khao sat ham so-Cuc Tri

Cực trị hàm bậc ba
I,Tóm tắt lý thuyết:
1.Hàm số
dcxbxaxxfy +++==
23
)(
(
0

a
)
2.Đạo hàm :
cbxaxxfy ++== 23)(''
2
3.Điều kiện tồn tại cực trị
Hàm số
)(xfy =
có cực trị

)(xfy =
có cực đại và cực tiểu
0)(' = xf
có
hai nghiệm phân biệt

03'
2
acb =
.
4.Kỹ năng tính nhanh cực trị:
Bớc1:Thực hiện phép chia

)(xf
cho
)(' xf
ta có:







+






+






+=
a
bc
dx
a

b
cxf
a
b
xxf
933
2
)('
93
1
)(
Tức là:
)()(').()( xrxfxqxf +=
Bớc 2:Do



=
=
0)2('
0)1('
xf
xf
nên

+===
+===
)
9
(2)
3
(
3
2
)2()2(2
)
9
(1)
3
(
3
2
)1()1(1
a
bc
dx
a
b
cxrxfy
a
bc
dx
a
b

cxrxfy
.Hệ quả:Đờng thẳng đi qua CĐ,CT có phơng trình là:

)(xrY =
hay
)
9
()
3
(
3
2
a
bc
d
a
b
cy +=
II.Các dạng bài tập:
Dạng 1:Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị:
Bài tập:
Bài 1:Tìm m để hàm số :
)12()6(
3
1
23
++++= mxmmxxy
có cực đại và cực tiểu
Giải:Hàm số có cực đại và cực tiểu

phơng trình
0)(' =xy
có hai nghiệm phân
biệt

0)6(2
2
=+++ mmxx

có hai nghiệm phânbiệt
)3()2(06'
2
><>= mmmm

Bài 2:Tìm m để hàm số
53)2(
23
+++= mxxxmy
có cực đại và cực tiểu
Giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu

phơng trình
0)(' =xy
có hai nghiệm phân biệt


06)2(3
2
=+++ mxxm

có hai nghiệm phân biệt
123
032
2
0963'
02
22
<<



<+





>+=
+
m
mm
m
mm
m
Bài 3:Tìm m để hàm số
)1()45()2(
3
1
223
+++++= mxmxmxy

đạt cực trị tại
x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2
Giải: yêu cầu bài toán
0)45()2(2)('
2
=+++= mxmxxy
có hai nghiệm phân
biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2
3093)1('.1 <<+= mmy
Bài 4:Tìm m để hàm số
)()3(4)3(
3
1
223
mmxmxmxy +++++=
đạt cực trị tại
x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1<x1<<x2
Giải: yêu cầu bài toán
0)3(4)3(2)('
2
=++++= mxmxxy
có hai nghiệm phân
biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1<x1<x2
3
2
7
)3(1
072
032
2

1
0)1('.1
0'
2
<<







+<
>+
>+








<
>
>
m
m
m
mm

S
f
Bài 5: Tìm m để hàm số
)5()13()2(
3
1
2223
+++++= mxmxmmxy
đạt cực tiểu
tại x=2.
Giải:
*Điều kiện cần:
Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x=-2 suy ra
0)2(' =f
ta có
13)2(2)('
222
++++= mxmmxxf
suy ra
3;1034
2
===+ mmmm
*Điều kiện đủ:
Nếu m=3 thì
2012)2(''162)('' =>=+=
CT
xfxxf
Nếu m=1 thì
0)2(''42)('' =+= fxxf
nhng lúc đó ta có

+= xxxf 0)2()('
2
Hàm số không có cực trị
*Kết luận:m=3
Dạng 2:phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu
Bài 1:Tìm cực trị và viết phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại,cực tiểu của hàm
số
863)(
23
+= xxxxf
Giải:
.Ta có
)22(3)('
2
= xxxf





+=
=
===
312
311
022)(0)('
2
x
x
xxxgxf

suy ra hàm số
)(xfy =
đạt cực trị tại x1,x2
.Thực hiện phép chia
)(xf
cho
)(xg
ta có
)1(6)1)(()( = xxxgxf
do



=
=
0)2(
0)1(
xg
xg
nên





===
===
36)12(6)2(2
36)11(6)1(1
xxfy

xxfy
.





==
==






>=
<=
=
36)2(
36)1(
036)2(''
036)1(''
)1(6)(''
xff
xff
xf
xf
xxf
cd
ct

.Phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT là
)1(6 = xy
Bµi 2:T×m m ®Ó hµm sè
1)2(6)1(32)(
23
−−+−+= xmxmxxf
cã ®êng th¼ng®i qua
C§,CT song song víi ®êng th¼ng
baxy +=

Gi¶i:
.§¹o hµm
)2)1((6)('
2
−+−+= mxmxxf

02)1()(0)('
2
=−+−+=⇔= mxmxxgxf
hµm sè cã C§,CT
0)(0)(' ==⇔ xhaygxf
cã hai nghiÖm ph©n biÖt
30)3(
2
≠⇔>−=∆⇔ mm
g
.Thùc hiÖn phÐp chia
)(xf
cho
)(xg

ta cã
)33()3()]1(2)[()(
22
+−−−−−+= mmxmmxxgxf
Víi
3
≠
m
th×
0)( =xg
cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 vµ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i
x1,x2
do



=
=
0)2(
0)1(
xg
xg
nªn





+−−−−==
+−−−−==

)33(2)3()2(2
)33(1)3()1(1
22
22
mmxmxfy
mmxmxfy
suy ra ®êng th¼ng qua C§,CT lµ(
∆
):
)33()3(
22
+−−−−= mmxmy
ta cã (
∆
) song song víi ®êng



−±=
<
⇔



−±=−
<
⇔




−=−
<≠
⇔



=−−
≠
⇔+=
am
a
am
a
am
am
am
m
baxy
3
0
3
0
)3(
0,3
)3(
3
22
vËy nÕu
0
≥

a
th× kh«ng tån t¹i m;nÕu a<0 th×
am −±= 3
Bµi 3: T×m m ®Ó hµm sè
xmmxmxxf )21(6)1(32)(
23
−+−+=
cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu
n»m trªn ®êng th¼ng
xy 4−=
Gi¶i:
.§¹o hµm
))21()1((6)('
2
mmxmxxf −+−+=

0)21()1()(0)('
2
=−+−+=⇔= mmxmxxgxf
hµm sè cã C§,CT
0)(0)(' ==⇔ xhaygxf
cã hai nghiÖm ph©n biÖt
3
1
0)13()21(4)1(
22
≠⇔>−=−−−=∆⇔ mmmmm
g
.Thùc hiÖn phÐp chia
)(xf

cho
)(xg
ta cã
)21)(1()13()]1(2)[()(
2
mmmxmmxxgxf −−+−−−+=
Víi
3
1
≠m
th×
0)( =xg
cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 vµ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i
x1,x2
do



=
=
0)2(
0)1(
xg
xg
nªn






−−+−−==
−−+−−==
)21)(1(2)13()2(2
)21)(1(1)13()1(1
2
2
mmmxmxfy
mmmxmxfy
suy ra ®êng th¼ng qua C§,CT lµ(
∆
):
)21)(1()13(
2
mmmxmy −−+−−=
Ta cã C§,CT n»m trªn ®êng th¼ng
1
2
1
;1;0
213
0)21)(1(
4)13(
)4()(4
2
=⇔












∈
=−
⇔



=−−
−=−−
⇔−=≡∆⇔−= m
m
m
mmm
m
xyxy
Bài 4: Tìm m để hàm số
37)(
23
+++= xmxxxf
có đờng thẳng đi qua cực đại và
cực tiểu vuông góc với đờng thẳng
73 = xy
Giải:
Hàm số có CĐ,CT
0)(' = xf

có hai nghiệm phân biệt
21021'
2
>>= mm
g
.Thực hiện phép chia
)(xf
cho
)(' xf
ta có
9
7
3]21[
9
2
]
9
1
3
1
)[(')(
2
m
xmmxxfxf ++=
Với
21>m
thì
0)(' =xf
có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại
x1,x2

do



=
=
0)2('
0)1('
xf
xf
nên







+==
+==
9
7
32)21(
9
2
)2(2
9
7
31)21(
9

2
)1(1
2
2
m
xmxfy
m
xmxfy
suy ra đờng thẳng qua CĐ,CT là(

):
9
7
3)21(
9
2
2
m
xmy +=
ta có (

) vuông góc với đờng thẳng
73 = xy





=
>

13)21(
9
2
21
2
m
m
dạng 3:sử dụng định lý viét cho các điểm cực trị
bài 1:Cho
1)2cos1(8)sin3(cos
3
2
)(
23
+++= xaxaaxxf
1.CMR:hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
2.Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1,x2.CMR:x1
2
+x2
2
18
Giải:
1.Xét phơng trình:
0)2cos1(8)sin3(cos22)('
3
=++= axaaxxf
Ta có
)2cos1(16)sin3(cos'
2

aaa ++=

aaaa += 0cos32)sin3(cos'
22
Nếu
0'
=
thì



=
=




=
=
0s in
0cos
0s in3cos
0cos
a
a
aa
a
==+= 101sincos0
22
aa

vôlý
Từ đó suy ra
0)('0' => xfa
có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực
trị tại x1,x2.
2.Theo định lý Viét ta có



+=
=+
)2cos1(421
cossin321
axx
aaxx
Suy ra x1
2
+x2
2
=(x1+x2)
2
-2x1x2=
aaaaaaa
222
cos17cossin6sin9)2cos1(8)cossin3( +=++
Khi đó BĐT:x1
2
+x2
2
++ )cos(sin18cos17cossin6sin918

2222
aaaaaa
2
)cossin3(0 aa +

luôn đúng
Bài 2: Cho
xmmxmxxf )24()1(
3
2
)(
223
+++++=
1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
2.Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1.
3.Gọi các điểm cực trị là x1,x2.tìm max của A=
)21(221 xxxx +
Giải:
Đạo hàm
34)1(22)('
22
+++++= mmxmxxf
1 5<m<-1
2.hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1
0)(' = xf
có hai nghiệm phân biệt
x1,x2 thỏa mãn
)23;5(
3
)23()23(

15
)23,23(
2
1
0)1('.1
0'
0)1('.2
211
211
+












<
+
<<
+

<
>
>
<




<
<<
m
m
mm
m
m
S
f

f
xx
xx
3.Theo định lý viét ta có





++=
+=+
)34(
2
1
21
)1(21
2
mmxx
mxx
Khi đó A=
2
9
9.
2
1
])4(9[
2
1
)1(2
2

34
)21(221
2
2
=+=++
++
=+ mm
mm
xxxx
Với m=-4
)1;5(
thì Max A=
2
9