Bài tập PP Tọa độ KG đầy đủ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (391.85 KB, 23 trang )

Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi

1.
T A I M V VECT
T A I M V VECT
A/. CC KI N TH C C B N:
I/. T a i m : Trong khụng gian v i h t a Oxyz
1).
( )
M M M M M M
M x ; y ;z OM x i y j z k
= + +
uuuur r r r
2). Cho
( )
A A A
A x ; y ;z
v
( )
B B B
B x ;y ;z
ta cú:
B A B A B A
AB (x x ;y y ;z z )
=
uuur
2 2 2
B A B A B A
AB (x x ) (y y ) (z z )
= + +
3). N u M chia o n AB theo t s k

( )
MA kMB=
uuuur uuur
thỡ ta cú :
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x ; y ; z
1 k 1 k 1 k

= = =

(V i k -1)
@/. c bi t khi M l trung i m c a AB (k = 1 ) thỡ ta cú :
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x ;y ;z
2 2 2
+ + +
= = =
II/. T a c a vộct : Trong khụng gian v i h t a Oyz
1).
1 2 3 1 2 3
a (a ;a ;a ) a a i a j a k
= = + +
r r r r r

2). Cho
1 2 3

a (a ;a ;a )
=
r
v
1 2 3
b (b ;b ;b )
=
r
ta cú :

1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=

= =

=

r r

1 1 2 2 3 3
a b (a b ;a b ;a b )
=
r r

1 2 3
k.a (ka ;ka ;ka )
=
r

1 1 2 2 3 3
a.b a . b cos(a;b) a b a b a b
= = + +
r r r r r r

2 2 2
1 2 3
a a a a
= + +
r
III/. Tớch cú h ng c a hai vect v ng d ng:
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 1
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
1). N u
1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
v
1 2 3
b (b ;b ;b )
=
r

thỡ
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a
a a
a,b ; ;
b b b b b b

=
ữ

ữ

r r
2). Vect tớch cú h ng
c a,b

=

r r r
vuụng gúc v i hai vect
a
r
v
b
r
.
3).

a,b a b sin(a,b)

=

r r r r r r
.
4).
ABC
1
S [AB,AC]
2
=
uuur uuur
.
5). V
H pABCDABCD

=
[AB,AC].AA'
uuur uuur uuuur
.
6). V
T di n ABCD
=
1
[AB,AC].AD
6
uuur uuur uuur
.
IV/. i u ki n khỏc:

1).
a
r
v
b
r
cựng ph ng
1 1
2 2
3 3
a kb
a,b 0 k R :a kb a kb
a kb
=

= = =

=

r r r r r

2).
a
r
v
b

r
vuụng gúc
1 1 2 2 3 3
a.b 0 a .b a .b a .b 0 = + + =
r r
3). Ba vect
a, b, c
r r r
ng ph ng
a,b .c 0

=

r r r
(tớch h n t p c a chỳng b ng 0).
4). A,B,C,D l b n nh c a t di n
AB, AC, AD
uuur uuur uuur
khụng ng ph ng.
5). Cho hai vect khụng cựng ph ng
a
r
v
b
r
vect
c
r
ng ph ng v i
a

r
v
b
r

k,l R sao cho
c ka lb= +
r r r
6). G l tr ng tõm c a tam giỏc ABC
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
y y y
y
3
z z z
z
3
+ +

=

+ +

=

+ +

=

7). G l tr ng tõm c a t di n ABCD
GA GB GC GD 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
.
B/.BI T P:
Bi 1: Trong khụng gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1)
a)Tớnh
F AB,AC .(OA 3CB)

= +

uuur uuur uuur uuur
.
b)Ch ng t r ng OABC l m t hỡnh ch nh t tớnh di n tớch hỡnh ch nh t ú.
c) Vi t ph ng trỡnh m t ph ng (ABC).
d)Cho S(0;0;5).Ch ng t r ng S.OABC l hỡnh chúp.Tớnh th tớch hỡnh chúp.
Bi 2: Cho b n i m A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1)
a)Ch ng minh r ng A,B,C,D l b n nh c a t di n.
b)Tỡm t a tr ng tõm G c a t di n ABCD.
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 2

Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
c) Tớnh cỏc gúc c a tam giỏc ABC.
d)Tớnh di n tớch tam giỏc BCD.
e)Tớnh th tớch t di n ABCD v di ng cao c a t di n h t nh A.
Bi 3: Cho
a (0;1;2); b (1;2;3); c (1;3;0); d (2;5;8)= = = =
r r r r
a)Ch ng t r ng b ba vect
a, b, c
r r r
khụng ng ph ng.
b)Ch ng t r ng b ba vect
a, b, d
r r r
ng ph ng, hóy phõn tớch vect
d
r
theo
hai vect
a, b
r r
.
c) Phõn tớch vect
( )
u 2;4;11=
r
theo ba vect
a, b, c
r r r
.

Bi 4: Cho hỡnh h p ch nh t ABCD.A B C D bi t A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0),
A (0;0;3), C (1;2;3).
a)Tỡm t a cỏc nh cũn l i c a hỡnh h p.
b)Tớnh th tớch hỡnh h p.
c) Ch ng t r ng AC i qua tr ng tõm c a hai tam giỏc A BD v B CD .
d)Tỡm t a i m H l hỡnh chi u vuụng gúc c a D lờn o n A C.
Bi 5: Trong khụng gian t a Oxyz cho i m A(2;3;4). G i M
1
, M
2
, M
3
l n l t l
hỡnh chi u c a A lờn ba tr c t a Ox;Oy,Oz v N
1
, N
2
, N
3
l hỡnh chi u c a A lờn ba
m t ph ng t a Oxy, Oyz, Ozx.
a)Tỡm t a cỏc i m M
1
, M
2
, M
3
v N
1
, N

2
, N
3
.
b)Ch ng minh r ng N
1
N
2
AN
3
.
c) G i P,Q l cỏc i m chia o n N
1
N
2
, OA theo t s k xỏc nh k PQ//M
1
N
1
.
2. M T PH NG
A/. CC KI N TH C C B N:
I/. Ph ng trỡnh m t ph ng :
1). Trong khụng gian Oxyz ph ng trỡnh d ng Ax + By + Cz + D = 0 v i A
2
+B
2
+C
2
0

l ph ng trỡnh t ng quỏt c a m t ph ng, trong ú
n (A;B;C)=
r
l m t vect phỏp tuy n
c a nú.
2). M t ph ng (P) i qua i m M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) v nh n vect
n (A;B;C)=
r
lm vect
phỏp tuy n cú d ng :
A(x x
0
) + B(y y
0
) + C(z z
0
) = 0 .
3). M t ph ng (P) i qua M
0
(x
0
;y

0
;z
0
) v nh n
1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
v
1 2 3
b (b ;b ;b )
=
r

lm c p vect ch ph ng thỡ m t ph ng (P) cú vect phỏp tuy n :

2 3 3 1
1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a
a a
n a,b ; ;
b b b b b b

= =
ữ

ữ

r r r
.
II/. V trớ t ng i c a hai m t ph ng
1). Cho hai m t ph ng (P): Ax+By+Cz+D=0 v (Q):A x+B y+C z+D =0
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 3
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
(P) c t (Q) A : B : C A : B : C
(P) // (Q) A : A = B : B = C : C D : D
(P) (Q) A : B : C : D = A : B : C : D
2). Cho hai m t ph ng c t nhau : (P): Ax + By + Cz + D = 0
v (Q): A x + B y + C z + D = 0 . Ph ng trỡnh chựm m t ph ng xỏc nh b i (P) v (Q)
l:
m(Ax + By + Cz + D) + n(A x + B y + C z + D ) = 0 (trong ú m
2
+ n
2
0)
III/. Kho ng cỏch t m t i m n m t ph ng:
Kho ng cỏch t M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) n m t ph ng ( ): Ax + By + Cz + D = 0 cho b i cụng
th c :
0 0 0
0

2 2 2
Ax By Cz D
d(M , )
A B C
+ + +
=
+ +
IV/. Gúc g a hai m t ph ng
G i l gúc gi a hai m t ph ng : (P): Ax + By + Cz + D = 0
v (Q): A x + B y + C z + D = 0.
Ta cú :
P Q
P Q
2 2 2 2 2 2
P Q
n .n
A.A' B.B' C.C'
cos cos(n ,n )
n . n
A B C . A ' B' C'
+ +
= = =
+ + + +
uur uur
uur uur
uur uur
(0
0
90
0

)

0
P Q
90 n n =
uur uur
hai m t ph ng vuụng gúc nhau.
Trong ph ng trỡnh m t ph ng khụng cú bi n x thỡ m t ph ng song song Ox,
khụng cú bi n y thỡ song song Oy, khụng cú bi n z thỡ song song Oz.
B/. BI T P :
Bi 1: Trong khụng gian Oxyz, cho b n i m A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), v D(
-1;1;2).
a) Vi t ph ng trỡnh m t ph ng (ABC).
b) Vi t ph ng trỡnh m t ph ng trung tr c c a o n AC.
c) Vi t ph ng trỡnh m t ph ng (P)ch a AB v song song v i CD.
d) Vi t ph ng trỡnh m t ph ng (Q) ch a CD v vuụng gúc v i mp(ABC).
Bi 2: Trong khụng gian Oxyz, cho hai m t ph ng (P): 2x y + 2z 4 = 0,
(Q): x 2y 2z + 4 = 0.
a) Ch ng t r ng hai m t ph ng (P) v (Q) vuụng gúc nhau.
b) Vi t ph ng trỡnh tham s ng th ng ( ) l giao tuy n c a hai m t ph ng
ú.
c) Ch ng minh r ng ng th ng ( ) c t tr c Oz .Tỡm t a giao i m.
d) M t ph ng (P) c t ba tr c t a tai ba i m A,B,C. Tớnh di n tớch tam giỏc
ABC.
e) Ch ng t r ng i m O g c t a khụng thu c m t ph ng (P) t ú tớnh th
tớch t di n OABC.
Bi 3: Trong khụng gian Oxyz, cho m t m t ph ng (P): 2x + y z 6 = 0.
a) Vi t ph ng trỡnh mp (Q) i qua g c t a v song song v i mp (P).
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 4
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi

b) Vi t ph ng trỡnh tham s ,chớnh t c ,t ng quỏt ng th ng i qua g c
t a O v vuụng gúc v i m t mp(P).
c) Tớnh kho ng cỏch t g c t a n m t ph ng (P).
( TNPT n m 1993 )
Bi 4: Trong khụng gian Oxyz, cho hai m t ph ng (P): x + y z + 5 = 0
v (Q): 2x z = 0 .
a) Ch ng t hai m t ph ng c t nhau,tớnh gúc gi a chỳng.
b) L p ph ng trỡnh m t ph ng ( ) qua giao tuy n c a hai m t ph ng (P) v
(Q) i qua A(-1;2;3).
c) L p ph ng trỡnh m t ph ng ( ) qua giao tuy n c a hai m t ph ng (P) v
(Q) v song song v i Oy.
d) L p ph ng trỡnh m t ph ng ( ) i qua g c t a O v vuụng gúc v i hai
m t ph ng (P)v (Q).
Bi 5: Trong khụng gian Oxyz, cho m t ph ng (P) : 2x + 2y z + 2 = 0 v i m M(2;1;-
1).
a) Tớnh di o n vuụng gúc k t M n m t ph ng (P).
b) Vi t ph ng trỡnh ng th ng (d) qua M vuụng gúc v i m t ph ng (P).
c) Vi t ph ng trỡnh m t ph ng ( ) i qua i m M song song Ox v h p v i
m t ph ng (P) m t gúc 45
0
.
Bi 6: Trong khụng gian Oxyz, cho hai m t ph ng (P): 2x + ky + 3z 5 = 0 v (Q):
mx 6y 6 z + 2 = 0.
a) Xỏc nh giỏ tr k v m hai m t ph ng (P) v (Q) song song nhau,lỳc ú
hóy tớnh kho ng cỏch gi a hai m t ph ng.
b) Trong tr ng h p k = m = 0 g i (d) l giao tuy n c a (P) v (Q) hóy tớnh
kho ng cỏch t A(1;1;1) n ng th ng (d).
3. NG TH NG
A/. CC KI N TH C C B N:
I/. Ph ng trỡnh ng th ng :

1). Ph ng trỡnh t ng quỏt c a ng th ng :
Ax By Cz D 0
A'x B'y C'z D' 0
+ + + =

+ + + =

(v i A : B : C A : B : C )
2). Ph ng trỡnh ttham s c a ng th ng :
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t (t R)
z z a t
= +

= +

= +

Trong ú M
0
(x
0
;y
0

;z
0
) l i m thu c ng th ng v
1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
l vect ch
ph ng c a ng th ng.
3). Ph ng trỡnh chớnh t c c a u ng th ng :
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a

= =
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 5
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
Trong ú M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) l i m thu c ng th ng v
1 2 3
a (a ;a ;a )
=

r
l vect ch
ph ng c a ng th ng.
II/. V Trớ t ng i c a cỏc ng th ng v cỏc m t ph ng:
1). V trớ t ng i c a hai ng th ng :
Cho hai .th ng ( ) i qua M cú VTCP
a
r
v ( ) i qua M cú VTCP
a '
ur
.
() chộo ( )
a,a ' .MM' 0

r ur uuuuur
() c t ( )
a,a ' .MM' 0

=

r ur uuuuur
v i
a,a ' 0

r ur r

() // ( )
[a,a ']=0
M '

r ur r
() ( )
[a,a ']=0
M '

r ur r
2). V trớ t ng i c a ng th ng v m t ph ng:
Cho ng th ng ( ) i qua M(x
0
;y
0
;z
0
) cú VTCP
1 2 3
a (a ;a ;a )

=
r
v m t ph ng
( ): Ax + By + Cz + D = 0 cú VTPT
n (A;B;C)=
r
.
() c t ( )
a.n 0
r r
() // ( )
a.n 0
M ( )

=

r r
() n m trờn mp( )
a.n 0
M ( )

=

r r
III/. Kho ng cỏch :
1). Kho ng cỏch t M n u ng th ng ( ) i qua M
0
cú VTCP
a
r
.

= =
Y
uuuuur r
r
0
[M M,a]
S
d(M, )
c.ủaựy
a
2). Kho ng cỏch gi a hai ng chộo nhau :
() i qua M(x
0
;y
0
;z
0
) cú VTCP
a
r

, ( ) i qua M (x
0
;y
0
;z
0
) cú VTCP
a '
ur

= =
r ur uuuuur
r ur
hoọp
ủaựy
[a,a'].MM'
V
d( , ')
S
[a,a']

IV/. Gúc :
1). Gúc gi a hai ng th ng :
() i qua M(x
0
;y
0
;z
0
) cú VTCP

1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 6
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
( ) i qua M (x
0
;y
0
;z
0
) cú VTCP
1 2 3
a (a ' ;a ' ;a ' )
=
r
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a.a '
a .a' a .a ' a .a '
cos cos(a,a ')
a . a '
a a a . a ' a' a '
+ +
= = =
+ + + +
rur
r ur

r ur
2). Gúc gi a ng th ng v m t ph ng :
() i qua M
0
cú VTCP
1 2 3
a (a ;a ;a )
=
r
, mp( ) cú VTPT
n (A;B;C)=
r
.
G i l gúc h p b i ( ) v mp( )
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
Aa +Ba +Ca
sin cos(a,n)
A B C . a a a
= =
+ + + +
r r

B/. BI T P:
Bi 1:
a) Vi t ph ng trỡnh tham s chớnh t c t ng quỏt ng th ng qua hai i m
A(1;3;1) v B(4;1;2).
b) Vi t ph ng trỡnh ng th ng (d) i qua M(2;-1;1) vuụng gúc v i m t
ph ng (P) : 2x z + 1=0 . Tỡm t a giao i m c a (d) v (P).

c) Vi t ph ng trỡnh tham s chớnh t c c a u ng th ng cú ph ng trỡnh
2 4 0
2 2 0
x y z
x y z
+ + =

+ + =

Bi 2 : Trong khụng gian Oxyz cho ba i m A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) v m t
ng th ng ( ) cú ph ng trỡnh
4 2 1 0
3 5 0
x y z
x z
+ + =

+ =

a) Vi t ph ng trỡnh m t ph ng ( ) i qua ba i m A,B,C.
b) Vi t ph ng trỡnh tham s chớnh t c t ng quỏt ng th ng BC.Tớnh
d(BC,).
c) Ch ng t r ng m i i m M c a ng th ng ( ) u th a món AM BC,
BM AC, CM AB.
Bi 3: Trong khụng gian Oxyz, cho hỡnh h p ch nh t cú cỏc nh A(3;0;0), B(0;4;0),
C(0;0;5), O(0;0;0) v D l nh i di n v i O.
a) Xỏc nh t a nh D.Vi t ph ng trỡnh t ng quỏt m t ph ng (A,B,D).
b) Vi t ph ng trỡnh ng th ng i qua D v vuụng gúc v i m t ph ng

(A,B,D).
c) Tớnh kho ng cỏch t i m C n m t ph ng (A,B,D). ( TNPT n m 1999 )
Bi 4: Cho hai ng th ng:
x 2 t
x 2z 2 0
( ) : ( ') : y 1 t
y 3 0
z 2t
= +

+ =

=

=

=

Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 7
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
a) Ch ng minh r ng hai ng th ng ( ) v ( ) khụng c t nhau nh ng vuụng
gúc nhau.
b) Tớnh kho ng cỏch gi a hai ng th ng ( )v ( ).
c) Vi t ph ng trỡnh m t ph ng (P) i qua ( ) v vuụng gúc v i ( ).
d) Vi t ph ng trỡnh ng vuụng gúc chung c a ( )v ( ).
Bi 5: Trong khụng gian Oxyz cho b n i m A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1),
D(-1;-5;3).
a) L p ph ng trỡnh t ng quỏt ng th ng AB.

b) L p ph ng trỡnh mp (P) i qua i m C v vuụng gúc v i ng th ng AB.
c) L p ph ng trỡnh ng th ng (d) l hỡnh chi u vuụng gúc c a ng
th ng CD xu ng m t ph ng (P).
d) Tớnh kho ng cỏch gi a hai ng th ng AB v CD.
Bi 6: Trong khụng gian Oxyz cho A(3;-1;0), B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6).
a) Tớnh cỏc gúc t o b i cỏc c p c nh i di n c a t di n ABCD.
b) Vi t ph ng trỡnh m t ph ng (ABC).
c) Vi t ph ng trỡnh ng th ng (d) qua D vuụng gúc v i m t ph ng (ABC).
d) Tỡm t a i m D i x ng D qua m t ph ng (ABC).
e) Tỡm t a i m C i x ng C qua ng th ng AB.
Bi 7: Cho ng th ng
2x y z 5 0
( ):
2x z 3 0
+ + =

+ =

v mp (P) : x + y + z 7 = 0
a) Tớnh gúc gi a ng th ng v m t ph ng.
b) Tỡm t a giao i m c a ( ) v (P).
c) Vi t ph ng trỡnh hỡnh chi u vuụng gúc c a ( ) trờn mp(P).
Bi 8: Trong khụng gian Oxyz cho hai ng th ng ( ) v ( ) l n l t cú ph ng
trỡnh:
2x y 1 0 3x y z 3 0
;
x y z 1 0 2x y 1 0
+ + = + + =

+ = + =

.
a) Ch ng minh r ng hai ng th ng ú c t nhau tỡm t a giao i m.
b) Vi t ph ng trỡnh t ng quỏt c a m t ph ng ( ) i qua hai ng th ng ( ) v
( ).
c) Vi t ph ng trỡnh ng th ng (d) vuụng gúc v c t c hai ng ( ) v
( ) .
Bi 9: Trong khụng gian Oxyz cho ba i m A(5;0;0), B(0;5/2;0), C(0;0;5/3) v ng
th ng
x 5 t
y 1 2t
z 4 3t
= +

= +

= +

.
a) L p ph ng trỡnh m t ph ng ( ) di qua A , B, C. Ch ng minh r ng ( ) v
() vuụng gúc nhau, tỡm t a giao i m H c a chỳng.
b) Chuy n ph ng trỡnh c a ( ) v d ng t ng quỏt. Tớnh kho ng cỏch t M(4;-
1;1) n ( ).
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 8
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi

c) L p ph ng trỡnh ng th ng (d) qua A vuụng gúc v i ( ), bi t (d) v ( )
c t nhau.
4. M T C U
A/. CC KI N TH C C B N:
I/. Ph ng trỡnh m t c u:
1). Ph ng trỡnh m t c u tõm I(a;b;c) bỏn kớnh R l:
(x a)
2
+ (y b)
2
+ (z c)
2
= R
2
.
2). Ph ng trỡnh x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 v i A
2
+B
2
+C
2
D>0 l
ph ng trỡnh m t c u tõm I(-A;-B;-C), bỏn kớnh
2 2 2

R A B C D= + +
.
II/. V trớ t ng i c a m t c u v m t ph ng:
Cho m t c u (S) : (x a)
2
+ (y b)
2
+ (z c)
2
= R
2
tõm I(a;b;c) bỏn kớnh R v m t
ph ng (P): Ax+By+Cz+D=0.
N u d(I,(P)) > R thỡ m t ph ng (P) v m t c u (S) khụng cú i m chung.
N u d(I,(P)) = R thỡ m t ph ng (P) v m t c u (S) ti p xỳc nhau.
N u d(I,(P)) < R thỡ m t ph ng (P) v m t c u (S) c t nhau theo giao tuy n l
ng trũn cú ph ng trỡnh :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a x a x a R
Ax By Cz D 0

+ + =

+ + + =

Bỏn kớnh ng trũn

2 2
r R d(I,(P))=
.
Tõm H c a ng trũn l hỡnh chi u c a tõm I m t c u (S) lờn m t ph ng (P).
B/. BI T P:
Bi 1: Trong khụng gian Oxyz, cho m t c u (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
2x 4y 6z = 0 v hai
i m M(1;1;1) N(2;-1;5).
a) Xỏc nh t a tõm I v bỏn kớnh c a m t c u (S).
b) Vi t ph ng trỡnh ng th ng MN.
c) Tỡm k m t ph ng (P): x + y z + k = 0 ti p xỳc m t c u(S).
d) Tỡm t a giao i m c a m t c u (S) v ng th ng MN. Vi t ph ng
trỡnh m t ph ng ti p xỳc v i m t c u t i cỏc giao i m.
Bi 2: Trong khụng gian Oxyz, cho A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0)
a) Ch ng minh r ng A,B,C,D l b n nh c a t di n.
b) Tớnh th tớch t di n ABCD.
c) Vi t ph ng trỡnh m t ph ng qua ba i m A,B,C.
d) Vi t ph ng trỡnh m t c u ngo i ti p t di n ABCD. Xỏc nh t a tõm
v bỏn kớnh.
e) Vi t ph ng trỡnh ng trũn qua ba i m A,B,C. Hóy tỡm tõm v bỏn kớnh
c a ng trũn ú.
Bi 3: Trong khụng gian Oxyz cho m t ph ng (P): 2x 3y + 4z 5 = 0 v m t c u
(S): x
2
+ y

2
+ z
2
+ 3x + 4y 5z + 6 = 0.
a) Xỏc nh t a tõm I v bỏn kớnh R c a m t c u (S).
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 9
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
b) Tớnh kho ng cỏch t tõm I ờn m t ph ng (P).T ú suy ra r ng m t ph ng
(P) c t m t c u (S) theo m t ng trũn m ta ký hi u l (C). Xỏc nh bỏn kớnh R v
t a tõm H c a ng trũn (C).
Bi 4: Trong khụng gian cho (P): x + 2y z + 5 = 0 i m I(1;2;-2) v ng th ng
x 2y 1 0
(d) :
y z 4 0
+ =

+ =

.
a) Tỡm giao i m c a (d) v (P). Tớnh gúc gi a (d) v (P).
b) Vi t ph ng trỡnh m t c u (S) tõm I ti p xỳc v i m t ph ng (P).
c) Vi t ph ng trỡnh m t ph ng (Q) qua (d) v I.
d) Vi t ph ng trỡnh ng th ng (d )n m trong (P) c t (d) v vuụng gúc (d).
(Thi HK2, 2002-2003)
Bi 5: Trong khụng gian Oxyz ,cho A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2).
a) Ch ng minh A, B, C, D l b n i m ng ph ng.
b) G i A l hỡnh chi u vuụng gúc c a i m A trờn m t ph ng Oxy. hóy vi t
ph ng trỡnh m t c u (S) i qua b n i m A , B, C, D.
c) Vi t ph ng trỡnh ti p di n ( ) c a m t c u (S) t i i m A .

(TN THPT 2003-2004)
Bi 6: Trong khụng gian Oxyz cho A(1;0;0) B(1;1;1) v C(1/3; 1/3;1/3)
a) Vi t ph ng trỡnh m t ph ng (P) vuụng gúc OC t i C. Ch ng minh O, B, C
th ng hng. Xột v trớ t ng i c a m t c u (S) tõm B, bỏn kớnh
R 2=
v i m t
ph ng(P).
b) Vi t ph ng trỡnh t ng quỏt c a ng th ng l hỡnh chi u vuụng gúc c a
ng th ng AB lờn m t ph ng(P).
Bi 7: Trong khụng gian Oxyz cho mp(P): x + y + z 1 = 0 . mp(P) c t cỏc tr c t a
t i A, B, C.
a) Tỡm t a A, B, C. Vi t ph ng trỡnh giao tuy n c a (P) v i cỏc m t t a
. Tỡm t a giao i m D c a (d):
2 0
2 1 0
x y
x y z
+ =

+ =

v i mp(Oxy). Tớnh th tớch t di n
ABCD.
b) L p ph ng trỡnh m t c u (S) ngo i ti p ABCD. L p ph ng trỡnh ng
trũn ngo i ti p ACD. Xỏc nh tõm v bỏn kớnh c a ng trũn ú.
(TN THPT 2001-2002)
Bi 8: Trong khụng gian Oxyz cho 4 i m A, B, C, D cú t a xỏc nh b i :
A (2;4; 1), OB i 4j k, C (2;4;3), OD 2i 2j k
= = + = = +

uuur r r r uuur r r r
.
a) Ch ng minh AB AC, ACAD, ADAB. Tớnh th tớch kh i t di n ABCD.
b) Vi t ph ng trỡnh tham s c a ng (d) vuụng gúc chung c a hai ng
th ng AB v CD. Tớnh gúc gi a (d) v m t ph ng (ABD).
c) Vi t ph ng trỡnh m t c u (S) qua 4 i m A, B, C, D. Vi t ph ng trỡnh ti p
di n ( ) c a (S) song song v i m t ph ng (ABD).
Bi 9: Trong khụng gian Oxyz cho 3 i m A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) v m t ph ng
(P): x + y + z 2 = 0.
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 10
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
a) Vi t pt m t c u i qua 3 i m A, B, C v cú tõm thu c mp (P).
b) Tớnh di ng cao k t A xu ng BC
c) Cho D(0;3;0).Ch ng t r ng DC song song v i mp(P) t ú tớnh kho ng
cỏch gi a ng th ng DC v m t ph ng (P).
Bi10: Trong khụng gian Oxyz cho A(2;0;0) , B(0;4;0), C(0;0;4).
a)Vi t ph ng trỡnh m t c u qua 4 i m O, A, B, C. Tỡm t a tõm I v bỏn
kớnh c a m t c u.
b)Vi t ph ng trỡnh m t ph ng(ABC).
c) Vi t ph ng trỡnh tham s c a ng th ng qua I v vuụng gúc m t
ph ng(ABC).
d)Tỡm t a tõm v bỏn kớnh ng trũn ngo i ti p tam giỏc ABC.
Bi 11: Cho m t c u (S) cú ph ng trỡnh x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y - 6z =0
a) Xỏc nh tõm v bỏn kớnh m t c u (S).

b) G i A, B, C l n l t l giao i m (khỏc i m g c t a ) c a m t c u (S)
v i cỏc tr c t a Ox, Oy, Oz. Tớnh t a A, B, C v vi t ph ng trỡnh m t ph ng
(ABC).
c) Tớnh kho ng cỏch t tõm m t c u n m t ph ng.T ú hóy xỏc nh tõm
v bỏn kớnh ng trũn ngo i ti p tam giỏc ABC.
Bài 1. hệ tọa độ trong không gian
Bi tp 1. Trong Oxyz, cho 4 im A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1).
a) Tỡm ta v di ca cỏc vect sau:
=
uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
, , , , 2 3 4AB BC CD CD u AB CD DA
.
b) Gi M, N, P, Q ln lt l trung im ca AB, BC, CD, DA. Tỡm ta ca M, N, P, Q.
c)Chng minh A, B, C l 3 nh ca mt tam giỏc. Tỡm ta trng G tõm ca ABC.
d) Tỡm ta im E sao cho t giỏc ABCE l hỡnh bỡnh hnh. Tớnh din tớch ca hỡnh bỡnh hnh
ABCE.
e) Chng minh 4 im A, B, C, D khụng ng phng. Tớnh th tớch ca t din ABCD.
f) Tớnh tớnh di ng cao h t cỏc nh tng ng ca t din ABCD.
g) Tỡm cụsin gúc to bi cỏc cnh i din ca t din.
h) Tỡm ta im B i xng vi B qua im D.
i) Tỡm ta ca im K nm trờn trc Oz ADK vuụng ti K.
Bi tp 2. Cho 3 im A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) v C(x; y; 6). Tỡm x, y A, B, C thng hng.
Bi tp 3. Trong khụng gian Oxyz, cho 3 im
( ) ( ) ( )
3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3A B C

.
a) Tỡm ta hỡnh chiu ca cỏc im A, B, C trờn cỏc trc ta , trờn cỏc mt ta .
b) Tỡm ta ca cỏc im i xng vi A (B, C) qua cỏc mp ta .
c) Tỡm ta ca cỏc im i xng vi A (B, C) qua cỏc trc ta .

d) Tỡm ta ca im i xng vi A (B, C) qua gc ta .
e) Tỡm ta im A i xng vi A qua C.
Bi tp 4. Trong kg Oxyz, cho 3 im
( ) ( ) ( )
1;2;1 , 5;3;4 , 8; 3;2A B C
.
a) CMr: ABC vuụng ti B.
b) Tớnh din tớch ca ABC .
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 11
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
c) Tớnh bỏn kớnh ng trũn ngoi tip ABC .
d) Tớnh bỏn kớnh ng trũn ni tip ABC .
Bi tp 5. Trong kg Oxyz, cho 3 im
( ) ( ) ( )
1;0;0 , 0;0;1 , 2;1;1A B C
. Tớnh cỏc gúc ca ABC .
Bi tp 6. Trong kg Oxyz, cho 4 im
( ) ( ) ( ) ( )
1; 1;1 , 1;3;1 , 4;3;1 , 4; 1;1A B C D
.
a) Chng minh bn im A, B, C, D l cỏc nh ca mt hỡnh ch nht
b) Tớnh di cỏc ng chộo, xỏc nh to ca tõm hỡnh ch nht ú.
c) Tớnh cụsin ca gúc gia hai vect
uuur
AC
v
uuur
BD
.
Bi tp 7. Trong kg Oxyz, cho hỡnh hp ABCD.ABCD, bit

( ) ( ) ( ) ( )
1;1;2 , 1;0;1 , 1;1;0 , ' 2; 1; 2A B D A

a) Tỡm ta cỏc nh cũn li ca hỡnh hp.
b) Tớnh din tớch ton phn ca hỡnh hp.
c) Tớnh th tớch V ca hỡnh hp.
d) Tớnh di ngcao ca hỡnh hp k t A.
Trong kg Oxyz, cho hỡnh hp ABCD.ABCD, bit
( ) ( )
1 1 1 3 3 3
; ; , ; ; ,A x y z C x y z

( )
, , ,
2 2 2
' ; ; ,B x y z
( )
, , ,
4 4 4
' ; ;D x y z
. Tỡm ta cỏc nh cũn li ca hỡnh hp.
Bi tp 8. Trong kg Oxyz, cho 4 im
( ) ( ) ( ) ( )
5;3; 1 , 2;3; 4 , 1;2;0 , 3;1; 2A B C D
a)CMr: a
1
/ 4 im A, B, C, D khụng ng phng.
1. T din ABCD cú cỏc cnh i din vuụng gúc.
2. Hỡnh chúp D.ABC l hỡnh chúp u.
b) Tỡm ta chõn ng cao H ca hỡnh chúp D.ABC .

Bi tp 9. Trong kg Oxyz, cho 4 im
( ) ( ) ( ) ( )
1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 , 2;1; 2A B C D
a)CMr 4 im A, B, C, D l 4 nh ca t din.
b) Tỡm gúc to bi cỏc cp cnh i ca t din.
c)Tớnh th tớch ca t din. (Theo 4 cụng thc)
d) Tớnh di ng cao ca t din k t A.
e)Tỡm MOz sao cho 4 im M, A, B, C ng phng.
f) Tỡm NOy sao cho NAD vuụng ti N.
g) Tỡm POxy sao cho P cỏch u 3 im A, B, C.
Bài 2 . phơng trình mặt phẳng
Bi t p 1. Trong kg Oxyz, cho M(1;3;1).
a) Vit pt mt phng () qua M v cú VTPT
( )
2; 1;1n
=
r
.
b) Vit pt mt phng () qua M v vộc-t phỏp tuyn ca mt phng () vuụng gúc vi 2 vộc-t
( )
=
uur
1
1;0; 2u
v
( )
=
uur
2
1; 3;4u

.
Bi t p 2. Trong Oxyz, cho A(3;2;1), B(1;0;2), C(1;3;1).
a) Vit pt mt phng (ABC).
b) Vit pt mt trung trc ca on AB.
c) Vit pt mp qua A v vuụng gúc vi BC.
d) Vit pt mp qua B v vuụng gúc vi Oz.
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 12
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
e) Gi A
1
, A
2
, A
3
ln lt l hỡnh chiu ca A trờn cỏc trc Ox, Oy,Oz. Vit pt mt phng (P) qua A
1
,
A
2
, A
3
.
Bi tp 3. Trong kg Oxyz, cho 3 im
( ) ( ) ( )
3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3A B C
.
a) CMr: A, B, C l 3 nh ca mt tam giỏc.
b) Tỡm D sao cho ABCD l hỡnh bỡnh hnh.
c) Tỡm M sao cho
2 3AM BA CM

+ =
uuur uuur uuur
.
d) Vit pt mt phng qua M v vuụng gúc vi ng thng BC.
Bi t p 4. Trong kg Oxyz, cho A(0; 2; 0) v mt phng ():
+ =
2 3 4 2 0x y z
.
a) Vit pt mp () qua A v song song vi mt phng ().
b) Vit pt mp
( )
g
qua OA v vuụng gúc vi mt phng ().
Bi t p 5. Trong kg Oxyz, cho A(1;1;2), B(0;1;3) v mp():
3 2 4 0x y z
+ + =
. Vit pt
mt phng () qua A, B v vuụng gúc vi mt phng ().
Bi t p 6. Trong Oxyz, cho A(2;3;0). Vit pt mt phng () qua A, song song Oy v vuụng gúc
vi mt phng ():
3 4 6 0x y z + + =
Bi t p 7. Trong Oxyz, cho A(1; -1;-2), B(3; 1; 1) v (): x 2y + 3z -5 = 0. Vit pt mt phng
() qua A, B v () ().
Bi t p 8. Trong Oxyz, cho ():
3 2 4 0x y z
+ + =
, ():
3 4 6 0x y z
+ + =
. Lp pt

mt phng () qua giao tuyn ca (), () v qua A(2;1;1).
Bi t p 9. Trong Oxyz, cho ():
4 0x y z+ + =
, ():
3 2 1 0x y z
+ =
. Lp pt mt
phng () qua giao tuyn ca (), () ng thi vuụng gúc vi mt phng ():
2 3 1 0x y z
+ =
.
Bi t p 10. Lp pt mp i qua gc ta v vuụng gúc vi 2 mp:():
7 0x y z
+ =
,
():
3 2 12 5 0x y z+ + =
Bi tp 11. Trong Oxyz, cho A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2) v D(-1; 1; -2).
a. Vit phng trỡnh mt phng i qua A v vuụng gúc vi BC.
b. Vit phng trỡnh mt phng (ABC).
c. Vit phng trỡnh mt phng () qua B v song song vi (): 3x 2y + z +7 = 0.
d. Vit phng trỡnh mt phng (P) qua AC v song song vi BD.
e. Tớnh S
ABC
.
f. Chng minh 4 im A, B, C, D khụng ng phng.
g. Tớnh V
ABCD
.
h. Tớnh chiu cao DH ca t din ABCD.

Bi tp 12. Trong khụng gian Oxyz, cho bn im A (1; -1; 1), B (-2; 1; 3), C (4; -5; -2) v D (-1;
1; -2).
a. Vit phng trỡnh mt cu tõm A v i qua B.
b. Vit phng trỡnh mt phng (ABC). Suy ra ABCD l mt t din.
c. Vit phng trỡnh mt cu ngoi tip t din ABCD .Xỏc nh tõm v bỏn kớnh ca nú
d. Tớnh th tớch khi t din ABCD.
e. Vit phng trỡnh mt phng i qua AB v song song vi CD
f. Tớnh gúc gia AB v CD.
Bi tp 13. Trong khụng gian Oxyz, cho cỏc im A(1; -1; -2), B(3; 1; 1) v mt phng
( )
: 2 2 5 0x y z
a
- - - =
.
a. Vit phng trỡnh mt phng
( )
b
song song vi mt phng
( )
a
v cỏch
( )
a
mt khong bng
5.
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 13
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
b. Vit phng trỡnh mt phng
( )
g

i qua cỏc im A, B v vuụng gúc vi mt phng
( )
a
.
c.Vit phng trỡnh mt cu ng kớnh AB.
Bi tp 14. Vit phng trỡnh mt cu i qua 3 im A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2; 3) v cú
tõm nm trờn mt phng (Oxy).
Bi tp 15. Vit phng trỡnh mt cu i qua 2 im A(3; -1; 2), B(1; 1; -2) v cú tõm thuc trc
Oz.
Bi tp 16. Vit phng trỡnh mt cu i qua 4 im A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2), D(2; 2; 1).
Bi tp 17. Cho mt mt phng
( )
: 3 2 6 14 0x y z
a
- + + =
v mt cu
( )
( )
2
2 2 2
: 2 2 0S x y z x y z+ + - + + - =
. Chng minh rng
( )
a
ct (S) theo mt
ng trũn (C). Xỏc nh tõm v bỏn kớnh ca (C).
Bi tp 18. Trong khụng gian Oxyz, cho bn im A (3; 0; 1), B (2; 1; -1), C (0; -7; 0) v D (2;
-1; 3).
a. Vit phng trỡnh mt phng i qua A v vuụng gúc vi CD
b. CMr bn im A, B, C, D khụng ng phng.

c. Vit phng trỡnh mt phng cha trc Ox v song song vi CD.
d. Vit phng trỡnh mt cu ngoi tip t din ABCD .Xỏc nh tõm v bỏn kớnh ca nú
e. Tớnh th tớch khi t din ABCD .
f. Tớnh gúc gia cỏc vect
A C
uuur
v
BD
uur
.
g. Tỡm tp hp cỏc im M trong khụng gian sao cho
8MA MB MC MD+ + + =
uuur
uuur uuur uuur
.
Bi tp 19. Trong khụng gian Oxyz, cho cỏc im A (5; 0; 4), B (5; 1; 3) v mt phng
( )
: 2 3 6 0x y z
a
- + - =
.
a. Vit phng trỡnh mt phng
( )
b
i qua im A v song song vi mt phng
( )
a
.
b. Vit phng trỡnh mt phng
( )

g
i qua cỏc im A, B v vuụng gúc vi mt phng
( )
a
.
c. Vit phng trỡnh mt cu tõm A v tip xỳc vi
( )
a
.
d. Tỡm cỏc giao im A, B, C ca
( )
a
vi cỏc trc Ox, Oy, Oz. Tớnh th tớch khi t din OABC.
Bài 3. phơng trình đờng thẳng
Bi t p 1 Lp pt tham s ca ng thng (t) trong mi trng hp sau:
a) qua 2 im A(2;3;5) v B(1;2;3).
b) qua im A(1;1;3) v ssong vi BC, bit B(1;2;0), C(1;1;2).
c) qua im A(1;0;2) v vuụng vi mp():
7 0x y z
+ =

d) Tỡm ptct ca bit cú phng trỡnh tham s l:
1
2
x t
y t
z
=

=

=

e) Tỡm phng trỡnh tham s ca bit cú ptct l:
+
= =

2 3
2 1 3
x y z
.
Bi tp 2 Cho 2 im A(-1; 6; 6), B(3; -6; -2) v C(x; y; 6). Tỡm im M thuc mp(Oxy) sao
cho MA + MB nh nht.
Bi t p 3 Lp pt mp qua im A, v t , bit A(4;2;3), :
1 2 2
3 4 2
x y z +
= =
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 14
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
Bi tp 4 Cho
=

= +

=

: 11 2
16
x t
d y t
z t

= =
5 2 3
' :
2 1 6
x y z
d
. CMr: d ct
d.Vit ptmp cha d v d.
Bi tp 5 Cho
= +

=

=

5 2
: 1
5
x t
d y t
z t

v
= +

=

=

3 2 '
' : 3 '
1 '
x t
d y t
z t
. CMr: d)/d. Vit ptmp cha d v d.
Bi tp 6 Cho
=

= +

= +

: 1 2
6 3
x t
d y t
z t

v
= +

= +

=

1 '
' : 2 '
3 '
x t
d y t
z t
.
a. CMr: d v d chộo nhau.
b. Lp pt mp qua O v song song vi d v d.
Bi t p 7 Lp pt mp() cha t :
=

= +

=

4
3
7
2
2
x t
y t
z t
v vuụng gúc vi mp(P):
2 5 0x y z + + =
.
Bi tp 8 Cho A(3;2;1) v t d:
+
= =
3
2 4 1
x y z
a) Vit pt mp () i qua A v cha d.
b) Vit pt t d qua A, vuụng gúc d, v ct d.
Bi t p 9 Cho d:
1 1 2
2 1 3
x y z+
= =
, (P):
1 0x y z =
. Vit ptct ca t qua
A(1;1;2), // (P) v d.
Bi t p 10 Vit ptt qua A(0;1;1), d
1

:
1 2
3 1 1
x y z +
= =
v ct d
2
:
=

= +

= +

1
1
2
x
y t
z t

Bi tp 11 Vit ptct t qua M(1;5;0) v ct c 2 t d
1
:
=

=

= +

1
1
1
4
1 2
x t
y t
z t
v d
2
:
=

= +

=

2
2
2
2 3
3
x t
y t

z t
Bi tp 12 Cho ng thng d:
= +

= +

= +

12 4
9 3
1
x t
y t
z t
v mp(P):
+ =
3 5 2 0x y z
.
a) Tỡm to giao im ca d v (P)
b) Vit ptmp (P) qua M(1; 2; -1) v vuụng gúc vi d. Tớnh khong cỏch t M n d.
c) Vit pt hỡnh chiu d ca d lờn mp(P).
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 15
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
d) Tớnh gúc gia d v (P).
e) Cho im B(1; 0; -1), hóy tỡm ta im B sao cho (P) l mp trung trc ca on thng BB.
f) Vit ptt nm trong (P) vuụng gúc v ct d.
Bi t p 13 Cho d:
=

= +

=

11 2
16
x t
y t
z t

( )
Ăt
v :
5 2 6
2 1 3
x y z

= =
a) Tỡm VTCP ca d.
b) CM d v cựng nm trong mt mp. Vit pt mp ú. Tỡm giao im I ca d v .
Bi tp 14 Cho 2 t d
1
:
1 1 3
3 2 2
x y z+
= =

v d
2
:
1 3
1 1 2
x y z +
= =
.
a) Hóy xột v trớ tng i ca d
1
, d
2
.
b) Tỡm ta giao im I ca d
1
, d
2
.
c) Lp phng trỡnh tng quỏt ca mp cha d
1
, d
2
.
Bi tp 15 Cho 2 ng thng d
1
:
2 3 4
2 3 5
x y z +

= =

v d
2
:
1 4 4
3 2 1
x y z
+
= =

. Tỡm ptct
ca ng vuụng gúc chung ca 2 t d
1
, d
2
. Tỡm ta giao im H, K ca d ln lt vi d
1
,
d
2
.
Bi tp 16 Cho 2 t chộo nhau cú pt l m:
1
4 2
3
x
y t
z t
=

= +

= +

, n:
3
3 2
2
x u
y u
z
=

= +

=

a) Tỡnh khong cỏch gia 2 t m, n.
b) Vit pt ng vuụng gúc chung ca 2 t m, n.
Bi tp 17 Cho 2 t d:
2
1
2
x t

y t
z t
= +

=

=

v d:
=

=

=

2 2 '
3
'
x t
y
z t
a) Cm d, d chộo nhau. Tớnh khong cỏch gia 2 t chộo nhau.
b) Lp pt ng vuụng gúc chung ca d, d. Tỡm ta giao im ca ng vuụng gúc chung vi
d, d.
c) Vit phng trỡnh tng quỏt ca mp cỏch u d v d.
Bi tp 18 Cho 3 t d

1
:
2 2 1
3 4 1
x y z +
= =
; d
2
:
7 3 9
1 2 1
x y z
= =

; d
3
:
1 3 2
3 2 1
x y z+ +
= =

. Lp pt t d ct d
1
, d
2
v ssong vi d
3
.
Bi tp 19 Hóy vit phng trỡnh ca ng thng i qua im M(0,1,1) vuụng gúc vi ng

thng
11
2
3
1 zyx
=
+
=

v ct ng thng
1
1
3
x
y t
z t
=

= +

= +

Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 16
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
Bi tp 20 Trong kg Oxyz, cho 2 ng thng d v d ln lt cú cỏc pt
1 1
:
2 1 1

x y z
d
+
= =

1 2
' : 2
3
x t
d y t
z t
= +

= +

=

v mt cu (S) cú phng trỡnh: x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y + 2z - 6 = 0.
a) Chng minh d v d chộo nhau.
b) Vit phng trỡnh mt phng qua im M(1;2;3) v vuụng gúc vi ng thng d.
c) Lp phng trỡnh ng vuụng gúc chung ca d v d. Tỡm to cỏc chõn ng vuụng gúc

chung y.
d) Tớnh khong cỏch t im M(1,2,3) n ng thng d.
e) Vit phng trỡnh mt phng tip xỳc vi mt cu (S) ti im N(-1,0,1).
Bi tp 21 Trong h trc to Oxyz, cho 2 ng thng
1
9
2
3
1
7
:
1

=

=
zyx
d
,
3
1
2
1
7
3
:
2

=

=

zyx
d
. Hóy lp phng trỡnh ng thng vuụng gúc chung ca d
1
v
d
2
.
Lp phng trỡnh mt phng tip xỳc vi mt cu: x
2
+ y
2
+ z
2
- 10x + 2y + 26z - 113 = 0 v song
song vi 2 ng thng
2
13
3
1
2
5
:
1
+

=

=
+
zyx
d
,
2
7 1 8
:
3 2 1
x y z
d
+ +
= =

Bi tp 22 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho 2 ng thng
)(
,
)'(
ln lt cú
phng trỡnh
3
: 1 2
4
x t
y t
z
= +

= +

=

,
2
':
2 2
x t
y t
z t
= +

=

= +

a) Chng minh rng:
)(
,
)'(
chộo nhau.
b) Tớnh khong cỏch gia
)(
,

)'(
c) Vit phng trỡnh ng vuụng gúc chung gia
)(
,
)'(
Bi tp 23 Thit lp phng trỡnh ca mt phng (P) i qua ng thng d:
41
1
1
13 zyx
=
+
=

v tip xỳc vi mt cu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y - 6z -67 = 0.
Bi tp 24 Trong khụng gian Oxyz, cho mt cu (S): x
2
+y
2
+z
2
-2x-6y-4z=0

1. Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu .
2. Gi A, B,C l giao im (khỏc O) ca (S) vi cỏc trc Ox, Oy, Oz. Tớnh khong cỏch t tõm mt
cu (S) n mt phng (ABC).
Bi tp 25 Trong khụng gian Oxyz, cho mt phng
( ) ( )
2
: 2 2 3 0 tham sốP x y z m m m
+ + =
v mt cu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 1 1 9S x y z
+ + + =
. Tỡm m (P) tip xỳc vi (S). Vi m va tỡm c, hóy xỏc
nh ta ca tip im ca (P) v (S).
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 17
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
Bi tp 26 Trong khụng gian cho Oxyz, cho 2 ng thng:
1
3
: 2 2
x
d y t
z t
=

=

=

,
2
1 2 '
: 2 '
1 2 '
x t
d y t
z t
=

= +

= +

a)Chng minh rng d
1
khụng ct d
2
nhng d
1
vuụng gúc d
2
.
b) Vit phng trỡnh mt phng
)(

cha d
1
,
)(

vuụng gúc d
2
, mt phng
)(

cha d
2
v
)(

vuụng gúc d
1
.
c)Tỡm giao im ca d
2
v
)(

, d
1
v
)(

. Suy ra phng trỡnh mt cu cú bỏn kớnh nh nht tip

xỳc vi d
1
, d
2
.
Bi tp 27 Cho mt phng
)(

: 6x+3y+2z-6=0
a) Tỡm to hỡnh chiu ca im A(1,1,2) lờn mt phng
)(

b) Tỡm to im i xng A ca A qua
)(

Bi tp 28 Cho mt cu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 6x + 4y - 2z - 86 = 0 v mt phng
)(

: 2x - 2y - z + 9
= 0.
a) nh tõm v bỏn kớnh mt cu .
b) Vit phng trỡnh ng thng (d) qua tõm mt cu v vuụng gúc vi
)(

.
c) Chng t
)(

ct mt cu (S). Xỏc nh tõm v bỏn kớnh ng trũn giao tuyn.
Bi tp 29 Trong khụng gian Oxyz, cho mt cu (S) qua i gc to O v 3 im A(2,0,0),
B(0,-1,0), C(0,0,3).
a. Xỏc dnh tõm v bỏn kớnh mt cu (S).
b. Lp phng trỡnh mt phng
)(

qua A, B, C.
c. Lp phng trỡnh ng trũn giao tuyn ca (S) v
)(

. Tớnh bỏn kớnh ng trũn ny.
Bi tp 30 Cho ng thng
1
1
3
9
4
12
:)(

=

=
zyx
d

v mt phng
)(

: 3x+5y-z-2=0.
a) Chng minh (d) ct
)(

.Tỡm giao im ca chỳng.
b) Vit phng trỡnh mt phng
)(

qua M(1;2;1) v
d)(

c) Vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca (d) lờn mt phng
)(

.
Bi tp 31 Trong khụng gian Oxyz, cho hai ng thng
1
3
: 1
x t
y t
z t
= +

= +

=

v
5
4
1
3
2
1
:
2

=
+
=

zyx
a.Vit phng trỡnh ng thng vuụng gúc vi mt phng Oxy v ct c hai ng thng
1

,
2

b.Vit phng trỡnh mt phng song song vi 2 ng thng
1

,

2

v cỏch u
1

,
2

Bi tp 32 Trong khụng gian Oxyz, cho im A(1;2;-1) v mt phng
)(

: 3x - 2y + 5z + 6 = 0
a. Chng t A nm trờn
)(

.
b. Vit phng trỡnh ng thng (d) qua A v
)(

d

c. Tớnh sin ca gúc to bi OA v
)(

.
Bi tp 33 Trong khụng gian Oxyz, cho A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1), D(5;3;-1).
a. Vit phng trỡnh ca mt phng (ABC).
b. Vit phng trỡnh ng thng qua D v vuụng gúc vi mt phng (ABC).
c. Vit phng trỡnh mt cu tõm D v tip xỳc vi mt phng (ABC).
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 18

Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
Bi tp 34 Trong khụng gian Oxyz, cho 4 im A, B, C, D cú to xỏc nh bi cỏc h thc:
A(2;4;-1),

+= kjiOB 4
, C=(2,4,3),

+= kjiOD 22
.
a. Chng minh rng
ACAB
,
ADAC
,
ABAD
.Tớnh th tớch khi t din ABCD.
b. Vit phng trỡnh tham s ca ng vuụng gúc chung

ca hai ng thng AB v CD.
Tớnh gúc gia ng thng

v mt phng (ABD).
c. Vit phng trỡnh mt cu (S) i qua 4 im A, B, C, D. Vit phng trỡnh tip din
)(

ca
mt cu (S) song song vi mt phng (ABD).
Bi tp 35 Trong mt phng ta Oxyz, cho 4 im: A(0;1;0), B(2;3;1),
C(-2;2;2), D(1;-1;2).
a. Chng minh rng A, B, C, D l 4 nh ca t din. Tớnh th tớch t din ú.

b. Vit phng trỡnh mt phng (P) qua 3 im B, C, D. Tỡm ta im M trờn mt phng (P)
sao cho OM + AM nh nht.
c. Gi (S) l mt cu tõm A tip xỳc mp (P). Tỡm ta tip im ca mt cu (S) v mp (P).
BI TP TNG HP
Bi tp 1. Cho hỡnh lp phng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
cú cnh bng a
a) Tớnh theo a khong cỏch gia hai ng thng A
1
B v B
1
D.
b) Gi M, N, P ln lt l cỏc trung im ca cỏc cnh BB
1
, CD
1
, A
1
D
1
. Tớnh gúc gia hai ng
thng MP v C
1
N.

Bi tp 2 Cho hỡnh t din ABCD cú cnh AD vuụng gúc vi mt phng (ABC);
AC = AD = 4 cm ; AB = 3 cm; BC = 5 cm. Tớnh khong cỏch t im A ti mt phng (BCD).
Bi tp 3 Cho hỡnh lp phng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
cú cnh bng a
a) Tớnh theo a khong cỏch gia hai ng thng A
1
B v B
1
D.
b) Gi M, N, P ln lt l cỏc trung im ca cỏc cnh BB
1
, CD
1
, A
1
D
1
. Tớnh gúc gia hai ng
thng MP v C
1
N.
Bi tp 4 Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ng thng
(d) :

2 3
1 2 2
+ +
= =

x y z
v mt phng (P) :
2 5 0
+ =
x y z

a) Chng minh rng (d) ct (P) ti A . Tỡm ta im A .
b) Vit phng trỡnh ng thng (

) i qua A , nm trong (P) v vuụng gúc vi (d) .
Bi tp 5 Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im M(1;0;5) v hai mt phng
(P) :
2 3 1 0
+ + =
x y z
v (Q) :
5 0
+ + =
x y z
.
a) Tớnh khong cỏch t M n mt phng (Q) .
b) Vit phng trỡnh mt phng ( R ) i qua giao tuyn (d) ca (P) v (Q) ng thi vuụng gúc vi
mt phng (T) :
3 1 0
+ =

x y
.
Bi tp 6 Trong khụng gian vi h to cỏc vuụng gúc Oxyz, cho mt phng
(P): 2x - y + 2 = 0 v ng th ng d
m
:
( ) ( )
( )

=++++
=+++
02412
01112
mzmmx
mymxm

Xỏc nh m ng thng d
m
song song vi mt phng (P) .
Bi tp 7 Trong khụng gian vi h trc to cỏc vuụng gúc Oxyz, cho hai mt phng (P): x - y
+ z + 5 = 0 v (Q): 2x + y + 2z + 1 = 0. Vit phng trỡnh mt cu cú tõm thuc mt phng (P) v
tip xỳc vi mt phng (Q) ti M(1; - 1; -1).
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 19
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
Bi tp 8 Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ng thng (d ) :
3 1 3
2 1 1
+ +

= =
x y z
v
mt phng (P) :
2 5 0
+ + =
x y z
.
a. Tỡm ta giao im ca ng thng (d) v mt phng (P) .
b. Tớnh gúc gia ng thng (d) v mt phng (P) .
c. Vit phng trỡnh ng thng (

) l hỡnh chiu ca ng thng (d) lờn mt phng (P).
Bi tp 9 Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho hai ng thng
1
1 2
( ) :
2 2 1

= =

x y z
,
2
2
( ) : 5 3
4
=

= +

=

x t
y t
z

a. Chng minh rng ng thng
1
( )
v ng thng
2
( )
chộo nhau .
b. Vit phng trỡnh mt phng ( P ) cha ng thng
1
( )
v song song vi ng thng
2
( )

Bi tp 10 Trong khụng gian vi h to cỏc Oxyz cho hỡnh hp ch nht ABCD.A'B'C'D' cú
A trựng vi gc ca h to , B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A'(0; 0; b)
(a > 0, b > 0). Gi M l trung im cnh CC'.
a) Tớnh th tớch khi t din BDA'M theo a v b.
b) Xỏc nh t s
b
a

hai mt phng (A'BD) v (MBD) vuụng gúc vi nhau.
Bi tp 11 Trong khụng gian vi h to cỏc Oxyz cho hai im A(2; 0; 0) B(0; 0; 8) v im
C sao cho
( )
060 ;;AC =
. Tớnh khong cỏch t trung im I ca BC n ng thng OA.
Bi tp 12 Trong khụng gian vi h to cỏc vuụng gúc Oxyz cho ng thng:
d
k
:

=++
=++
01
023
zykx
zkyx

Tỡm k ng thng d
k
vuụng gúc vi mt phng (P): x - y - 2z + 5 = 0.
Bi tp 13 Trong khụng gian vi h to cỏc Oxyz cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l
hỡnh thoi, AC ct BD ti gc to O. Bit A(2; 0; 0) B(0; 1; 0)
S(0; 0; 2
2
). Gi M l trung im ca cnh SC.
a) Tớnh gúc v khong cỏch gia hai ng thng SA v BM.
b) Gi s mt phng (ABM) ct SD ti N. Tớnh th tớch hỡnh chúp S.ABMN.

Bi tp 14 Trong khụng gian vi h to cỏc Oxyz cho im A(-4; -2; 4) v ng thng d:

+=
=
+=
tz
ty
tx
41
1
23
(t R). Vit phng trỡnh ng thng i qua im A, ct v vuụng gúc vi
ng thng d.
Bi tp 15 Trong khụng gian vi h to cỏc Oxyz cho hỡnh lng tr ng ABC.A
1
B
1
C
1
. Bit
A(a; 0; 0); B(-a; 0; 0); C(0; 1; 0); B
1
(-a; 0; b) a > 0, b > 0.
a) Tớnh khong cỏch gia hai ng thng B
1
C v AC

1
theo a, b.
b) Cho a, b thay i nhng luụn tho món a + b = 4. Tỡm a, b khong cỏch gia 2 ng
thng B
1
C v AC
1
ln nht.
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 20
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
Bi tp 16 Trong khụng gian vi h to Oxyz cho ng thng d:
1 3 3
1 2 1
x y z +
= =

v
mt phng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0.
a) Tỡm to im I thuc d sao cho khong cỏch t I n mt phng (P) bng 2
b) Tỡm to giao im A ca ng thng d v mt phng (P). Vit phng trỡnh tham s ca
ng thng nm trong mt phng (P), bit i qua A v vuụng gúc vi d.
Bi tp 17 Trong khụng gian vi h to Oxyz cho hỡnh lng tr ng ABC.A
1
B
1
C
1
vi A(0; -3;
0) B(4; 0; 0) C(0; 3; 0) B
1

(4; 0; 4)
a) Tỡm to cỏc nh A
1
, C
1
. Vit phng trỡnh mt cu cú tõm l A v tip xỳc vi mt phng
(BCC
1
B
1
).
b) Gi M l trung im ca A
1
B
1
. Vit phng trỡnh mt phng P) i qua hai im A, M v song
song vi BC
1
. mt phng (P) ct ng thng A
1
C
1
ti im N. Tớnh di on MN
Bi tp 18 Trong khụng gian vi h to Oxyz cho hai ng thng:
d
1
:
1 2 1
3 1 2
x y z + +

= =

v d
2
:
2 0
3 12 0
x y z
x y
+ =

+ =

a) Chng minh rng: d
1
v d
2
song song vi nhau. Vit phng trỡnh mt phng (P) cha c hai
ng thng d
1
v d
2
.
b) Mt phng to Oxz ct hai ng thng d
1
, d
2
ln lt ti cỏc im A, B. Tớnh din tớch OAB
(O l gc to )

Bi tp 19 Trong khụng gian vi h to Oxyz. Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD vi A(0;
0; 0) B(1; 0; 0) D(0; 1; 0) A(0; 0; 1). Gi M v N ln lt l trung im ca AB v CD.
a) Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AC v MN.
b) Vit phng trỡnh mt phng cha AC v to vi mt phng Oxy mt gúc bit cos =
1
6

Bi tp 20 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im A(1; 2; 3) v hai ng thng
d
1
:
2 2 3
2 1 1
x y z +
= =

d
2
:
1 1 1
1 2 1
x y z +
= =

a) Tỡm to im A i xng vi im A qua ng thng d
1
b) Vit phng trỡnh ng thng i qua A vuụng gúc vi d
1
v ct d
2

Bi tp 21 Trong khụng gian vi h to Oxyz cho hai ng thng
d
1
:
1 2
2 1 1
x y z +
= =

v d
2
:
1 2
1
3
x t
y t
z
= +

= +

=

a) Chng minh rng: d
1
v d
2

chộo nhau.
b) Vit phng trỡnh ng thng d vuụng gúc vi mt phng (P): 7x + y - 4z = 0 v ct hai ng
thng d
1
, d
2
Bi tp 22 Trong khụng gian vi h to Oxyz cho mt cu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x + 4y + 2z - 3 = 0
v mt phng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0
a) Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha trc Ox v ct (S) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh bng
3.
b) Tỡm to im M thuc mt cu (S) sao cho khong cỏch t M n mt phng (P) ln nht.
Bi tp 23 Trong khụng gian vi h to Oxyz cho hai im A(1; 4; 2 B(-1 2; 4) v ng thng
:
1 2
1 1 2
x y z +
= =

Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 21
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
a) Vit phng trỡnh ng thng d i qua trng tõm G ca tam giỏc OAB v vuụng gúc vi mt
phng (OAB).
b) Tỡm to im M thuc ng thng sao cho MA
2

+ MB
2
nh nht
Bi tp 24 Trong khụng gian vi h to cỏc Oxyz cho ng thng
d:

=+
=+
0422
0122
zyx
zyx
v mt cu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x - 6y + m = 0.
Tỡm m ng thng d ct mt cu (S) ti hai im M, N sao cho khong cỏch gia hai im ú
bng 9.
Bi tp 25 Trong khụng gian vi h to cỏc Oxyz cho t din ABCD vi A(2; 3; 2), B(6; -1;
-2), C(-1; -4; 3), D(1; 6; -5). Tớnh gúc gia hai ng thng AB v CD. Tỡm to im M thuc
ng thng CD sao cho ABM cú chu vi nh nht.
Bi tp 26 Trong khụng gian vi h to cỏc Oxyz cho t din OABC vi A(0; 0;
3a
), B(0;
0; 0), C(0; a

3
; 0) (a > 0). Gi M l trung im ca BC. Tớnh khong cỏch gia hai ng thng
AB v OM.
Bi tp 27 Trong khụng gian vi h to cỏc Oxyz cho hai im I(0; 0; 1), K(3; 0; 0). Vit
phng trỡnh mt phng i qua hai im I, K v to vi vi mt phng xOy mt gúc bng 30
0
Bi tp 28 Trong khụng gian vi h to cỏc Oxyz cho hai ng thng (
1
) v (
2
) cú phng
trỡnh:
1
:

=+
=+
0104
0238
zy
yx

2
:

=++

=
022
032
zy
zx
a) Chng minh (
1
) v (
2
) chộo nhau.
b) Vit phng trỡnh ng thng () song song vi trc Oz v ct cỏc ng thng (
1
) v (
2
).
Bi tp 29 Cho hỡnh l p ph ng ABCD.A'B'C'D' v i cỏc c nh b ng a. Gi s M, N l n l t
l trung i m c a BC, DD'. Tớnh kho ng cỏch gi a hai ng th ng BD v MN theo a.
Bi tp 30 Trong khụng gian v i h to cỏc Oxyz cho t di n OABC cú O l g c
t a , A Ox, B Oy, C Oz v m t ph ng (ABC) cú ph ng trỡnh:
6x + 3y + 2z - 6 = 0.
a) Tớnh th tớch kh i t di n OABC.
b) Xỏc nh to tõm v tớnh bỏn kớnh c a m t c u ngo i ti p kh i t di n OABC.
Bi tp 31 Trong không gian Oxyz cho 2 đờng thẳng:
1
:

=++
=+

0422
042
zyx
zyx
và
2
:

+=
+=
+=
tz
ty
tx
21
2
1
a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng
1
và song song với đờng thẳng
2
.
b) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng
2
sao cho đoạn thẳng MH có độ dài
nhỏ nhất.

B i t p 32 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x - y
+ z + 5 = 0 và (Q): 2x + y + 2z + 1 = 0. Viết phơng trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp
xúc với mặt phẳng (Q) tại M(1; - 1; -1).
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 22
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
Bi tp 33 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai điểm A(2; 0; 0) B(0; 0; 8) và điểm
C sao cho
( )
060 ;;AC =
. Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đờng thẳng OA.
Bi tp 34 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2; 0; 0) B(0; 1; 0)
S(0; 0; 2
2
). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đờng thẳng SA và BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN.
Bi tp 35 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
. Biết
A(a; 0; 0); B(-a; 0; 0); C(0; 1; 0); B
1
(-a; 0; b) a > 0, b > 0.
a) Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng B
1
C và AC

1
theo a, b.
b) Cho a, b thay đổi nhng luôn thoả mãn a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa 2 đờng
thẳng B
1
C và AC
1
lớn nhất.
Bi tp 36 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đờng thẳng d:
1 3 3
1 2 1
x y z +
= =

và mặt
phẳng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0.
a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2
b) Tìm toạ độ giao điểm A của đờng thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phơng trình tham số của đờng
thẳng nằm trong mặt phẳng (P), biết đi qua A và vuông góc với d.
Bi tp 37 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
với A(0; -3; 0)
B(4; 0; 0) C(0; 3; 0) B
1
(4; 0; 4)
a) Tìm toạ độ các đỉnh A

1
, C
1
. Viết phơng trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng
(BCC
1
B
1
).
b) Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phơng trình mặt phẳng P) đi qua hai điểm A, M và song song
với BC
1
. mặt phẳng (P) cắt đờng thẳng A
1
C
1
tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN
B i t p 38 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng:
d
1
:
1 2 1
3 1 2
x y z + +
= =

và d
2
:
2 0
3 12 0
x y z
x y
+ =

+ =

Chứng minh rằng: d
1
và d
2
song song với nhau. Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đờng
thẳng d
1
và d
2
mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đờng thẳng d
1
, d
2
lần lợt tại các điểm A, B. Tính diện tích OAB (O là
gốc toạ độ)
Bi tp 39 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 2) và hai đờng thẳng :
d
1

:
1 1
2 1 1
x y z +
= =

d
2
:
1
1 2
2
x t
y t
z t
= +

=

= +

a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d
1
và d
2
.
b) Tìm toạ độ các điểm M d
1

, N d
2
sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng
Bi tp 40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a
2
, SA = a
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lợt là trung điểm của AD và SC; I là giao
điểm của BM và AC. Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể
tích của khối tứ diện ANIB
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 23
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
Bi tp 41 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x + 4y + 2z - 3 = 0
và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0
a) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đờng tròn có bán kính bằng 3.
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất
Bi tp 42 Trong không gian Oxyz cho 2 đờng thẳng:
1
:

=++
=+
0422

042
zyx
zyx
và
2
:

+=
+=
+=
tz
ty
tx
21
2
1
a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng
1
và song song với đờng thẳng
2
.
b) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng
2
sao cho đoạn thẳng MH có độ dài
nhỏ nhất.
Bi tp 43 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng

(P): 2x - y + 2 = 0 và đờng thẳng d
m
:
( ) ( )
( )

=++++
=+++
02412
01112
mzmmx
mymxm

Xác định m để đờng thẳng d
m
song song với mặt phẳng (P) .
Bi tp 43 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho t din ABCD cú cỏc nh A(1;2;1), B(-
2;1;3), C(2;-1;1) v D(0;3;1). Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B sao cho khong cỏch t
C n (P) bng khong cỏch t D n (P)
Bi tp 44 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x 2y + 2z 5 = 0 v hai
im A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong cỏc ng thng i qua A v song song vi (P), hóy vit phng
trỡnh ng thng m khong cỏch t B n ng thng ú l nh nht.
Bi tp 45. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho cỏc im A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) v
mt phng (P): x + y + z 20 = 0. Xỏc nh ta im D thuc ng thng AB sao cho ng
thng CD song song vi mt phng (P).
Bi tp 46 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng :
x 2 y 2 z
1 1 1

+
= =

v mt
phng (P): x + 2y 3z + 4 = 0. Vit phng trỡnh ng thng d nm trong (P) sao cho d ct v
vuụng gúc vi ng thng .
Bi tp 47 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mp(
P

)

:

2

x

2

y

z

4

=

0
mt cu (S):
x
2

+

y

2

+

z

2

2

x

4

y

6

z

11

=

0.
Ch ng minh r ng m t ph ng
(

P

)
c t (S)
theo m t ng tr ũn. Xỏc nh to tõm v tớnh bỏn kớnh ca ng trũn ú.
Bi tp 48 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mp(
P

)

:

x

2

y
+
2
z

1

=

0 v hai
ng th ng
1
1 9
:
1 1 6
x x z+ +
= =
v
2
1 3 1
:
2 1 2

x y z +
= =

. Xỏc nh M thu c

1
sao cho kho ng
cỏch t M n

1
v kho ng cỏch t M n mp(P) b ng nhau.
Bi tp 49
Trong

khụng

gian

v i

h

ta

Oxyz,

cho

i m

A

(

2

;

5

;

3
)

v

ng

th ng
1 2
:
2 1 2
x y z
d

= =
a)

Tỡm

ta

hỡnh

chiu

vuụng

gúc

ca

i m

A

trờn

ng

th ng

d.
b)

Vit

ph n g

trỡnh

m t

ph ng

()

ch a

d

sao

cho

khong

cỏch

t

A

n

()

l n

nht.
Chuyên đề: Phơng pháp tọa độ trong không gian Trang 24
Bài tập toán hình giải tích_12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thoi
Bi tp 50
Trong

khụng

gian

v i

h

ta

Oxyz,

cho

ba

i m