LÝ THUYẾT VÀ THỰC NGHIỆM XÁC ĐỊNH CÁC THAM SỐ CỦA MÔ HÌNH PHÁ HUỶ DÒN BÊ TÔNG docx

L
Ý
THUY
Ế
T V
À
THỰC NGHIỆM X
Á
C ĐỊNH C
Á
C THAM S
Ố

CỦA MÔ HÌNH PHÁ HUỶ DÒN BÊ TÔNG, KHẢ NĂNG
ỨNG DỤNG VÀO PHÂN TÍCH CƠ CHẾ PHÁ HUỶ CỦA CÁC
BỘ PHẬN KẾT CẤU CÔNG TRÌNH GIAO THÔNG



ThS. TRẦN THẾ TRUYỀN
Bộ môn Cầu hầm - Khoa Công trình
GS. TS. NGUYỄN VIẾT TRUNG
Bộ môn CTGTTP - Khoa Công trình
Trường Đại học Giao thông Vận tải


Tóm tắt: Bài báo này góp phần giới thiệu và phân tích các mô hình phá huỷ dòn bê tông
và cách xác định các tham số đầu vào của các mô hình này đối với một số loại bê tông thường
dùng trong xây dựng giao thông ở Việt Nam. Một số ví dụ mô phỏng và thực nghiệm kiểm
chứng với các dầm bê tông cốt thép giản đơn sẽ được trình bày để đánh giá kết quả cân chỉnh
thu được. Kết luận về khả năng ứng dụng trong phân tích cơ chế phá huỷ của các kết cấu công

trình giao thông bằng bê tông cốt thép trong thực tế.
Summary: This paper contributes to the presentation and analysis of damage models for
concrete, the calibrating process of these models’ input parameters with some types of
concrete commonly used in transportation works in Vietnam. Some examples of simulation
and experimental verification with simple reinforced concrete beams will be shown to validate
the calibrated results. Conclusions on perspective application in analysing the failure
mechanism of reinforced concrete structures in transportation works are also given.


I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Hiện nay, việc áp dụng các tiếp cận tính toán mới trong phân tích ứng xử của các bộ phận
kết cấu bê tông là rất cần thiết trong xây dựng nói chung và trong xây dựng giao thông nói
riêng. Mục đích là nâng cao độ chính xác tính toán, độ tin cậy và độ bền của các công trình này
trong quá trình thiết kế, thi công và khai thác. Lý thuyết cơ học phá huỷ dòn dựa trên cơ sở giữ
nguyên tính liên tục của vật liệu trong quá trình mô phỏng đã cho thấy nhiều ưu điểm so với các
lý thuyết khác khi mô tả ứng xử của bê tông trước và sau đỉnh phá hoại. Các mô hình dòn về bê
tông ban đầu như mô hình Mazars [12] xem xét bê tông ứng xử đẳng hướng có tính đến ứng xử
bất đối xứng của bê tông khi chịu kéo và chịu nén đã được ứng dụng tương đối thành công ở
châu Âu. Tuy nhiên, vì mô hình này không xét đến hiện tượng tập trung biến dạng trong các
vùng phá huỷ (FPZ) [10] do sự tương tác giữa các đường nứt vi mô ở trong đó nên các mô hình
được gọi là cục bộ này tỏ ra yếu trong mô phỏng bằng phương pháp phần tử hữu hạn: các kết
quả tính toán phụ thuộc nhiều vào lưới phần tử hữu hạn và có thể có hiện tượng “snap-back” là
hiện tượng năng lượng tiêu tán trong quá trình phá huỷ bằng 0, điều này là không thể chấp nhận

được về mặt vật lí. Các kỹ thuật điều chỉnh sau đó đã được đưa vào để tính đến hiện tượng tập
trung biến dạng này và mô hình không cục bộ là một trong những mô hình được cho là hiệu quả
và có tính tổng quát nhất [18]. Trong bài báo này chúng tôi sẽ ứng dụng những kết quả nghiên
cứu mà chúng tôi đã công bố để cân chỉnh xác định các tham số cơ bản của mô hình dòn không
cục bộ cho một số loại bê tông thường dùng trong xây dựng giao thông ở Việt Nam và một số
ứng dụng mô phỏng dầm bê tông cốt thép giản đơn sẽ được tiến hành có kiểm chứng bằng thực

nghiệm để đánh giá khả năng ứng dụng của các mô hình phá huỷ dòn bê tông trong mô phỏng
sự phá hoại của các bộ phận kết cấu công trình giao thông trong thực tế.
II. VỀ MÔ PHỎNG BÊ TÔNG THEO LÝ THUYẾT PHÁ HỦY DÒN
Sự phá huỷ của bê tông xảy ra khi độ cứng của vật liệu này trong các vùng chịu lực bất lợi
bị triết giảm dưới tác dụng của tải trọng và các yếu tố môi trường, mô đun đàn hồi giảm dần đến
0 khi sự phá huỷ xảy ra hoàn toàn, hiện tượng phá huỷ trong bê tông xảy ra trước khi xuất hiện
và lan truyền các đường nứt lớn. Lý thuyết phá huỷ dòn sử dụng một biến trạng thái gọi là biến
phá huỷ D thay đổi từ 0 đến 1 để mô tả quá trình phá huỷ từ trạng thái ban đầu đến khi phá huỷ
hoàn toàn [12]. Cho đến nay có nhiều tiếp cận để xây dựng quy luật phá huỷ của bê tông, trong
số đó tiếp cận ứng suất có hiệu được sử dụng nhiều và được cho là hiệu quả nhất [10], trong bài
báo này chúng tôi cũng sử dụng tiếp cận này bởi sự biểu diễn đơn giản của nó:
+ Ứng suất có hiệu được biểu diễn bằng công thức:
ε
=
σ
.E
(1)
+ Từ trạng thái ban đầu , vì tải trọng tác động không thay đổi nên ta có:
ε=σ .E
F =
A.A. σ=σ Æ
ε−=εβ=ε=σ .E).D1(.E E).A/A(
(2)
(
σ - ứng suất danh định,
σ
- ứng suất có hiệu, β - biến nguyên và D là biến phá huỷ).

Hình 1. Mô tả quá trình phá huỷ của bê tông (Jirasek-2004)
Một số tác giả đã sử dụng tiếp cận ứng suất có hiệu trong phát triển mô hình phá huỷ dòn
của mình như Mazars (1984), Mazars & Pijaudier-cabot (1989), Simo &Ju (1987), Lemaitre &
Chaboche (1992), Faria&al (1998) hay Jirasek (2004)… Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng
mô hình Mazars (1984) như là mô hình cơ sở để phát triển các nghiên cứu sâu hơn trên cơ sở
tham khảo các mô hình khác trong quá trình tính toán.
Nếu như biến dạng ngang suất hiện sau khi dỡ ray giá trị
Δ có thể thay bằng giá trị
Δ/3.σ
max
- giá trị tất nhiên là nhỏ hơn giới hạn chảy của thép ray rất nhiều.
Trên thực tế với điều kiện dỡ ray dài hiện nay ứng suất trong ray nhỏ hơn ứng suất cho
phép nhiều và như vậy ray không bị biến dạng.

III. MÔ HÌNH KHÔNG CỤC BỘ VỀ ỨNG XỬ DÒN CỦA BÊ TÔNG
Mô hình không cục bộ Mazars đề cập trong bài báo này được phát triển trên cơ sở mô hình
Mazars (1984) [12] bằng cách đưa vào tiếp cận không cục dạng tích phân với hàm trọng số
dùng để định hướng vùng phá huỷ và vùng tập trung biến dạng có dạng hàm phân phối chuẩn
Gauss [13], [18]. Kết quả tính toán số theo mô hình này đã khắc phục được các nhược điểm của
các mô hình cục bộ về phá huỷ dòn. Trên hình 2 là kết quả mô phỏng của chúng tôi với hai
trường hợp dầm bê tông có vết nứt mồi và không có vết nứt mồi [18].






0
1000

2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009
V (m)
P(N)
400 PT
300 PT
600 PT
1200 PT
1600 PT
(a) (b)
0.00
500.00
1000.00
1500.00
2000.00
2500.00
0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009
V (m)
P(N)
390 PT
570 PT
940 PT
Hình 2. Hội tụ của kết quả tính toán khi lưới phần tử hữu hạn đủ nhỏ

a. Dầm nguyên uốn trên 3 điểm (300, 400, 600, 1200 & 1600 PT)
b. Dầm có nứt mồi uốn trên 3 điểm ( 390, 570 & 940 PT)

Theo đó, kết quả mô phỏng với mô hình không cục bộ hội tụ về một giá trị duy nhất khi số
lượng PTHH đủ nhỏ, hay không còn sự phụ thuộc của kết quả tính toán vào lưới PTHH. Tập
trung biến dạng dần đến một dải có kích thước hữu hạn có dạng gần giống với kết quả ghi nhận
được từ thực nghiệm [16].
IV. LÝ THUYẾT VÀ THỰC NGHIỆM XÁC ĐỊNH CÁC THAM SỐ CỦA MÔ HÌNH
PHÁ HUỶ DÒN ĐỐI VỚI MỘT SỐ LOẠI BÊ TÔNG THƯỜNG DÙNG TRONG GIAO
THÔNG
1. Thí nghiệm uốn các mẫu dầm
Sáu loại bê tông được sử dụng với với cường độ chịu nén f’
c
: 20, 25, 30, 35, 40 và 50 Mpa
(f’
c
sau 28 ngày bảo dưỡng trong phòng thí nghiệm LAS-XD 125 – ĐHXD với mẫu thí nghiệm
có đường kính 15cm và cao 30cm). Phụ gia Sikamen R4 được dùng cho các cấp bê tông có
f’
c
≥ 40Mpa. Kích thước và hình dạng các mẫu dầm có nứt mồi thí nghiệm uốn trên 3 điểm cho
ở
bảng 1.
Bảng 1. Kích thước 4 bộ dầm thí nghiệm
Kích thước (mm)

4 bộ dầm
B W L L a
o
D1 50 50 150 165 10

D2 50 100 300 330 20
D3 50 200 600 660 40
D4 50 400 1200 1320 80
(B – Bề rộng, W – Chiều cao, L – chiều dài dầm, l – nhịp dầm, a
o
– chiều dài vết nứt mồi)

Tổng số lượng mẫu dầm cần thiết là 4 x 6 x 5 = 120 mẫu. Ván khuôn cho tất các các kích
thước mẫu dầm bê tông được chuẩn bị với sự giúp đỡ của phòng thí nghiệm, các thiết bị đo đạc
cấp tải trọng, biến dạng và độ võng của các mẫu dầm cũng được chuẩn bị bởi phòng thí nghiệm
LAS-XD125 theo đề cương TN [16]. Tất cả các mẫu thí nghiệm được bố trí uốn trên 3 điểm
trong điều kiện khống chế độ võng để đảm bảo sự lan truyền các đường nứt là ổn định. Thời
gian gia tải trong khoảng từ 1 đến 10 phút.
2. Mô phỏng phá huỷ các mẫu dầm theo mô hình dòn không cục bộ
Mô hình phá huỷ dòn không cục bộ đã được các tác giả bài báo số hoá trong code PTHH
Lagamine [18]. Các mẫu dầm mô phỏng có kích thước giống hệt các dầm đã thí nghiệm ở trên.
Giả thiết bài toán biến dạng phẳng được áp dụng và số lượng phần tử sử dụng thay đổi từ 800
đến 1600 PTHH cho các kích thước dầm; ở các vùng chịu lực bất lợi, lưới PTHH sẽ mịn hơn.
Các tham số cơ bản của mô hình dòn không cục bộ gồm: Mô đun đàn hồi (E), hệ số Poisson (v),
hệ số phá huỷ cắt (
β), các hệ số khi kéo và khi nén bê tông (A
T
, B
T,
A
C
, B
C
), ngưỡng phá huỷ
(ε

Do
), chiều dài đặc trưng (l
c
); Trong các tham số này thì A
T
, B
T
, ε
Do
và l
c
cùng với E ảnh hưởng
mạnh nhất đến cơ chế phá huỷ của các mẫu dầm chịu uốn vì thế chỉ cần cân chỉnh xác định các
tham số này, các tham số còn lại được lấy theo giá trị trung bình của các tác giả khác trên thế
giới [11], [12]. Ảnh hưởng của các tham số cần cân chỉnh đến kết quả mô phỏng được mô tả ở
hình 3, hình 4.


Hình 3. Lưới PTHH và vùng phá huỷ của các dầm mô phỏng
0.00
2000.00
4000.00
6000.00
8000.00
10000.00
12000.00
0.00000 0.00005 0.00010 0.00015 0.00020 0.00025 0.00030 0.00035 0.00040 0.00045
V (m)
P (N)
lc = 0.01m

lc=0.03m
lc=0.05m
lc=0.08m

0.00
1000.00
2000.00
3000.00
4000.00
5000.00
6000.00
7000.00
8000.00
9000.00
0.00000 0.00005 0.00010 0.00015 0.00020 0.00025 0.00030 0.00035 0.00040 0.00045
V (m)
P (N)
AT = 0.96
AT = 0.76
AT = 0.56
AT = 0.36

(a) (b)
Hình 4. Ảnh hưởng của các tham số cân chỉnh đến kết quả mô phỏng

0.00
2000.00
4000.00
6000.00
8000.00

10000.00
12000.00
14000.00
0.00000 0.00005 0.00010 0.00015 0.00020 0.00025 0.00030 0.00035 0.00040 0.00045
V (m)
P (N)
BT = 6000
BT = 26000
BT = 16000
BT = 30000
BT = 1000
0.00
2000.00
4000.00
6000.00
8000.00
10000.00
12000.00
0.00000 0.00005 0.00010 0.00015 0.00020 0.00025 0.00030 0.00035 0.00040 0.00045
V (m)
P (N)
EDo = 0.9E-4
EDo = 0.5E-4
EDo = 1.5E-4
EDo = 2.0E-4

(c) (d)
Hình 4. Ảnh hưởng của các tham số cân chỉnh đến kết quả mô phỏng
(a). lc; (b). A
T

; (c). B
T
; (d). ε
Do
Các tham số chính của mô hình dòn Mazars không cục bộ cho một số loại bê tông thường
dùng trong xây dựng giao thông ở Việt Nam được xác định từ các cân chỉnh giữa lí thuyết và
thực nghiệm. Theo đó quan hệ giữa tải trọng và độ võng (P-v) của các mẫu thí nghiệm và mẫu
mô phỏng với 4 kích thước dầm khác nhau được cân chỉnh sao cho đường lí thuyết tiến sát nhất
đến đường thực nghiệm nhất. Và kết quả có được của bộ tham số mô phỏng tương ứng sẽ là bộ
tham số cần xác định.
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0.00000 0.00015 0.00031 0.00046 0.00061 0.00077 0.00092
V (m)
P(N)
Thi nghiem
Mo phong 1
Mo phong 2

0
1000
2000
3000

4000
5000
6000
7000
8000
9000
0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008
V (m)
P (N)
Thi nghiem
Mo phong 1
Mo phong 2

(a) (b)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009
V (m)
P (N)
Thi nghiem
Mo phong 1

Mo phong 2

0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009
V (m)
P (N)
Thi nghiem
Mo phong1
Mo phong 2

(c) (d)
Hình 5. Cân chỉnh xác định các tham số của mô hình dòn từ lí thuyết và thực nghiệm
(a): Dầm D4 – M50; (b): Dầm D4 - M20
(c): Dầm D3 – M50; (d): Dầm D3 – M20

Kết quả cân chỉnh xác định các bộ tham số A
T
, B
T
, lc và ε

DO
với 06 cấp bê tông được thống
kê ở
bảng 2.
Bảng 2. Các tham số thu được từ cân chỉnh của mô hình Mazars không cục bộ
Các tham số cơ bản
E At Ac Bt Bc
ε
Do
β lc
Dầm
Loại
bê
tông

(Mpa) - - - - - - (m)
0.01
0.00005 ÷
0.00007
0.40÷ 0.60 10000 20000 0.03 ÷ ÷
M20 23151 1.5 2000 1
0.01
0.40÷ 0.70 10000 20000 0.00005÷0.00007 0.03 ÷ ÷
M25 26422 1.5 2000 1
1
0.01
0.00006 ÷
0.00008
0.45 ÷0.80 10000 25000 0.03 ÷ ÷
M30 28720 1.5 2000

0.01
M35 30869
0.50 ÷0.85
1.5
15000÷25000
2000
0.00006÷0.00008
1
÷0.03
M40 32656
0.55÷0.85
1.5
15000÷25000
2000
0.00005÷0.00008
1
0.01
÷0.03
D1,
D2,
D3,
D4
0.01
÷0.03

0.60÷0.90 15000 30000 0.00005÷0.00008÷
M50 35864 1.5 2000 1
V. VÍ DỤ ÁP DỤNG TÍNH TOÁN MÔ PHỎNG DẦM BTCT SỬ DỤNG BỘ THAM SỐ
THU ĐƯỢC
Hai dầm BTCT có và không có cốt đai sẽ được thí nghiệm với hai loại bê tông có cường độ

chịu nén f’
c
= 25Mpa và f’
c
= 35Mpa. Kích thước của các dầm cho ở hình 5. Các cốt thép có
E = 210000Mpa, giới hạn chảy f
y
= 370Mpa, ε
c
= 27%. Thí nghiệm được thực hiện bằng việc áp
dụng một lực P = 1000N tăng dần cho đến khi dầm bị phá huỷ. Tải trọng phá huỷ, quan hệ
P - v (N - mm), vị trí và dạng của các đường nứt sẽ được ghi nhận để so sánh với các kết quả mô
phỏng số.

2x50
4x100 3x150
2x50
4x100
d4
P
1500
150
100
d12
10
P
1400
150
100
d12

10
d10

Hình 6. Hai ví dụ dầm BTCT có và không có cốt đai
Công tác mô phỏng số được thực hiện bằng việc sử dụng 800 PTHH 8 nút cho dầm không
có cốt đai và 1200 PTHH 8 nút cho dầm có cốt đai [21], ứng xử dòn không cục bộ được gán cho
bê tông, ứng xử đàn hồi dẻo tuyệt đối được gán cho thép, liên kết giữa bê tông và cốt thép được
giả thiết là liên tục. Quá trình mô phỏng cũng được tiến hành trong điều kiện khống chế chuyển
vị của các dầm.
Kết quả mô phỏng và thí nghiệm dầm BTCT không có cốt đai cho ở hình 8.

(a)

(b)

(c)
Hình 7. Vùng phá huỷ (a), vùng tập trung biến dạng (b) phá huỷ dầm thí nghiệm (c)
Kết quả mô phỏng và thí nghiệm dầm BTCT có cốt đai cho ở hình 9.

(a)

(b)

(c)

Hình 8. Vùng phá huỷ (a), vùng tập trung biến dạng (b), phá huỷ dầm thí nghiệm (c)

Do - M25
0
5000

10000
15000
20000
25000
0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030 0.0035 0.0040 0.0045
V (m)
P (N)
Thi nghiem 1
Mo phong
Thi nghiem 2

D0 - M35
0
5000
10000
15000
20000
25000
0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030 0.0035 0.0040 0.0045 0.0050 0.0055
V (m)
P (N)
Thi nghiem
Mo phong
Thi nghiem

(a) (b)
Hình 9. Quan hệ tải trọng-độ võng của dầm BTCT không cốt đai: f’c = 25Mpa (a); f’c = 35 Mpa (b)
D1 - M25
0
5000

10000
15000
20000
25000
30000
0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030 0.0035 0.0040 0.0045 0.0050
V (m)
P (N)
Thi nghiem
Mo phong
Thi nghiem

D1 - M35
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030 0.0035 0.0040 0.0045 0.0050
V (m)
P (N)
Thi nghiem
Thi nghiem
Mo phong

(a) (b)
Hình 10. Quan hệ tải trọng-độ võng của dầm BTCT không cốt đai: f’c = 25Mpa (a); f’c = 35 Mpa (b)
Từ kết quả có được trên hình 7 và hình 8 chúng ta thấy rằng vùng phá huỷ và vùng tập

trung biến dạng của bê tông (ở đó các đường nứt sẽ xuất hiện) có dạng và phương gần giống với
các đường nứt ghi nhận được với dầm thí nghiệm. Để có kết quả mô phỏng này, kích thước của
các PTHH đã được chọn nhỏ hơn 1/3 chiều dài đặc trưng
l
c
.
Trên hình 9 và hình 10, với cả hai trường hợp các dầm có và không có cốt đai, đường cong
lý thuyết có xu hướng nằm cao hơn tương đối so với các đường thực nghiệm, nguyên nhân là do
liên kết giữa bê tông và cốt thép được giả thiết là tuyệt đối làm cho dầm lí thuyết bền hơn so với
dầm thực nghiệm. Với các dầm có cốt đai, chúng ta thấy đường cong lí thuyết đã dần đến gần
hơn với các đường thực nghiệm hơn, sự có mặt của các cốt đai đã làm dầm BTCT trở nên đồng
nhất hơn và liên kết bê tông-cốt thép tốt và gần với giả thiết tính toán hơn. Tải trọng phá huỷ
dầm P
max
lí thuyết và thực nghiệm trong hai trường hợp dầm là gần như nhau.
VI. KẾT LUẬN

Việc cân chỉnh các tham số cơ bản của mô hình dòn cho một số loại bê tông thường dùng
trong xây dựng giao thông ở Việt Nam đã cung cấp một cơ sở dữ liệu cho việc tính toán các bộ
phận kết cấu công trình giao thông bằng lí thuyết phá huỷ dòn. Thông qua một số ví dụ mô
phỏng dầm BTCT đơn giản có kiểm chứng bằng thực nghiệm sử dụng kết quả cân chỉnh có
được đã chứng minh khả năng ứng dụng hiệu quả của mô hình phá huỷ dòn không cục bộ trong
việc mô phỏng tương đối chính xác quá trình phá huỷ của các kết cấu bê tông và bê tông cốt
thép nói chung và các bộ phận kết cấu công trình giao thông nói riêng. Với việc tính đến hiệu
ứng kích thước [17], khả năng triển khai các tính toán từ kích thước thí nghiệm ra kích thước
thật của các kết cấu trong thực tế hoàn toàn có thể được đảm bảo với độ chính xác yêu cầu.

Tài liệu tham khảo
[1]. B. Karihaloo. Fracture mechanics & structural concrete, Longman Scientific & Technical, New York
Wiley, 1995.

[2]. Bazant. Z & M. Jirasek. Nonlocal integral formulation of plasticity and damage: Survey of progress,
J.E.M, ASCE, 2002.
[3]. Bazant.Z. Concrete fracture model: testing & practice, Eng F.M, 69, 2002.
[4]. Bazant.Z. Size effect method for determining fracture energy and process zone size of concrete,
RILEM draft recommendations, 1991.
[5]. D.R.J.OWEN; A.J. FAWKES. Engineering Fracture Mechanics: Numerical Methods and Application,
Pineridge Press Ltd, Swansea, UK, 1983.
[6]. Faustino.S.J, Wison.S.V. Damage modelling of reinforced concrete beam, Advance in Engineering
software, accepeted August 13
rd
, 2006.
[7]. J. Lemaitre. “A course on damage mechanics”, Springer-Verlag Berlin Heldelberg, 1992.
[8]. K.Haidar. Modélisation de l’endommagement des structures en béton- Approche numérique et effet
de la microstructure sur les proprietes de rupture, Thèse doctorat, Ecole Centrale de Nantes, 2002.
[9]. L.Jason. Relation endommagement perméabilité pour les bétons, Application aux calculs de
structures, Thèse doctorat, Ecole Centrale de Nantes, 2004.
[10]. M. Jirasek. Nonlocal damage mechanics with application in concrete, Revue européenne de Génie
Civil, 8/2004.
[11]. M. Jirasek. Plasticity, damage and fracture , Fragments of lecture note, UPC, Barcelona, 11/2002
[12]. Mazars.J. Application de la mécanique de l’endommagement au comportement nonlinéaire et à la
rupture du béton de structure, Thèse doctorat d’état, Université Paris VI, 1984.
[13]. Pijaudier-cabot, Bazant.Z. Nonlocal damage theory, Journal of Engineering Mechanics, vol 113,
1987.
[14]. R.Charlier, F.Collins, J.P. Radu. Etude numerique bi - et tridimensionnellle du Poinçonnement sous
une bielle de la coque du Terminal 2E de Rossy, Rapport Final, 2/2005, Université de Liège-GeoMac.
[15]. S.A.MEGUID. Engineering Fracture Méchanics, Elsevier Applied Publishers LTD, 1989.

[16]. Trần Thế Truyền, Nghiên cứu xây dựng bộ cơ sở dữ liệu về các đặc trưng nứt của các loại bê tông
thường dùng trong xây dựng cầu ở Việt nam, Đề tài NCKH cấp Bộ GD&ĐT, ĐHGTVT, 2006.
[17]. Trần Thế Truyền, Nguyễn Đăng Hưng, Nguyễn Ngọc Long, Mô hình hiệu ứng kích thước SEM và

ứng dụng trong tính toán năng lượng nứt và mô đun phá huỷ của bê tông, Hội nghị cơ học lần thứ 8,
ĐHBKHN, 12/2007.
[18]. Trần Thế Truyền, Nguyễn Viết Trung, Robert Charlier, Tập trung biến dạng và mô hình không cục
bộ trong mô phỏng ứng xử bê tông theo lí thuyết phá huỷ dòn, Tạp chí Cầu đường, 8/2007.
[19]. Truyen.T.Tran, F.Collin, R.Charlier, T.V.Nguyen, Strain localization and nonlocal damage models
with application in the simulation of reinforced concrete structures in transportation works, MDCMS
Proceeding-Volume I, IBST and University of Melbourn – Au, Hanoi, 12/2007.
[20]. TCVN 3121, Tập10 – NXB xây dụng - 1997.
[21]. W.B. Kratzig, R. Polling. An elasto-plastic damage model for reinforced concrete with minimum
number of material parameters, Computers and Structures,Vol 83, 4/3/2004♦