Đề thi HSG Tỉnh môn Toan 12 bảng B

SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn thi: TOÁN HỌC - THPT BẢNG B
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm).
Giải phương trình:
3
2 (5 3 ) 5 3 2 5 3 .x x x x x
+ = − − + −
Câu 2 (4,0 điểm).
Tìm m để hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
( )
2
( 1) 1
x y m
y x xy m x
+ =



+ + = +


Câu 3 (2,0 điểm).
Cho ba số dương
, ,x y z
. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 36
9x y z x y y z x z
+ + ≥

+ + +
Câu 4 (2,0 điểm).
Tính
( )
2
1
2
1
os( 1)
lim .
2 1
x
x
e c x
x x
−
→
− −
− +
Câu 5 (3,0 điểm).
Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. Đường thẳng
qua M song song với AD cắt mặt phẳng (BCD) tại A’, đường thẳng qua M song song với
BD cắt mặt phẳng (ACD) tại B’, đường thẳng qua M song song với CD cắt mặt phẳng
(ABD) tại C’. Chứng minh tổng
' ' 'MA MB MC
DA DB DC
+ +

không phụ thuộc vị trí điểm M.
Câu 6 (3,0 điểm).

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của BD và AC. Trên cạnh AB lấy điểm P sao cho
1
.
3
AP
AB
=

Tính thể tích khối tứ diện
AMNP.
Câu 7 (2,0 điểm).
Tìm hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn:
f(x).f(y) – sinx.siny = f(x+y) với mọi số thực x, y.
- - - Hết - - -
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đề thi chính thức