Đề và Đáp án chi tiết Toán ĐH 2010

http://ductam_tp.violet.vn/
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC (năm học 2009-2010)
(Thời gian làm bài : 180 phút)
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm)
Cho hàm số
12
2
−
+
=
x
x
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2 , 0) và B(0 , 2)
Câu 2 (2,0 điểm)
1.Giải phương trình :
0
10
5cos3
6
3cos5 =






−+







+
ππ
xx
2.Giải bất phương trình :
0
52
232
2
2
≥
−
−−
xx
xx
Câu III (1,0 điểm)
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường :
.2;0; +−=== xyxyx
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình (H) quay quanh trục Oy
Câu IV (1,0 điểm)
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A
1
B
1
C
1

cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
2a
.
Tính thể tích khối lăng trụ và góc giữa AC
1
và đường cao AH của mp(ABC)
Câu V (1,0 điểm)
Cho :
65
222
=++ cba
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :







∈++= )
2
,0(2sin.sin.2
π
xxcxbay
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho đường tròn (C) :
0124

22
=−−−+ yxyx
và đường thẳng d :
01 =++ yx
. Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ được
đến (C) hai tiếp tuyến hợp với nhau góc 90
0
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho mặt cầu (S) :
( ) ( )
921
2
2
2
=+++− zyx
.
Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a :
22
1
1 −
=
−
=
zyx
và cắt mặt cầu (S) theo
đường tròn có bán kính bằng 2 .
CâuVII.a (1,0 điểm)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau mà mỗi số đều lớn hơn 2010.
2.Theo chương trình nâng cao
CâuVI.b (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho elip (E) :

044
22
=−+ yx
.Tìm những điểm N trên elip (E)
sao cho :
0
21
60
ˆ
=FNF
( F
1
, F
2
là hai tiêu điểm của elip (E) )
2.Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng





=
=
=
∆
1
2:
z
ty
tx

và điểm
)1,0,1( −A
Tìm tọa độ các điểm E và F thuộc đường thẳng
∆
để tam giác AEF là tam giác đều.
Câu VII.b (1,0 điểm)
Tìm số phức z thỏa mãn :





=−
+−=−
4)(
22
22
zz
izziz



ĐÁP ÁN
Câu Đáp án Điểm
I ( 2,0
điểm)
1.(1,25)
a/ Tập xác định : D
R=
\







2
1
b/ Sự biến thiên:
Dx
x
y ∈∀<
−
−
= 0
)12(
5
2
/
+ H/s nghịch biến trên
),
2
1
(;)
2
1
,( ∞+−∞
; H/s không có cực trị
+Giới hạn –tiệm cận :

∞−=∞+===
−+
→→
−∞→+∞→
yLimyLimyLimyLim
xx
xx
2
1
2
1
;;
2
1
Tiệm cận ngang y =
2
1
; Tiệm cận đứng x =
2
1
c/ Đồ thị : Đđb x = 0 , y = -2
y = 0 , x = -2. Đồ thị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2.(1,0 điểm)
Pt đường trung trực đọan AB : y = x
Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoàng độ là nghiệm của pt :

x
x
x
=
−
+
12
2







+
=
−
=
↔
=−−↔
2
51
2
51
01
2
x
x

xx
Hai điểm trên đồ thị thỏa ycbt :








++








−−
2
51
,
2
51
;
2
51
,
2

51
0,25
0,25
0,25
2
1
-
∞+
∞−
2
1

∞+
Y
/
x
2
1
o
y
x
o
2
1
-
∞+
∞−
2
1

∞+
Y
/
Y
/
/
//
/ /
x
2
1
y
x
II ( 2,0
điểm)
1.(1,0 điểm)
Pt
)3sin5(sin33sin2
5sin33sin5
0
2
5cos3
2
3cos5
xxx
xx
xx
−=↔
=↔
=







−+






+↔
ππ




=−−
=
↔
=−+↔
022cos2cos3
0sin
0)3sin44cos3(sin2
2
2
xx
x

xxx

)(
)
3
2
arccos(
2
1
Zk
kx
kx
∈





+−±=
=
↔
π
π
0,25
0,25
0,25
0,25
2.(1,0 điểm)
Bpt




















>∨<
>∨−<







≠∧≠
=∨−=
↔















>−
>−−





≠≠
=−−
↔
2
5
0
2
2
1

2
5
0
2
2
1
052
0232
2
5
;0
0232
2
2
2
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx









>
=
−≤
↔
2
5
2
2
1
x
x
x

0,25
0,50
0,25
III (1,0
điểm)
Phương trình định tung độ giao điểm :

1
)(4
1
2
045
02
2
2
=↔









=
=
≤
↔



=+−
≥−
↔−=
y
ly
y
y
yy
y
yy
Đường thẳng y = 2 – x cắt trục tung tại y = 2
Thể tích khối tròn xoay cần tìm : V = V
1
+ V
2

Trong đó V
1
=
2
)(
2
2
1
0
y
dyy
ππ
=
∫
1
0
=
2
π
(đvtt)
V
2

∫ ∫
−
=−−=−=
2
1
2
1

2
1
3
22
3
)2(
)2()2()2(
y
ydydyy
πππ
=
3
π
(đvtt)
V =
)(
6
5
đvtt
π
0,25
0,25
0,25
0,25
IV (1,0
Điểm)
V (1,0
điểm)
+Thể tích lăng trụ : V
4

6
).(
3
1
aAAABCdt ==
+ cos(AH , AC
1
) =
1
111
1
1

.
ACAH
CAAAAH
ACAH
ACAH






+
=
→→→
→→
=
1

11
.
.
ACAH
CAAH
→→

0
1
1
0
60),(
2
1
3.
2
3
2
3
.
2
3
.
30cos
=→=== ACAH
aa
aa
ACAH
ACAH
. Vậy (AH , AC

1
) = 60
0

Vậy (AH , AC
1
) = 60
0


( )( ) ( )
xxxxcbay 2sinsin21652sinsin21
22222222
++=++++≤
Đặt f(x) =
)sin1.(sin4sin212sinsin21
22222
xxxxx −++=++
f(x) =
1sin6sin4
24
++− xx
, Đặt
( )
1,0,sin
2
∈= ttx
g(t) =
4
3

0)(;68)(164
//2
=↔=+−=→++− ttgttgtt
BBT
M






Max g(t)
34
3
sin
4
3
4
13
2
π
=→=↔== xxtkhi


2
5
13
2
5
13

4
13
.65
2
≤≤−→≤ yy
dấu “=” xảy ra khi
3
π
=x
và
c
x
b
x
a
2sinsin21
==

hay
cba 2
3
2
61
==

Thay vào :








−=
−=
−=
∨







=
=
=
→=++
15
30
52
15
30
52
65
222
c
b
a
c

b
a
cba

VI.a (2,0 điểm)
1.( 1,0 điểm)
+ (C) có tâm I(2 , 1) và bán kính R =
6

+
BABMA ,(90
ˆ
0
=
là các tiếp điểm ) suy ra :
122.2. === RMAMI
Vậy M thuộc đường tròn tâm I bán kính R
/
=
12
và M thuộc d nên M( x , y) có tọa độ thỏa hệ:

( ) ( )





+−=
−=

∨





−−=
=
↔





=++
=−+−
21
2
21
2
01
1212
22
y
x
y
x
yx
yx
Vậy có 2 điểm thỏa yêu cầu bài toán có tọa độ nêu trên.

2.( 1,0 điểm)
a. (S) có tâm
)2,0,1( −J
bán kính R = 3
+ đt a có vtcp
)2,2,1( −
→
u
, (P) vuông góc với đt a nên (P) nhận
→
u
làm vtpt
Pt mp (P) có dạng :
022 =+−+ Dzyx
0,25
0,25
0,25
0,25
0 0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
B
A
B
1
A
1

C
C
1
H
4
3
t
f
f
/
f
0
1
0
+
-
4
13
1
1
1
1
t
4
13
f
-
f
/
+

f
0
0
4
3
1
+ (P) cắt (S) theo đường tròn có bk r = 2 nên d( J , (P) ) =
5
22
=− rR
nên ta có :
5
3
)2.(20.21
=
+−−+ D
0,25





−−=
+−=
↔
535
535
D
D
KL : Có 2 mặt phẳng : (P

1
) :
053522 =+−−+ zyx
và (P
2
) :
053522 =−−−+ zyx
0,25
VII.a(1,0
điểm)
VI.a
( 2,0
điểm)
Gọi số cần tìm có dạng :
abcd
+ Nếu a > 2 : có 7 cách chọn a và
3
9
A
cách chọn b, c , d
+ Nếu a = 2 :
+ b > 0 : có 8 cách chọn b và có
2
8
A
cách chọn c , d
+ b = 0 và c > 1: có 7 cách chọn c và và 7 cách chọn d
+ b = 0 và c = 1 : có 7 cách chọn d
Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán là :
403277.7.8.7

2
8
3
9
=+++ AA
1.(1,0 điểm)
(E) :
33;11;24;1
4
222222
2
=→=−==→==→==+ cbacbbaay
x
+ Áp dụng định lí côsin trong tam giác F
1
NF
2
:

18
2
;
9
32
3
4
)(
3
4
.

2)()(
60cos.2)(
22
22
21
2121
2
21
2
21
0
21
2
2
2
1
2
21
==↔
=−=↔
−−+=↔
−+=
yx
caNFNF
NFNFNFNFNFNFFF
NFNFNFNFFF
Vậy có 4 điểm thỏa yêu cầu bài toán :









−−








−








−









3
1
,
3
24
;
3
1
,
3
24
;
3
1
,
3
24
;
3
1
,
3
24
4321
NNNN
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2.(1,0 điểm)
+ Đường thẳng
)1,0,0(
0
Mquađi∆
và có vtcp
)0,2,1(
→
u
;
)2,2,4(,;)2,0,1(
00
−=






−=
→→→
uAMAM
+ Khoảng cách từ A đến
∆
là AH =

5
62
,
),(
0
=






=∆
→
→→
u
uAM
Ad
+ Tam giác AEF đều
5
24
3
2
. ===→ AHAFAE
.Vậy E , F thuộc mặt cầu tâm A , BK R =
5
24
và đường thẳng
∆
, nên tọa độ E , F là nghiệm của hệ :










=+++−
=
=
=
5
32
)1()1(
1
2
222
zyx
z
ty
tx

0,25
0,25
0,25
t =
5
221 

suy ra tọa độ E và F là :











=
+
=
+
=
∨











=

−
=
−
=
1
5
242
5
221
1
5
242
5
221
z
y
x
z
y
x
0,25
VII.b
(1,0
điểm)
+ Gọi số phức z = x + yi
),( Ryx ∈
Hệ






=
+=−+
↔
44
)22()1(2
xyi
iyiyx






=
=
↔







−=∨=
=
↔
3
3

2
4
1
4
11
4
y
x
x
y
x
y
x
y
Vậy số phức cần tìm là :
iz
3
3
4
1
4 +=
0,25
0,50
0,25
f(t)
f
/
(