm I(-2; 1; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng: x + 2y - 2z + 5 = 0.
e) Bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng x + 2y + 2z + 3 = 0 tại điểm M(1; 1; -3).
f) Tiếp xúc với các mp: 6x -3y -2z -35 = 0, 6x -3y -2z+63 = 0 và với 1 trong 2 mp ấy tại M(5; -1; -1).
g) Tâm I nằm trên (d): và tiếp xúc với 2 mp (P): x+2y-2z-2=0, (Q): x +2y-2z+4= 0.
h) Tâm I nằm trên (d): y = x - 4, z = 2x - 6 và tiếp xúc với 2 mặt phẳng Oxy và Oyz.
2K2+ - 4 -
2x - y - 1 = 0
z - 1 = 0
x - 2y - z - 1 = 0
x + y + 2 = 0
Phương pháp toạ độ trong không gian NXT - FIT
15. Cho 4 điểm: A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). Tìm toạ độ tiếp điểm.

16. Cho 4 điểm A(-2; 0; 1), B(0; 10; 3), C(2; 0; -1) và D(5; 3; -1).
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C.
b) Viết phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với mp(P).
c) Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với mp(P).
17. Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + 6z - 18 = 0 cắt Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C. Viết phương trình mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện OABC.
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (tiếp diện)
18. Viết phương trình mặt phẳng:
a) Tiếp xúc với mặt cầu:
24)2()1()3(
222
=++−+−
zyx
tại điểm M(-1; 3; 0).
b) Tiếp xúc với mặt cầu:
05426
222
=++−−++
zyxzyx
tại M(4; 3; 0).
c) Tiếp xúc với mặt cầu:
49)2()3()1(
222
=−+++−
zyx
tại M(7; -1; 5).
d) Tiếp xúc với mặt cầu:
2222
)()()( Rczbyax
=−+−+−

và song song với mp: Ax+By+Cz+D=0.
e) Tiếp xúc với mặt cầu:
022222
222
=−−−−++
zyxzyx
và song song với mp: 3x-2y+6z+14=0.
f) Tiếp xúc với mặt cầu:
011246
222
=−++−++
zyxzyx
và song song với mp: 4x +3z -17 = 0.
g) Tiếp xúc với mặt cầu:
0442
222
=+−−++
zyxzyx
và song song với mp: x +2y +2z +5 = 0.
h) Chứa đường thẳng: x=4t+4, y=3t+1, z=t+1 và tiếp xúc với mc:
.08262
222
=+++−++
zyxzyx
i) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp ABCD tại A với A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0).
j) Tiếp xúc với mặt cầu:
011326210
222
=−++−++
zyxzyx

và song song với 2 đường thẳng:
2
13
3
1
2
5
+
=
−
−
=
+
zyx
;
0
8
2
1
3
7
−
=
−
+
=
+
zyx
.
k) Chứa đường thẳng (d): và tx với mc:

015262
222
=−+−+++
zyxzyx
.
l) Tiếp xúc với mặt cầu
05642
222
=++−−++
zyxzyx
và vuông góc với đường thẳng (d):
19. Với giá trị nào của a thì mặt phẳng x +y +z +a = 0 tiếp xúc với mặt cầu
12
222
=++
zyx
. Xác định
tiếp điểm.
20. Cho mặt cầu (S):
26)1()2(
222
=+−++
zyx
và đường thẳng (d): x = 1, y = 2 -5t, z = -4 +5t.
a) Tìm giao điểm A, B của đường thẳng và mặt cầu. Tính khoảng cách từ tâm (S) đến (d).
b) Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại A, B.
21. Cho mặt cầu (S):
05642
222
=+−−+++

zyxzyx
. Viết phương trình tiếp diện của (S):
a) Đi qua T(1; 1; 1).
b) Đi qua đường thẳng:
c) Đi qua đường thẳng:
34
1
1
zyx
=
−
−
=
.
d) Vuông góc với đường thẳng:
2
2
1
1
2
3
−
−
=
+
=
−
zyx
.
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

22.Cho mặt cầu (S):
02642
222
=−+−−++
zyxzyx
. Xét vị trí tương đối của (S) với (d):
a) (d): (x = 1 - 2t; y = 2 + t; z = t + 3). b) (d): (x = 1 - t; y = 2 - t; z = 4).
c) (d):
0
3
2
2
2
1
−
=
−
−
=
−
zyx
.
23. Tìm vị trí tương đối của đường thẳng (d) với mỗi mặt cầu (S) sau:
a) (S):
01422
222
=−+−++
yxzyx
b) (S):
081024

222
=−−−+++
zyxzyx
2K2+ - 5 -
x - 2y - z + m = 0
x + y + 2 = 0
2x + y - z - 1 = 0
x - 2z - 3 = 0
x - 2y - 3 = 0
2x + z - 1 = 0
x - 2y + 3z - 2 = 0
x + y - z = 0
x - 2y - 1=0
z - 1 = 0
Phương pháp toạ độ trong không gian NXT - FIT
c) (S):
25)1()2()1(
222
=−+−+−
zyx
24. Tuỳ theo m, xét vị trí tương đối của (d): với mặt cầu (S):
8)1()2()1(
222
=++−+−
zyx
25. Tìm vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng sau:
a)
0142
222
=++−++

zxzyx
,
1
2
1
1
2
−
−
=
−
=
zyx
.
b)
16)2()1(
222
=+−+−
zyx
,
c)
02242
222
=−+−−++
zyxzyx
, (x = -2 - t; y = t; z = 3 - t).
d)
0142
222
=++−++

zxzyx
, (x = 1 - t; y = m + t; z = 2 + t).
e)
0422
222
=++−+++
mzyxzyx
,
Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (tiếp tuyến)
26. Cho mặt cầu (S), tâm I(2; 1; 3), bán kính R = 3.
a) Chứng minh rằng T(0, 0, 5) nằm trên mặt cầu (S).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (S) tại T, biết rằng tiếp tuyến đó:
- có vectơ chỉ phương là:
).2;2;1(
=
a
- vuông góc với mặt phẳng:
.03223:)(
=++−
zyx
α
- Song song với đường thẳng (d’):
27) Cho mặt cầu (S):
03242
222
=−+−−++
zyxzyx
. Viết phương trình tiếp tuyến của (S):
a) Có vectơ chỉ phương
)1;1;4(

=
a
và đi qua A(-4; 3; m).
b) Đi qua A(-2; 1; 3) và B(-4; -2; n).
28. Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; -1) tiếp xúc với đường thẳng:
a) x = 1 - t; y = 2; z = 2t.
b)
3
2
12
1
−
=
−
=
−
zyx
c)
Vị trí tương đối của hai mặt cầu
29. Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu (S
1
) và (S
2
) sau:
a)
0142
222
=++−++
zxzyx
,

05462
222
=+−−−++
zyxzyx
b)
02642
222
=−+−−++
zyxzyx
,
02222
222
=+−+−++
zyxzyx
c)
02622
222
=−+−−++
zyxzyx
,
04622
222
=−+−−++
zyxzyx
d)
01422
222
=−+−++
yxzyx
,

010226
222
=+−−−++
zyxzyx
e)
081024
222
=−−−+++
zyxzyx
,
0662
222
=−−−++
zyzyx
f)
015262
222
=−+−+++
zyxzyx
,
0222
222
=−−−++
yxzyx
Đường tròn trong không gian
Phương trình:
0
)()()(
2222
=+++

=−+−+−
DCzByAx
Rczbyax
hoặc
2222
2222
')'()'()'(
)()()(
Rczbyax
Rczbyax
=−+−+−
=−+−+−
Điều kiện: (Aa + Bb + Cc)
2
< R
2
(A
2
+ B
2
+ C
2
) hay (R- R’)
2
<(a- a’)
2
+ (b- b’)
2
+ (c- c’)
2

< (R+ R’)
2
30. Tìm tâm và bán kính các đường tròn sau:
a)
093
16)1()7()4(
222
=−−+
=++−+−
zyx
zyx
b)
014623
022)(2
222
=++−
=−++−++
zyx
zyxzyx
c)
0122
010226
222
=+−+
=+−+−++
zyx
zyxzyx
d)
0122
0246412

222
=+++
=+−+−++
zyx
zyxzyx
e)
0122
5)3()3()2(
222
=++−
=++++−
zyx
zyx
f)
0122
010226
222
=+−−
=+−+−++
zyx
zyxzyx
g)
0922
086246
222
=+−−
=−−+−++
zyx
zyxzyx
h)

0922
100)11()2()3(
222
=+−−
=−+++−
zyx
zyx
2K2+ - 6 -
Phương pháp toạ độ trong không gian NXT - FIT
31. Cho ba điểm A(2; 4; 1), B(-1; 4; 0), C(0; 0; -3).
a)Định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ đó viết phương trình đường tròn.
b)Cho (d): x = 2 - 5t, y = 4 + 2t, z = 1. Chứng minh (d) cắt đường tròn đã cho tại 2 điểm. Tìm toạ độ.
32.Cho đường tròn (C) có phương trình:

0422
49)2()2()1(
222
=+−+
=++−+−
zyx
zyx
. Viết phương trình mặt cầu chứa (C) và đi qua gốc O.
33. Cho đường tròn (C) và đường thẳng (d) có phương trình là:
(d):
zy
x
=
=
0
(C):

0
02
22
=
=−+
z
Rxyx
Tìm phương trình đường thẳng (d) tựa trên (C), cắt (d) và vuông góc với (d).
34.Cho đường tròn (C) xác định bởi:
(C):
0122
017664
222
=++−
=+++−++
zyx
zyxzyx
a) Tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn (C).
b) Lập phương trình mặt cầu chứa đường tròn (C) và có tâm thuộc mặt phẳng x + y + z + 3 = 0.
Phần 3: Phương trình mặt phẳng
I. Phương trình mặt phẳng
A. Kiến thức cần nhớ
a) Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 với
0C B A
222
≠++
,
);;( CBAn
=
là vtpt của mp.

b) Phương trình mặt phẳng đi qua
( )
000
;; zyxM
và có vectơ pháp tuyến
);;( CBAn
=
có dạng:
0)()()(
000
=−+−+−
zzCyyBxxA
c) Phương trình mp theo đoạn chắn, đi qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có dạng:
1
=++
c
z
b
y
a
x
d) Mặt phẳng đi qua
( )
000
;; zyxM
và có cặp vectơ chỉ phương
),,(
1
cbau
=

và
)',','(
2
cbau
=
thì
có vectơ pháp tuyến








=
''
;
''
;
'' b
b
a
a
a
a
c
c
c
c

b
b
n
và phương trình:
.0)(
''
)(
''
)(
''
000
=−+−+−
zz
b
b
a
a
yy
a
a
c
c
xx
c
c
b
b
e) Phương trình pháp dạng của mặt phẳng:
0
000

=+++
DzCyBxA
với
.1
2
0
2
0
2
0
=++ CBA
B. Bài tập
1. Mặt phẳng (P) có phương trình 3x - 5y+ z - 15 = 0
a) Tìm một vectơ pháp của mặt phẳng đó.
b) Tìm toạ độ giao điểm của mặt phẳng với các trục toạ độ.
2. Mặt phẳng (P) có phương trình 2x - 3y + 5z - 1 = 0.
a) Tìm toạ độ một vetcơ pháp của mặt phẳng đó.
b) Tìm toạ độ giao điểm của mặt phẳng với các trục toạ độ Ox, Oy, Oz.
3. Viết phương trình mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) và phương trình mặt phẳng đi qua M(2; -1; 3) và
lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ đó.
4. Viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua điểm M(3; 2; -5) và có vectơ pháp tuyến
)1;4;3(
−=
n
.
b) Đi qua M(1; -3; 7) và có vectơ pháp
)0;2;3(
=
n

.
c) Đi qua
);;(
0000
zyxM
và song song với các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
d) Đi qua M(1; 3; -2) và vuông góc với trục Oy.
e) Đi qua điểm M(1; 3; -2) và vuông góc với đường thẳng M
1
M
2
với M
1
(0; 2; -3) và M
2
(1; -4; 1).
f) Đi qua M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0.
g) Qua P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z - 1= 0.
h) Qua các hình chiếu của A(2; 3; 4) lên các trục toạ độ.
i) Qua M(2; -1; 2) song song với Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0.
j) Qua P(2; -1; 3), Q(3; 1; 2) và song song với vectơ
( )
4;1;3
−−=
a
.
k) Qua A(3; 4; -5) và song song với 2 vectơ
( )
1;1;3
−=

u
và
( )
1;2;1
−=
v
.
2K2+ - 7 -
000
000
114
OBOAOC
OBOAOC
+=
+=
Phương pháp toạ độ trong không gian NXT - FIT
l) Qua P(8; -3; 1), Q(4; 7; 2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 5y - 7z - 21 = 0.
m) Qua I(3; -1; 5) và vuông góc với MN, trong đó M(4; 2; -1), N(1 ; -2, 3).
n) Qua K(-1; -2; 5) đồng thời vuông góc với 2 mp (P
1
):x + 2y - 3z + 1 = 0 và (P
2
):2x - 3y + z + 1 = 0.
o) Qua A(-1; 1; 2) và vuông góc với BC, trong đó B(3; -1; 0), C(2; 1; 1).
p) Qua M(1; -2; 3) và song song với mặt phẳng x - 3y + 2z + 13 = 0.
q) Qua M(1; 0; -2) và vuông góc với 2mp (P
1
): 2x + y - z - 2 = 0 và (P
2
): x - y - z - 3 = 0.

r) Qua A(2; 1; 1), B(3; 2; 2) và vuông góc với mặt phẳng x + 2y - 5z - 3 = 0.
s) Qua A( 1; 0; 2), song song với
( )
1;3;2
=
a
và vuông góc với mặt phẳng 2x - y - 5z = 0.
t) Qua M(2; -1; 4) và cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại P, Q, R sao cho OR = 2OP = 2OQ.
u) Qua các hình chiếu vuông góc của M(2; 3; -5) lên các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
v) Qua AB và song song với CD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
w) Qua A(2; 0; 0), B(1; 2; 0), C(2; 1; -2).
x) Qua A(1; 2; 1), B(0; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng x - 2y + z + 3 = 0.
y) Chứa Oz và qua R(2; 1; 0).
z) Qua M(1; 0; 0), N(0; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng x + y - z = 0.
5. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng sau:
a) PQ với P(3; -1; -2), Q(-3; 1; 2). b) MN với M(1; 3; 2), N(-3; 5; 6).
c) EF với E(1; 2; -4), F(5; 4; 2). d) IJ với I(0; 0; 1), J(0; 0; -1).
e) M
1
M
2
với M
1
(2; 3; -4), M
2
(4; -1; 0). f) AB với A(-1; 2; 3), B(0; 3; -1).
6. Với mỗi tam giác sau, viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện.
a) Tam giác ABC với A(3; -5; 2), B(1; -2; 0), C(0; -3; 7) .
b) Tam giác MNP với M(-3; 5; 7), N(0; -1; 1), P(3; 1; -2).
7. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Với:

a) A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C(4; 5; 6). b) A(3; -1; 5), B(4; 2; -1), C(1 ; -2, 3).
c) A(-1; 1; 2), B(3; -1; 0), C(2; 1; 1). d) A(2; 1; 3), B(-1; -2; 4), C(4; 2; 1).
e) A(2; -3; 1), B(-2; 0; 5), C(3; 2; 0). f) A(2; -4; 0), B(5; 1; 7), C(-1; -1; -1).
g)A(1; -1; 2), B(-3; 0; 4), C(1; 1; 0). h) A( 5; 0; 0), B(0; -3; 0), C(0; 0; -5).
8.a) Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm M(-4; -9; 12), A(2; 0; 0) và cắt Oy, Oz lần lượt tại B
và C sao cho OB = 1 + OC (B, C không trùng với gốc O).
b) Tìm phương trình mp(Q) đi qua M và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A
0
, B
0
, C
0
sao cho:
9. Cho tứ diện ABCD với các đỉnh A(7; 9; 1), B(-2; -3; 2), C(1; 5; 5), D(-6; 2; 5). G là trọng tâm của tứ
diện, I là điểm cách đều 4 đỉnh của tứ diện. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm B, G, I.
10. Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; -2; 1), C(-4; 1; 1), D(1; 1; -3). Gọi I là điểm cách đều 4 đỉnh
của tứ diện, U, V, R lần lượt là những hình chiếu vuông góc của I lên các trục Ox, Oy, Oz. Tìm phương
trình của mặt phẳng (UVR).
11. Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Xác định toạ độ hình chiếu H của O lên mặt phẳng (ABC). Tính OH.
c) Tính diện tích S của tam giác ABC.
d) Giả sử a, b, c thay đổi nhưng thoả mãn
2222
kcba
=++
không đổi. Khi nào S đạt giác trị lớn nhất?
Chứng tỏ rằng khi đó OH cũng lớn nhất.
12. Cho tứ diện ABCD với A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
a) Viết phương trình các mặt của tứ diện.

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua CD và song song với AB.
13. Tìm phương trình của mp(P) biết phương trình pháp dạng của nó là:
02
000
=−++
zCyBxA
và A
0
,
B
0
, C
0
thoả mãn điều kiện:
.
841
000
CBA
==
−
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng - chùm của mặt phẳng.
A. Lý thuyết cần nhớ
2K2+ - 8 -