Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức pps

Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC
Người thực hiện: Triệu Thu Thuỷ
Tổ: Khoa học tự nhiên- Khoa Văn hoá, Ngoại ngữ
Trường Sĩ quan Chính trị - Thành phố Bắc Ninh - Tỉnh Bắc Ninh
Số điện thoại: 0987730790

Đã có rất nhiều phương pháp được đưa ra để giải phương trình bậc 4 trên
trường số phức như phương pháp hệ số bất định, công thức Cardano. Sau đây tôi
xin đưa ra một phương pháp để giải phương trình bậc 4: x
4
+ax
3
+bx
2
+cx+d=0
Rdcba ∈,,,
trên trường số phức, đó là chúng ta sẽ phân tích vế trái của phương
trình đã cho thành nhân tử. Và cách phân tích cụ thể như sau:
1. Phương trình dạng x
4
+ax
2
+bx+c=0 (*)
Cách giải chung: phân tích

( )
( )
2
2
224

nxpmxcbxaxx +−+=+++

( )
4 2 2 2
x 2m p x 2pnx m pn= + − − + −
sau đó ta đồng nhất hệ số.
( )
( )





=−
=−
=−
3
22
)1(2
22
cpnm
bpn
apm
Từ (1) ta có:
2
ap
m
+
=
; từ (2) ta có

p
b
n
2
−
=
thế vào (3) ta được :
)4(
4
.
4
)(
2
22
c
p
b
p
ap
=−
+
.
Trong phương trình (4) ta chỉ cần tìm một nghiệm p mà không cần giải cả
phương trình (4). Sau đó thay vào phương trình (1), (2) tìm n, m và giải phương
trình ban đầu.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau trên trường số phức:
z
4
-24z-32=0
Giải:

Triệu Thu Thủy Trang 1
Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức
Ta có:
( )
( )
2
2
24
3224 nzpmzzz +−+=−+

( )
2224
22 pnmpnzzpmz −+−−+=
Đồng nhất hệ số ta có:
( )
( )





−=−
−=−
=−
332
2242
)1(02
22
pnm
pn

pm
. Để giải hệ (1), (2), (3) ta rút
hai ẩn m, n theo p từ (1) và (2) sau đó thế vào phương trình (3).
Từ (1) ta có:
2
p
m =
; từ (2) ta có
p
n
12
=
thế vào (3) ta được :
)4(05761282032
144
.
4
23
2
2
=−+−⇔−=− ppp
p
p
p
.
Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=4, từ đó m=2, n=3.
Vậy phương trình đã cho trở thành:
( )
( )
( ) ( )




=++
=−−
⇔
=++−−
⇔
=+−+
082
042
082.42
03.42
2
2
22
2
2
2
zz
zz
zzzz
zz
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là :
71,51 izz ±−=±=
Ví dụ 2 : Giải phương trình sau trên trường số phức :
0518.5
24
=−−− zzz
Giải :

Ta có:
( )
( )
2
2
224
5185 nzpmzzzz +−+=−−−

( )
2224
22 pnmpnzzpmz −+−−+=
Đồng nhất hệ số ta có:
( )
( )





−=−
−=−
−=−
35
2182
)1(52
22
pnm
pn
pm
.

Từ (1) ta có:
2
5−
=
p
m
; từ (2) ta có
p
n
9
=
thế vào (3) ta được :
Triệu Thu Thủy Trang 2
Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức
)4(032445.105
81
.
4
)5(
23
2
2
=−+−⇔−=−
−
ppp
p
p
p
.
Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=9, từ đó m=2, n=1.

Vậy phương trình đã cho trở thành:
( )
( )
( ) ( )



=++
=−−
⇔
=++−−
⇔
=+−+
053
013
053.13
01.92
2
2
22
2
2
2
zz
zz
zzzz
zz
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là :
.
2

113
,
2
133 i
zz
±−
=
±
=
2. Phương trình bậc 4 tổng quát : z
4
+az
3
+bz
2
+cz+d=0
Rdcba ∈,,,
.
Chúng ta có thể đưa phương trình tổng quát về dạng phương trình ở phần 1
bằng cách đặt :
4
a
yz −=
, khi đó hệ số bậc 3 sẽ bị triệt tiêu.
Ví dụ 3 : Giải phương trình sau trên trường số phức :
022016248
234
=−−++ zzzz
(1)
Giải : Đặt z=y-2, với ẩn y phương trình (1) trở thành:

( ) ( ) ( ) ( )
( )
2014048
02203216
96962464964881632248
02202162242.82
4
223234
234
=−−⇔
=−+−
+−+−+−++−+−⇔
=−−−−+−+−
yy
y
yyyyyyyyy
yyyy
Ta có :
( )
( )
2
2
4 2
y 48.y 140 y m p y n− − = + − +

( )
4 2 2 2
y 2m p y 2pny m pn= + − − + −

Đồng nhất hệ số ta có:

( )
( )





−=−
−=−
=−
5140
4482
)3(02
22
pnm
pn
pm
.
Triệu Thu Thủy Trang 3
Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức
Từ (3) ta có:
2
p
m =
; từ (4) ta có
p
n
24
=
thế vào (5) ta được :

)6(0576.4560140
576
.
4
3
2
2
=−−⇔−=− pp
p
p
p
.
Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=4, từ đó m=2, n=6.
Vậy phương trình (6) trở thành:
( )
( )
( ) ( )



=−−
=++
⇔
=−−++
⇔
=+−+
0102
0142
0102.142
06.42

2
2
22
2
2
2
yy
yy
yyyy
yy
Phương trình (6) có 6 nghiệm là :
.131,111 iyy ±−=±=

Khi đó phương trình đã cho (1) có nghiệm là:
.133,111 izz ±−=±−=
Ví dụ 4 : Giải phương trình sau trên trường số phức :
04548194
234
=++++ zzzz
Giải :
Đặt z=y-1. Khi đó phương trình trở thành :

( ) ( ) ( ) ( )
( )
**0131813
0454848
1938194121241464
0451481191.41
24
223234

234
=+++⇔
=+−+
+−+−+−++−+−⇔
=+−+−+−+−
yyy
y
yyyyyyyyy
yyyy
Ta có :
( )
( )
2
2
4 2 2
y 13.y 18.y 13 y m p y n+ + + = + − +

( )
4 2 2 2
y 2m p y 2pny m pn= + − − + −

Đồng nhất hệ số ta có:
( )
( )





=−

=−
=−
313
2182
)1(132
22
pnm
pn
pm
.
Từ (1) ta có:
2
13+
=
p
m
; từ (2) ta có
p
n
9
−=
thế vào (3) ta được :
Triệu Thu Thủy Trang 4
Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức
)4(0324117.2613
81
.
4
)13(
23

2
2
=−++⇔=−
+
ppp
p
p
p
.
Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=-9, từ đó m=2, n=1.
Vậy phương trình (4) trở thành:
( )
( )
( ) ( )



=−+−
=+++
⇔
=−+−+++
⇔
=+++
0323
0323
0323.323
01.92
2
2
22

2
2
2
iiyy
iiyy
iiyyiiyy
yy
Các bạn hãy giải phương trình trên với ẩn y sau đó thay trở lại để được ẩn z.
Một số bài tập tương tự :
Giải các phương trình sau trên trường số phức :
a.
01446
24
=+−+ zzz
b.
014
4
=−− zz

c.
071610
24
=−+− zzz

d.
051094
234
=−−−− zzzz
e.
06362318

234
=+−+− zzzz
Triệu Thu Thủy Trang 5