Đáp Án Toán HSG Tỉnh NA bảng B

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2009 - 2010
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Môn: TOÁN 12 THPT - BẢNG B

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
1 4.0
Điều kiện
5
3
x ≤
0,5
Phương trình tương đương
( )
3
3
2 5 3 2 5 3x x x x
+ = − + −

0,75
Do hàm số f(t) = t
3
+ 2t đồng biến trên R, 0,75

( )
( ) 5 3f x f x= −
nên x =
5 3x−
0,75

2 2
0 0
5 3 3 5 0
x x
x x x x
≥ ≥
 
⇔ ⇔
 
= − + − =
 
0,75
Vây phương trình có nghiệm
3 29
2
x
− +
=

0.5
2 4,0
Từ y = m - x thay vào phương trình còn lại ta được :
3 2
0 (1)x mx m− + =
0,5
Xét hàm số
3 2
( )f x x mx m= − +
trên
¡

0.5
Để hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt
⇔
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
⇔
Đồ thị hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với Ox (*)
0,5
Ta có
2
( ) 3 2f x x mx
′
= −
;
0
( ) 0
2
3
x
f x
m
x
=


′
= ⇔

=

1

(*)
⇔
2 2
3 3
0
2
(27 4 ) 0
2
(0). ( ) 0
3 3
3
2
m
m
m m
m
f f
m

≠
< −




⇔ − < ⇔

<




>


1
Vậy
3 3
2
m ≤ −
hoặc
3 3
2
m ≥
là giá trị cần tìm.
0,5
3 2.0
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
(xy + yz + zx)(9 + x
2
y
2
+ z
2
y
2
+x
2
z
2
) ≥ 36xyz

0.5
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
xy + yz + zx ≥ 3
2 2 2
3
x y z
(1)
0.5
Và 9+ x
2
y
2
+ z
2
y
2
+x
2
z
2
≥ 12
4 4 4
12
x y z
hay 9 + x
2
y
2
+ z
2

y
2
+x
2
z
2
≥ 12
3
xyz
(2) 0.5
Trang 1/ 4 - 12 THPT - B¶ng B
Do các vế đều dương, từ (1), (2) suy ra:
(xy + yz + zx)(9 + x
2
y
2
+ z
2
y
2
+x
2
z
2
) ≥ 36xyz (đpcm).
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =1
0,5
4 2,0
Đặt t = x – 1 Khi
1x →

thì
0t →
0.25
( )
2
2
1
2 2
1 0
os( 1) cos
lim lim
2 1
x
t
x t
e c x e t
I
x x t
−
→ →
− − −
= =
− +
0.25
=
2
2 2
0
1 1 cos
lim

t
t
e t
t t
→
 
− −
+
 ÷
 ÷
 
0.5
Do
2
2
0
1
lim 1
t
t
e
t
→
−
=
0.25
2
2 2
0 0
2sin

1 cos
2
lim lim
t t
t
t
t t
→ →
−
=
0.25
2
2
0
2sin
1
2
lim
2
4
2
t
t
t
→
=
 
 ÷
 
0,25

Suy Vậy I = 1+
1 3
2 2
=
0.25
5 3.0

Trong mặt phẳng (ABC) : AM cắt BC tại A
1
.
BM cắt AC tại B
1
, CM cắt AB tại C
1
Trong (DAA
1
) : Kẻ đường thẳng qua M song song với AD cắt DA
1
tại A’
1
Xét tam giác DAA
1
có MA’ // AD nên
1
1
'
MBC
ABC
S
MAMA

DA AA S
∆
∆
= =
1
Tương tự ta có
1
1
'
MAC
ABC
S
MBMB
DB BB S
∆
∆
= =
,
1
1
'
MAB
ABC
MC SMC
DC CC S
∆
∆
= =
0,5
Suy ra

( )
' ' '
1
MBC MAC MAB ABC
MA MB MC
doS S S S
DA DB DC
+ + = + + =

không phụ thuộc vào vị
trí điểm M
0.5
Trang 2/ 4 - 12 THPT - B¶ng B
D
C
A
1
B
A
A’
M
6 3.0

1 1 1
. . .
2 3 6
AMNP
AMCB
V AM AN AP
V AM AC AB

= = =
1
V
AMCB
=
1
2
V
ABCD
(Do M là trung điểm BD)
0,5
ABCD là tứ diện đều có độ dài cạnh bằng 1 nên V
ABCD
=
2
12
0.5
Suy ra V
AMCB
=
1 2 2
.
2 12 24
=

0.5
Vậy V
AMNP
=
1

6
V
AMCB
=
2
144
(đvtt)
0,5
7 2,0
f(x) Ta có : f(x).f(y) – sinx.siny = f(x+y) với mọi số thực x,y (1)
Với x = y =0 ta có f
2
(0) – f(0) =0
⇒
(0) 0
(0) 1
f
f
=


=


0,5
Với f(0) = 0, từ (1) chọn y = 0 ta có f(x) = 0
x∀
, điều này không xảy ra với
2
x y

π
= =
.
Suy ra f(0) = 0 (loại)
0.25
Với f(0) = 1, từ (1) chọn y = -x ta có f(x).f(-x) + sin
2
x = 1
x∀ ∈¡
0,25
Chọn x =
2
π
ta được
. 0
2 2
f f
π π
   
− =
 ÷  ÷
   
⇒
0
2
0
2
f
f
π

π

 
=
 ÷

 


 
− =
 ÷

 

0.25
Trang 3/ 4 - 12 THPT - B¶ng B
A
D
M
C
B
N
P
Nếu
2
f
π
 
 ÷

 
= 0 từ (1) chọn y =
2
π
.Ta có
sinx= cos (*)
2 2
f x x x R
π π
   
+ = − + ∀ ∈
 ÷  ÷
   

0.25
Nếu
2
f
π
 
−
 ÷
 
= 0 từ (1) chọn y = -
2
π
. Ta có
sinx = cos (**)
2 2
f x x x R

π π
   
− = − ∀ ∈
 ÷  ÷
   
0,25
Từ (*) và (**) suy ra f(x) = cosx
x R∀ ∈
. Thử lại thấy hàm số f(x) = cosx thỏa mãn
0.25
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
Trang 4/ 4 - 12 THPT - B¶ng B