Tài liệu PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN ppt

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 (a ≠ 0)
I. Những dạng đặc biệt
1/ Phương trình trùng phương ax
4
+ bx
2
+ c = 0
Đặt t = x
2
(t ≥ 0), phương trình trở về dạng bậc hai
2/ (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c
Đặt t = x + ½(a + b), pt có dạng : (t + m)
4
+ (t - m)
4
= c, khai triển sẽ được pt trùng phương
3/ (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (m ≠ 0) với a + b = c + d
pt ↔ [x
2
+ (a + b)x + ab].[x

2
+ (c + d)x + cd] = m
Đặt t = x
2
+ (a + b)x = x
2
+ (c + d)x (nếu muốn có thể kèm theo ĐK của t)
Phương trình trở về dạng bậc hai
4/ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
± kbx + k
2
a = 0 (a ≠ 0)
- Xét x = 0 có phải nghiệm pt không
- Với x ≠ 0 : Chia 2 vế pt cho x
2
pt ↔ a (x
2
+ k
2
/x
2
) + b(x ± k/x) + c = 0
Đặt t = x ± k/x (nếu muốn có thể kèm theo ĐK của t)
5/ a[f
2

(x) + 1/f
2
(x)] + b[f(x) ± 1/f(x)] + c = 0
Đặt t = f(x) ± 1/f(x) (tổng quát hơn so với dạng phương trình 4)
6/ a.f
2
(x) + b.f(x).g(x) + c.g
2
(x) = 0 (a ≠ 0)
- Với g(x) = 0, pt ↔ f(x) = 0
- Với g(x) ≠ 0, chia 2 vế phương trình cho g
2
(x)
- Đặt t = f(x)/g(x), pt trở về dạng bậc hai theo t
7/ x = f(f(x))
pt ↔ hệ đối xứng loại 2 : t = f(x) và x = f(t)
* Chú ý : Nếu trong phương trình có chứa tham số, trong vài trường hợp ta có thể đổi vai
trò của ẩn và tham số (xét phương trình theo tham số a, tính a theo x rồi suy ra x theo a)
II. Phương trình bậc bốn tổng quát X
4
+ AX
3
+ BX
2
+ CX + D = 0 (công thức Ferrari)
- Đặt X = x - A/4, phương trình trở về dạng khuyết bậc ba :
x
4
= ax
2

+ bx + c
- Cộng 2 vế pt cho 2mx
2
+ m
2
(m thuộc R), ta được :
(x
2
+ m
2
)
2
= (2m + a)x
2
+ bx + c + m
2
- Xét vế phải pt, ta sẽ chọn m sao cho vế phải là bình phương một nhị thức bằng cách :
Δ
VP
= b
2
- 4(2m + a)(c + m
2
) : pt bậc ba theo m → luôn có nghiệm thực
- Khi đó pt có dạng : (x
2
+ m
2
)
2

= f
2
(x)
PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (a ≠ 0)
Chú ý :
- Phương trình bậc lẻ luôn luôn có nghiệm thực
- Định lý Viete : Nếu phương trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (a ≠ 0) có 3 nghiệm x
1
, x
2
, x
3

thì :
x
1
+ x
2
+ x
3
= -b/2a

x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
= c/a
x
1
x
2
x
3
= -d/a
I. Những dạng thông thường
1. Nếu x = x
0
là một nghiệm, ta có thể phân tích thành dạng :
(x - x
0
)(ax
2
+ bx + c) = 0
Đặc biệt :

- Nếu a ± b + c ± d = 0 → x = ±1 là nghiệm
- Nếu (d/a) = (c/b)
3
→ x = -c/b là nghiệm
2. Phương trình dạng A
3
+ B
3
= (A + B)
3
pt ↔ A
3
+ B
3
= A
3
+ B
3
+ 3AB(A + B) ↔ AB(A + B) = 0
II. Những dạng tổng quát
1. Phương trình 4x
3
- 3x = q
* Với │q│ ≤ 1
- Đặt x = cost , pt trở thành : cos3t = q
- Gọi α là góc thỏa cosα = q, như vậy : cos3t = cosα
- Ta chọn t
1
= α/3 ; t
2,3

= (α ± 2π)/3
- Kết luận phương trình có 3 nghiệm x
1,2,3
= cos t
1,2,3
Chú ý rằng bước đặt x = cost là một cách đặt "ép" ẩn phụ, ta không cần chứng minh
rằng pt trên luôn có nghiệm nhỏ hơn 1, khi tìm được đủ 3 nghiệm thì ta có thể kết luận
ngay
* Với │q│ > 1 :
- Ta dễ dàng CM được pt không có nghiệm thuộc [-1;1] và nếu phương trình có
nghiệm x
0
không thuộc [-1;1] thì x
0
là nghiệm duy nhất
- Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x
3
- 3x = ½ (a
3
+ 1/a
3
) bằng cách :
q = ½ (a
3
+ 1/a
3
) ↔ a
6
- 2qa
3

+ 1 = 0 (→ tìm được a)
- CM x
0
= ½ (a + 1/a) là nghiệm (duy nhất) của phương trình
2. Phương trình 4x
3
+ 3x = q
- Giả sử phương trình có nghiệm x
0
, dùng đạo hàm ta CM được x
0
là nghiệm duy nhất
- Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x
3
+ 3x = ½ (a
3
- 1/a
3
) rồi CM x
0
= ½ (a - 1/a) là
nghiệm (duy nhất) của phương trình (phương pháp tương tự như trên)
3. Phương trình x
3
+ px + q = 0 (Công thức Cardan - Tartaglia)
- Đặt x = u - v sao cho uv = p/3
- Từ pt, ta có : (u - v)
3
+ 3uv(u - v) = u
3

- v
3
= q
- Hệ phương trình uv = p/3 và u
3
- v
3
= q cho ta một phương trình trùng phương theo u
(hoặc v), từ đó suy ra u,v và tìm được một nghiệm x = u + v
Chú ý rằng trong lúc giải phương trình trùng phương có thể ta gặp nghiệm phức (u
hoặc v) nên từ đó phương trình bậc ba còn cho thêm 2 nghiệm phức nữa (đó mới là
dạng đầy đủ của công thức trên)
Ngoài ra, các phương trình 4x
3
± 3x = q như trên cũng có thể giải được bằng PP này
4. Phương trình bậc ba tổng quát X
3
+ AX
2
+ BX + C = 0
Đặt X = x - A/3, pt trở thành x
3
+ px + q = 0 (#)
Cách 1 : Giải trực tiếp theo công thức Cardan - Tartaglia
Cách 2 :
- Đặt x = kt (k > 0) , (#) trở thành : k
3
t
3
+ pkx + q = 0

(chọn k sao cho k
3
/4 = pk/3 nếu p > 0 hoặc k
3
/4 = -pk/3 nếu p < 0)
- Phương trình được đưa về dạng 4t
3
± 3t = Q