bài tập toán 11 HKII khá đầy đủ

Trường THPT Phước Bình Tổ Toán – Tin
I. Phương pháp chứng minh qui nạp
1.Chứng minh rằng :
a) 1 + 2 + 3 + … + n =
n(n 1)
2
+
b) 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ …+ n
2
=
c) 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1) = n
2
d) 1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ …+ (2n – 1)
2
=
e) 1
3
+ 2
3

+ 3
3
+ …+ n
3
= f) + + +...+ =
g) 1 + + +...+ = 1 – h) (1 – )(1 – )…(1 – ) =
i) 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n + 1) =
j) 1.2 + 2.5 + 3.8 + …+ n(3n – 1) = n
2
(n + 1) n ∈ N
k) + + +...+ =
l) 1.2 + 2.5 + 3.7 + …+ n(3n – 1) = n
2
(n + 1)
m) 1.4 + 2.7 + 3.10 + …+ n(3n + 1) = n(n + 1)
2
n) 1 + 4 + 7 + …+ (3n + 1) =
o) 2 + 5 + 8 + …+ (3n – 1) = p) + + +...+ =
q) + + +...+ = –
r) 1 + 3 + 6 + 10 +... + =
s) + + +...+ =
2.Chứng minh rằng :
a)n
3
– n chia hết cho 6 ∀ n > 1 b) n
3
+ 11n chia hết cho 6 ∀ n
c) 4
2n +2
– 1 chia hết cho 15 ∀ n d) 2

n+2
> 2n + 5
d) n
3
+ 3n
2
+ 5n chia hết cho 3 e) 4
n
+ 15n – 1 chia hết cho 9
e) 3
n – 1
> n ∀ n > 1 f) 3
n
> 3n + 1 g) 2
n
– n >
f)11
n +1
+ 12
2n – 1
chia hết cho 133 g) 5.2
3n – 2
+ 3
3n – 1
chia hết cho 19
g) 2n
3
– 3n
2
+ n chia hết cho 6 g) 3

n
> n
2
+ 4n + 5
f) ∀ n >1
g) ∀ n ≥ 1
h)
..…
< i) 1 + + + …+ > ∀n ≥ 2
j) 1 + + + …+ < 2 ∀n ≥ 2
k) 1 + + + …+ < n
3. Chứng minh rằng = 2cos ( n dấu căn)
4. Chứng minh rằng (1 + a)
n
≥ 1 + na với a > – 1
5. Chứng minh rằng
a) sinx + sin2x + sin3x + …+ sinnx =
b) 1 + cosx + cos2x + cos3x + …+ cosnx =
c) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + …+ cos
2
nx = +
6. Cho n số thực dương x
1
,x

2
,…,x
n
thỏa mãn điều kiện x
1.
x
2.
…x
n
= 1
Chứng minh rằng: x
1
+

x
2
+ …+ x
n
≥ n
7. Cho n số thực x
1
,x
2
,…,x
n
∈ (0;1) n ≥ 2 . Chứng minh rằng:
(1 – x
1
)(1–

x
2
)…(1 – x
n
) > 1 – x
1
– x
2
– …– x
n

II. Dãy số
1.Viết 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau :
a) u
n
= b) u
n
= c) u
n
= d) u
n
=
e) u
n
= b) u
n
= c) u
n
= (1 + )
n

d) u
n
=
2.Cho dãy số u
n
=
a) Xác định 5 số hạng đầu tiên
b) số là số hạng thứ mấy của dãy số
c) số là số hạng thứ mấy của dãy số
Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 1
Trường THPT Phước Bình Tổ Toán – Tin
3. Cho dãy số (u
n
) với u
n
= 5.4
n – 1
+ 3
Chứng minh rằng: u
n + 1
= 4u
n
– 9 ∀ n ≥ 1
4. Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:
a) u
1
= 3 ; u
n +1
= u
n

+ 4 b) u
1
= 4 ; u
n +1
= 3u
n
+ 2
c) u
1
= 2 ; u
n +1
= u
n
d) u
1
= ; u
n +1
=
e) u
1
= ; u
n +1
= f) u
1
= ; u
n +1
=
g) u
1
= 1 ; u

n +1
= u
n
+ 1 h)

u
1
= 1 ; u
n +1
= u
n
+ ()
n

5. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi : u
1
= 0 ; u
2
= 1 ; u
n + 2
=
a)Chứng minh rằng: u
n + 1
= – u
n
+ 1
b)Xác định công thức tính u
n

.Từ đó tính limu
n
6. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi : u
1
= 2 ; u
2
= 1 ; u
n
=
a)Chứng minh rằng: 2u
n
+ u
n–1
= 4 và u
n
– u
n– 1
= 3(– )
n– 2
b) Tính limu
n
7. Tìm số hạng thứ 2005 của dãy số:
a) u
1
= 1 ; u
2
= – 2 ; u
n

= 3u
n – 1
– 2u
n – 2
b) u
1
= 1 ; u
2
= 2 ; u
n
= 4u
n – 1
– 3u
n – 2
8. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 1 và u
n + 1
= u
n
+ 7 ∀ n ≥ 1
a)Tính u
2
, u
4
và u
6
b)Chứng minh rằng: u

n
= 7n – 6 ∀n ≥ 1
9. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 1 và u
n + 1
= – u
n
2
+ u
n
+ 1 ∀ n ≥ 1
a)Tính u
2
, u
3
và u
4
b)Chứng minh rằng: u
n
= u
n + 3
∀n ≥ 1
10. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 2 và u

n + 1
= 5u
n
∀ n ≥ 1
a)Tính u
2
, u
4
và u
6
b)Chứng minh rằng: u
n
= 2.5
n – 1
∀n ≥ 1
11. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 2 và u
n + 1
= 3u
n
+ 2n – 1 ∀ n ≥ 1
Chứng minh rằng: u
n
= 3
n
– n ∀n ≥ 1
12. Cho dãy số (u

n
) xác định bởi u
1
= 2 và u
n + 1
= ∀ n ≥ 1
Chứng minh rằng: (u
n
) là một dãy không đổi
13. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= và u
n + 1
= 4u
n
+ 7 ∀ n ≥ 1
a)Tính u
2
, u
3
và u
4
b)Chứng minh rằng: u
n
= ∀n ≥ 1
14. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a) u
n

= b) u
n
= c) u
n
= n – d) u
n
=
15. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a) u
n
= b) u
n
= n
2
– 5 c) u
n
= d) u
n
= (– 1)
n
.n e) u
n
= 2
n

f) u
n
= g) u
n
= h) u

n
= i) u
n
= n + cos
2
n j) u
n
= 1 –
16. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau :
a) u
n
= b) u
n
= c) u
n
= d) u
n
=
e) u
n
= n dấu căn f) u
n
= 2n + cos
f) u
n
= – 2 g) u
n
= h) u
n
= (– 1)

n
(2
n
+ 1) k) u
n
=
l) u
n
= 2n + m) u
n
=
17. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
n
= a là một số thực.Hãy xác định a để:
a) (u
n
) là dãy số giảm b) (u
n
) là dãy số tăng
18. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) u
n
= b) u
n
= c) u
n
= d) u
n

=
e) u
n
= f) u
n
= g) u
n
= n dấu căn
19. Chứng minh rằng dãy số sau tăng và bị chặn trên:
u
n
= + + …+
20. Chứng minh rằng dãy số sau giảm và bị chặn : u
n
=
21. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức: u
1
= 0 và u
n +1
= u
n
+ 4
a)Chứng minh rằng u
n
< 8 ∀ n
b)Chứng minh rằng dãy (u
n
) tăng và bị chặn

22. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức: u
1
= 1 và u
n +1
=
a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số
b)Chứng minh rằng (u
n
) bị chặn dưới bởi số 1 và
bị chặn trên bởi số 3/2
23. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức u
1
= và u
n +1
=
Chứng minh rằng u
n
< 3 ∀ n
Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 2
Trường THPT Phước Bình Tổ Toán – Tin
24. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
n
=
a)Tìm 5 số hạng đầu tiên b)Chứng minh rằng (u

n
) bị chặn
25. Chứng minh rằng dãy số xác định bởi : u
1
= ; u
n +1
= tăng và bị chặn trên
26. Chứng minh rằng:các dãy số sau
a) u
n
= + + … + (u
n
) là dãy tăng và bị chặn trên bởi 1
b) u
n
= 1 + + + …+ tăng và bị chặn trên bởi 2
c) u
1
= ;u
n + 1
= tăng và bị chặn trên bởi 2
d) u
1
= 1;u
n + 1
= tăng và bị chặn trên bởi
27. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số (u
n
) với u
n

=
III. Cấp số cộng
1. Cho cấp số cộng thoả mãn a
10
= 15 ; a
5
= 5 .Tính a
7
2. Cho cấp số cộng thoả mãn



=+
=−+
8aa
10aaa
62
473
Tính a
5
;S
9
3. Cho cấp số cộng thoả mãn



=
=−
75a.a
8aa

72
37
Tính a
10
;S
100
4. Tìm cấp số cộng biết
a)



=+
=−+
26aa
10aaa
64
352
b)



=+
=+
1170aa
60aa
2
12
2
4
157

5. Một cấp số cộng có số hạng thứ nhất là 5, số hạng cuối là 45 và tổng tất cả các số hạng là 400. Hỏi
cấp số cộng có mấy số hạng,xác định cấp số cộng đó
6. Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số cộng . Chứng minh rằng :
a) a
2
+ 2bc = c
2
+ 2ab
b) 3 số a
2
+ ab + b
2
; a
2
+ ac + c
2
; b
2
+ bc + c
2
cũng tạo thành 1 cấp số cộng
c) a
2
+ 8bc = (2b + c)
2
d) 3(a
2
+ b
2
+ c

2
) = 6(a – b)
2
+ (a + b + c)
2
7. Bốn số a,b,c,d tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 10, tích = – 56. Tìm 4 số đó
8. Năm số a,b,c,d,e tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 10, tích = 320. Tìm 5 số đó
9. Ba số a ,b ,c lập thành một cấp số cộng có tổng = 27 và tổng bình phương của chúng là 293.Tìm 3
số đó
10. Ba số a ,b ,c lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là 5 và tích của chúng là 1140.Tìm 3 số đó
11. Ba số a,b,c tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 12, tổng nghịch đảo của chúng = .Tìm 3 số đó
12. Tìm các nghiệm của phương trình x
3
– 15x
2
+ 71x – 105 = 0 biết rằng chúng tạo thành một cấp số
cộng
13. Bốn số a,b,c,d tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 8, tổng nghịch đảo của chúng = .Tìm 3 số đó
14. Giữa các số 7 và 35 hãy thêm vào 6 số nữa để được 1 cấp số cộng
15. Cho các số a,b,c > 0. Chứng minh rằng :
a)các số a
2
, b
2
, c
2
lập thành 1 cấp số cộng ⇔ các số
,

,

lập thành 1 cấp số cộng
b)các số a,b,c lập thành 1 CSC ⇔ các số
,

,
lập thành 1 cấp số cộng
16. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 3 cạnh a,b,c lập thành 1 cấp số cộng ⇔ tan
.
tan=
17. Chứng minh rằng nếu cot, cot , cot tạo thành 1 cấp số cộng thì 3 cạnh a,b,c cũng tạo thành 1 cấp số
cộng theo thứ tự đó
18. Môt đa giác có chu vi là 158cm,độ dài các cạnh lập thành 1 cấp số cộng với công sai d = 3.Biết
cạnh lớn nhất là 44cm. Tính số cạnh của đa giác
Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 3
Trường THPT Phước Bình Tổ Toán – Tin
19. Một đa giác lồi có 9 cạnh và các góc lập thành một cấp số cộng có công sai d = 3
o
. Tính các góc
của đa giác đó
20. Tìm 4 số nguyên khác nhau,biết rằng chúng lập thành 1 cấp số cộng và số hạng đầu bằng tổng các
bình phương của 3 số còn lại
21. Cho cấp số cộng (u
n
). Chứng minh rằng :
a) + +…+ = u
n
≠ 0 ∀ n
b) + + …+ =
22. Tìm m để phương trình x
4

– (3m + 5)x
2
+ (m+1)
2
= 0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành 1 CSC
23. Cho 2 cấp số cộng (u
n
) : 4,7,10,13,16,.... ; (v
n
) : 1,6,11,16,21,...
Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng đó có bao nhiêu số hạng chung
24. Một xe máy xuất phát từ A với vận tốc 24km/giờ.Sau hai giờ một xe máy khác đuổi theo với vận
tốc trong giờ đầu là 30km/giờ và cứ mỗi giờ sau tăng vận tốc lên 4 km so với giờ trước.Hỏi sau mấy
giờ thì hai người gặp nhau và khi đó cách A bao nhiêu km
25. Cho dãy số (u
n
) mà tổng của n số hạng đầu tiên của nó,kí hiệu là S
n
được xác định theo công thức
sau: S
n
=
a)Hãy tính u
1
,u
2
,u
3
b)Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (u
n

)
c)Chứng minh rằng: (u
n
) là một cấp số cộng ,xác định công sai
26. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 1 và u
n + 1
= ∀n ≥ 1
a)Chứng minh rằng: dãy số (v
n
) mà v
n
= u
n
2
∀n ≥ 1 là một cấp số cộng , hãy xác định cấp số cộng đó
b)Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (u
n
)
c)Tính tổng S = u
1
2
+ u
2
2
+ u
3

2
+ …+ u
100
2

27. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
= 1 và u
n +1

= u
n
+ n, ∀n ≥ 1. Xét dãy số (v
n
) mà v
n
= u
n + 1
– u
n
∀ n
≥ 1
a)Chứng minh rằng: với mọi số nguyên dương k,tổng của k số hạng đầu tiên của dãy số (v
n
) bằng u
k +
1
– u

1

b)Chứng minh rằng: dãy số (v
n
) là là một cấp số cộng ,hãy xác định cấp số cộng đó
28. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
= 1 và u
n +1

= u
n
+ 2n – 1 ∀n ≥ 1
Xét dãy số (v
n
) mà v
n
= u
n + 1
– u
n
∀ n ≥ 1
a)Chứng minh rằng: dãy số (v
n
) là là một cấp số cộng ,hãy xác định cấp số cộng đó
b)Cho số nguyên dương k,hãy tính tổng của k số hạng đầu tiên của dãy số (v
n
) theo k. Từ đó suy ra số

hạng tổng quát của (u
n
)
29. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
= – 2 và u
n +1

= ∀n ≥ 1
a)Chứng minh rằng: u
n
< 0 ∀n ∈ N
b) Đặt v
n
= . Chứng minh rằng: (v
n
) là một cấp số cộng .Từ đó suy ra biểu thức của u
n
và v
n

30. Cho hai CSC (u
n
) và (v
n
) lần lượt có tổng của n số hạng đầu tiên là S
n
= 7n + 1 và S

n
’ = 4n + 27.
Tính tỉ số
31. Xác định cấp số cộng biết rằng tổng của n số hạng đầu tiên được tính bởi công thức S
n
= 4n
2
+ 5n ,
∀n ∈ N
32. Cho cấp số cộng (u
n
) biết S
p
= q và S
q
= p. Hãy tính S
p + q

33. Cho cấp số cộng (u
n
) biết u
p
= q và u
q
= p. Hãy tính u
n

34. Cho cấp số cộng (u
n
) biết S

n
= 2n + 3n
2
. Tìm u
q

35. Cho cấp số cộng (u
n
) biết S
n
= n
2
và S
m
= m
2
. Chứng minh rằng: u
m

= 2m – 1 và u
n

= 2n – 1
36. Cho cấp số cộng (u
n
) biết S
n
= n(5n – 3). Tìm số hạng u
p

IV. Cấp số nhân
1.Cho cấp số nhân có u
2
= – 8; u
5
= 64.Tính u
4
; S
5
2.Cho cấp số nhân thoả:
a)



=+
=+
180aa
60aa
35
24
tìm a
6
; S
4
b)



=++
=−

91aaa
728aa
531
17
tìm a
4
; S
5
Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 4
Trường THPT Phước Bình Tổ Toán – Tin
c)



=+
=+
20aa
1460aa
31
17
tìm a
2
; S
5

d)



=+−

=+
65aaa
325aa
531
17
tìm u
1
, q
3. Cho cấp số nhân (u
n
) có 3.u
2
+ u
5
= 0 và u
3
2
+ u
6
2
= 63. Tính tổng
S = |u
1
| + |u
2
| + |u
3
| + ….+|u
15
|

4. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 2 và u
n + 1
= 3.u
n
2
– 10 ∀n ≥ 1. Chứng minh rằng: (u
n
) vừa là cấp
số cộng ,vừa là cấp số nhân
5. Cho tứ giác ABCD có 4 góc tạo thành 1 cấp số nhân có công bội bằng 2 . Tìm 4 góc ấy
6. Một cấp số nhân có số hạng đầu là 9 số hạng cuối là 2187, công bội q = 3. Hỏi cấp số nhân ấy có
mấy số hạng
7. Xác định cấp số nhân có công bội q = 3, số hạng cuối là 486 và tổng các số hạng là 728
8. Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu bằng 31 và tổng của 5 số hạng sau
bằng 62
9. Tìm cấp số nhân có 4 số hạng, biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 27 và tích của
hai số hạng còn lại bằng 72
10. Trong 1 hồ sen số lá sen ngày sau bằng 3 lần số lá sen ngày trước. Biết rằng nếu ngày đầu tiên có 1
lá sen thì tới ngày thứ 10 thì hồ đầy lá sen
a)Khi đầy hồ có mấy lá sen
b)Nếu ngày đầu tiên có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy đầy hồ
11. Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số nhân .Chứng minh rằng
a) (a + b + c)(a – b + c) = a
2
+ b
2

+ c
2

b) (bc + ca + ab)
3
= abc(a + b + c)
3
c) (a
2
+ b
2
)(b
2
+ c
2
) = (ab + bc)
2
d) 3 số ; ; tạo thành 1 cấp số cộng
e) 3 số (a + b + c); ; cũng lập thành một cấp số nhân với a ,b ,c > 0
12. Tìm x để 3 số x + 1 ; x + 4 ; 5x + 2 tạo thành 1 cấp số nhân
13. Cho 3 số tạo thành 1 cấp số nhân .Nếu thêm 4 vào số hạng thứ hai ta được 1 cấp số cộng. Nếu
thêm 32 vào số hạng thứ 3 ta được 1 cấp số nhân .Tìm 3 số hạng đó
14. Tìm cấp số nhân a,b,c biết
a)



=
=++
64c.b.a

14cba
b)



=
=++
3375c.b.a
65cba
15. Biết rằng 3 số a,b,c lập thành 1 cấp số nhân và 3 số a, 2b, 3c lập thành 1 cấp số cộng. Tìm công
bội của cấp số nhân
16. Tìm cấp số nhân a,b,c biết rằng tổng a + b + c = 26, đồng thời chúng lần lượt là số hạng thứ nhất,
thứ ba và thứ chín của một cấp số cộng khác
17. Tìm cấp số nhân a,b,c biết rằng tổng a + b + c = 21, đồng thời chúng lần lượt là số hạng thứ nhất,
thứ hai và thứ tư của 1 cấp số cộng khác
18. Tính các góc của 1 tam giác vuông có độ dài 3 cạnh lập thành 1 cấp số nhân
19. Cho 2 số a, b > 0.Giữa các số và hãy thêm vào 5 số nữa để được 1 cấp số nhân
20. Hãy xác định 1 cấp số nhân có 6 số hạng,biết rằng tổng 3 số hạng đầu bằng 168, tổng 3 số hạng
sau bằng 21
21. Khoảng cách giữa 1 người đi xe máy và 1 người đi bộlà 1km .Vận tốc của xe máy = 10 lần vận tốc
người đi bộ. Hỏi xe máy cần vượt 1 quãng đường dài bao nhiêu để đuổi kịp người đi bộ
22. Tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 4.Trung điểm của các cạnh tam giác ABC lập thành tam
giác A
1
B
1
C
1
, trung điểm các cạnh của A
1

B
1
C
1
lập thành tam giác A
2
B
2
C
2
, trung điểm các cạnh của
A
2
B
2
C
2
lập thành tam giác A
3
B
3
C
3
....Tính tổng chu vi của tất cả các tam giác ABC,

A
1
B
1
C

1
,

A
2
B
2
C
2
...
23. Các cạnh của tam giác ABC lập thành 1 cấp số nhân. Chứng minh rằng tam giác ấy không thể có 2
góc lớn hơn 60
0

Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 5
Trng THPT Phc Bỡnh T Toỏn Tin
24. Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc A,B,C lp thnh 1 cp s nhõn cú cụng bi q = 2. Chng minh rng :
a) b) cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C =
25. Hóy xỏc nh a,b sao cho 1,a,b lp thnh 1 cp s cng v 1, a
2
, b
2
lp thnh 1 cp s nhõn
26. Ba s dng lp thnh 1 cp s cng cú tng = 15. Nu thờm 1 vo s th nht v s th hai, thờm 4

vo s th ba thỡ c 3 s mi lp thnh 1 cp s nhõn .Tỡm cỏc s ú
27. Ba s lp thnh 1 cp s cng cú tng = 15. Nu thờm 1 vo s th nht, thờm 4 vo s th hai, thờm
19 vo s th ba thỡ c 3 s mi lp thnh 1 cp s nhõn . Tỡm cỏc s ú
28. Bn s lp thnh 1 CSC .Ln lt tr mi s y cho 2, 6, 7, 2 ta c 1 CSN .Tỡm 4 s ú
29. Ba s khỏc nhau to thnh 1 cp s nhõn, cú tng = 15 ng thi chỳng l s hng th nht, th t,
th hai mi lm ca 1 cp s cng khỏc. Tỡm cỏc s ú
30. Cho cp s nhõn a,b,c,d. Chng minh rng :
a) a
2
b
2
c
2
= a
3
+ b
3
+ c
3
b) (ab + bc + cd)
2
= (a
2
+ b
2
+ c
2
)(b
2
+ c

2
+ d
2
)
c) (d b)
2
+ (b c)
2
+ (c a)
2
= (d a)
2
31. Mt cp s cng v mt cp s nhõn cựng cú s hng th nht bng 5, s hng th hai ca cp s
cng ln hn s hng th hai ca cp s nhõn l 10, cũn cỏc s hng th ba thỡ bng nhau.Tỡm cỏc cp
s ú
32. Ba s x ,y ,z theo th t ú lp thnh mt cp s nhõn vi cụng bi q 1; ng thi cỏc s x ,2y , 3z
theo th t ú lp thnh mt cp s cng vi cụng sai d 0. Hóy tỡm q
33. Ba s x + 6y ,5x + 2y ,8x + y theo th t lp thnh mt CSC; ng thi cỏc s x 1 , y + 2 , x 3y
theo th t ú lp thnh mt cp s nhõn. Hóy tỡm x v y
34. Ba s x + 6y ,5x + 2y ,8x + y theo th t lp thnh mt CSC; ng thi cỏc s x + , y 1, 2x 3y
theo th t ú lp thnh mt cp s nhõn. Hóy tỡm x v y
35. Ba s x ,y ,z theo th t ú lp thnh mt CSN;ng thi cỏc s x , y 4 , z theo th t ú lp thnh
mt CSN; v ba s x , y 4 , z 9 theo th t ú lp thnh mt CSC . Hóy tỡm x ,y ,z
36. Cỏc s x + 5y ,5x + 2y ,8x + y theo th t ú lp thnh mt cp s cng; ng thi cỏc s (y 1)
2
,
xy 1, (x + 2)
2
theo th t ú lp thnh mt cp s nhõn . Hóy tỡm x v y
37. Tớnh cỏc tng

a) S = 1 + + + + +
b) S = ( ) + ( ) + ( ) + + ( )
c) S = 1 + + + + +
38. Cho dóy s (u
n
) xỏc nh bi u
1
= 1 ;u
n + 1
= v dóy s (v
n
) xỏc nh bi v
n
= u
n
2 . Chng minh
rng: (v
n
) l mt cp s nhõn .T ú suy ra biu thc ca u
n
v v
n
V. Gii hn hm s
1. Duứng ủũnh nghúa, CMR:
a)
x 2
lim(2x 3) 7

+ =
b)

x 3
x 1
lim 1
2(x 1)

+
=

c)
2
x 1
x 3x 2
lim 1
x 1

+
=

2. Tỡm caực giụựi haùn sau
a)
3 2
x 0
lim(x 5x 10x)

+ +
b)
2
x 1
x 5x 6
lim

x 2

+

c)
x 3
lim x 1



d)
2
2
x 2
2x 3x 1
lim
x 4x 2

+ +
+ +
e)
3
x 1
1 1
lim
1 x
1 2x

ữ
+

f)
2
3
x 0
x 4
lim
x 3x 2


+

g)
x 1
1 x 1 x
lim
x

+
h)
x
2
sin x
lim
x


i)

0
1
lim
cos
x
x

j)
0
tan sin2x
lim
cos
x
x
x

+
k)
x
4
tgx
lim
x



Bi tp SGT 11NC hc kỡ II Trang 6
Trng THPT Phc Bỡnh T Toỏn Tin
Daùng voõ ủũnh
0

0
3. Tỡm caực giụựi haùn sau:
a)
2
2
x 2
x 4
lim
x 3x 2


+
b)
2
2
x 1
x 1
lim
x 3x 2


+ +
c)
2
2
x 5
x 5x
lim
x 25

d)
2
2
x 2
x 2x
lim
2x 6x 4


+
e)
3
4
x 1
x 3x 2
lim
x 4x 3

+
+
f)
3 2
2
x 1
x x x 1
lim
x 3x 2

+
+

g)
2
3
2
2 6
lim
8
x
x x
x

+
+
h)
4 2
2
3
72
lim
2 3
x
x x
x x



i)

5
3
1
1
lim
1
x
x
x

+
+

j)
3 2
4 2
x 3
x 5x 3x 9
lim
x 8x 9

+ +

k)
4 3 2
3 2
x 1
2x 8x 7x 4x 4
lim
3x 14x 20x 8

+ +
+ + +
l)
3 2
3
x 2
x 3x 9x 2
lim
x x 6


+
+

m)
2
1
2 1
lim
1 1
x
x x



ữ


n)

3
1
1 3
lim
1 1
x
x x



ữ


o)
5 6
2
x 1
x 5x 4x
lim
(1 x)

+

p)
3 3
h 0
(x h) x
lim
h

+
q)
2
3 3
x a
x (a 1)x a
lim
x a

+ +

r)
4 4
x a
x a
lim
x a




s)
3 3
h 0
2(x h) 2x
lim
h

+
t)

2 2
x 1
x 2 x 4
lim
x 5x 4 3(x 3x 2)


+
+
ữ
+ +

u)
1992
1990
x 1
x x 2
lim
x x 2

+
+
k)
n
2
x 1
x nx n 1
lim
(x 1)

+

4. Tỡm caực giụựi haùn sau:
A =
8x
18xx4
lim
3
2
2x

+

B =
2
2
x 5
x x 30
lim
2x 9x 5

+

C =
3 2
x 1
x 1
lim
x 2x x 2

+
+

D =
2
3 2
1
x
2
4x 1
lim
4x 2x 1


+
E =
2
2
x 1
x 4x 3
lim
x 2x 3

+
+
F =
2
2
1
x

2
2x 5x 2
lim
4x 1

+


G =
2
2
x 1
2x 3x 1
lim
x 4x 5

+ +
+ +
H =
4
2
x 2
x 16
lim
x 2x


+
I =
3

2
x 1
x 1
lim
x x




J =
3x4x
27x
lim
2
3
3x
+


K =
3 2
2
x 2
x 6x 12x 8
lim
x 4x 4

+ +
+
L =

3 2
2
x 1
x x x 1
lim
x 5x 6

+
+

M =
3
2
x 2
8x 64
lim
x 5x 6


+
N =
3 2
3
x 2
x 2x 6x 4
lim
8 x

+

O =
3 2
2
x 2
x x 5x 2
lim
x 3x 2

+
+
P =
3 2
2
x 1
x 4x 6x 3
lim
x x 2

+ + +

Q =
3
2
x 1
x 3x 2
lim
x 2x 1

+
+

R =
5
3
x 1
x 1
lim
x 1



5. Tỡm caực giụựi haùn sau:
a)
2
x 0
x 1 x x 1
lim
x

+ + +
b)
2
x 7
x 3 2
lim
49 x



c)
2

x 2
2 x 2
lim
x 3x 2

+
+
Bi tp SGT 11NC hc kỡ II Trang 7
Trng THPT Phc Bỡnh T Toỏn Tin
d) EMBED Equation.DSMT4
2
x 2
4x 1 3
lim
x 4

+

e) EMBED Equation.DSMT4
3 2
x 1
2x 7 3
lim
x 4x 3

+
+
f) EMBED Equation.DSMT4
x 4
x 5 2x 1

lim
x 4

+ +


g) EMBED Equation.DSMT4
2
2
1
2 3
lim
3 2
x
x
x x

+
+
h) EMBED Equation.DSMT4
3
2
2
lim
8
x
x x
x

+

i)
2
2
x 1
3x 2 4x x 2
lim
x 3x 2


+

j) EMBED Equation.DSMT4
x 4
3 5 x
lim
1 5 x

+

k) EMBED Equation.DSMT4
x 1
3 8 x
lim
2x 5 x

+

l) EMBED Equation.DSMT4
x 2

x x 2
lim
4x 1 3

+
+
EMBED Equation.DSMT4
2
3
1
2 6 4 1
) lim
2 1
x
x x x
m
x x

+ + +
+
n) EMBED Equation.DSMT4
4
3 2
x 1
x 1
lim
x x 2


+

o) EMBED Equation.DSMT4
3
2
0
1 1
lim
2
x
x
x x


+

p) EMBED Equation.DSMT4
3
2
1
1
lim
2 5 3
x
x
x x

+
+ +
q) EMBED Equation.DSMT4
3
2

x 2
2x 12 x
lim
x 2x

+ +
+
r) EMBED Equation.DSMT4
3
x 1
x 7 2
lim
x 1

+


s) EMBED Equation.DSMT4
3
0
1 1
lim
1 1
x
x
x

+
+
t) EMBED Equation.DSMT4

3
x 1
x 7 2
lim
x 1

+

v) EMBED Equation.DSMT4
3
4
x 1
x 1
lim
x 1



w) EMBED
Equation.DSMT4
3
3
x 1
x 1
lim
4x 4 2


+
x) EMBED Equation.DSMT4

3
2
3
2
x 1
x 2 x 1
lim
(x 1)

+

6. Tớnh caực giụựi haùn sau:
a.
x 0
x 1 x 4 3
lim
x

+ + +
b.
x 0
x 9 x 16 7
lim
x

+ + +
c.
3
x 0
x 1 x 4 3

lim
x

+ + +
d.
3
x 0
x 1 x 1
lim
x

+ +
e.
3
2
1
3 3 5
lim
1
x
x x
x

+ +

f.
3
2
x 1
8x 11 x 7

lim
x 3x 2

+ +
+
Daùng voõ ủũnh


7.Tỡm caực giụựi haùn sau:
a)
x
2x 1
lim
x 1
+
+

b)
2
2
x
x 1
lim
1 3x 5x

+

c)
2
x

x x 1
lim
x x 1
+
+
+ +
Bi tp SGT 11NC hc kỡ II Trang 8
Trường THPT Phước Bình Tổ Tốn – Tin
d)
2
2
x
3x(2x 1)
lim
(5x 1)(x 2x)
→−∞
−
− +
e)
3
3 2
3 2 2
lim
2 2 1
x
x x
x x
→±∞
− +
− + −

f)
3 2
4
3 2 1
lim
4 3 2
x
x x
x x
→±∞
− −
+ −
g)
3 2
2
2 2
lim
3 1
x
x x
x x
→±∞
− −
− −
h)
4 2
3
3 1
lim
2 2

x
x x
x x
→±∞
− +
− + −
i)
2 2
4
x
(x 1) (7x 2)
lim
(2x 1)
→±∞
− +
+
j)
2 3
2 2
x
(2x 3) (4x 7)
lim
(3x 4) (5x 1)
→±∞
− +
− −
k)
2
x
4x 1

lim
3x 1
→∞
+
−
l)
2
3 2
lim
3 1
x
x x x
x
→+∞
− +
−
m)
2
3 2
lim
3 1
x
x x x
x
→−∞
− +
−
n)
2
2

x
x x 2 3x 1
lim
4x 1 1 x
→±∞
+ + + +
+ + −

o)
2
2
x
4x 2x 1 2 x
lim
9x 3x 2x
→±∞
− + + −
− +
p)
2
2
x
x 2x 3 4x 1
lim
4x 1 2 x
→±∞
+ + + +
+ + −
q)
2

x
x x 3
lim
x 1
→+∞
+
+
r)
3
3 2
2
lim
2 2
x
x x x
x
→−∞
+ +
−
s)
33 2 2 3 2 2
3
2
( 2 ) 2
lim
3 2
x
x x x x x x
x x
→−∞

+ + + +
−
t)
x
(x x x 1)( x 1)
lim
(x 2)(x 1)
→+∞
+ − +
+ −
 Dạng vô đònh
∞ − ∞
8.Tính các giới hạn sau:
a)
)32(lim
3
xx
x
−
+∞→
b)
3
lim (2 3 )
x
x x
→±∞
−
c)
2
lim 3 4

x
x x
→±∞
− +

d)
2
x
lim ( x x x)
→−∞
+ −
e)
2
x
lim ( x x x)
→+∞
+ −
f)
)23(lim
2
xxx
x
−+−
+∞→

g)
)23(lim
2
xxx
x

−+−
−∞→
h)
2
lim ( 2 4 )
x
x x x
→±∞
− + −
i)
)22(lim −−+
+∞→
xx
x

j)
2 2
x
lim ( x 4x 3 x 3x 2)
→±∞
− + − − +
k)
2
lim ( 5 )
x
x x x
→±∞
+ +
l)
2

x
lim (2x 1 4x 4x 3)
→±∞
− − − −
m)
2
x
lim (3x 2 9x 12x 3)
→±∞
+ − + −
n)
)223(lim
2
−++−
+∞→
xxx
x
o)
)223(lim
2
−++−
−∞→
xxx
x

p)
2
lim ( 3 2 1)
x
x x x

→±∞
− + + −
q)
2
lim ( 3 1 3)
x
x x x
→±∞
− + − +
r)
2
lim ( 4 3 2 1)
x
x x x
→±∞
− + − +
s)
3
3 2
x
lim ( x x x)
→±∞
+ −
t)
3
3 2
x
lim ( x x x x)
→±∞
− + +

v)
3
2 3
x
lim ( x 1 x 1)
→+∞
+ − −

w)
3 3 2
lim ( 2 1 3 )
x
x x x x
→±∞
+ − − −
 Giới hạn một bên
9. Tìm các giới hạn sau
Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 9
Trường THPT Phước Bình Tổ Tốn – Tin
a)
2
2
2
lim
3 1
x
x x
x
−
→

−
+
b)
2
3 1
lim
2
x
x
+
→
−
c)
1
1
lim
1
x
x
x
+
→
−
−
d)
1
1
lim
1
x

x
x
−
→
−
−
e)
2 3
x 0
x x
lim
2x
+
→
+
f)
2 3
x 0
2x
lim
4x x
±
→
+
g)
2
33
lim
2
2

−
+−
−
→
x
xx
x
h)
2
33
lim
2
2
−
+−
+
→
x
xx
x
i)
4
3
lim
4
x
x
x
±
→

−
−
j)
2
33
lim
2
2
2
−+
+−
−
−→
xx
xx
x
k)
2
33
lim
2
2
2
−+
+−
+
−→
xx
xx
x

l)
3
2
x 1
x 3x 2
lim
x 5x 4
−
→
− +
− +
m)
x 0
1 x
lim x
x
±
→
 
−
 ÷
 ÷
 
n)
2
x 1
x x 2
lim
x 1
+

→
+ −
−
o)
x
2
1 cos2x
lim
x
2
+
π
→
+
π
−
10. Tìm giới hạn bên phải, giới hạn bên trái của hs f(x) tại x
o
và xét xem hàm số có giới
hạn tại x
o
không ?
2
2
o
x 3x 2
(x 1)
x 1
a) f(x)
x

(x 1)
2
với x 1

− +
>


−
=


− <


=

2
o
4 x
(x 2)
b) f(x)
x 2
1 2x (x 2)
với x 2

−
<

=

 −

− >

=

3
1 x 1
x 0
c) f (x)
1 x 1
3/ 2 x 0
0
o



với x

+ −
>

=

+ −

≤

=

11. Tìm A để hàm số sau có giới hạn tại x
o
:
a)
3
x 1
(x 1)
f(x)
x 1
Ax 2 (x 1)

−
<

=
 −

+ ≤

với x
0
= 1 b)
3 2
2
x 6 2x 9
A x 3
f (x)
x 4x 3x
3x 2 x 3


+ + −
+ <

=
− +


− ≥

với x
0
= 3
 Giới hạn hàm lượng giác
12. Tính các giới hạn sau:
a)
x 0
sin5x
lim
3x
→
b)
2
x 0
1 cos2x
lim
x
→
−

c)
2
x 0
cosx cos 7x
lim
x
→
−
d)
2
x 0
cosx cos3x
lim
sin x
→
−
e)
3
x 0
tgx sin x
lim
x
→
−
f)
x 0
1 3
lim x
sin x sin3x
→

 
−
 ÷
 
g)
0
sin2 sin
lim
3sin
x
x x
x
→
+
h)
0
1 sin cos2
lim
sin
x
x x
x
→
− −
VI. CÁC DẠNG KHÁC CỦA GIƠ
́
I HA
̣
N CỦA HÀM SỐ
1.

3
x 0
1 x x 1
lim
x
→
+ + −
2.
3
2 2
0
3 1 2 1
lim
1 cos
x
x x
x
→
− + +
−
3.
( )
6
2
x 1
x 6x 5
lim
x 1
→
− +

−
4.
2
x 2
4 x
lim
x
cos
4
→
−
π
5.
( )
2 3 n
*
2 3 p
x 1
x x x ... x n
lim , n,p
x x x ... x p
→
+ + + + −
∈
+ + + + −
¥
6.
( )
n
2

x 1
x nx n 1
lim
x 1
→
− + −
−
7.
( )
*
m n
x 1
m n
lim , m,n ,m n
1 x 1 x
→
 
− ∈ ≠
 ÷
− −
 
¥
8.
n
x 0
1 ax 1
lim
x
→
+ −

9.
3
2
x 0
cos x cos x
lim
sin x
→
−
10.
3
x 0
1 2x. 1 3x 1
lim
x
→
+ + −
11.
( )
n
m
*
x 0
1 x. 1 x 1
lim , m,n
x
→
+ α +β −
∈ ¥
12.

3
x 0
tan x sin x
lim
x
→
−
Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 10
Trường THPT Phước Bình Tổ Toán – Tin
13.
( )
x 1
x
lim 1 x tan
2
→
π
−
14.
2
x 0
1 cos x.cos2x.cos3x
lim
x
→
−
15.
2
x 0
1 cos x.cos2x.cos3x...cos nx

lim
x
→
−
16.
x
3
sin 3x
lim
1 2cos x
π
→
−
17.
2
x 0
2 1 cos x
lim
tan x
→
− +
18.
x 0
1 sin 2x 1 sin 2x
lim
x
→
+ − −
19.
2

x 0
x
lim
1 x sin x cos x
→
+ −
20.
( )
x 0
cos x
cos
2
lim
sin tan x
→
π
 
 ÷
 
21.
x
x x x
lim
x 1
→+∞
+ +
+
22.
( ) ( ) ( )
3

x
lim x a x b x c x
→+∞
 
+ + + −
 
23.
x
lim x x x x
→+∞
 
+ + −
 ÷
 
24.
(
)
2 2
x
lim x 2x 2 x x x
→+∞
+ − + +
25.
( ) ( ) ( )
n
1 2 n
x
lim x a x a ... x a x
→+∞
 

+ + + −
 
26.
2 2
x a
x a x a
lim
x a
→
− + −
−
27.
n
x 0
1 x 1
lim
x
→
+ −
28.
43
x 0
x x
1 1
3 4
lim
x
1 1
2
→

+ − +
− −
29.
( )
x 0
1 cos x
lim
1 cos x
→
−
−
30.
(
)
2 2
x
lim x 5x x 3x 3
→+∞
− − + +
31.
2
3
x 2
x 4
lim
2 3x 2
→−
−
+ −
32.

2 2
x a
x b a b
lim
x a
→
− − −
−
33.
3
2
3
2
x 1
x 2 x x 1
lim
x 1
→
− + − +
−
34.
n n
x 0
a x a
lim
x
→
+ −
35.
3

x 0
1 x 1 x
lim
x
→
+ − −
36.
x 0
1 sin x 1 sin x
lim
tan x
→
+ − −
37.
3
2
x 2
x 11 8x 43
lim
2x 3x 2
→−
+ − +
+ −
38.
n m
x 0
1 ax 1 bx
lim
x
→

+ − +
39.
3
2
x 0
2x 1 x 1
lim
sin x
→
+ − +
40.
3
4
x 7
x 2 x 20
lim
x 9 2
→
+ − +
+ −
41.
3
2
x 0
1 4x 1 6x
lim
x
→
+ − +
42.

x 0
(a x)sin(a x) asin a
lim
x
→
+ + −
43.
x 0
1 cosxcos2x cos3x
lim
1 cosx
→
−
−
44.
2
2
x 0
2sin x sin x 1
lim
2sin x 3sin x 1
→
+ −
− +
45.
3
3
x
4
1 cot x

lim
2 cot x cot x
π
→
−
− −
46.
3
x 0
1 cosx cos2x cos3x
lim
1 cos2x
→
−
−
ĐÁP SỐ PHẦN DẠNG KHÁC
1)
5
6
2)
4
3)
15
4)
p
16
5)
( )
( )
+

+
1
1
n n
p p
6)
( )
- 1
2
n n
7)
-
2
m n
8)
a
n
9)
-
1
12
10)
2
11)
a b
+
n m
12)
1
2

Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 11
Trường THPT Phước Bình Tổ Toán – Tin
13)
p
2
14)
7
15)
+ + +
2 2 2
1 2
2
... n
16)
- 3
17)
1
4 2
18)
2
19)
4
3
20)
0
21)
1
22)
( )
+ +

1
3
a b c
23)
1
2
24)
-
1
4
25)
( )
+ + +
1 2
1
n
a a ... a
n
26)
1
2a
27)
1
n
28)
7
36
29)
0
30)

- 4
31) -1632)
4
1
a a b−
33)
1
3
34)
n
a
an
35)
2
3
36)
1
37)
7
270
38)
am bn
mn
−
39) 1
40)
112
27
41) 2 42)
a a asin cos

+
43) 14
44)
1
−
45)
3
4
46)
2
3
Giới hạn dãy số
*Các giới hạn thường gặp:
limC = C ; lim= 0 α > 0 ; lim = 0 ; limq
n
= 0 |q| < 1
*Các phép toán giới hạn :
lim(u
n
± v
n
) = limu
n
± limv
n
;

lim(u
n
.v

n
) = limu
n
;
limv
n
lim =
*Các định lý về giới hạn:
Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
Định lý 2: Cho 3 dãy số (u
n
),(v
n
) và (w
n
)
Nếu ∀n ta có u
n
≤ v
n
≤ w
n
và limu
n
= limw
n
= A thì limv
n
= A

Định lý 3: Nếu limu
n
= 0 thì lim = ∞
Nếu limu
n
= ∞ thì lim = 0
*Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là S =
1.Dùng định nghĩa,tính các giới hạn sau:
a) lim b) lim c) lim
2.Tính các giới hạn sau:
a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim
1n2n
3n2
3 3
+−
−

f)lim() g) lim
3.Tính các giới hạn sau:
a) lim b) lim() c) lim) d) lim)
e) lim f) lim g) lim
13n
1n3nnn
2
3
23
+
++++
h) lim i) lim() j) lim n()
k) lim(

nn2n
3
23
−−
) l) lim m) lim(1 + n
2
– )
n) lim
4. Tính các giới hạn
Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 12
Trường THPT Phước Bình Tổ Toán – Tin
a) lim b) lim c) lim d) lim
e) lim f) lim g) lim với |a| < 1 ; |b| < 1
5.Cho dãy (u
n
) xác định bởi u
1
= ; u
n+1
=
a)Chứng minh rằng (u
n
) bị chặn trên bởi 2 và là dãy số tăng
b)Suy ra (u
n
) có giới hạn và tính giới hạn đó
6.Cho dãy (u
n
) xác định bởi u
1

= ; u
n+1
=
a)Chứng minh rằng (u
n
) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng
b)Suy ra (u
n
) có giới hạn và tính giới hạn đó
7.Tìm các số hữu tỉ sau :
a) 2,1111111... b)1,030303030303... c)3,1515151515....
8. Tính lim(1 – ).(1 – ).(1 – )…(1 – )
9. Cho dãy (x
n
) thỏa 0 < x
n
< 1 và x
n+1
(1 – x
n
) ≥
Chứng minh rằng: dãy số (x
n
) tăng. Tính limx
n

10. Cho dãy (x
n
) thỏa 1 < x
n

< 2 và x
n+1
= 1 + x
n
– x
n
2
∀n ∈ N
a)Chứng minh rằng: |x
n
– | < ()
n
∀n ≥ 3
b) Tính limx
n

11.Cho dãy số xác định bởi : u
1
= ; u
n +1
=
a) Chứng minh rằng: u
n
< 1 ∀n
b) Chứng minh rằng: (u
n
) tăng và bị chặn trên
c) Tính limu
n
12.Cho dãy số (u

n
) xác định bởi công thức u
1
= và u
n +1
=
a) Chứng minh rằng u
n
< 3 ∀ n
b)Chứng minh rằng: (u
n
) tăng và bị chặn trên
c) Tính limu
n
Giới hạn hàm số
*Các phép toán về giới hạn hàm số
[ ]
x a x a
x a
lim f (x) g(x) limf (x) limg(x)
→ →
→
± = ±
[ ]
x a x a
x a
lim f (x).g(x) limf (x).limg(x)
→ →
→
=

x a
x a
x a
limf (x)
f (x)
lim
g(x) limg(x)
→
→
→
=

x a x a
lim f (x) limf (x)
→ →
=
*Các định lý về giới hạn hàm số :
Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất
Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng K chứa a và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x). Nếu
x a x a
limg(x) limh(x) L
→ →
= =
thì
x a
limf (x) L
→
=
Định lý 3: Nếu
x a x a

1
limf (x) 0 thì lim
f (x)
→ →
= = ∞

Nếu
x a x a
1
limf (x) thì lim 0
f (x)
→ →
= ∞ =

Định lý 4:
x 0
sinx
lim 1
x
→
=

x 0
x
lim 1
sinx
→
=

x 0

sin kx
lim 1
kx
→
=

x 0
kx
lim 1
sin kx
→
=
*Các dạng vô định: là các giới hạn có dạng ; ; 0.∞ ; ∞ – ∞
1.Tính các giới hạn sau
a)
2x
2x3x2
lim
2
2x
−
−−
→
b)
1x
3x5x3x
lim
2
23
1x

−
−+−
→
c)
4x4x
x2x
lim
2
2
2x
++
+
−→
d)
2x3x
1xxx
lim
2
23
1x
+−
+−−
→
Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 13
Trường THPT Phước Bình Tổ Toán – Tin
e)
9x8x
9x3x5x
lim
24

23
3x
−−
++−
→
f)
3x2x
1x
lim
23
4
1x
+−
−
−→
g)
1xx2
3x2x
lim
2
2
1x
−−
−+
→
h)
2
3
2x
x4

2x3x
lim
−
+−
−→
i)
1x
xx5x4
lim
2
56
1x
−
+−
→
k)
1x
1x
lim
n
m
1x
−
−
→
m,n∈N
2.Tính các giới hạn sau:
a)
x4
35x

lim
4x
−
−+
→
b)
x
x1x1
lim
0x
−−+
→
c)
49x
3x2
lim
2
7x
−
−−
→
d)
4x
31x4
lim
2
2x
−
−+
→

e)
31x4
x2x
lim
2x
−+
−+
→

f)
x51
x53
lim
4x
−−
+−
→
g)
3x3
2x3x2
lim
1x
+
+−+
−→
h)
3x4x
4x7x2
lim
23

1x
+−
−++
→
i)
1x
xx
lim
2
1x
−
−
→
j)
23x
1x
lim
1x
−+
−
→
k)
31x4
x2x
lim
2x
−+
−+
→
l)

3x2
37x2
lim
1x
+−
−+
→
m)
1x
1x1x
lim
2
1x
−
−+−
+
→
n)
1x
2x3x
lim
2
3
1x
−
−−
→
o)
1x
x3x3x

lim
32
1x
−
−++
→
3.Tính các giới hạn sau:
a)
33
2x
x8x8
x
lim
+−−
→
b)
1x
2xx
lim
3
35
1x
+
++
−→
c)
1x1
x
lim
3

0x
−+
→
d)
2
3
2
0x
x
1x1
lim
−+
→
e)
4x5x
x4x
lim
2
3
4x
+−
−+
→
f)
9x
5x10x2
lim
2
3
3x

−
−++
−→
g)
2x
2xx10
lim
3
2x
−
+−−
→
h)
4x
2x6x
lim
2
3
2x
−
+−+
→

i)
3
2
x 2
8x 11 x 7
lim
x 3x 2

→
+ − +
− +
g)
3 5
4
4
x 1
(1 x )(1 x)(1 x)(1 x)
lim
(1 x)
→
− − − −
−
h)
n
2
x 1
x nx n 1
lim
(x 1)
→
− + −
−
4.Tính các giới hạn sau:
a)
x2
x3sin
lim
0x

→
b)
x2sin
x5
lim
0x
→
c)
x7sin
x4sin
lim
0x
→
d)
2
0x
x
x6cos1
lim
−
→
e)
xcos1
x3cos1
lim
0x
−
−
→
f)

2
0x
x2
x3cosxcos
lim
−
→

g)
2
0x
x
xcos1
lim
−
→
h)
x6sin
xcosxsin3
lim
6
x
−
π
→
i)
x8sin
xcosxsin
lim
4

x
−
π
→
j)
11x
1xsinxcos
lim
2
44
0x
−+
−−
→

k)
xcosxsin1
xcosxsin1
lim
0x
−−
−+
→
l)
)
xcos
1
xsin
1
(lim

0x
−
→
m)
tgx)x
2
(lim
0x
−
π
→
n)
xsin
xcos12
lim
2
0x
+−
→

o)
2
0x
x
x2cos.xcos1
lim
−
→
p)
xtg

x2cosxsin1
lim
2
0x
−+
→
q)
tgx1
xcosxsin
lim
4
x
−
−
π
→
r)
2
0x
x11
1x2cos
lim
−−
−
→
5. Tính các giới hạn sau:
a)
x 0
1 3 1
lim .

sinx sin 3x x
→
 
−
 ÷
 
b)
3
x 0
tgx sinx
lim
x
→
−
c)
2
x 0
1 cosx
lim
tg x
→
−
d)
x
2
cosx
lim
x- /2
π
→

π

e)
x
2
lim(1 cos2x)tgx
π
→
+
f)
x
4
1 tgx
lim
1 cot gx
π
→
−
−
g)
x
4
sinx - cosx
lim
1 - tgx
π
→
h)
3
x

3
tg x 3tgx
lim
cos(x + )
6
π
→
−
π

i)
x
lim x.sin
x
→∞
π
 
 ÷
 
j)
2
x 0
2 1 cosx
lim
tg x
→
− +
k)
x 0
1 sin 2x 1 sin 2x

lim
x
→
+ − −
l)
x
lim(sin x 1 sin x)
→∞
+ −
m)
x
lim(cos x+1 cos x)
→∞
−
6. Tính các giới hạn sau:
a)
)
1x
3
1x
1
(lim
3
1x
−
−
−
→
b)
)

4x
4
2x
1
(lim
2
2x
−
+
+
−→
c)
2 2
x 2
1 1
lim
x 3x 2 x 5x 6
→
 
+
 ÷
− + − +
 
d)
x4x
)x3x)(1x(
lim
3
2
x

+
+−
∞→
d)
1x2
x3xx
lim
2
x
−
−+
∞→
e)
)x3xx(lim
2
x
++−
∞→
f)
)x5x3(lim
x
−−−
−∞→
g)
Bài tập ĐSGT 11NC học kì II Trang 14