cụm từ tiếng việt

Nguyễn THỊ hoàng MAI Nguyễn Thị Đài Loan [Type text]
Bài tập chương I
§1.
1. a) Bảng cộng của tập hợp Z/2Z các số nguyên mod 2:
+
0
1
0
0
1
1
1
0
Xét song ánh
f: X
→
Z/2Z
a
a

0
b
a

1
Bây giờ trong bảng cộng của X ta thay a bằng
0
và b bằng
1
, thì ta được
bảng cộng y hệt bảng cộng của Z/2Z.

b) Nhìn bảng cộng của X, ta thấy ngay phép cộng của X là giao hoán, có a
là phần tử trung lập. Muốn chứng minh phép toán kết hợp, ta phải xét xem
các tổng sau đây có bằng nhau:
?
(a + b) + a = a + (b + a)
?
(a + b) + b = a + (b + b)
Xin các bạn đọc hãy kiên nhẫn làm, ta chỉ có 16 tổng phải tính thôi vì
3
X
có 8 phần tử. Nhưng theo câu a) hai bảng cộng của X và Z/2Z là như nhau
nếu ta không phân biệt a với
0
và b với
1
, vậy ta có thể kết luận phép cộng
của X là kết hợp vì ta đã biết phép cộng của Z/2Z là kết hợp.
2. a) Bảng cộng của Z/3Z
+
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0

2
2
0
1

Nguyễn THỊ hoàng MAI Nguyễn Thị Đài Loan [Type text]
b) Xét song ánh sau:

f : Z / 3Ζ X
0 a
1 b
2 c
→
a
a
a


Từ đó ta có thể lập bảng cộng sau đây cho X, dựa trên bảng cộng của Z/3Z
Để phép toán của X là giao hoán, kết hợp, có phần tử trung lập
+ a b c
a a b c
b b c a
c c a b
3. Theo định nghĩa của phép toán (kí hiệu +) của X, ta luôn luôn có
x + y = a,
,x y∀ ∈X
. Một phép toán như vậy hiển nhiên là giao hoán và
kết hợp vì:
x + y = a = y + x,

x,y X∀ ∈
(x + y) + z = a + z = a = x + a =x + (x + z),
x,y,z X∀ ∈
Giả sử
a x≠ ∈X
.bNếu e là phần tử trung lập ta phải có
e + x = x.
Nhưng e + x = a theo định nghĩa của phép toán, vậy x = a, mâu
thuẫn với việc lấy
x a≠
. Vậy phép toán không có phần tử trung lập.
Trong trường hợp X = {a}, hiển nhiên phép toán là giáo hoán, kết hợp
và có phần tử trung lập.
§ 2.
2. Trên tập hợp
*
{0}= −N N
các số tự nhiên khác 0, cho
*
a,b N∈

ta luôn luôn có UCLN (ước chung lớn nhất) của a và b. Như vậy ta có thể
coi ta có một phép toán trên
*
N
. Ta kí hiệu

a b UCLN(a,b).∪ =
Ta hãy xem phép toán đó có các tính chất mà ta đã nêu trong (1.4 và
1.5) hay không? Hiển nhiên, theo định nghĩa UCLN của hai số

*
a,b N∈
, ta
có tính chất giao hoán và kết hợp, nghĩa là
Nguyễn THỊ hoàng MAI Nguyễn Thị Đài Loan [Type text]
a b b a
a ( b c ) ( a b ) c
∪ = ∪
∪ ∪ = ∪ ∪
Với mọi
*
a,b,cΝ∈
. Bây giờ ta thử tìm xem phép toán đó có phần tử trung
lập e hay không? Nếu có, thì
a e = UCLN(a , e) = a∪
Với mọi
*
aΝ∈
, nghĩa là e phải là một số tự nhiên khác 0, bội của mọi số tự
nhiên khác 0. Hiển nhiên không có một e như vậy. Do đó,
*
N
cùng phép toán
U
là một nữa nhóm giao hoán, nhưng không phải là một vị nhóm.
Ta cũng lập luận tương tự cho phép toán BCNN trên
*
N
. Ta sẽ thấy
đối với phép toán này

*
N
là một vị nhóm giao hoán, phần tử trung hòa là số
1.
3. Các phần tử của P(X) là một bộ phận của tập hợp X. Ta chú ý tới
hai bộ phận đặc biệt của X mà ta có xu hướng hay quên, đó là X và Ø .
Đối với phép giao hoán, hiển nhiên ta có tính giao hoán và tính kết
hợp
A B = B A
A ( B C) = (A B) C.
∪ ∪
∪ ∪ ∪ ∪
Phần tử trung lập của phép toán chính bộ
phận X, vì ta có với mọi
A∈
P(X),

A X = A.∩
Vậy P(X) là một vị nhóm giao hoán
đối với phép giao.
Đối với phép hợp, P(X) cũng là một vị nhóm giao hoán, với Ø là
phần tử trung lập. Nếu trong P(X), ta bỏ đi bộ phận Ø, thì ta chỉ có một nửa
nhóm giao hoán.
4. a) Ta có, theo bảng nhân,
a.a = b, b.b = a, c.c = c,
cho nên
(a.a).a = b.a = c, a.(a.a) = a.b = a
(b.b).b = a.b = a, b.(b.b) = b.a = c
(c.c).c = c.c = c, c.(c.c) = c.c =c.
b) Từ a) ta thấy ngay phép toán không giao hoán và kết hợp. Trên

bảng nhân, ta thấy c là phần tử đơn vị.
6. a) Tổng của hai số chẵn là một số chẵn, còn tổng của hai số lẻ là
một số chẵn; cho nên A là ổn định đối với phép cộng, còn b thì không.
Nguyễn THỊ hoàng MAI Nguyễn Thị Đài Loan [Type text]
b) Trước hết B không thể là vị nhóm con của vị nhóm cộng N vì
điều đòi hỏi trước tiên là tính ổn định mà B không có. A ổn định đối với
phép cộng, cho nên phép cộng trong N là một phép toán trong A, đó là phép
toán cảm sinh. Do phép cộng trong N có tính giao hoán và kết hợp, nên phép
toán cộng cảm sinh trên A cũng vậy. Do đó A là một nửa nhóm con giao
hoán.Mặt khác, số 0, phần tử trung lập của phép cộng, cũng thuộc A, vậy A
là một vị nhóm con giao hoán của vị nhóm cộng giao hoán N.
c) Đối với phép nhân, cả A lẫn B đều ổn định. Ở đây A chỉ là nữa
nhóm con giao hoán của vị nhóm nhân giao hoán N vì
1 A∉
, còn B là vị
nhóm con giao hoán.
7. Ta có ngay tính kết hợp và phần tử trung lập:

1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
(a ,b )((a ,b )(a ,b )) = (a , b )( a a , b b ) =
= (a (a a ), b (b b ) ) =
= ((a a )a , (b b )b ) =

1 1 2 2 3 3
= ((a ,b )(a ,b ))(a ,b );
(e, e)(a, b) = (ea, eb) = (a, b)
(a, b)(e, e) = (ae, be) = (a, b).
Mỗi phần tử của X

n
có dạng

n
1 2 n i
X { ( a , a , ,a ) / a X, i=1, 2, , n}.= ∈
Phép nhân trong X
n
sẽ là

1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
(a ,a , ,a )(b ,b , ,b ) (a b ,a b , ,a b ).=
9. Ta có ngay tính kết hợp và phần tử trung lập:
1 m 1 n 1 p
1 m 1 n 1 p
1 m 1 n 1 p
1 m 1 n 1 p
1 m 1
(a a )((b b )(c c ) =
= (a a )(b b c c ) =
= (a a b b c c ) =
= (a a b b )(c c ) =
= ((a a )(b .
n 1 p
1 m 1 m
1 m 1 m
b )(c c );
( ) (a a ) = (a a ),
(a a )( ) = (a a ).

Ta không có tính giao hoán vì
Nguyễn THỊ hoàng MAI Nguyễn Thị Đài Loan [Type text]
1 m 1 n 1 n 1 m
(a a b b ) (b b a a )≠
.
§3.
4. a) Trên bảng nhân, ta nhìn thấy ngay
α
là phần tử đơn vị và phép
nhân là giao hoán. Để chứng minh tính kết hợp, ta phải có

x(yz) = (xy)z, x, y, z X∀ ∈

Vì X ={
α,β
}, nên bộ ba (x, y, z) chỉ có thể là như sau:

(α,α,α),(α,α,β),(α,β,α),(α,β,β),(β,α,α),(β,α,β),(β,β,α),(β,β,β)
Đó là các phần tử của tích đề-các X
3
.
Bây giờ ta chỉ việc theo bảng nhân để tính:
α(αα) = α = (αα)α
α(αβ) = β = (αα)β
α(βα) = β = (αβ)α
α(ββ) = α = (αβ)β
β(αα) = β = (βα)α
β(αβ) = α = (βα)β
β(βα) = α = (ββ)α
β(ββ) = β = (ββ)β

Ngoài ra, mỗi phần tử của X đều có nghịch đảo, cụ thể nghịch đảo
của
β
chính là
β
, còn hiển nhiên nghịch đảo của đơn vị
α
là
α
. Vậy X là
một nhóm giao hoán.
b) Ở đây ta cũng làm tương tự, chỉ có khác là bạn đọc phải kiên nhẫn
hơn một chút vì X có 3 phần tử, nên X
3
có 27 phần tử.
Chú ý là bài toán này giống hệt các bài tập 1 và 2 trong §1, chỉ có cái
khác là phép toán trong §1 kí hiệu +.
9. Phép nhân ánh xạ trong Hom (X, X) cố tính kết hợp và có phần tử
đơn vị, đó là ánh xạ đồng nhất. Vậy Hom (X, X) là một vị nhóm đối với
phép nhân ánh xạ; tuy vậy nó không thể là nhóm trừ khi X là Ø hay chỉ là
một phần tử. Bộ phận S(X) của Hom (X, X) ổn định đối với phép nhân ánh
xạ, nghĩa là tích của hai song ánh là một song ánh. Thêm nữa
x
1 S(X),∈
vậy S(X) là một vị nhóm con của vị nhóm Hom(X, X). Vị nhóm này còn là
một nhóm vì mỗi song ánh đều có song ánh ngược.
Giả sử
X = {1, 2,…, n},
thế thì mỗi
f S(X),∈

ta có thể viết
Nguyễn THỊ hoàng MAI Nguyễn Thị Đài Loan [Type text]
1 2 n
f
f (1) f (2) f(n)
 
=
 ÷
 
trong đó f(1), f(2)…f(n) là một hoán vị của {1, 2,…, n}. Mỗi
f S(X)∈
cho ta một hoán vị của {1, 2,…, n} và đảo lại mỗi hoán vị cho ta một
f S(X)∈
. Vậy S(X) có n! phần tử.
11. Bảng cộng của Z/2Z
×
Z/2Z
+
(0,0)
(1,0)
(0,1)
(1,1)
(0,0)
(0,0)
(1,0)
(0,1)
(1,1)
(1,0)
(1,0)
(0,0)

(1,1)
(0,1)
(0,1)
(0,1)
(1,1)
(0,0)
(1,0)
(1,1)
(1,1)
(0,1)
(1,0)
(0,0)
12. a) Bảng nhân các ánh xạ thuộc A



•
1
f
2
f
3
f
4
f
1
f
1
f
2

f
3
f
4
f
2
f
2
f
1
f
4
f
3
f
3
f
3
f
4
f
1
f
2
f
4
f
4
f
3

f
2
f
1
f
Theo bảng nhân trên, ta thấy tích của hai phần tử tùy ý thuộc A cũng thuộc
A, vậy A ổn định đối với phép nhân ánh xạ. Xét song ánh
Nguyễn THỊ hoàng MAI Nguyễn Thị Đài Loan [Type text]
1
2
3
4
φ: Z / 2Z Z / 2Z A
(0,0) f
(1,0) f
(0,1) f
(1,1) f


× →
ta thấy trong bảng nhân của A, nếu ta thay các
i
f (i=1,2,3,4)
bằng các
tạo ảnh
1
i
φ (f )
−
và thay dấu nhân . bằng dấu + thì ta được bảng cộng của

Z / 2Z Z / 2Z×
.
b) Từ nhận xét trong a), ta có thể kết luận A là một nhóm aben với
phép nhân ánh xạ do
Z / 2Z× Z / 2Z
là một nhóm aben. Thực ra, nhìn bảng
nhân của A, ta thấy ngay phép nhân trong A là giao hoán, có
1
f
là phần tử
trung lập, và vì
2 2 2 2
1 2 3 4 1
f f f f f= = = =
nên nghịch đảo của mỗi phần tử là
chính nó. Còn tính kết hợp của phép toán trong A suy ra từ tính kết hợp của
tính ánh xạ. Vậy không cần so sánh với bảng cộng của nhóm tích
Z / 2Z× Z / 2Z
, ta cũng có thể chứng minh trực tiếp rằng A là một nhóm
aben. Vì phép toán của A là phép toán của Horn
* *
(R ,R )
, nên ta có thể nói
A là một vị nhóm con của vị nhóm
* *
(R ,R )
, vị nhóm con này còn là một
nhóm aben.
13. a) Ta viết bảng nhân các ánh xạ thuộc B:
1

f
2
f
3
f
4
f
5
f
6
f
1
f
1
f
2
f
3
f
4
f
5
f
6
f
2
f
2
f
1

f
5
f
3
f
6
f
4
f
3
f
3
f
4
f
1
f
6
f
2
f
5
f

4
f
4
f
6
f

2
f
5
f
1
f
3
f
5
f
5
f
3
f
6
f
1
f
4
f
2
f
6
f
6
f
5
f
4
f

2
f
3
f
1
f
Theo bảng nhân trên ta thấy B ổn định đối với phép nhân ánh xạ.
Nguyễn THỊ hoàng MAI Nguyễn Thị Đài Loan [Type text]
b) Hiển nhiên B là một vị nhóm con của vị nhóm Hom (X, X) với đơn
vị là
1
f
. Mặt khác ta có theo bảng nhân
2 2 2 2
1 2 3 6 1
f f f f f= = = =
4 5 5 4 1
f f f f f ,= =
vậy
1 2 3 4
f ,f ,f ,f
có nghịch đảo là chính mình, còn
4 5
f có f
là nghịch đảo và
đảo lại. Vậy B là một nhóm đối với phép nhân ánh xạ; nhóm này không aben
vì ta có chẳng hạn .
§4
4. Ta có bản nhân các phép thế của A như sau:
e a b c

e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
a) Theo bảng nhân trên, tích của hai phần tử tùy ý thuộc A vẫn thuộc
A, vậy Aổn định đối với phép nhân các phép thế, mặt khác vì
2 2 2 2
e a b c e= = = =
, nên nghịch đảo của các phần tử e, a, b, c lại là chính
chúng. Vậy theo hệ quả 4.3.b, A là một nhóm con của. Vẫn theo bảng nhân
trên , ta thấy A là aben.
b) Hiển nhiên bảng nhân của A giống các bảng trong các bài tập 11 và
12 của §3 nếu ta không chú ý tới tình cụ thể của các phần tử.
19. a)
e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
Ta có:
1 2 2 2
e e, a b c e.= = = =
Vậy cấp của e là 1, của a, b, c là 2. Còn
cấp của A là 4. Vậy cấp của các phần tử của A là các ước thực sự của cấp
của A. do đó A không phải là nhóm cyclic, nhưng aben theo bảng nhân.
Nguyễn THỊ hoàng MAI Nguyễn Thị Đài Loan [Type text]
b) Ta có:

2
1 2 3 4 1 2 3 4

f = , f = ,
2 3 4 1 3 4 1 2
   
 ÷  ÷
   

3 4
1 2 3 4 1 2 3 4
f = , f = =e.
4 1 2 3 1 2 3 4
   
 ÷  ÷
   
Từ đó ta có bảng nhân sau đây:
e f
2
f
3
f
e e f
2
f
3
f
f f
2
f
3
f
e

2
f
2
f
3
f
e f
3
f
3
f
e f
2
f
Hiển nhiên cấp của e là 1, của f là 4, của
2
f
là 2, còn của
3
f
là 4 vì 3
và 4 nguyên tố cùng nhau (bài tập 19).
c) Giả sử X=
{ε,α,β,γ}
là một nhóm cấp 4, và
ε
là phần tử đơn vị
(ta kí hiệu phép toán trong X bằng nhân). Cấp của
ε
hiển nhiên là 1, còn của

α,β và γ
chỉ có thể hoặc 2 hoặc 4 (xem hệ quả 5.1.6) . Ta xét các trường hợp
sau đây:
0
1 α,β và γ
đều có cấp 2;
0
2
có ít nhất một phần tử cấp 4, chẳng hạn
α.
.
Trong trường hợp thứ nhất, bảng nhân của X sẽ là như sau:
ε
α
β
γ
Nguyễn THỊ hoàng MAI Nguyễn Thị Đài Loan [Type text]
ε
ε
α
β
γ
α
α
ε
β
β
ε
γ
γ

ε
Như vậy, mỗi dòng của bảng nhân còn trống hai ô để điền. Trước khi
điền, ta hãy chú ý là mỗi dòng phải là một hoán vị của ( §3, bài tập 3).
Ta hãy xét dòng thứ hai:
αβ
chỉ có thể bằng
β
hay
γ
. Nếu
αβ
=
β
, thì
αβ
=
εβ
, ta suy ra
α
=
ε
sau khi giản ước. Điều đó mâu thuẫn với
α ε
≠
, vậy
αβ
=
γ
. Do đó ô tiếp theo phải là:
αγ = β

. Với các ô còn lại, ta chỉ
chú ý là mỗi dòng hay mỗi cột phải là một hoán vị của
{ε,α,β,γ}
để điền
phần tử bắt buộc phải có mặt.
ε
α
β
γ
ε
ε
α
β
γ
α
α
ε
γ
β
β
β
γ
ε
α
γ
β
α
ε
Ta thấy ngay rằng khi các phần tử
ε,β,γ

đều là cấp 2, bảng nhân chỉ có một,
nó giống bảng nhân trong a) khi ta lần lượt thay
ε,α,β,γ
bằng e, a, b, c.
Trong trường hợp thứ hai, vì
α
và X đều có cung cấp, cụ thể là 4, nên
α
sinh ra tất cả các phần tử của X:
2
α,α (= β
chẳng hạn),
3 4
α (= γ), α = ε
Trong trường hợp này, bảng nhân của X giống như bảng nhân của B
trong b).
Như vậy một nhóm cấp 4 luôn là aben, cấu trúc của nó hoặc như trong
a) hoặc cyclic như trong b).
20.
X Y = { (e, e), (a, e), (a, b)}×
ε = (e, e)
α = (e, b)
β = (a, e)
γ = (a, b)
Nguyễn THỊ hoàng MAI Nguyễn Thị Đài Loan [Type text]
ε = (e, e)
ε = (e, e)
α = (e, b)
β = (a, e)
γ = (a, b)

α = (e, b)
α = (e, b)
ε = (e, e)
γ = (a, b)
β = (a, e)
β = (a, e)
β = (a, e)
γ = (a, b)
ε = (e, e)
α = (e, b)
γ = (a, b)
γ = (a, b)
β = (a, e)
α = (e, b)
ε = (e, e)
Ta thấy ngay bảng nhân của
X Y×
giống bảng nhân của A trong bài
tập 22, a). Người ta nói rằng một nhóm cấp 4 có cấu trúc hoặc là cyclic hoặc
là tích của hai nhóm cyclic cấp 2.