Bài tập đại số 11 kì II

TIET 1 GIỚI HẠN
Bài tập về giới hạn của dãy số :
* Bài 1 : Tìm các giới hạn sau:

1
) lim
) lim ( )
( 1)
) lim
1
) lim
2
n
a
n
b C C const
c
n
n
d
n
=
−
−
* Bài 2 : Chứng minh rằng dãy số (un) xác định bởi

1
1
2
4 3 ( 1)
n n

u
u u n
+
=



= + ≥


là có giới hạn.
* Bài 3 : Tìm các giới hạn
n
n
n
n cos
lim,
sin
lim
* Bài 4 : Tìm các giới hạn sau:

(
)
nnne
n
nn
d
nn
nn
c

n
n
b
kNk
n
a
k
−++
−
++
++−
−+
−
+
≥∈
22lim)
23
41
lim)
973
324
lim)
13
25
lim)
)2,(
1
lim)
2
2

2
2
*
* Bài 5 : Tính tổng

1 1 1
1
3 9 27
S = − + − +
* Bài 6 : Tìm các giới hạn sau:
(
)
2
3 3
2 1
) lim
3 2
) lim 2
n n
a
n
b n n
− +
−
+ −
ĐS: a)
1
lim 0
n
=

b)
limC C
=
c)
( 1)
lim 0
n
n
−
=
d)
1 1
lim
2 2
n
n
−
= −
* chứng minh dãy số tăng và bị
chặn trên (u
n
< 4, ∀n) bằng
phương pháp quy nạp.
ĐS:
0
cos
lim
sin
lim ==
n

n
n
n
HS suy nghĩ và giải
(
)
2
2
2
2
1 1 1 1
) lim lim .lim lim 0
2
5
5 2 5
) lim lim
1
3 1 3
3
4 2 3 4
) lim
3 7 9 3
1 4 5
) lim
3 2 3
) lim 2 2 1
k
a
n n n n
n

n
b
n
n
n n
c
n n
n n
d
n
e n n n
= =
+
+
= =
−
−
+ −
= = −
− + +
+ +
= = −
−
+ + − = =
HS suy nghĩ và giải
ĐS:
1 3
1
4
1

3
S
= =
 
− −
 
 
ĐS:
(
)
2
3 3
2 1
) lim
3 2
) lim 2 0
n n
a
n
b n n
− +
= = ∞
−
+ − = =
TIET 5 GIỚI HẠN
Bài tập tổng hợp :
* Tìm các giới hạn sau:

( )
( )

2
2
2
3
2
2
2
3
1. lim
2. lim ( )
3. lim *
4. lim 3 5
3 2
5. lim
4
3 2
6. lim
4
1 2
7. lim
3 3
x a
x a
k
x a
x
x
x
x
x

C C co nst
x k N
x
x x
x
x x
x
x
x
→
→
→
→
→−
→
→
=
∈
−
− +
−
− +
−
+ −
−
* Tìm các giới hạn sau:

( )
( )
323

75
lim
323
75
lim
323
75
lim
32113
762
lim
323
75
lim
2
23
2
3
23
2
2
24
2
23
2
23
++
+−
++
+−

++
+−
++
+−
++
+−
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
* Tìm các giới hạn sau:
)343828lim(
)403727lim(
)103626lim(
)123525lim(
)3424lim(
)3323lim(
)23224lim(
)131241lim(
432
432
432
432
10311

334
233
432
+++
+++
+++
+++
++
++
+++
+++
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
HS suy nghĩ và tính các giới hạn
đã cho. Đáp số:

( )
2
2
2
3
2
2
2

3
1. lim
2. lim
3. lim
4.lim 3 5 7
3 2 38
5. lim
4 5
3 2 1
6. lim
4 4
1 2 1
7. lim
2
3 3
x a
x a
k k
x a
x
x
x
x
x a
C C
x a
x
x x
x
x x

x
x
x
→
→
→
→
→−
→
→
=
=
=
− =−
− +
=
−
− +
=
−
+ −
=
−
HS suy nghĩ và tính các giới hạn
đã cho. Đáp số:
0
9
1
∞
∞

∞
HS suy nghĩ và tính các giới hạn
đã cho. Đáp số:
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
Ti ết 7 Hàm số liên tục
Bài tập về hàm số liên tục :
* Bài 1 :
Cho hàm số





=
≠
−
−
=
22
2
2
4
)(

2
xkhia
xkhi
x
x
xf
.
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm
x0 = 2,
biết rằng a = const.
* Bài 2 :
Cho hàm số
2
1 0
( )
0
x khi x
f x
x khi x

+ >
=

≤

.
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 = 0.
* Bài 3 :
Xét tính liên tục của hàm số:

( )
2 sin
( )
3
x tgx x
f x
x
− +
=
+
* Bài 4 :
Xét tính liên tục của hàm số:

2
2 1
( )
1 1
ax khi x
f x
x x khi x
+ ≥

=

− + <

.
• Xét tính liên tục của hàm số khi x < 1, x > 1.
• Xét tính liên tục của hàm số tại x = 1 (có
biện luận theo a).

* Bài 5 : Chứng minh rằng phương trình f(x) =
x4 -5x2 + 3 = 0 có ít nhất một nghiệm trên
khoảng (0; 1).
HS suy nghĩ và trình bày
cách giải
HS suy nghĩ và trình bày
cách giải
ĐS: Vậy hàm số đã cho
không liên tục tại điểm
x0 = 0.
HS suy nghĩ và trình bày lời
giải.
ĐS: hàm số liên tục trên tập
xác định
\ 3, ( )
2
D R k k Z
π
π
 
= − + ∈
 
 
.
HS suy nghĩ và giải theo sự
hướng dẫn của GV.
+ Khi x < 1 thì f(x) = ax + 2
là hàm số liên tục.
+ Khi x > 1 thì f(x) = x2- x
+1 là hàm số liên tục.

+ Tại x =1 ta có f(1) = a + 2.

1
1
lim ( ) 2
lim ( ) 1
x
x
f x a
f x
+
−
→
→
= +
=
- Nếu a = -1 thì hàm số
liên tục tại x = 1.
- Nếu a ≠ -1 thì hàm số
gián đoạn tại x = 1.
Kết luận:
TIET 2 Giới hạn của hàm số
Ví dụ 1.Tìm giới hạn sau:
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2
4
lim lim 4

2 2
x x
x x
x
x x
→− →−
+ −
−
= = −
+ +
Ví dụ 2. Tìm giới hạn sau:

2
3
1 3.3 1 5
lim
2 2 3 3
x
x
x
→
+ +
= =

Ví dụ 3. Tìm giới hạn sau:

( ) ( )
2
1 1
1 2

2
lim lim 1 2 3
1 1
x x
x x
x x
x x
→ →
− +
+ −
= = + =
− −
Luyện tập: Tìm giới hạn sau:

94
32
lim
36
6
lim
5
25
lim
2
4
lim
9
3
lim
2

2
3
2
6
2
5
2
2
2
3
−
+
−
−
+
−
−
−
−
+
−→
→
−→
→
−→
x
x
x
x
x

x
x
x
x
x
x
x
x
x
x


13152
1
lim
2414
12
lim
2110
3
lim
65
6
lim
23
2
lim
23
1
lim

2
1
2
12
2
3
2
6
2
2
2
1
++
+
++
+
++
+
−+
+
+−
−
++
+
−→
−→
−→
−→
→
−→

xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x

TIET 3 Giới hạn của hàm số
VD: Tính giới hạn:
a)
( )
3 3
2
2
lim 2 lim 1 .1
x x
x x x
x

→−∞ →−∞
 
− = − = −∞ = −∞
 ÷
 
b)
563
52
lim
2
2
++
++
+∞→
xx
xx
x
VD: Tính giới hạn:
a)
1
2 3 1
lim
1 0
x
x
x
−
→
− −
= =+∞

−
(vì x-1 < 0)
b)
1
2 3 1
lim
1 0
x
x
x
+
→
− −
= = −∞
−
(vì x-1 > 0)
c)
4
1
)2(lim
2
2
−
+
−
→
x
x
x
x

Luyện tập: Tìm giới hạn sau:
( )( )
2323
2
lim
2523
2
lim
23
72
lim
23
2
lim
23
1212
lim
5
25
lim
1
43
lim
23
2
lim
3
2
2
2

3
2
3
2
2
3
2
5
1
3
2
−+
−
−+
−
+
+
+
−
+
++
+
−
+
−
+
−
→
→
−→

−→
−→
−→
−→
−→
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Tiết 4 Giới hạn của hàm số

VD: Tính giới hạn:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4
1
22
1
lim
226
6
lim
226
42
lim
6
22
lim
6
1
33
1
lim

336
6
lim
336
93
lim
6
33
lim
6
666
6
666
=
+−
=
+−−
−
=
+−−
−−
=
−
−−
=
++
=
++−
−
=

++−
−+
=
−
−+
→
→→→
→
→→→
x
xx
x
xx
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
xxx
x
xxx
VD: Tính giới hạn:
( )
( )

( )
4 2 4
2 3 4
3 2 3
3
2
2
2
2
1 1 1
) lim 1 lim 1
.1
3 5
) lim 2 3 5 lim 2
2
2 5
) lim 2 5 lim 1
.1
1
1 1
1 2
) lim lim 1
5
5 2 2
2
x x
x x
x x
x x
a x x x x

x x x
b x x x
x x
c x x x
x x
x
x x
d
x
x
→+∞ →+∞
→−∞ →−∞
→−∞ →−∞
→+∞ →+∞
 
− + − = − + −
 ÷
 
=+∞ =+∞
 
− + − = − + −
 ÷
 
=−∞ − =+∞
− + = − +
=+∞ =+∞
 
+ +
 ÷
+ +

 
= = =−
− −
−
Luyện tập: Tìm giới hạn sau:
1
532
lim
1
532
lim
4
553
lim
1
532
lim
2
2
2
2
+
−+
+
−+
+
+−
+
−+
−∞→

−∞→
+∞→
+∞→
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
x
TIET 6 hàm số liên tục
VD: Xét tính liên tục của hàm số f(x) =
2
x
x
−
tại x
0
= 3.
Ta có:
3 3
lim ( ) lim 3 (3)
2
x x
x

f x f
x
→ →
= = =
−
Vậy hàm số liên tục tại x
0
= 3.
VD:Cho hàm số
2
2 2
1
( )
1
x x
h x
x

−
≠

=
−



khi x
5 khi x = 1
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.

2
1 1
1
1
2 2
* 1:lim ( ) lim lim 2 2
1
* 1: (1) 5
lim ( ) (1)
x x
x
x
x x
x h x x
x
x h
h x h
→ →
→
→
−
≠ = = =
−
= =
⇒ ≠

Vậy: hàm số gián đoạn tại x = 1.
Luyện tập: Xét tính liên tục của hàm số sau:
14
12

23
35
3
12
6sin6tan
23
12
2
2
−
−
=
+−
+
=
+
−+
=
+=
−
−
=
x
x
y
xx
x
y
x
xx

y
xxy
x
x
y





=
−≠
+
−+
=





=
≠
+
−+
=
4,2
4,
4
1252
1,15

1,
1
853
2
2
x
x
x
xx
y
x
x
x
xx
y
TIET 8 ÔN TẬP CHƯƠNG IV
Bài 1
Xét tính liên tục trên R của hàm số:
2
2
( )
2
x x
g x
x

− −

=
−



≤

khi x > 2
5-x khi x 2
Giải
( )
( )
2
2 2 2
2 2 2
2
lim ( ) lim lim 1 3
2
lim ( ) lim 5 3 lim ( )
x x x
x x x
x x
g x x
x
g x x g x
+ + +
− − +
→ → →
→ → →
− −
= = + =
−
= − = =

Hàm số g(x) liên tục tại x = 2. Hàm số g(x) liên tục trên R
Bài 2.
Chứng minh pt x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất 3 nghiệm trên khoảng (-2;5)
Giải.
f(-2).f(-1) = 4(-11) < 0
⇒ pt có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (-2;-1)
f(-1).f(1) = (-11).1 < 0
⇒ pt có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (-1;1)
f(1).f(2) = 1.(-8) < 0
⇒ pt có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (1;2)
Vậy : pt có ít nhất 3 nghiệm trên khoảng (-2;5).
Luyện tập: Xét tính liên tục của hàm số sau:





−≤−
−≥
+
−
=





≤+
≥
−

−
=





−≤+−
−≥
+
−
=





≤
≥
−
−
=





−≤−−
−≥
+

−
=
,2,10
9,
9
81
,6,12
6,
6
36
,2,15
5,
5
25
,3,5
3,
3
9
,2,145
2,
2
4
2
2
2
2
2
2
xx
x

x
x
y
xx
x
x
x
y
xx
x
x
x
y
x
x
x
x
y
xx
x
x
x
y
TIET 9 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
Ví dụ : tính đạo hàm của các hàm số sau:
x
y
1
=
tại x

0
= 2
y = 2x
2
+ 3x -2 tại x
0
= - 1
y =
3−x
tại x
0
= 4
Ví dụ : Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
+) y = 4x+5
+) y = x
2
Luyện tập: tính đạo hàm của các hàm số sau:
12 += xy
tại x =3
125 −= xy
tại x=7
1113 += xy
tại x =5
95 +−= xy
tại x =-2
9
2
+= xy
tại x =1
32

2
+−= xxy
tại x = -1
42
2
−+= xxy
tại x = 0
32 −= xy
tại x = 2
4320 += xy
tại x = -2
712 −= xy
tại x = 3
5−= xy
tại x = 9
3025 −= xy
tại x = -10
Tiết 10 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
Ví dụ : Viết pttt với đường cong y = x
3
tại x = -1
Pttt : y- y
0
= f’(x
0
)(x – x
0
)
f’(-1) = 3 ; y(-1) =-1.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm : y + 1 = 3(x + 1)

Ví dụ : Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
+) y = 4x
2
+5
+) y = x
2
+3x+2
Luyện tập: tính đạo hàm của các hàm số sau:
12 += xy

125 −= xy

1113 += xy

95 +−= xy

9
2
+= xy

32
2
+−= xxy

42
2
−+= xxy

32 −= xy

4320 += xy

712 −= xy

5−= xy

3025 −= xy

-Viết pttt với đường cong y = x
2
tại x = -2
-Viết pttt với đường cong y = x
2
+2 tại x = 3
Tiết 11 QUI TẮC T NHÍ ĐẠO HÀM

Ví dụ : Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
y = x
2
– x
4
+
x

y = x
3
(
x
- x
5

)
Ví dụ : Tìm đạo hàm của :
a. y = 7+x-x
2
tại x
0
= 1.
b. y = x
2
- 2x + 1 tại x
0
= 2.
c.
3
x
2
x2y
5
+−=
tại x
0
= 1.
Ví dụ : Tìm đạo hàm của :
a. y= x
5
- 4x
3
+ 2x - 3
b.
42

x5,0xx
3
1
4
1
y −+−=

c.
1
5
x4
3
x2
2
x
y
234
−+−=
Luyện tập: tính đạo hàm của các hàm số sau:
124
3
2
3
5
3
12
1
4
3
35

13
3
40
4
30
3
7
1
1
4
1
3
1
2
1
1
2332
1
323
332
34
435
3
3
2
xx
x
x
y
xxx

y
x
x
xy
xxx
y
xxx
y
xxxxxxy
x
xxx
y
xxxy
++−=
++−=
++−=
−+−=
−+−=
−++=
+
+−
=
++=
Tiết 12 QUI TẮC T NHÍ ĐẠO HÀM

Bài 1 : Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a y= (x
2
+1)(5-3x
2

)
b
1x
x2
y
2
−
=
c y=(x+1)(x+2) (x+3)
Bài 2: Tìm đạo hàm của:
a. y = (2x - 3)
5
b.
2x3y
−=
c.
2
x32y +=
Luyện tập: tính đạo hàm của các hàm số sau:
52
42
32
22
2
24
2
3
2324
324
2

)352(
)353(
)124(
)
2
3
9(
1
332
62
232
)12(
)23(2
)2461)(1532(
)2)(32(
)23)(32(
++=
+−−=
+−=
+−+=
++
+−
=
+
+−
=
+
+
=
+−+=

+++=
+−++=
xxy
xxy
xxy
xxy
xx
xxx
y
xx
xx
y
xx
xx
y
xxxxxy
xxxxy
xxxy
.
Tiết 13 Đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài 1 : Bài 10: Cho y=x
3
-3x
2
+2. Tìm x để:
a. y’>0
b. y’< 3.
Bài 2: Tìm đạo hàm của:
y = sin3x

y = sin
2
3x
y = sin
2
4x
Luyện tập: tính đạo hàm của các hàm số sau:
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
6tan
5tan
9cot
3cot
3cot
6tan
5tan
3tan
3tan
6cos

5cos
3cos
3cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.
Tiết 14 Đạo hàm của hàm số lượng giác
Bài 12: Tìm đạo hàm :
y = 5sinx - 3cosx

xcosxsin
xcosxsin
y
−
+
=
y = sin(sinx)
Luyện tập: tính đạo hàm của các hàm số sau:
( )( )
( )( )
12tan
2cossincos3sin
2cos4sin3cos42sin
2cos43sin3
+=
−+=
+−=
−=
xy
xxxxy
xxxxy
xxy
)7sin(sin)5sin(sin
)7sin(sin)5(sinsin
)5sin(sin)3sin(sin
cossin
3cos2sin
.
cossin
cossin

cossin
3cos2sin
cossin
cossin
cossin
3cos2sin
cossin
cossin
xxy
xxy
xxy
xx
xx
xx
xx
y
xx
xx
xx
xx
y
xx
xx
y
xx
xx
y
+=
+=
−=

−
−
−
+
−
=
−
−
+
+
−
=
−
−
=
+
−
=
Tiết 15 Đạo hàm cấp hai và vi phân
Bài 28 : Tìm y’’,biết :
a)
mx
mx
y
−
+
=
b) y=mx
3
+2m

2
x
2
+4m
4
x+m
2
Bài 29 :Tìm y” ,biết :
a. y = ax
3
+bx
3
+c
b. y = ax
4
+bx
2
+c
c.
dcx
bax
y
+
+
=

Bài 30 :Tìm vi phân của mỗi hàm sau:
a. y = tg
2
x b.

x1
xcos
y
−
=

c. y = x
3
-2x
2
+1 d. y = sinx
Luyện tập: tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
x
x
y
x
x
y
x
x
y
x
x
y
x
x
y
x
xx
y

x
xx
y
x
xx
y
x
xx
y
cos81
2sin52
cos151
2sin5
3cos21
2sin4
cos
2sin3
cos1
2sin2
cos51
2sin42
cos31
2sin2
3cos2
2sin2
cos1
2sin2
−
−
=

−
=
−
−
=
−
=
−
+
=
+
+
=
−
−
=
+
+
=
+
=
Tiết 16 Ôn t ập
1 . TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè sau:
( )
( )
2
2
2
253/
1sin/

+−=
++=
xxyb
xxya
2. Cho hµm sè
32
3
−+=
xxy
cã ®å thÞ (C).
a/ ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ t¹i ®iÓm x
0
=-1.
b/ ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ t¹i ®iÓm cã tung ®é y
o
= -2.
3. Cho hµm sè :
( )
xxxf cos13)(
+=
.
a/ TÝnh f
’
(x), f
’’
(x).
b/ TÝnh f
’’
(
π

), f
’’
(
π
/2), f
’’
(1).
Giải
1.
( )
( )
( )
( )
562532/
121cos/
2'
2'
−+−=
+++=
xxxyb
xxxya
2.
a/ f(-1) = 4, f
’
(-1) = 1.
Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ: y= x+5.
b/Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ :
2434
−+=
xy

vµ
2434
++=
xy
.
3.
a/ f
’
(x) = 3 cos x – 3(x+1) sin x;
f
’’
(x) = - 6 sin x – 3(x+1) cos x;
b/ f
’’
(
π
) = 3(
π
+1) , f
’’
(
π
/2)= - 6, f
’’
(1) = - 6(sin1+ cos 1).