ôn thi vào 10 môn Toán theo định hướng của sở GD tỉnh Thanh Hóa

Chuyên đề iii Hàm số và đồ thị
i.Kiến thức cơ bản
1.Hàm số
a. Khái niệm hàm số
-
Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định đợc
chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng của x và x đợc gọi là biến số
-
Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
b. Đồ thị hàm số
- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn phơng
trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)
c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
-
Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) < f(x
2
) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
-
Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1

) > f(x
2
) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R
1.1Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trớc và a

0
b. Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
-
Đồng biến trên R khi a > 0
-
Nghịch biến trên R khi a < 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a

0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a

0) là một đờng thẳng
-
Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
-
Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b

0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a

0)
Bớc 1. Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.

Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bớc 2. Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
d. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a

0) và (d): y = ax + b (a

0). Khi đó
+
'
// '
'
a a
d d
b b
=





+
{ }
' ' 'd d A a a
=
+
'
'
'
a a

d d
b b
=



=

+
' . ' 1d d a a
=
e. Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a

0)
Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox.
- Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của
đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b và có tung độ dơng
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b
- Hệ số a trong phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b
f. Một số phơng trình đờng thẳng
-
Đờng thẳng đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
)có hệ số góc k: y = k(x x
0
) + y

0
-
Đờng thẳng đi qua điểm A(x
0
, 0) và B(0; y
0
) với x
0
.y
0


0 là
0 0
1
x y
x y
+ =
1.2 Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax
2
(a

0)
b. Tính chất
- Hàm số y = ax
2
(a

0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax
2
(a

0)
- Đồ thị hàm số y = ax
2
(a

0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
2.Kiến thức bổ xung
2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
). Khi đó
-
Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức
2 2
( ) ( )

B A B A
AB x x y y
= +
-
Tọa độ trung điểm M của AB đợc tính bởi công thức
;
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y
+ +
= =
2.2 Quan hệ giữa Parabol y = ax
2
(a

0) và đờng thẳng y = mx + n (m

0)
Cho Parabol (P): y = ax
2
(a

0) và đờng thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
-
Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình
2
y ax
y mx n

=

= +

-
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình
ax
2
= mx + n (*)
-
Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phơng trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
II. Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho hàm số: y = (m + 4)x m + 6 (d).
a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị
tìm đợc của m.
c. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
d. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
e. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2: Cho hai đờng thẳng: y = (k 3)x 3k + 3 (d
1
) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d
2
).
Tìm các giá trị của k để:
a. (d

1
) và (d
2
) cắt nhau.
b. (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
c. (d
1
) và (d
2
) song song với nhau.
d. (d
1
) và (d
2
) vuông góc với nhau.
e. (d
1
) và (d
2
) trùng nhau.
Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m có đồ thị là đờng thẳng d .
Tìm giá trị của m để :
a. Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến , nghịch biến)
b. (d) đi qua điểm (2;-1)
c. (d)// với đờng thẳng y =3x-4
d. (d) // với đờng thẳng 3x+2y = 1

e. (d) luôn cắt đờng thẳng 2x-4y-3 =0
f. (d) cắt đờng thẳng 2x+ y = -3 tại điểm có hoành độ bằng -2
g. Chứng tỏ (d) luôn đi qua 1 điểm cố định trên trục tung
Bài 4: cho (p) y = 2x
2
và đờng thẳng (d) y = (2m-1)x m
2
-9 . Tìm m để :
a. Đờng thẳng(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b. (d) tiếp xúc với (P)
c. (d) và (P) không giao nhau.
Bi 5: Cho hm s:
2
1
2
y = x

cú th (P).
a) Tỡm cỏc im A, B thuc (P) cú honh ln lt bng 1 v 2.
b) Vit phng trỡnh ng thng AB.
c) Viết phương trình đường thẳng song song với AB và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 6: Cho hàm số: y = (m + 1)x
2
có đồ thị (P).
a) Tìm m để hàm số đồng biến khi x > 0.
b) Với m = – 2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) với đường thẳng (d): y = 2x – 3.
c) Tìm m để (P) tiếp xúc với (d): y = 2x – 3. Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 7: Chứng tỏ đường thẳng (d) luôn tiếp xúc với Parabol (P) biết:
a) (d): y = 4x – 4; (P): y = x
2

.
b) (d): y = 2x – 1; (P): y = x
2
.
Bài 8:
8.1)Chứng tỏ rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt:
a) (d): y = –3x + 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = – 4x + 3; (P): y = 4x
2
.
8.2)Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) trong các trường hợp trên.
Bài 9: Cho Parabol (P) có phương trình: y = ax
2
và hai đường thẳng sau:
(d
1
):
4
1
3
y x= −
(d
2
): 4x + 5y – 11 = 0
a) Tìm a biết (P), (d
1
), (d
2

) đồng quy.
b) Vẽ (P), (d
1
), (d
2
) trên cùng hệ trục tọa độ với a vừa tìm được.
c) Tìm tọa độ giao điểm còn lại của (P) và (d
2
).
d) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và vuông góc với (d
1
).
Bài 10: Cho Parabol (P):
2
1
2
y x
=
và đường thẳng (d): y = 2x + m + 1.
a) Tìm m để (d) đi qua điểm A thuộc (P) có hoành độ bằng – 2.
b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm
c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dương.
d) Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x
1
≠ x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2
1 1 1

2x x
+ =
Bài 11: Cho hàm số: y = ax
2
có đồ thị (P) và hàm số: y = mx + 2m + 1có đồ thị (d).
a) Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm M cố định.
b) Tìm a để (P) đi qua điểm cố định đó.
c) Viết phương trình đường thẳng qua M và tiếp xúc với Parabol (P).
Chuyên đề 4
: Phương trình bậc hai
PHẦN II. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
1. Công thức nghiệm:
Phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có ∆ = b
2
- 4ac
+Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm
+Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
a
b
2
−
+Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1

=
a
b
2
∆+−
; x
2
=
a
b
2
∆−−
2. Công thức nghiệm thu gọn:
Phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có ∆
’
=b
’ 2
- ac ( b =2b
’
)
+Nếu ∆
’
< 0 thì phương trình vô nghiệm
+Nếu ∆
’
= 0 thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x

2
=
a
b−
+Nếu ∆
’
> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=
a
b
'
∆+−
; x
2
=
a
b
'
∆−−
3. Hệ thức Vi-ét
a) Định lí Vi-ét:
Nếu x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a≠0)

thì : S = x
1
+x
2
=
a
b−
; P = x
1
.x
2
=
a
c
b) Ứng dụng:
+Hệ quả 1:
Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
+Hệ quả 2:
Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1

= -1; x
2
=
a
c−
c) Định lí: (đảo Vi-ét)
Nếu hai số x
1
; x
2
có x
1
+x
2
= S ; x
1
.x
2
= P thì x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình : x
2
- S x+P = 0
(x
1
; x
2
tồn tại khi S

2
– 4P ≥ 0)
Chú ý:
+ Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm (tức là ∆ ≥ 0)
+ Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu
PHẦN II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
I. TOÁN TRẮC NGHIỆM
(Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết)
Bài 1: Điền vào chỗ để có mệnh đề đúng
a) Phương trình mx
2
+nx+p = 0 (m ≠ 0) có ∆ =
Nếu ∆ thì phương trình vô nghiệm
Nếu ∆ thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
Nếu ∆ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
= ; x
2
=
b) Phương trình px
2
+qx+k = 0 (p ≠ 0) có ∆
’
= (với q = 2q
’

)
Nếu ∆
’
thì phương trình vô nghiệm
Nếu ∆
’
thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
Nếu ∆
’
thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
= ; x
2
=
Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai
A. Nếu x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì: S = x
1
+ x

2
=
a
b−
; P = x
1
.x
2
=
a
c
B. Nếu x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì: S = x
1
+ x
2
=
a
c
; P = x
1
.x
2
=

a
b
C. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
D. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a-b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
E. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
= -1; x
2
=
a
c−
F. Nếu phương trình ax

2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
= -1; x
2
=
a
c−
G. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x
2
- S x+P = 0
H. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x
2
- P x+S = 0
Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn cùng tranh luận về các mệnh đề sau:
A.Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 có a+b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
B.Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 có: a-b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x
1
= -1; x
2

=
a
c−
C.Phương trình ax
2
+bx+c=0 có tổng hai nghiệm là
a
b−
và tích hai nghiệm là
a
c
D.Phương trình 2x
2
-x+3 = 0 có tổng hai nghiệm là
2
1
và tích hai nghiệm là
2
3
Hùng nói: cả bốn mệnh đề đều đúng
Hải nói: cả bốn mệnh đề đều sai
Tuấn nói: A, B, C đúng còn D sai
Theo em ai đúng, ai sai? giải thích rõ vì sao?
GV:cần khắc sâu hơn về a
≠
0 và khi sử dụng ĐL viet thì phải có ĐK:
∆
≥ 0)
II. TOÁN TỰ LUẬN
LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CÔNG THỨC VÀO TÍNH TOÁN

Bài 1: Giải phương trình
a) x
2
- 49x - 50 = 0
b) (2-
3
)x
2
+ 2
3
x – 2 –
3
= 0
Giải:
a) Giải phương trình x
2
- 49x - 50 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
∆ = (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601;
∆
= 51
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
2
51)49(
1

−=
−−−
=x
;
50
2
51)49(
2
=
+−−
=x
+ Lời giải 2: Ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
Nên phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50
1
50
=
−
−
+ Lời giải 3: ∆ = (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601
Theo định lí Viet ta có :





=
−=
⇒



−=−==
+−==+
50
1
50).1(5049.
50)1(49
2
1
21
21
x
x
xx
xx
Vậy phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50
1
50

=
−
−
b) Giải phương trình (2-
3
)x
2
+ 2
3
x – 2 –
3
= 0
Giải:
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2-
3
; b = 2
3
; c = – 2 –
3
)
∆ = (2
3
)
2
- 4(2-
3
)(– 2 –
3
) = 16;

∆
= 4
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
)32(2
432
1
=
−
+−
=x
;
)347(
)32(2
432
2
+−=
−
−−
=x
+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2-
3
; b
’
=
3
; c = – 2 –
3

)
∆
’
= (
3
)
2
- (2-
3
)(– 2 –
3
) = 4;
∆
= 2
Do ∆
’
> 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
32
23
1
=
−
+−
=x
;
)347(
32
23

2
+−=
−
−−
=x
+ Lời giải 3: Ứng dụng của định lí Viet
Do a + b + c = 2-
3
+ 2
3
+ (- 2 -
3
) = 0
Nên phương trình có nghiệm:
x
1
= 1; x
1
=
)347(
32
32
+−=
−
−−
−
*Yêu cầu:
+ Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức
+ Áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)
+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán

* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
1. 3x
2
– 7x - 10 = 0
2. x
2
– 3x + 2 = 0
3. x
2
– 4x – 5 = 0
4. 3x
2
– 2
3
x – 3 = 0
5. x
2
– (1+
2
)x +
2
= 0
6.
3
x
2
– (1-
3
)x – 1 = 0
7.(2+

3
)x
2
- 2
3
x – 2 +
3
= 0
Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình
x
2
– 42x + 441 = 0 (*)
Ta có: ∆
’
= (- 21)
2
- 441 = 0
Phương trình (*) có nghiệm x
1
= x
2
= 21
Vậy u = v = 21
*Bài tương tự:
1. Tìm hai số u và v biết:
a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24
c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10
2. Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m

2
Bài 3: Giải các phương trình sau
(phương trình quy về phương trình bậc hai)
a) x
3
+ 3x
2
– 2x – 6 = 0
b)
)4)(1(
8
1
2
2
−+
+−
=
+ xx
xx
x
x
c) 5x
4
+ 2x
2
-16 = 10 – x
2
d) 3(x
2
+x) – 2 (x

2
+x) – 1 = 0
Giải
a) Giải phương trình x
3
+ 3x
2
– 2x – 6 = 0 (1)
(1) ⇔ (x
2
- 2)(x + 3) = 0 ⇔ (x

+
2
)(x

-
2
)(x + 3) = 0
⇔ x = -
2
; x =
2
; x = - 3
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -
2
; x =
2
; x = - 3
b) Giải phương trình

)4)(1(
8
1
2
2
−+
+−
=
+ xx
xx
x
x
(2)
Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì
(2) ⇔ 2x(x- 4) = x
2
– x + 8 ⇔ x
2
– 7x – 8 = 0 (*)
Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm x
1
= -1(không thoả mãn ĐK) ; x
2
= 8 (thoả
mãn ĐK)
Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phương trình 5x
4
+ 2x
2

-16 = 10 – x
2
(3)
Ta có: (3) ⇔ 5x
4
– 3x
2
– 26 = 0
Đặt x
2
= t (t ≥ 0) thì (3) ⇔ 5t
2
– 3t – 26 = 0
Xét ∆ = (-3)
2
– 4.5.(-26) = 529. ⇒
∆
= 23
Nên: t
1
=
5
13
5.2
23)3(
=
+−−
(thoả mãn t ≥ 0) ;
t
2

=
2
5.2
23)3(
−=
−−−
(loại)
Với t =
5
13
⇔ x
2
=
5
13
⇔ x =
5
13
±
Vậy phương trình (3) có nghiệm x
1
=
5
13
−
; x
2
=
5
13

d) Giải phương trình 3(x
2
+x) – 2 (x
2
+x) – 1 = 0 (4)
Đặt x
2
+x = t . Khi đó (4) ⇔ 3t
2
– 2t – 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t
1
= 1; t
2
=
3
1
−
t
1
= 1⇔ x
2
+x = 1⇔ x
2
+ x – 1 = 0
∆
1
= 1
2
- 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x

1
=
2
51−−
; x
2
=
2
51+−
t
2
=
3
1
−
⇔ x
2
+x =
3
1
−
⇔ 3x
2
+ 3x + 1 = 0 (*)
∆
2
= 3
2
- 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm
Vậy phương trình (4) có nghiệm x

1
=
2
51−−
; x
2
=
2
51+−
* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
1. x
3
+3x
2
+3x+2 = 0
2. (x
2
+ 2x - 5)
2
= (x
2
- x + 5)
2
3. x
4
– 5x
2
+ 4 = 0
4. 0,3 x
4

+ 1,8x
2
+ 1,5 = 0
5. x
3
+ 2 x
2
– (x - 3)
2
= (x-1)(x
2
-2
6.
3
1
.10
1
=
+
−
+ x
x
x
x
7. (x
2
– 4x + 2)
2
+ x
2

- 4x - 4 = 0
8.
03
1
4
1
2
=+






+−






+
x
x
x
x
9.
xx
x
−

=+
−
+
2
6
3
5
2
Bài 4: Cho phương trình x
2
+
3
x -
5
= 0 có 2 nghiệm là x
1
và x
2
.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2
+ x
2

2
; C =
2
2
2
2
11
xx
+
; D = x
1
3
+ x
2
3
Giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x
1
và x
2
nên theo định lí Viet ta có:
x
1
+ x
2
=
3−
; x
1
.x

2
=
5−
A =
15
5
1
5
3
.
11
21
21
22
=
−
−
=
+
=+
xx
xx
xx
;
B = x
1
2
+ x
2
2

= (x
1
+x
2
)
2
- 2x
1
x
2
=
523)5(2)3(
2
+=−−−
C =
)523(
5
1
)5(
523
.
2
2
2
2
1
2
2
2
1

+=
−
+
=
+
xx
xx
;
D = (x
1
+x
2
)( x
1
2
- x
1
x
2
+ x
2
2
) =
)15333()]5(523)[3( +−=−−+−
* Bài tương tự:
Cho phương trình x
2
+ 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x
1
và x

2
.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2
+ x
2
2
; C =
2
2
2
2
11
xx
+
; D = x
1
3
+ x
2
3
E =
2

3
1
3
21
2
221
2
1
55
6106
xxxx
xxxx
+
++
; F =
2
2
1
2
21
2
221
2
1
44
353
xxxx
xxxx
+
++

LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN
(Phương trình bậc hai chứa tham số)
Bài 1: (Bài toán tổng quát)
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ ∆ ≥ 0
2. Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ ∆ = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ ∆ > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ ∆≥ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ ∆≥ 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ ∆≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
⇔ a.c < 0 và S > 0
(ở đó: S = x
1
+ x
2
=
a
b−
; P = x
1
.x
2

=
a
c
)
* Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ động khi giải loại toán
này
Bài 2: Giải phương trình (giải và biện luận): x
2
- 2x+k = 0 ( tham số k)
Giải
∆
’
= (-1)
2
- 1.k = 1 – k
Nếu ∆
’
< 0 ⇔ 1- k < 0 ⇔ k > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm
Nếu ∆
’
= 0 ⇔ 1- k = 0 ⇔ k = 1 ⇒ phương trình có nghiệm kép x
1
= x
2
=1
Nếu ∆
’
> 0 ⇔ 1- k > 0 ⇔ k < 1 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt
x
1

= 1-
k−1
; x
2
= 1+
k−1
Kết luận:
Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm
Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1
Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x
1
= 1-
k−1
; x
2
= 1+
k−1

Bài 3: Cho phương trình (m-1)x
2
+ 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
Giải
a) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =
2
3
(là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆

’
=1
2
- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm ⇔ ∆
’
= 3m-2 ≥ 0 ⇔ m ≥
3
2
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m ≥
3
2
thì phương trình có nghiệm
b) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =
2
3
(là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆
’
= 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất ⇔ ∆
’
= 3m-2 = 0 ⇔ m =
3
2
(thoả mãn m ≠ 1)
Khi đó x =
3
1
3

2
1
1
1
=
−
−=
−
−
m
+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =
2
3
với m =
3
2
thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
c) Do phương trình có nghiệm x
1
= 2 nên ta có:
(m-1)2
2
+ 2.2 - 3 = 0 ⇔ 4m – 3 = 0 ⇔ m =
4
3
Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 =
4
3
-1=
4

1
−
≠ 0)
Theo đinh lí Viet ta có: x
1
.x
2
=
612
4
1
3
1
3
2
=⇒=
−
−
=
−
−
x
m
Vậy m =
4
3
và nghiệm còn lại là x
2
= 6
* Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài toán trở nên phức tạp vàhọc sinh

thường hay sai sót)
Bài 4: Cho phương trình: x
2
-2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x
1
, x
2
của phương trình thoả mãn x
1
2
+x
2
2

≥
10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x

1
qua x
2
Giải
a) Ta có: ∆
’
= (m-1)
2
– (– 3 – m ) =
4
15
2
1
2
+






−m
Do
0
2
1
2
≥







−m
với mọi m;
0
4
15
>
⇒ ∆ > 0 với mọi m
⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0 ⇔ – 3 – m < 0 ⇔ m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm ⇔ S < 0 và P > 0

3
3
1

0)3(
0)1(2
−<⇔



−<
<
⇔



>+−
<−
⇔ m
m
m
m
m
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)

Khi đó A = x
1
2
+x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 4(m-1)
2
+2(m+3) = 4m
2
– 6m + 10
Theo bài A ≥ 10 ⇔ 4m
2
– 6m ≥ 0 ⇔ 2m(2m-3) ≥ 0





≤

≥
⇔














≤
≤





≥
≥
⇔











≤−
≤



≥−
≥
⇔
0
2
3
2
3
0
2
3
0
032
0
032
0
m
m
m

m
m
m
m
m
m
m
Vậy m ≥
2
3
hoặc m ≤ 0
e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có:



−−=
−=+
⇔



+−=
−=+
62.2
22
.
)3(.
)1(2
21

21
21
21
mxx
mxx
mxx
mxx
⇒ x
1
+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8
Vậy x
1
+x
2
+2x
1
x
2
+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x

1
+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8 ⇔ x
1
(1+2x
2
) = - ( 8 +x
2
) ⇔
2
2
1
21
8
x
x
x
+
+
−=
Vậy
2
2
1
21

8
x
x
x
+
+
−=
(
2
1
2
−≠x
)
Bài 5: Cho phương trình: x
2
+ 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 3x
1
+2x
2
= 1
c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn
2
11
1

x
xy +=
;
1
22
1
x
xy +=
với x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình ở trên
Giải
a) Ta có ∆
’
= 1
2
– (m-1) = 2 – m
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

2
2
2
11
02
1
0
'
=⇔




=
≤
⇔



=−
≥−
⇔



=
≥∆
⇔ m
m
m
m
m
P
Vậy m = 2
b) Ta có ∆
’
= 1
2
– (m-1) = 2 – m
Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ 2 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 (*)

Khi đó theo định lí Viet ta có: x
1
+ x
2
= -2 (1); x
1
x
2
= m – 1 (2)
Theo bài: 3x
1
+2x
2
= 1 (3)
Từ (1) và (3) ta có:
1 2 1 2 1 1
1 2 1 2 1 2 2
2 2 2 4 5 5
3 2 1 3 2 1 2 7
x x x x x x
x x x x x x x
+ = − + = − = =
⇔ ⇔ ⇔
+ = + = + = − = −
   
   
   
Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 ⇔ m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m ≤ 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm

Theo định lí Viet ta có: x
1
+ x
2
= -2 (1) ; x
1
x
2
= m – 1 (2)
Khi đó:
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2
2
1 1
x x m
y y x x x x
x x x x m m
+ −
+ = + + + = + + = − + =
− −
(m≠1)

2
1 2 1 2 1 2
2 1 1 2
1 1 1 1
( )( ) 2 1 2
1 1

m
y y x x x x m
x x x x m m
= + + = + + = − + + =
− −
(m≠1)
⇒ y
1
; y
2
là nghiệm của phương trình: y
2
-
m
m
−1
2
.y +
1
2
−m
m
= 0 (m≠1)
Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y
2
+ 2my + m
2
= 0
*Yêu cầu:
+ HS nắm vững phương pháp

+ HS cẩn thận trong tính toán và biến đổi
+ Gv: cần chú ý sửa chữa những thiếu sót của học sinh, cách trình bày bài và khai thác nhiều cách giải
khác
* Bài tương tự:
1) Cho phương trình: (m – 1)x
2
+ 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)
a) Định m để phương trình có nghiệm kép.
Tính nghiệm kép này
b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
2) Cho phương trình : x
2
– 4x + m + 1 = 0
a) Định m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
2
+ x
2
2
= 10
3) Cho phương trình: x
2
– (2m – 3)x + m
2
– 3m = 0

a) C/m , phương trình luôn luôn có hai nghiệm
khi m thay đổi
b) Định m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: 1 < x
1
< x
2
<6
4) Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x
2
– 2mx + 2m – 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Đặt A = 2(x
1
2
+ x
2
2
) – 5x
1
x
2
a) C/m A= 8m

2
– 18m + 9
b) Tìm m sao cho A=27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần
nghiệm kia
5) Cho phương trình ; x
2

-2(m + 4)x + m
2
– 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
a) A = x
1
+ x
2
– 3x
1
x
2
đạt giá trị lớn nhất.
b) B = x
1
2
+ x
2
2

– x
1
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
6) Cho phương trình : x
2
– 4x – (m
2
+ 3m) = 0
a) C/m phương trình luông có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Xác định m để: x
1
2
+ x
2
2
= 4(x
1
+ x
2

)
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y
1
và y
2
thoả mãn:
y
1
+ y
2
= x
1
+ x
2
và
3
11
1
2
2
1
=
−
+
− y
y
y
y
7) Cho phương trình : x
2

+ ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn :
2
1
2
2
2
1








+








x
x

x
x
> 7
8) Cho phương trình : (m – 1)x
2
– 2(m + 1)x + m = 0 (1)
a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m
b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
:
* Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
độc lập đối với m
* Tìm m sao cho
2
21
≥− xx
Bài 174
Cho phương trình có ẩn số x : x
2
-2(m-1)x – 3 – m = 0
1) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m
2) Tìm m sao cho nghiệm số x
1
, x
2

của phương trình
thoả mãn điều kiện x
1
2
+x
2
2

≥
10.
Bài 175
Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x
2
– 2mx + 2m – 1 = 0
1) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
2) Đặt A = 2(x
1
2
+ x
2
2
) – 5x
1
x
2
a) C/m A= 8m

2
– 18m + 9
b) Tìm m sao cho A=27
3) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần
nghiệm kia
Bài 176
Cho phương trình: (m – 1)x
2
+ 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)
a) Định m để phương trình có nghiệm kép.
Tính nghiệm kép này
b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
Bài 177
Cho phương trình: x
2
– (2m – 3)x + m
2
– 3m = 0
a) C/m , phương trình luôn luôn có hai nghiệm
khi m thay đổi
b) Định m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
1 < x
1
< x
2
<6

Bài 178
Cho hai phương trình: x
2
+ x + a = 0 (1)
x
2
+ ax
2
+ 1 = 0 (2)
Tìm các giá trị của a để hai phương trình:
a) Tương đương với nhau.
b) Có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 179
a) C/m đẳng thức:
(m
2
+ m + 1)
2
+ 4m
2
+ 4m = (m
2
+ m + 1)
2
b) Cho phương trình: mx
2
- (m
2
+ m + 1)x + m + 1 = 0 (1)
Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm

phân biệt khác -1
Bài 180
Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình: x
2
+ px + 1 = 0
Gọi c,d là hai nghiệm của phương trình: y
2
+ qy + 1 = 0
C/m hệ thức: (a – c)(a – d)(b – c)(b – d) = (p – q)
2
Bài 181
Giả sử a và b là hai nghiệm của phương trình x
2
+px+1 = 0
Giả sử c và d là hai nghiệm của phương trình x
2
+qx+1 = 0
C/m hệ thức: (a – c)(b – c)(a + d)(b + d) = q
2
+ p
2
Bài 182
Cho phương trình: (m + 2)x
2
– (2m – 1)x – 3 + m = 0
1) C/m , phương trình có nghiệm với mọi m.
2) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2

và khi đó hãy tìm giá trị
của m để nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài 183
Cho phương trình : x
2
– 4x + m + 1 = 0
a) Định m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
2
+ x
2
2
= 10
Bài 184
Cho phương trình : x
2
– 2mx + m + 2 = 0
a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm không âm
b) Khi đó tính giá trị của biểu thức: E=
21
xx +
theo m
Bài 185
Cho phương trình : 3x
2

– mx + 2 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: 3x
1
x
2
= 2x
2
– 2
Bài 186
Cho phương trình: x
2
– 2(m – 1)x - m = 0
a) C/m phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Với m
≠
0, lập phương trình ẩn y thoả mãn:

1
22
2
11
1
,
1
x
xy
x

xy +=+=
Bài 187
Cho phương trình : 3x
2
- 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: x
1
2
– x
2
2
= 5/9
Bài 188
Cho phương trình ; x
2

-2(m + 4)x + m
2
– 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
a) A = x
1
+ x
2
– 3x
1
x
2

đạt giá trị lớn nhất.
b) B = x
1
2
+ x
2
2
– x
1
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
Bài 189
Cho phương trình : x
2
– 4x – (m
2
+ 3m) = 0
a) C/m phương trình luông có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Xác định m để: x
1

2
+ x
2
2
= 4(x
1
+ x
2
)
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y
1
và y
2
thoả mãn: y
1
+ y
2
= x
1
+ x
2
,
3
11
1
2
2
1
=
−

+
− y
y
y
y
Bài 190
Cho phương trình : x
2
+ ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn :
2
1
2
2
2
1








+









x
x
x
x
> 7
Bài 191
Cho phương trình : 2x
2
+ 2(m + 2)x + 4m + 3 = 0
a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
b) C/m các nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:

2
2121
2
2
13









+≤++ xxxx
Bài 192
Cho phương trình : ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0)
C/m , điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2b
2
Bài 193
Cho phương trình bậc hai: ax
2
+ bc + c = 0 (a
≠
0).
C/m , điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này bằng k lần nghiệm kia (k > 0) là:
kb
2
= (k + 1)
2
ac
Bài 194

C/m phương trình :
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 luôn luôn có 2 nghiệm với mọi a, b, c.
Bài 195
Co hai phương trình : x
2
+ mx + 2 = 0 (1)
X
2
+ 2x + m = 0 (2)
a) Định m để 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung
b) Định m để 2 phương trình tương đương
c) Xác định m để phương trình: (x
2
+mx+2)(x
2
+2x+m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt .
Bài 196
Với giá trị nào của các tham số a và b, các phương trình bậc hai: (2a + 1)x
2
– (3a – 1)x + 2 = 0 (1)
(b + 2)x
2
– (2b + 1)x – 1 = 0 (2)
Có hai nghiệm chung
Bài 197
Với giá trị nào của tham số k thì hai phương trình sau có nghiệm chung : 2x
2
+ (3k + 1)x – 9 = 0
6x
2

+ (7k – 1)x – 19 = 0
Bài 198
Với giá trị nào của số nguyên p , các phương trình sau đây có nghiệm chung 3x
2
- 4x + p – 2 = 0
x
2
– 2px + 5 = 0
Bài 199
Cho phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 với a, b, c là các số hữu tỷ, a
≠
0, có một nghiệm là 1 +
2
.
Hãy tìm nghiệm còn lại
Bài 200
Tìm tất cả các số nguyên k để phương trình:
kx
2
– ( 1-2k) + k – 2 = 0 luôn luôn có nghiệm số hữu tỷ.
Bài 201
Cho phương trình bậc hai: 3x
2
+ 4(a – 1)x + a
2
– 4a + 1 = 0
xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1

và x
2
thoả mãn hệ thức :
21
21
x
1
x
1
2
xx
+=
+
Bài 202
Cho biết phương trình: x
2
+ px + 1 = 0 có hai nghiệm là a và b,phương trình: x
2
+ qx + 2 = 0 có hai nghiệm là
b và c
C/m hệ thức : (b – a)(b – c) = pq – 6
Bài 203
Cho các phương trình : x
2
- 5x + k = 0 (1)
x
2
- 7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phương trình (2) lớn gấp 2 một trong các nghiệm của phương trình
(1)

Bài 204
Cho các phương trình : 2x
2
+ mx – 1 = 0 (1)
mx
2
- x + 2 = 0 (2)
Với giá trị nào của m, phương trình (1) và phương trình (2) có nghiệm chung
Bài 205
Giả sử x
1
và x
2
là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
3x
2
- cx +2c - 1 = 0.
Tính theo c giá trị của biểu thức: S =
3
2
3
1
x
1
x
1
+
Bài 206
Xác định a để hai phương trình sau có nghiệm chung :
x

2
+ ax + 8 = 0
x
2
+ x + a = 0
Bài 207
Tìm tất cả các số nguyên k để các phương trình bậc hai:
2x
2
+ (3k – 1)x – 3 = 0
6x
2
– (2k – 3)x – 1 = 0
a) Có nghiệm chung
b) Tương đương với nhau
Bài 208
Cho phương trình bậc hai: 2x
2
+ 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có hai nghiệm phân
biệt x
1
, x
2
thoả mãn:
2
x
x
x
x
1

2
2
1
≥+
Bài 209
Cho biết x
1
và x
2
là hai nghiệm phân biệt khác 0 của phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0, a,b,c
∈

R). Hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là :
2
2
2
1
x
1
,
x
1
Bài 210
Biết rằng x
1
, x

2
là hai nghiệm của phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 . Hãy việt phương trình bậc hai nhân
x
1
3
và x
2
3
làm hai nghiệm
Bài 211
Cho f(x) = x
2
– 2(m+ 2)x + 6m + 1
a) CMR: phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn
hơn 2
Bài 212
Cho phương trình : x
2
-2(m + 1)x + m
2
+ m - 6 = 0
a) Định m để phương trình có hai nghiệm đều âm
b) Định m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:

50xx
3
2
3
1
=−
Bài 213
CMR: phương trình :( x + 1)(x+3) + m(x + 2)(x + 4) = 0
Luôn luôn có nghiệm số thực với mọi giá trị của tham số m
Bài 214
Cho phương trình bậc hai: x
2
- 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
x
1
2
+ x
2
2
= 72
Bài 215
Giả sử a và b là hai số khác nhau. C/m nếu hai phương trình: x
2
+ ax + 2b = 0 (1)
x

2
+ bx + 2a = 0 (2)
Có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm số còn lại của (1) và (2) là nghiệm chung của phương trình : x
2
+
2x + ab = 0
Bài 216
Cho hai phương trình : x
2
+ ax + 2b = 0 (1)
x
2
+ bx + ac = 0 (2)
( a,b,c đôi một khác nhau và khác 0)
Cho biết (1) và (2) có đúng một nghiệm chung. C/m hai nghiệm còn lại của phương trình (1) và (2) là
nghiệm của phương trình x
2
+ cx + ab = 0
Bài 217
Cho phương trình: x
2
– (m – 1)x – m
2
+ m - 2 = 0
a) C/m phương trình luôn luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m
b) Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: E = x
1
2
+ x
2

2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 218
Cho hai phương trình: x
2
+ a
1
x + b
1
= 0 (1)
x
2
+ a
2
x + b
2
= 0 (2)
Cho biết a
1
a
2

≥
2(b
1
+ b
2
). C/m một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 219
Cho ba phương trình: ax

2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx
2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (3)
với a,b,c ≠ 0. C/m , ít nhất một trong ba phương trình trên đây phải có nghiệm
Bài 220
Cho phương trình: x
2
– 2(m – 1)x + m
2
– 3m + 4 = 0
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm pân biệt x
1
, x
2
thoả mãn:
1
x
1
x
1
21
=+
b) Lập một hệ thức giữa x
1
và x

2
độc lập với m
Bài 221
Cho phương trình: (m + 2)x
2
– 2(m – 1)x + 3 – m = 0
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn hệ thức : x
1
2
+ x
2
2
= x
1
+ x
2
b) Lập một hệ thức giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m
c) Viết một phương trình bậc hai có các nghiệm là:
x
1
=
1x

1x
1
1
+
−
, x
2
=
1x
1x
2
2
+
−
Bài 222:
Cho phương trình: x
2
+ (m+1) + m = 0
a) C/m phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Xác định m để biểu thức: E = x
1
2
+x
2
2
đạt giá trị bé nhất.

Bài 223
Cho phương trình; (a – 3)x
2
– 2(a – 1)x a – 5 = 0
a) giải phương trình khi a =13
b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 224
Cho phương trình bậc hai: 2x
2
+ (2m – 1)x + m – 1 = 0
a) C/m phương trình luông luôn có nghiệm với mọi m
b)Tìm m để phương trình có nghiệm kép.Tìm nghiệm đó
c) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân x
1
, x
2
thoả mãn: -1 < x
1
< x
2
<1
d) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
x
2
, hãy lập một hệ thức giữa x
1
và x
2
không có m.

Bài 225
Cho phương trình: x
2
– 2(m – 1)x m + 3 = 0
a) C/m phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m
b) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.
Bài 226
Cho phương trình: x
2
+ ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thoả mãn
x
1
– x
2
= 5 và x
1
3
+ x
2
3
= 35. Tính các nghiệm đó.
Bài 227
Giả sử phương trình x
2
+ ax + b = 0; (a; b; c # 0) co hai nghiệm phân biệt trong đó đúng một nghiệm dương
x

1
thì phương trình bậc hai: ct
2
+ bt + a = 0 cũng có hai nghiệm phân biệt trong đó có t
1
> 0 thoả mãn: x
1
+ t
1

≥

2
Bài 228
Cho 2 phương trình : ax
2
+ bx + c = 0 (1)
cx
2
+ bx + a = 0 (2)
(a, b, c ≠ 0 ). C/m nếu (1) có hai nghiệm tương đương x
1
, x
2
thì (2) cũng có hai 2 nghiệm tương đương x
3
, x
4
.
Ngoài các nghiệm đó thoả mãn x

1
+ x
2
+ x
3
+ x
4

≥
4
Bài 229
Không giải phương trình: 3x
2
+ 17x – 14 = 0 (1)
Hãy tính giá trị của biểu thức: S=
2
2
1
2
21
2
221
2
1
44
353
xxxx
xxxx
+
++

Với x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình (1)
Bài 230
a) Không giải phương trình, hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của phương
trình
X
2
-
0
16
5
1
4
85
=+x
b) Với giá trị nào của số nguyên a, các nghiệm của phương trình: ax
2
+ (2a – 1)x + a – 2 = 0 là các số hữu tỷ?
Bài 231
Cho phương trình: 2x
2
– (2m + 1)x + m
2
– 9m + 39 = 0
a) Giải phương trình khi m =9
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm mà một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại. Tìm các nghiệm đó.

Bài 232
Cho phương trình bậc hai: x
2
+ ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm a và b
Bài 233
Cho f(x) = (4m – 3)x
2
– 3(m + 1)x + 2(m + 1)
a) Khi m = 1, tìm nghiệm của phương trình đó
b) Xác định m để m để f(x) viết được dưới dạng một bình phương
c) Giả sử phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
x
2
lập một hệ thức giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc
vào m.
Bài 234
Cho x,y > 0 thoả mãn hệ thức:

)1()5(3)( yxyyxx +=+
Hãy tính giá trị của biểu thức: E =
yxyx
yxyx
−+
++ 32
Bài 235

Cho phương trình : x
2
– 2(m – 1)x – 3 – m = 0
a) C/m phương trình luôn luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
x
2
thoả mãn : x
1
2
+ x
2
2

≥
10
c) Xác định m để phương trình có nghiệm x
1
, x
2
sao cho:
E = x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 236

Cho phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0
px
2
+ qx + r = 0
có ít nhất một nghiệm chung.
C/m ta có hệ thức: (pc–ar)
2
= (pb–aq)(cq–rb)
Bài 237
Cho phương trình: x
2
+ ax + b = 0 (1)
x
2
– cx – d = 0 (2)
Các hệ số a, b, c, d thoả mãn: a(a–c)+c(c–a)+8(d–b) > 0
C/m ít nhất một trong hai phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt .
Bài 238
Giả sử phương trình bậc hai: x
2
+ ax + b = 0 có hai nghiệm nguyên dương. C/m : ax
2
+ bx
2
là một hợp số.
Bài 239
Giả sử phương trình bậc hai: x
2

– 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
Có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
. Xác định m để biểu thức
E = x
1
2
+ x
2
2
+ 10x
1
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính min E
Bài 240
Cho biết phương trình: x
2
– (a – 1)x + 1 = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
; Xác định a để biểu thức M = 3x
2
+ 5x
1
x
2

+
3x
2
đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm nghiệm trong trường hợp M đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 241
Cho phương trình: x
2
+ px – 1 = 0 (p là số lẻ) có hai nghiệm phân biệt x
1
x
2
; C/m : nếu n là số tự nhiên thì: x
1
n

+ x
2
n
và x
1
n+1
+ x
2
n +1
đều là các số nguyên và chúng nguyên tố cùng nhau.
Bài 242
Cho phương trình bậc hai: x
2
– 2(m + 1)x + 4m = 0
a) C/m với mọi m phương trình luôn luôn có nghiệm. Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm

kép đó.
b) Xác định m để phương trình có một nghiệm x = 4. Tính nghiệm số còn lại.
Bài 243
Cho phương trình bậc hai: x
2
– mx + m – 1 = 0. Có hai nghiệm x
1
, x
2
. Với giá trị nào của m, biểu thức
R =
)1(2
32
21
2
2
2
1
21
xxxx
xx
+++
+
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 244
Cho a là số thực khác -1. Hãy lập một phương trình bậc hai có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn các hệ thức:

4x
1
x
2
+ 4 = 5(x
1
+ x
2
) (1)
(x
1
– 1)(x
2
– 1) =
1
1
+a
(2)
Bài 245
Cho a ≠ 0. Giả sử x
1
và x
2
là nghiệm của phương trình
X
2
– ax -
0
2
1

2
=
a
C/m : x
1
4
+ x
2
4

22 +≥
Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào.
Bài 246
Cho a ≠ 0, giả sử x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:
x
2
– ax –
2
1
a

= 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E = x
1
4
+ x

2
4
Bài 247
Cho phương trình bậc 2: x
2
+ 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0
a)Với giá trị nào của tham số a, phương trình có nghiệm kép.
b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1
Bài 248
Cho phương trình: x
2
–ax+a–1 = 0 có hai nghiệm là x
1
,x
2
.
a) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức:
M =
2
212
2
1
2
2
2
1
333
xxxx
xx
+

−+
b) Tìm giá trị của a để: P = x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 249
Cho phương trình: x
2
– (2m + 1)x + m
2
+ m – 1 = 0
a) C/m , phương trình có nghiệm với mọi m
b) C/m , có một hệ thức giữa hai nghiệm không thuộc vào m.
Bài 250
Cho phương trình: ax
2
+ (ab + 1)x + b = 0
a) C/m với mọi a,b phương trình đã cho đều có nghiệm.
b) Muốn cho phương trình đã cho có nghiệm duy nhất bằng
2
1
thì a và b phải bẳng bao nhiêu?
Bài 251
Cho phương trình : x
2
– 2mx – m
2

– 1 = 0 (1)
a) C/m phương trình luôn luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
2
5
1
2
2
1
−=+
x
x
x
x
Bài 252
Cho phương trình : (m – 1)x
2

– 2(m + 1)x + m = 0 (1)
a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m
b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
:
* Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
độc lập đối với m
* Tìm m sao cho
2
21
≥− xx
Bài 253
Cho phương trình : x
2
– 2x – (m – 1)(m – 3) = 0
a) C/m : phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m
b) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm không âm.
c) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm. Xác định m để biểu thức
E = (x
1
+ 1)x

2
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 254
Cho phương trình : x
2
+ 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0
a) C/m phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
b) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
x
1
= x
2
2
.
Bài 255
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình x
2
– 3x + a = 0
Gọi t
1
, t
2

là hai nghiệm của phương trình : t
2
– 12t + b = 0
Cho biết :
2
1
1
2
2
1
t
t
t
x
x
x
==
. Tính a và b
dạng 5: Tìm m để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn đẳng thức cho trước.
Bài 1: Tìm m để phương trình :
.0m3mx)1m(2x
22
=−+−−
có 2 nghiệm x

1
,x
2
thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 8.
Bài 2: Tìm m để phương trình :
.03m4x)1m2(x
2
=−−−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 10.
Bài 3: Tìm m để phương trình :
.02m5x)4m(2x)1m2(
2
=+++−−
có 2 nghiệm x

1
,x
2
thoả mãn
.16xx2xx
21
2
2
2
1
+=+
Bài 4: Tìm m để phương trình :
.01mmx2x)1m(
2
=++−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
.0
2
5
x
x
x
x
1
2
2

1
=++
Bài 5: Tìm m để phương trình :
.0m2x)4m(mx
2
=+−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
.0xx5)xx(2
21
2
2
2
1
=−+
Bài 6: Tìm m để phương trình :
.05mx)2m(x
2
=++−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
.10xx
2
2

2
1
=+
Bài 7: Tìm m để phương trình :
.0m2x)2m(x
2
=−−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
.8xx
2
2
2
1
=+
Bài 8: Tìm m để phương trình :
.0m3x)3m(x
2
=++−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
.10xx
2
2

2
1
=+
Bài 9: Tìm m để phương trình :
.05m4x)2m(2x
2
=+−−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
.1
x
x
x
x
1
2
2
1
=+
Bài 10: Tìm m để phương trình :
.03mx)1m2(x)2m(
2
=−+−−+
có 2 nghiệm x
1
,x
2

thoả mãn x
1
=
2x
2
.
Bài 11: Tìm m để phương trình :
.03m4x)1m(2x
2
=−++−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn 2x
1
+ x
2
=
5.
*) dạng 6: lập hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 1: Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:

.0m3x)1m(2x)2m(
2
=−+−−+
Hãy lập hệ thức liên
hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 2: Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:
.03mx)1m(2x
2
=−+−−
Hãy lập hệ thức liên hệ giữa
x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 3: Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:
.05mx)1m(2x)3m(
2

=−+−−−
Hãy lập hệ thức liên
hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 4: Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:
.02m2x)1m(3x)3m4(
2
=+++−−
Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 5: Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:
.01mmx)1m2(x
22
=−+++−
Hãy lập hệ thức liên hệ
giữa x

1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 6: Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:
.0mx)1m(2x)1m(
2
=++−−
Hãy lập hệ thức liên hệ
giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
23