55 bất đẳng thức hay của VMF

Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
1




TỔNG HỢP CÁC BÀI
BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN
VMF
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
2

A/ MỞ ĐẦU

Khi thấy cuộc thi viết bài kỉ niệm 10 năm thành lập VMF tôi cố gắng tổng hợp
các bài tập này với mong muốn đóng góp chút ít cho diễn đàn. Do thời gian tổng hợp
chỉ khoảng 20 ngày nên số lượng còn ít và chưa có trình bày được nhiều cách, cũng
như bình luận cho các lời giải. Hy vọng điều này sẽ được khắc phục sau đó!
Tài liệu này được tôi tổng hợp trực tiếp trên Diễn đàn toán học trong box Bất
Đẳng Thức và Cực Trị, và riêng nơi đây có nhiều bài tập được lấy từ topic Tổng hợp
các bài toán BĐT của CD13. Nhiều bài mà do vô tình CD13 đã không ghi lại tên của
người đăng và người giải nên khi tổng hợp lại tôi cũng đành bỏ khuyết vì thế mong
các bạn thông cảm! Tinh thần của tài liệu nhỏ này là phục vụ cho đối tượng thi Đại
học (cũng như là chỉ dạy cho học sinh mình) nên bài tập tôi chọn lọc nghiêng nhiều về
AM – GM, Bunhiacopxki, thỉnh thoảng có các bài dùng đạo hàm hay Holder… nhưng
chiếm số lượng không nhiều, hấu hết các bài toán tôi chọn ra chỉ dừng lại ở hai hoặc
ba biến.
Hãy cho tôi bắt đầu từ đây!

Cho a, b không âm thì
 
1
2
a b
ab


. Đây là BĐT AM – GM hai biến, dấu
đẳng thức xảy ra khi
.a b
Thỉnh thoảng ta sử dụng theo chiều ngược lại
.
2
a b
ab



Bình phương
 
1
thì có
 
2
4
a b
ab



, bất đẳng thức này được áp dụng nhiếu lắm các
bạn nên chú ý. Rồi,
 
2
4 4 1 1
4
a b
a b
ab
a b ab a b a b


     
 
, chỗ khẳng định cuối
cùng cũng nên được quan tâm.
Đối với AM – GM ba biến
3
3
a b c abc
  
thì ta cũng có những điều tương tự:
3
3
a b c
abc
 
 

 

 
và
9 1 1 1
.
a b c a b c
  
 


Ta có
     
2 2 2
2 2 2
0 2 2 2 2 2 2 0
a b b c c a a b c ab bc ca
            
, điều
này dẫn đến một BĐT quan trọng:
 
2 2 2
2
a b c ab bc ca    
, dấu đẳng thức xảy ra
khi
a b c 
. Lại, với hằng đẳng thức
   
2
2 2 2
2

a b c a b c ab bc ca
       
thì khi
thay
 
2
vào ta nhận được
   
2
3
a b c ab bc ca
    
. Điều khẳng định này hay một
kiểu khẳng định tương đương
 
2
3
a b c
ab bc ca
 
  
là một trong những BĐT quan
trọng trong số các BĐT ba biến. Cũng với hằng đẳng thức trên và
 
2
, bằng cách thay
ngược lại thì ta thấy
 
 
2

2 2 2
3
a b c a b c
    
. Các bạn hãy nhớ đến điều này!

Cho
, , , , ,a b c x y z
là các số thực dương thì
 
 
2
2 2 2
3
a b c
a b c
x y z x y z
 
  
 
. Đây
chính là BĐT Cauchy – Schwarz. Có nhiều cách chứng minh BĐT này, nhưng thôi
1
2
3
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
3

hãy chứng minh nó bằng AM – GM hai biến để các bạn học sinh có thể dùng trong các

kì thi tuyển sinh Đại học. Thật vậy,

     
2 2 2
2
3
a b c
x y z a b c
x y z
 
       
 
 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
y z x z x y
a a a b b b c c c a b c ab bc ca
x x y y z z
y x z x z y
a b a c b c ab bc ca
x y x z y z
              
   
 
        
   
 

 
   

Đến đây chỉ cần áp dụng AM – GM cho các số hạng trong ngoặc thì ta nhận ra điều
phải chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi
a b c
x y z
 
. Cho
1a b c  
hay
1x y z  
thì ta nhận được những điều đã nói ở mục 1, 2.

Cho a, b không âm và m, n tự nhiên thì từ khai triển của
  
0
m m n n
a b a b
  

dẫn đến BĐT hay được sử dụng
m n m n m n n m
a b a b a b
 
  
. Trong các trường hợp cụ thể
thì ta thấy như
 
   

3 3 4 4 2 2 5 5 3 3
, , ,
a b ab a b a b ab a b a b ab a b        
rất hữu
ích. Dĩ nhiên dấu đẳng thức xảy ra khi
.a b


Kí hiệu

mà tôi sử dụng trong tài liệu này là tổng hoán vị vòng quanh của ba
biến
, ,a b c
hay
, ,x y z
. Một điều rất tiện lợi trong trình bày nhưng lại khó hình dung
đối với những người mới bước đầu làm quen BĐT. Nói thật, lúc đầu tôi cũng ngại
ngùng đọc các loại sách mà có dùng kí hiệu này (có thể dẫn ra: BĐT và những lời giải
hay, Sáng tạo BĐT, Những viên kim cương,…) nhưng lâu dần thành quen và việc
dùng chúng trong trình bày lại trở thành mặc nhiên. Thật là tiện lợi khi ghi
2
2a b
b c




hơn là biểu thức
2 2 2
2 2 2a b b c c a

b c c a a b
  
 
  
, tuy thế không phải ai cũng biết
 
2
2
1
2
a
a ab



 
. Hãy làm quen với điều này nếu bạn chưa thuần thục!

Do
       
2 2 2
1 1 2 2 3 3
0
f x a x b a x b a x b x       
nên khi khai triển thì ta
nhận được
 
 
2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3

2 0
a a a x a b a b a b x b b b x         
tức là
/
0 

 
  
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
a b a b a b a a a b b b
       
. Đây chính là BĐT Bunhiacopxki ba
biến, dấu đẳng thức xảy ra khi
i i
b ka
.

Bây giờ, giả sử có các số thực thỏa
a b c 
và
m n p 
thì ta thấy rõ ràng
        
 
       
0
2
3

a b m n a c m p b c n p
am bn cp an ap bm bp cm cn
am bn cp a m n p b m n p c m n p
        
        
           

4

4
5
6
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
4

Hay viết khác đi
  
1
3
am bn cp a b c m n p      
, và đây chính là BĐT Chebyshev
được dùng giải một số bài toán. Trong trường hợp tương tự đối với hai dãy
a b c 
và
m n p 
thì ta có
  
1
3

am bn cp a b c m n p      
. Cả hai trường hợp dấu đẳng
thức xảy ra khi
a b c 
hoặc
.m n p 


Ta sẽ chứng minh BĐT Holder theo AM – GM: Cho
, , , , , , , ,a b c x y z m n p
là các
số thực dương thì
   
 
3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
a b c x y z m n p axm byn czp
        
. Thật vậy,
   
3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3
3a x m axm
a b c x y z m n p
a b c x y z m n p
  
     
     

. Xây
dựng hai BĐT tương tự nữa rồi cộng theo từng vế ta có điều phải chứng minh. Dấu
đẳng thức xảy ra khi
, ,
a x m b y n c z p     
hoặc
, ,
a b c x y z m n p     
.

Giả sử trong mặt phẳng
Oxy
cho
     
; , ; , ;u a b v x y w m n
  
  
và áp dụng tính
chất
u v w u v w    
     

   
2 2
2 2 2 2 2 2
a b x y m n a x m b y n
          

BĐT này được gọi là BĐT vectơ hay Mincopxki, dấu đẳng thức xảy ra khi các vectơ
cùng hướng.

Tôi không có muốn liệt kê hết các BĐT khác (như Abel, Bernouli,…) vào trong
tài liệu này vì đơn giản là chúng không có được sử dụng. Thôi thì để kết thúc phần mở
đầu này tôi xin nêu ra vài đẳng thức và bất đẳng thức thường gặp để các bạn tiện sử
dụng.
   
   
 
 
     
      
          
   
2
2 2 2
3 3 3 2 2 2
3
3 3 3
2
2 3
3 3 3 2 2 2
1 1 1 1
2
3
3
3
a b c a b c ab bc ca abc
a b c a b c ab bc ca
a b c a b c a b c ab bc ca abc
a b c a b c a b b c c a

a b b c c a abc a b c ab bc ca
a b b c b c c a c a a b a b c ab bc ca
a b c a b c
          
       
          
        
        
             
    
      
       
3 3 3
9
8
3
a b c ab bc ca a b b c c a
a b c abc ab a b bc b c ca c a Schur
       
        

Trường hợp ba BĐT cuối được nêu trên thì
, ,a b c
không âm.

8
7
9
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
5

B/ ĐỀ BÀI

Bài 1: Cho abc = 1 và
3
36.
a 
Chứng minh rằng:
2
2 2
3
a
b c ab bc ca    

Bài 2: (trauvang97) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:
2 2 2
1 1 1 3
.
1 1 1 2a b c
  
  

Bài 3: (duaconcuachua) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn

ab bc ca abc  
.
Chứng minh rằng:
     
4 4 4 4 4 4
3 3 3 3 3 3
1.
a b b c c a
ab a b bc b c ca c a
  
  
  

Bài 4: Cho
 
, , 0;1 .
x y z 
Tìm GTLN của biểu thức:
1 1 1
x y z
P
yz zx xy
  
  

Bài 5: Cho
 
, 0;1
a b
. Chứng minh

  
 
2 2
1 1
a 1 .
1 2 1
a b
a b ab
b
ab ab
 

   
 

Bài 6: Cho a, b, c không đồng thời bẳng
0.
Chứng minh rằng:

 
 
4 4 4
2
2 2 2
2 2 2
3
2.
a b c
ab bc ca
a b c

a b c
 
 
 
 
 

Bài 7: (vuvo98) Cho hai số dương a, b thỏa mãn:
3.
ab a b
  
Chứng minh:

2 2
3 3 3
.
1 1 2
a b ab
a b
b a a b
    
  

Bài 8: (coban) Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng
2 2 2
3
.
4
a b c
a b b c c a

     
  
     
  
     

Bài 9: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện
2 2 2
9
a b c
  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
5 5 5
2 2 2
.
a b c
P
b c a
  

Bài 10: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 
2 2 2
P abc a b c
  
.
Bài 11: Cho a, b > 0 thỏa mãn
3 1

a b
 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 1
S
a
ab
 
.
Bài 12: Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3
2 3
P
a ab abc a b c
 
   
.
Bài 13: (nguyencuong123) Cho a, b, c không âm thỏa mãn
3.
a b c
  
Chứng minh
rằng:

1 1 1
3.
1 1 1
a b c

ab bc ac
  
  
  

Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
6

Bài 14: Cho a, b, c là các số thực không âm và có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

3 3 3
1.
2 2 2
a b c
a b b c c a
  
  

Bài 15: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
3
2.
a b c  
Chứng minh:

 
2 2 2
3
3 3
1 7 2 2

.
4 1 4 1 4 1 32
16 4 4 2
a b c
a b c ab bc ca

   
    


Bài 16: Cho
1 1
3 2
1
x
y

 





. Tìm GTNN của
 
2 2
2 2
2
.
4 1

x y
P x y
x y x
  
 
 
 

Bài 17: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
3
a b c
  
. Chứng minh rằng ;

2 2 2 2 2 2
1 1 1 3
.
2 2 2 4a b b c c a
  
     

Bài 18: Cho a, b, c dương thỏa mãn
ab bc ca abc  
. Chứng minh rằng:

 
2 2 2 2 2 2
3 2
a b b c c a
a b b c c a

a b b c c a
  
        
  

Bài 19: Cho a, b, c dương. Chứng minh:
 
 
2 2 2
2 2
2
2 2
6
.
a b c
a b
a ab b
a b c
 


 
 


Bài 20: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
3 3 3
1
a b c
  

. Chứng minh:

     
2 2 2
5 2 2 5 2 2 5 2 2
1 1 1 81
.
4
a b c b c a c a b
  
  

Bài 21: (b2stts) Cho a, b, c dương thỏa mãn
1
2
a b c
  
. Tìm GTLN của:

  
2
a b b c
P
b ab ac bc a c
 

    


Bài 22: Cho a, b, c dương thỏa mãn

1 1 1
.
a b c
a b c
    
Chứng minh rằng:

3 2
.
a b c
a b c abc
   
 

Bài 23: Cho a, b, c dương thỏa mãn
6.
a b c
  
Chứng minh rằng:

 
 
 
 
 
 
2 2 2
3
.
2

2 2 2 2 2 2
a b c
b b b c c c a a a
  
        

Bài 24: Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng:

 
 
 
 
 
 
4 4 4
b c a c a b a b c
ab bc ca
a a b c b b c a c c a b
     
    
     

Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
7

Bài 25: Cho a, b, c không âm. Chứng minh:
1 1 1
.
1 1 1 1 1 1

3
1 1 1a b c a b c
 
   
  

Bài 26: Cho a, b dương thỏa mãn
1
.
2
a b
 
Tìm GTNN của biểu thức:

2 2
1 1 1
10 .
P
a b
a b
 
  
 

 

Bài 27: Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng:

   
3

1 1 1 2
2 2 2a b b c c a
a b b c c a
  
  
  

Bài 28: (Zack) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh:
3 3 3 2 2 2
2
.
3
abc ab bc ca
a b c a b c
 
 
   

Bài 29: (leduylinh) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
1.
a b c
  
Tìm
GTLN của

3 3 3
3
P a b c abc
   

.
Bài 30: (phamduytien) Cho a, b, c dương thỏa mãn:
4 4 4 3 3 3
.a b c a b c    
Chứng
minh:

3 3 3
4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4
3.
a b c
b b c c c c a a a a b b
  
     

Bài 31: (thang96) Cho a, b, c dương thỏa mãn
3.
a b c
  
Tìm GTLN của biểu thức

3
3
2
4
P a b ab bc abc
    
.
Bài 32: (Tu Kil) Cho a, b, c dương thỏa mãn:
2 2 2

1
a b c
  
. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2
3 3
.
2
a b c
b c a c a b
  
  

Bài 33: (baonhikt96) Cho a, b, c dương thỏa
1abc 
. Chứng minh rằng:

1 1 1
1 1 1 1
a b c
b c a
   
      
   
   
.
Bài 34: (SatNhan98) Cho a, b, c dương thỏa
2 2 2
3.

a b c
  
Chứng minh rằng:

2 2 2
3
.
3 3 3 4
ab bc ac
c a b
  
  

Bài 35: Với a, b, c > 0 và số tự nhiên dương n. Chứng minh rằng:

3
2
n n n n n n
a b c a b c
b c a c a b a b c
 
 
  
 
    
 

Bài 36: Cho a, b là hai số không âm thỏa
3 3
1

a b
 
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 .P a b
 

Bài 37: Cho a, b, c không âm và không đồng thời bẳng 0. Chứng minh rằng:
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
8


2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
a bc b ca c ab
b bc c c ca a a ab b
  
  
     
.
Bài 38: (Chrome98) Cho a, b, c không âm thỏa mãn
1.
a b c
  
Chứng minh rằng:

2

2 2 2 2 2 2
24
3 1 3 1 3 1 9 1 9 1 9 1
a b c a b c
a b c a b c
 
    
 
     
 

Bài 39: (Toc Ngan) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn
3
a b c
  
. Chứng minh rằng:

 
2 2 2
1 1 1
8 9 10
a b c
a b c
 
     
 
 

Bài 40: (supermath98) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn
3

ab bc ca abc  
. Tìm
GTNN của biểu thức:
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
.
a b b c a c abc
M
a b c
  


Bài 41: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn
1.
abc

Chứng minh:
 
 
2 2 2
2 12 3 .a b c a b c ab bc ca
        

Bài 42: Cho các số thực dương
, , , , ,a b c x y z
thỏa mãn
1ab bc ca xy yz z     
.

Chứng minh rằng:
     
2.
a y z b z x c x y
     

Bài 43: Cho
, ,x y z
không âm thỏa mãn:
2 2 2
1
x y z
  
. Tìm GTLN của biểu thức:

 
6 27
P x y z xyz
    

Bài 44: (b2stfs) Cho a, b, c dương thỏa mãn
3.
a b c
  
Tìm GTNN của:

2 2 2
b c a
P b c a
a b c b c a c a b

  
     

Bài 45: Cho a, b, c dương thỏa mãn
3.
a b c
  
Chứng minh rằng:

2 2 2
2 2 2
4
ab bc ca
a b c
a b b c c a
 
   
 

Bài 46: Chứng minh với mọi a, b, c không âm và không đồng thời bẳng 0. Chứng
minh:

2 2 2
1 1 1 3
a bc b ca c ab ab bc ca
  
    

Bài 47: Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Gọi
, ,x y z

lần lượt là
khoảng cách từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng:
 
2 2 2
2S
a b c
x y z
abc
 
  
.
Bài 48: (ttdlaq) Cho a, b, c dương và số thực
8.
k

Chứng minh rằng:

2 2 2
3
1
a b c
k
a kbc b kca c kab
  

  

Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
9

Bài 49: (hoangtubatu955) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn:
3.
a b c
  
Tìm GTNN
của biểu thức:
   
3 3 3
1 1 1
P a b c
   
.
Bài 50: (leduylinh1998) Cho a, b, c dương thỏa mãn:
3.
a b c
  
Chứng minh rằng:

2 2 2
2 2 2 2 2 2 4 4 4
3
.
a b c
a ab b b bc c c ca a a b c
  
       

Bài 51: (khonggiadinh) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn
3abc a b ab  

. Chứng
minh rằng:

3.
1 1 1
ab b a
a b bc c ac c
  
     

Bài 52: (leduylinh1998) Cho a, b, c dương thỏa mãn
3.
a b c
  
Chứng minh rằng:

3 3 3
2 2 2 2 2 2 4 4 4
3
.
a b c
a ab b b bc c c ac a a b c
  
       


Bài 53: (SOYA264) Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng:

     
2 2 2

2 2 2
2 2 2
1
.
3
5 5 5
a b c
a b c b c a c a c
  
     

Bài 54: (zack) Cho a, b, c dương thỏa mãn
2 2 2
1.
a b c
  
Tìm GTNN của biểu thức:

3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c
P
b c a c a b
  
  
.
Bài 55: (NTPS2CBC) Cho a, b, c dương thỏa mãn
6.
a b c
  

Chứng minh rằng:

2 2 2
1 1 1 3 17
.
2
a b c
b c c a a b
     
  



















Nguyễn Công Định (CD13)

Trang
10

C/ LỜI GIẢI

Bài 1: Cho abc = 1 và
3
36.
a 
Chứng minh rằng:
2
2 2
3
a
b c ab bc ca    

Lời giải:
2 2
2 2
2
2
2 3
4 12
36
0
2 12
a a
VT VP b c ab bc bc bc
a a bc
b c

        

 
    
 
 

Cách khác:
Từ giả thiết suy ra
a 0, 0
bc
 
. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

   
2
2
2
3
3 0
3
1 3
0
3
a
b c bc a b c
b c b c
a a a
     
 

 
    
 
 

Vì
3
36
a

nên
2 2
1 1
0.
4 2
b c b c b c
VT
a a a
  
   
     
   
   


Bài 2: (trauvang97) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:
2 2 2
1 1 1 3
.
1 1 1 2a b c

  
  

Chứng minh rằng:
     
2 2 2
2 2 2 3.
a b c
     

Lời giải: (Nguyen Huy Tuyen)
Ta có:
  
2 2
1 1
1 3
0
1 2 1
a a
a a
 
  
 
 
, và
    
2
2 3 3 1 0.
a a a
     

 

Khi đó:
  
    
4
2 2
2 1 1 1
3 1 0
1 1
a a a
a a
a a
  
    
 
  


  
  
 
2
2
2 1 1
3 1 0 2 3.
1
a a
a a a
a

 
       

  
(Đpcm).

Bài 3: (duaconcuachua) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn
ab bc ca abc  
.
Chứng minh rằng:
     
4 4 4 4 4 4
3 3 3 3 3 3
1.
a b b c c a
ab a b bc b c ca c a
  
  
  

Lời giải: (Sagittius912)
Ta có
   
4 4
4 4 2 2 4 4 4 3 4 3
3 3
2
2
a b a b
a b ab a b a b a a b b ab

a b
 
          


Do đó
     
4 4 4 4 4 4
3 3 3 3 3 3
1
2 2 2
a b b c c a a b b c c a ab bc ca
ab bc ca abc
ab a b bc b c ca c a
       
      
  
.

Bài 4: Cho
 
, , 0;1 .
x y z 
Tìm GTLN của biểu thức:
1 1 1
x y z
P
yz zx xy
  
  

Lời giải:
Do
 
     
, , 0;1 1 1 1 2 0
x y z x y z x y z
        
2 2 2.
x y z xyz xyz
      

Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
11

Từ đó
2 2
2.
1 1 1 1 1
x y z x y z xyz
P
yz zx xy xyz xyz
  
     
    

Vậy GTLN của P bằng 2 khi
1, 0
x y z

  
và cùng các hoán vị.

Bài 5: Cho
 
, 0;1
a b
. Chứng minh
  
 
2 2
1 1
a 1 .
1 2 1
a b
a b ab
b
ab ab
 

   
 

Hướng dẫn:
BĐT
 
 
 
2 1 2
1 2 1

ab a b
a b
a b ab ab
ab ab


        
 
Điều phải chứng minh.

Bài 6: Cho a, b, c không đồng thời bẳng
0.
Chứng minh rằng:

 
 
4 4 4
2
2 2 2
2 2 2
3
2.
a b c
ab bc ca
a b c
a b c
 
 
 
 

 

Lời giải:
Quy đồng mẫu số và khai triển BĐT cần chứng minh ta nhận được:

       
 
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4
a b c ab a b bc b c ca c a a b b c c a abc a b c             

Do
 
2 2 2 2 2 2
a b b c c a abc a b c    
.
Kết hợp với
   
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
; 2 .a b c a b b c c a ab a b a b
      
 

Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi
.a b c 


Bài 7: (vuvo98) Cho hai số dương a, b thỏa mãn:
3.
ab a b

  
Chứng minh:

2 2
3 3 3
.
1 1 2
a b ab
a b
b a a b
    
  

Lời giải: (Hoang Tung 126)
Trước tiên với giả thiết bài toán thì điều kiện để tồn tại a, b là
2
a b
 
.
Ta có:
2 2
3 3 3 3 3 3
1 1 1
a b ab a b a b ab
b a a b ab a b a b
  
   
      

2 2
3 3 3 3
.
4 4
a b a b a b   
 

Như vậy ta chỉ cần chứng minh:
 
2 2
2 2
3 3 4
3
4 2
a b a b
a b
  
  

 
2 2
6 4
a b a b    

Theo
 
 
2
2 2
2

a b a b
  
, nên
 
 
 
  
2
2 2
2 6
6 4 4 6 0.
2 2
a b a b a b
a b a b a b
    
         

Như vậy phép chứng minh hoàn thành, dấu đẳng thức xảy ra khi
1.
a b
 

Nhận xét:
Với điều kiện tồn tại của bài toán
1
2; 1 .
2
ab
a b ab
a b

    

Như vậy ta chỉ chứng
minh
      
2 2
3 4 0 1 2 2 1 0
a b a b a b a b ab
            
. Điều này hiển nhiên.

Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
12

Bài 8: (coban) Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng
2 2 2
3
.
4
a b c
a b b c c a
     
  
     
  
     

Lời giải: (Toc Ngan)
Ta đặt

; ; 1.
a b c
x y z xyz
b c a
    

BĐT cần chứng minh trở thành:
 
2
1 3
.
4
1 x




Bằng phép biến đổi tương đương ta có BĐT sau:

     
2
2 2 2
1 1 1
1 1
1 1 1
z z z
xy z
x y z

   

 
  

Như vậy
       
2 2
2 2 2 2
1 1 1
1 1 1 1
z z z z
x z z z
  
  
   

.
Và ta dễ dàng chứng minh
 
 
2
2
2
1 3
1 0
4
1
z z
z
z
 

   

.
Bài toán được chứng minh xong, dấu đẳng thức xảy ra khi
a b c 
.


Bài 9: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện
2 2 2
9
a b c
  
.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

5 5 5
2 2 2
.
a b c
P
b c a
  

Lời giải:
Theo Cauchy, ta có:
5 5
2 2 2
2 2
3 3 3 3 5 3 .

a a
b b a
b b
    
Xây dựng các BĐT tương tự
ta nhận được
   
2 2 2 2 2 2
2 2 3 9 3 5 3
P a b c a b c
      

9 3.
P 
Dấu “=” xảy ra khi
3
a b c  
.
Cách khác:
Theo Cauchy – Schwarz ta có:
 
2
3 3 3
5 5 5
2 2 2 2 2 2
.
a b c
a b c
b c a ab bc ca
 

  
 

Lại có:
  
 
3
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
9 3.
3
a b c
ab bc ca a b c a b b c c a
 
        

   
2 3
3 3 3 2 2 2
9 3
9 3 27 3
a b c a b c
P
   
   
.
Chỗ khẳng định cuối cùng này lời giải đã sử dụng đến BĐT Holder “Với a, b, c, x,
y, z, m, n, p là các số thực dương ta có
   
 

3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
a b c x y z m n p axm byn czp
        
.


Bài 10: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 
2 2 2
P abc a b c
  
.
Lời giải:
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
13

Ta có:
 
 
 
 
2
2 2 2 2 2 2
1
3
P abc a b c a b c ab bc ca a b c
         

.
Mặc khác, ta lại có:
 
 
 
3
2
2
2 2 2
1 1
.
3 27 81
a b c
ab bc ca a b c P
 
 
       
 
 
 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1
.
3
a b c
  


Bài 11: Cho a, b > 0 thỏa mãn

3 1
a b
 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 1
S
a
ab
 
.
Lời giải:
Ta có:
 
 
2
2 2
1 1 1 2
8.
1 2 1 2
1 3
S
a a a a a
a a

     
  


Nên giá trị nhỏ nhất của S bằng 8 khi

1
4
a b
 
.

Bài 12: Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3
2 3
P
a ab abc a b c
 
   
.
Lời giải:
Ta có:
 
3
4 4
.2 . .4
2 4 4 12 3 3 3
a a a a b c
a b b c a b a b c          
.
Do đó:
 
2
3 3 3 1 3 3
1

2 2 2 2
P
a b c
a b c a b c
 
      
 
 
   
 

Dấu bằng xảy ra khi
16
4 16 .
21
a b c  


Bài 13: (nguyencuong123) Cho a, b, c không âm thỏa mãn
3.
a b c
  
Chứng minh
rằng:

1 1 1
3.
1 1 1
a b c
ab bc ac

  
  
  

Lời giải: (Juliel)
Áp dụng AM – GM cho vế trái, ta cần chứng minh:

       
       
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1
4 3 1
2 3
a b c ab bc ca
abc ab bc ca a b c a b c abc a b c ab bc ca
abc a b c abc
a b c abc
      
               
    
  

Điều này hiển nhiên đúng vì
3
1.
3
a b c

abc
 
 
 
 
 

Bài 14: Cho a, b, c là các số thực không âm và có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

3 3 3
1.
2 2 2
a b c
a b b c c a
  
  

Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
14

Lời giải:
Ta có
 
3
2 2
1.1 2
3
a b
b a

 
 
, nên

 
   
2
2
2
2
3
3 3 1
2 2 2 2
2 2
a b c
a a
VT
a b a ab a
a ab a
 
   
   
 
 
  
.
Đẳng thức xảy ra khi
1
.
3

a b c
  


Bài 15: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
3
2.
a b c  
Chứng minh:

 
2 2 2
3
3 3
1 7 2 2
.
4 1 4 1 4 1 32
16 4 4 2
a b c
a b c ab bc ca

   
    


Lời giải:
Ta đặt
3
2.
x a b c   

Do
   
2 2
4 4 1 4 4 1 4 4 1 4 4 1
a a a x a a
a a a a
    
   
 


 
 
2
2
2 2
1 1
4 4 4 4
a b c
x
a a b c a x
 
 
   
 

BĐT cần chứng minh tương đương với

 
   

 
2
2
2
2 2
2 2
2
2
2 2
7 2
1
16 4 4
32
4 4
1 2 1
32
4 4 4 4
1
1
4 8 4
x x x
x x
ab
a x
x x x
ab
a x x x
x
x
a x ab x x


 



 
  
 

  
 




 

Điều này hiển nhiên đúng, vì áp dụng Cauchy – Schwarz ta nhận được

 
2
2
1
4 8
x
VT VP
a ab x

 
 

 
. Dấu đẳng thức xảy ra khi
3
2
.
3 3
x
a b c   


Bài 16: Cho
1 1
3 2
1
x
y

 





. Tìm GTNN của
 
2 2
2 2
2
.
4 1

x y
P x y
x y x
  
 
 
 

Lời giải:
Đặt
1 1
, 2 3,0 1.
a b a b
x y
      
Khi đó:

 
 
   
 
 
2
2 2 2
2 2 2
2
1 1 1 1 2
4
4
1 1 7 2 7 1 7 9

4 2 4 4
4 4 4
P
a b a b a b
a b
a a a
a a a
    
 
 
       

  

Vậy GTNN của P bằng
9
,
4
khi
1
, 1.
2
x y
 



Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
15

Bài 17: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
3
a b c
  
. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2
1 1 1 3
.
2 2 2 4a b b c c a
  
     

Lời giải:
Không mất tổng quát, giả sử
a b c 
. BĐT đã cho tương đương với

 
 
 
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 3
2 2 2 2 2 2 4

3
2 2 2 2
3
2
2 2 2 2
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
a b a b
a b a b
     
     
  
   
     
 
  
   
 

Áp dụng Cauchy – Schwarz, ta có:

 
 
 
 
 
 
 
 

     
 
 
 
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 2
2 2 4 12 2 6
2
2 2 4 12 2 6
a b a b c a b c
a b a b c a b c
a b b c a c
a b a c
a b a b c a b c
    
 
       
     
 
 
 
       



Từ đó ta nhận được:

 
 
 
2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 6
a b c a c
VT
a b c
   

  
. Bây giờ chỉ cần chứng minh:

 
 
   
 
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 3 9 3
a b c a c a b c a b c a b c
             

Bằng cách khai triển, BĐT này tương đương với
  
2 0
a b b c

  
. Điều này hiển
nhiên đúng, dấu đẳng thức xảy ra khi
1.
a b c
  


Bài 18: Cho a, b, c dương thỏa mãn
ab bc ca abc  
. Chứng minh rằng:

 
2 2 2 2 2 2
3 2
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
  
        
  

Lời giải:
Để ý rằng với mọi
, 0
x y

thì
 
2

x y x y
  
, nên ta có:

2 2 2 2
2 2
2
1 1
a b ab a b
VP
a b a b a b
a b
 
 
   
 
  
 

  

Do đó ta chỉ cần chứng minh
2
3
1 1
a b



. Thật vậy, đặt

1 1 1
, , 3x y z x y z
a b c
      

Ta có
 
2 9 2 9 2 2
3 3
1 1
3. 2
x y
x y
x y z
a b
    


 

 

.
Bài toán đã được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi
1.
a b c
  


Nguyễn Công Định (CD13)

Trang
16

Bài 19: Cho a, b, c dương. Chứng minh:
 
 
2 2 2
2 2
2
2 2
6
.
a b c
a b
a ab b
a b c
 


 
 


Lời giải:
Ta có:
 
2
2 2
2 2 2 2
6

a b
a b
a ab b a ab b


 
   
 
. Do đó bài toán đưa về việc chứng minh:

 
 
 
2
2 2 2
2
2 2
6
6
a b c
a b
a ab b
a b c
 

 
 
 

.

Áp dụng Cauchy – Schwarz, ta có:
   
 
 
2 2
2 2
2 2 2
4
2
a b a b c
a ab b
a b c ab bc ca
  

 
    

, nên
ta cần chứng minh:
 
 
 
 
 
2
2 2 2
2
2 2 2
6
4

6
2
a b c
a b c
a b c ab bc ca
a b c
 
 
 
    
 
.
Đặt
2 2 2
, .x a b c y ab bc ca x y       
Khi đó BĐT tương đương với:

     
4 2 4 2 4 2
6
6 8
2 2 2 2
x y x y x y
x
x y x y x y x y
  
    
   

Khẳng định cuối cùng hiển nhiên đúng theo AM – GM.

Bài toán được chứng minh hoàn toàn, dấu đẳng thức xảy ra khi
a b c 
.

Bài 20: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
3 3 3
1
a b c
  
. Chứng minh:

     
2 2 2
5 2 2 5 2 2 5 2 2
1 1 1 81
.
4
a b c b c a c a b
  
  

Lời giải:
Ta có:
 
   
 
2 2 2 2
3
2
5 2 2

81 81
1 27 9
1
8 8 4
a b c a b c
a
a b c
 
  



 
   
 
 
   
 
2 2 2 2
3
2
5 2 2
2 2 2 2
3
2
5 2 2
81 81
1 27 9
2
8 8 4

81 81
1 27 9
3
8 8 4
b c a b c a
b
b c a
c a b c a b
c
c a b
 
  

 
  


Với lưu ý:
 
2
3
3 3 3
3
3 3
27 9 81 1 81 1 27 243
1 1 2
4a 4 4 4
4 8
3. .
3

3 3
a b c
a a
   
  

  
.
Cộng các vế của (1), (2), (3) ta nhận được:
 
2 2
81
243
4 4
ab a b
VT

 
 
.
Bây giờ chỉ cần chứng minh
 
2 2 3 3 3
2
ab a b a b c
   
 
. Điều này thật dễ dàng với
khẳng định đơn giản
3 3 2 2

x y x y xy
  
.
Vậy
243 81.2 81
.
4 4 4
VT   
Dấu đẳng thức xảy ra khi
3
1
.
3
a b c  


Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
17

Bài 21: (b2stts) Cho a, b, c dương thỏa mãn
1
2
a b c
  
. Tìm GTLN của:

  
2
a b b c

P
b ab ac bc a c
 

    


Lời giải: (Mazacar)
Đặt
, , 1.
x a b y b c z c a x y z
         
. Khi đó:

  
1 3
2 2
xy xy x y
P
xy z x z z y x z z y
 
    
 
    
 
  

Vậy GTLN của P bằng
3
2

khi
1
.
6
a b c
  


Bài 22: Cho a, b, c dương thỏa mãn
1 1 1
.
a b c
a b c
    
Chứng minh rằng:

3 2
.
a b c
a b c abc
   
 

Lời giải: (NLT)
Ta có
1 1 1 9
3.
a b c a b c
a b c a b c
         

 

Từ đó:
 
   
2
2 2
2
1 1 1
2
2
1 1 1
3 3 2
3 3 3
a b c a b c
a b c
a b c
ab bc ca
 
 
 
   
 
 
         
 
 

Từ đây ta có điều phải chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi
1.

a b c
  


Bài 23: Cho a, b, c dương thỏa mãn
6.
a b c
  
Chứng minh rằng:

 
 
 
 
 
 
2 2 2
3
.
2
2 2 2 2 2 2
a b c
b b b c c c a a a
  
        

Lời giải:
Ta có:
 
 

2 2
2
2 2 4
2 2 .
2 2
b b b b
b b b
    
    

Từ đó ta đưa bài toán về chứng minh:
2
3
.
4 4
a
b




Ta có:
 
 
2
2
2
3
.
4 4 16 4 48 4

4 4
a b c
a ab a ab a b c
VT
b
 
 
 
 
 
      
 
 

 
 
 

Dấu đẳng thức xảy ra khi
2.
a b c
  


Bài 24: Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng:

 
 
 
 

 
 
4 4 4
b c a c a b a b c
ab bc ca
a a b c b b c a c c a b
     
    
     

Lời giải:
Đặt
; ; ; ; .
2 2 2
y z z x x y
b c a x c a b y a b c z a b c
  
            

Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
18

BĐT cần chứng minh được viết lại:
 
  
4
4
2
x y y z

x
y z x
 


 

Ta có:
 
 
2
2 2 2
4
2 2 2
2 2 2
2
2
x y z
x
VT x y z
y z z x y z xy yz zx
 
    
     

, nên ta chứng minh:

  
2 2
1

4
x x y y z x xy
    
   
(Điều này hiển nhiên).
BĐT đã được chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi
a b c 
.

Bài 25: Cho a, b, c không âm. Chứng minh:
1 1 1
.
1 1 1 1 1 1
3
1 1 1a b c a b c
 
   
  

Lời giải:
Biến đổi BĐT cần chứng minh thành
   
 
1 1 1
1
.
2 3 3
a b c
abc
ab bc ca a b c ab bc ca

  
 
       

Đặt
; ;
x a b c y ab bc ca z abc      
, thay vào BĐT trên ta được:
2
2 6 9y xy xz z  
.
Tức là ta cần chứng minh:
      
2
2 6 9
ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c abc
          
.
Điều này hiển nhiên đúng vì dựa vào hai BĐT cơ bản quen thuộc:

      
2
3 ; 9
ab bc ca abc a b c a b c ab bc ca abc
         
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi
.a b c 

Bài 26: Cho a, b dương thỏa mãn
1
.
2
a b
 
Tìm GTNN của biểu thức:

2 2
1 1 1
10 .
P
a b
a b
 
  
 

 

Lời giải:
Áp dụng AM – GM ta có:

 
 
4 9
5
5
4
2 2

2 2
4
1 4 4 4 4 4 .2 2 .4
5 5 40.
2
2 2 4 4 2
8.
a b
a b ab
a a b b
a b
a b ab a b
      



   


Như vậy GTNN của P bằng 48 khi
1
.
4
a b
 


Bài 27: Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng:

   

3
1 1 1 2
2 2 2a b b c c a
a b b c c a
  
  
  

Lời giải:
Nhân thêm
a b c 
vào 2 vế va biến đổi một chút ta sẽ có:

 
   
3
2
1 3
2 2 2 2
a b c
c b
a b a b
a b b c c a
 
  
 
  
 

Nguyễn Công Định (CD13)

Trang
19

Ta có:
 
 
2
2 3
a b c
c
a b ab bc ca
 

  



 
2
2 2 2
1
2 2 2 2
a b c
b
a b a b c ab bc ca
 
 
     


Nên ta chỉ cần chứng minh:
 
 
 
   
2
3
2
2
3
a b c a b c
ab bc ca
a b b c c a
   
 
 
  
.
Mà theo AM – GM thì
 
 
2
3
3
3
a b c
VT
ab bc ca
 


 
, do đó bài toán sẽ được giải quyết nếu
ta chứng minh được:
 
 
 
   
2
3
3
2
3
3
a b c a b c
ab bc ca
a b b c c a
   

 
  


      
     
2 2 2
8
9
0.
a b b c c a ab bc ca a b c
c a b a b c b c a

        
      

Như vậy phép chứng minh hoàn thành, đẳng thức xảy ra khi
.a b c 


Bài 28: (Zack) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh:
3 3 3 2 2 2
2
.
3
abc ab bc ca
a b c a b c
 
 
   

Lời giải: (pluswith)
BĐT tương đương với:
2 2 2 3 3 3
1
1
3
ab bc ca abc
a b c a b c
 
  
   

 
 
 
 
 
 
     
2 2 2 3 3 3
2 2 2
3 3 3
2 2 2
3 3 3
3 3 3 2 2 2
3 3 3 2 2 2
3
3
1
3
3
2
a b c ab bc ca a b c abc
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c a b c a b c
a b c a b c b c a c a b
       

 
 
 
 
 
 
 
       
        

Đến đây áp dụng AM – GM
     
3 3 3 3 2 2
2 2 3
a b a c a b a c
    
   
thì ta có
điều phải chứng minh. Đẳng thức xaye ra khi
.a b c 


Bài 29: (leduylinh) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
1.
a b c
  
Tìm
GTLN của

3 3 3
3
P a b c abc
   
.
Lời giải: (dinhthanhhung)
Do
 
 
3 3 3 2 2 2
a b c a b c a b c ab bc ca abc
          
, nên ta có:

   
  
2 2
2
2
1
1 2a 2 2 1 1
P a b c ab bc ca
b bc ca ab bc ca
     
       

Vậy GTLN của P bẳng 1 khi
0; 1a b c  
và các hoán vị.

Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
20

Bài 30: (phamduytien) Cho a, b, c dương thỏa mãn:
4 4 4 3 3 3
.a b c a b c    
Chứng
minh:

3 3 3
4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4
3.
a b c
b b c c c c a a a a b b
  
     

Lời giải: (nguyenqn1998)
Do giả thiết của bài toán nên ta chỉ cần chứng minh:
3 4
3 3 3
4 2 2 4
3a a
a b c
b b c c

 
 

   
 
2
3 3 3 2 4 2 2 4
6 6 6 3 3 2 4 2 2 4
3
2 3
a b c a b b c c
a b c a b a b b c c
     
      


Điều này đúng do:
6 3 3 2 2 2 6 3 3 2 4 6 3 3 2 4
2 3 ; 2 3 ; 2 3
a b c a b c b a b a b c a c a c
     
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi
1.
a b c
  


Bài 31: (thang96) Cho a, b, c dương thỏa mãn
3.
a b c
  

Tìm GTLN của biểu thức

3
3
2
4
P a b ab bc abc
    
.
Lời giải: (trauvang97)
Ta có:
 
3
3
1 1 1 1 1 4 4
2 . . .4
4 4 4 12 3 3 3
a ab abc a a b a b c a a b a b c a b c             

Mặt khác
3 3 1
2 .
4 4 4
a b bc a b b c a b c       
.
Cộng hai vế các BĐT trên nhận thấy GTLN của P bằng 7 khi
16
4 16 .
7
a b c  

Bài 32: (Tu Kil) Cho a, b, c dương thỏa mãn:
2 2 2
1
a b c
  
. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2
3 3
.
2
a b c
b c a c a b
  
  

Lời giải: (DucHuyen1604)
Ta có:
 
  
 
3
2 2 2
2
2 2 2 2
2 1 1
1 1 4
.2 1 1 .

2 2 27 27
a a a
a b c a a a
   
     


 
2 2 2
2 2
2 3 3
2
3 3
a
a b c a
b c
    


Xây dựng hai BĐT tương tự dẫn đến đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi
3
.
3
a b c  


Bài 33: (baonhikt96) Cho a, b, c dương thỏa
1abc 
. Chứng minh rằng:

1 1 1
1 1 1 1
a b c
b c a
   
      
   
   

Lời giải: (NTPS2CBC)
Ta biến đổi BĐT thành
   
1 1 1 1
ab b bc c ca a
      


  
 
   
2 2
2
1
1 1 1
abc bc c bc c abc abc bc bc
c bc bc c bc c bc
       
       

Nguyễn Công Định (CD13)

Trang
21

Mà theo AM – GM:
  
1 1
1 1 1
2
c bc bc c
c bc bc c
    
     


  
  
1 1
1 1
2
1 1
1 1
2
c bc bc c
c bc bc c c
bc c b c
bc c bc c bc
    
     
    
     

Nhân các vế BĐT cùng chiều trên ta có đpcm, dấu đẳng thức xảy ra khi
1.
a b c
  

Cách khác: (Toc Ngan)
Khai triển BĐT trên ta nhận được
2 2 2
3
a b c ab bc ca a b b c c a
        
.
Đặt
 
, , , ,
x y z
a b c
y z x
 

 
 
ta nhận được
     
3 3 3
3
xy x y yz y z zx z x x y z xyz
        
và đây chính là Shur bậc 3.

Bài 34: (SatNhan98) Cho a, b, c dương thỏa
2 2 2
3.
a b c
  
Chứng minh rằng:

2 2 2
3
.
3 3 3 4
ab bc ac
c a b
  
  

Lời giải: (Hoang Tung 126)
Ta có
   
 
   
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
1
3 4
a b
ab ab
c

a c b c a c b c

 

     
  


2 2
2 2 2 2
1 3
.
4 4
a b
a c b c
 
  
 
 
 


Dấu đẳng thức xảy ra khi
1.
a b c
  


Bài 35:
Với a, b, c > 0 và số tự nhiên dương n. Chứng minh rằng:

3
2
n n n n n n
a b c a b c
b c a c a b a b c
 
 
  
 
    
 

Lời giải:
Không mất tổng quát, giả sử
a b c 
, khi đó
1 1 1
b c c a a b
  
  
.
Theo Chebyshev với 2 dãy tăng ta được:

   
 
1 1 1 9 3
.
3 3 2 2
n

n
n n
a
a
a a
b c a b a b c a
 
 
 
  
 
 
 
 
 
   
 
 
 

   



Bài 36: Cho a, b là hai số không âm thỏa
3 3
1
a b
 
. Tìm giá trị lớn nhát của

2 .P a b
 

Lời giải:
Ta có:
 
 
 
 
5 5
6
5 5
3 3 6 6
6
2 1 2 2 1
a b a b P      
3
3
5 5
1
.
2 2 2 2 1
a
b  



Bài 37: Cho a, b, c không âm và không đồng thời bẳng 0. Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
a bc b ca c ab
b bc c c ca a a ab b
  
  
     
.
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
22

Lời giải:
Không mất tổng quát, ta có thể giả sử b là số nằm giữa a và c.
BĐT đã cho tương đương với
 
2
2
2 2
2
6.
a b c
b bc c
 

 


Áp dụng Cauchy – Schwarz, ta có:

 
 
 
 
     
 
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
.
2
4
.
2 2
a b c a b c
a
b bc c a b abc a
a b bc c
a b c b a c c a b
b c b a c
b bc c a b abc a a b abc a

   
 
  
 
     
 
 
 
   

 


   

Ta cần chứng minh
 
   
2
2
2 2 2 2 2 2
2 6 3 1
a b c b a c a b abc a     
 
.
Ta có:

            
   
2

2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
.
b a c a b c c a b a b c c a b ac a b b c
a b c c a b
           
 
 
   


       
 
 
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
2
1 2 2 .
b a c a b c b c a c a b
VT a a b abc a
       
   
  

Do đó ta chỉ còn chứng minh:

 
2
2 2 2 2 2
4 2 2
2 2 6 3
2 .
a a b abc a a b abc a
a abc a a b
   
  
    
  

BĐT này hiển nhiên đúng theo BĐT Schur:
 
4 2 2
a abc a ab a b
  
  

Và BĐT AM – GM:
 
2 2 2 2
2 .ab a b a b
 
 

Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc a = c, c = 0 và các hoán vị.

Bài 38: (Chrome98) Cho a, b, c không âm thỏa mãn
1.
a b c
  
Chứng minh rằng:

2
2 2 2 2 2 2
24
3 1 3 1 3 1 9 1 9 1 9 1
a b c a b c
a b c a b c
 
    
 
     
 

Lời giải: (Simposn Joe Donald)
Theo AM – GM:
2 2 2
1
9 1 6 (3 1)
2 6 (3 1) 2 6 3 1
a a a a a
a a a
a a a
 
  
 

 
  
 
 
   

Theo Cauchy – Schwarz:
 
2
.
3 1
3 1
a a a
VP a VT
a
a
 
 
  
 
 
 


 
 
  


Bài 39: (Toc Ngan) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn

3
a b c
  
. Chứng minh rằng:

 
2 2 2
1 1 1
8 9 10
a b c
a b c
 
     
 
 

Lời giải: (babystudymaths)
Giả sử a là số lớn nhất trong 3 số a, b, c, thế thì
1 3
a
 
.
Ta thấy
 
69 69
9 42 48 42 42
2 2
a b c
   
     

   
   
, thay vào BĐT ban đầu nhận được:
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
23


        
2 2 2
2 2 2
8 69 8 69 8
10 42 10 42 10 42 48
2 2
16 5 2 1 16 5 2 1 4 5 1 2
b b c c a a
b c a
b b c c a a
b c a
   
          
   
   
     
  

Áp dụng BCS, ta có:
   
2 2
2 1 2 1 4 2

16 5 16 5 16 5 16 5
b c a
VT
b c b c
b c b c
   
 
 
   
. Lúc này ta chỉ cần chứng
minh
5 1 16 5 16 5
a b c
a b c
 
  
.
Mà
3
16 5 16 5 16 5 16 5 16 5a 5a 1
b c b c a a
b c a a

    
     


  
1
0

5a 1 16 5a
 
 
. Điều này đúng nên ta suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi
1
, 2
2
a b c
  
cùng các hoán vị.

Bài 40: (supermath98) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn
3
ab bc ca abc  
. Tìm
GTNN của biểu thức:
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
.
a b b c a c abc
M
a b c
  


Lời giải: (thanhdok14)
Vì a, b, c > 0 nên điều kiện ban đầu ta suy ra:

1 1 1
3
a b c
  
.
Đặt
1 1 1
; ; 3 3.
x y z x y z xy yz zx
a b c
          
Khi đó ta viết lại M thành

 
 
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1
2 2 18 4 .M x y z xyz xy yz zx xyz
a b c abc
 
            
 
 

Lại có
     
 
2
4

4 9
9 3
x y z xy yz zx x y z
xy yz zx
xyz
 
      
  
 
 
(theo Schur)

     
4 8
4 15 15 7
3 3
M xy yz zx xy yz zx xy yz zx
             
.
Vậy GTNN của M bằng 7 khi
1.
a b c
  


Bài 41: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn
1.
abc

Chứng minh:

 
 
2 2 2
2 12 3 .a b c a b c ab bc ca
        

Lời giải:
Do
1abc 
, nên BĐT cần chứng minh có thể viết lại
2
3
2 4 3 0
a a
a
 
   
 
 

. Không
mất tổng quát, giả sử
 
min ; ; 1, 1.
a a b c a bc
   

Đặt
   
2

3
2 4 3 , 0
f t t t t
t
    
. Ta cần chứng minh
     
0.
f a f b f c
  

Trước hết ta sẽ chứng minh:
   
 
2
f b f c f bc
 

Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
24


 
 
   
2 2
2
2
2

3 3 6
2 2 3 3 4 6
1 1
2 3 3 0
2 2 4 3 3 0
b c b c bc bc
b c
bc
b c b c
b c
b c b c bc a
        
 
      
 
 
      

Do
2 2 3b c a 
và
 
   
 
1 2 2 4 3 3 0 2 .bc b c bc a f b f c f bc
         

Đặt
1x a x  
, ta cần chứng minh

 
 
*
2
1
2 0
f x f
x
 
 
 
 
, thật vậy:

 
 
 
4 2
2 2
6 4 3 2
2
4 3 2
3 4 6
* 2 4 3 2 8 6 0
2 3 6 12 6 1 0
1 2 4 3 4 1 0
x x x
x x x
x x x x x
x x x x x

   
        
   
   
      
      

Do
 
 
2
2
4 3 2 2 2
2 4 3 4 1 1 2 1 0
x x x x x x x x
         
nên khẳng định nêu trên hoàn
toàn đúng. Vậy
     
0
f a f b f c
  
, đẳng thức xảy ra khi
1.
a b c
  

Cách khác:
BĐT viết lại:
 

   
2 2 2
2 12 3 7
a b c a b c ab bc ca
        

Đặt
3
; ; 9 4p a b c q ab bc ca r abc p r pq
         
(theo Schur)
Nên ta chỉ cần chứng minh
 
 
3
2 2
9
2 12 3 7 3 9 21 0
4
p
p p p p p
p
 

       
 
 
, điều
này luôn đúng vì
3

p

.

Bài 42: Cho các số thực dương
, , , , ,a b c x y z
thỏa mãn
1ab bc ca xy yz z     
.
Chứng minh rằng:
     
2.
a y z b z x c x y
     

Lời giải:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
  
2
ax by cz a b c x y z       
.
Áp dụng BCS, ta có:
  
2 2 2 2 2 2
2
VT a b c x y z
     


  

 
 
 
 
  
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 x
a b c x y z
a b c ab bc ca x y z xy yz z
a b c x y z VP
      
          
     


Bài 43: Cho
, ,x y z
không âm thỏa mãn:
2 2 2
1
x y z
  
. Tìm GTLN của biểu thức:

 
6 27
P x y z xyz

    

Lời giải:
Ta có:
 
2
2 2 2 2
1
1 2 2
2
x y z y z y z x
        
và
2 2 2
1
.
2 2
y z x
yz
 
 

Nên suy ra:


 
 
2 2
27
6 2 2 1

2
P x x x x f x
      
, với
 
0;1
x
.
Nguyễn Công Định (CD13)
Trang
25

Ta có:
 
 
/ 2
2
2 27
6 1 1 3
2
2 2
x
f x x
x
 
    
 

 
. Ta thấy

/
1
0
3
f
 

 
 
và
 
//
0
f x

với
0 1x 
nên
 
/
0
f x

có một nghiệm duy nhất
1
x
3

trên nửa khoảng



0;1
. Lập
bảng biến thiên ta được
 
1
10
3
f x f
 
 
 
 
.
Vậy GTLN của P bằng 10 khi
1 2
;
3 3
x y z
  
.

Bài 44: (b2stfs) Cho a, b, c dương thỏa mãn
3.
a b c
  
Tìm GTNN của:

2 2 2
b c a

P b c a
a b c b c a c a b
  
     

Lời giải: (Sagittrius912)
Theo Holder ta có:
     
 
2
2a 2 2
P b c b c a c a b
       


     
 
 
 
3
2
2
2a 2 2
2a 2a
3
4 2
b b b b
b c b c a c a b a b c
b c b c
a b c

P P
           
   
 
   
 

Vậy GTNN của P bẳng
3
2
khi
1.
a b c
  


Bài 45: Cho a, b, c dương thỏa mãn
3.
a b c
  
Chứng minh rằng:

2 2 2
2 2 2
4
ab bc ca
a b c
a b b c c a
 
   

 

Lời giải:
Ta có
     
2
2 2 2
2 1
ab bc ca
VT a b c ab bc ca
a b b c c a
 
      
 

Ta chứng minh:
 
2 2 2 2 2 2
2
a b b c c a a b c    
.
Thật vậy giả sử
a b c 
, khi đó
1
a c 
. Ta biến đổi biểu thức cần chứng minh thành
 
 
 

   
2 2 2 2
1 1 0 *
a c b b c c     
. Với
1b 
thì (*) hiển nhiên luôn xảy ra, ngược
lại nếu
1b 
thì
 
 
 
2 2
* 2 0
VT b c b c
    
. (Đúng vì
2
b c
 
).
Lại thêm cách đặt
 
2
3.
3
a b c
x ab bc ca
 

    
Nên khi so sánh với (1) ta chỉ cần
chứng minh:
  
9 2 4 4 15 3 0
9 2
x
x x x
x
      

. Điều này đúng vì
3.
x

Dấu
đẳng thức xảy ra khi
1.
a b c
  


Bài 46: Chứng minh với mọi a, b, c không âm và không đồng thời bẳng 0. Chứng
minh:

2 2 2
1 1 1 3
a bc b ca c ab ab bc ca
  
    

Lời giải: