Bài tập quan hệ vuông góc

Hỡnh hc khụng gian 11. Quan h vuụng gúc.
Bài 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, gọi O là trọng tâm của tam giác BCD.
CMR:
( )
BCDAO
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và cạnh SA
vuông góc với mp(ABCD). Gọi H, I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,
SC, SD.
a) CMR:
( ) ( ) ( )
SACmpBDSADmpCDSABmpBC ,,
b) CMR:
( )
AHKmpSC
và điểm I cũng thuộc mp(AHK).
c) Chứng minh:
( )
SACmpHK
. Từ đó suy ra:
AIHK
Bài 3. Cho tứ diện SABC có:
( )
ABCSA
. Gọi H, K lần lợt là trực tâm của các tam
giác ABC, SBC. Chứng minh rằng:
a) AH, SK, BC đồng qui.
b)
( )
BHKSC
c) HK
( )

SBC
Bài 4. Cho tứ diện SABC, có
( )
ABCSA
và tam giác ABC vuông tại B. CMR: a)
( ) ( )
ABCSAB
b)
( ) ( )
ABCSAC
c)
( ) ( )
SABSBC
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SA=SC,
SB=SD.
â)Chứng minh rằng:
( )
ABCDSO
b)Gọi I, K lần lợt là trung điểm các cạnh BA, BC.Chứng minh rằng:
( )
SBDIK
c)Gọi
( )

là mp chứa IK và song song với SO. Tìm thiết diện của hình chóp khi
cắt bởi
( )

. Chứng tỏ:
( )

BD

.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA
( )
ABCDSA
và đáy ABCD là hình
thang vuông tại A và D, với
2
AB
DCAD ==
. Gọi I là trung điểm của AB. a)Chng
minh
SCDISB, CI
.
b)Chng minh cỏc mt bờn ca hỡnh chúp S.ABCD l nhng tam giỏc vuụng.
Bi 7. Cho t din ABCD cú
( )
BCDAB
, trong tam giỏc BCD, v cỏc ng cao BE
v DF ct nhau ti O. Trong mp( ADC), v
ACDK

ti K.
a) Chng minh
( ) ( )
ABEADC
,
( ) ( )
DFKADC

b) Gi H l trc tõm tam giỏc ACD. Chng minh:
( )
ACDOH
.
Bi 8. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng, tõm O. Cnh
( )
ABCDSA
. Gi
( )

l mp qua A v vuụng gúc vi SC,
( )

ct SC ti I.
a) Xỏc nh giao im K ca SO v
( )

.
b) Chng minh:
( ) ( )
DSASBD
. Chng minh BD //
( )

c) Tỡm thit din ca hỡnh chúp S.ABCD khi ct bi mp
( )

.
1
Hình học không gian 11. Quan hệ vuông góc.

Bài 9. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tính góc
giữa hai đường thẳng AB và CD. Biết AB = CD = 2a;
3aMN =
.
Bài 10. Cho tứ diện đều ABCD, có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Tính
( )
DMAB,
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Tính
( )
AGCD,
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạn bằng a, SC = a và
( )
ABCSC ⊥
. Tính ( SA, SC).
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB= a.
( )
ABCDSA ⊥
,
SA= a. Tính ( SB, CD).
Bài 13. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Gọi H là trung điểm của AB. Trên đường
thẳng vuông góc với mp (ABCD) tại H, lấy S sao cho
2
3a
SH =
. Tính (SD, AC).
Bài 14. Cho tam giác vuông cân ABC, cạnh huyền
22=AB
. Trên đường vuông góc
với mp(ABC) tại C, lấy điểm S sao cho: SC=1. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC

và AB. Tính ( SE, CF).
Bài 15. Cho hình lăng trụ tam giác đều
111
CBABCA
cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
2a
. Tính góc giữa
1
AC
và đường cao AH của tam giác ABC.
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng SA=SC,
SB=SB. Tính góc giữa SO và mặt đáy.
Bài 17. Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) và (BCD) là hai tam giác cân có chung
đáy BC.; I là trung điểm của BC. Tính góc giữa BC và mp (ADI).
Bài 18. Cho hình chóp S.ABC có
2
6a
SA =
và các cạnh còn lại đều bằng a. Gọi I là
trung điểm của BC. Xác định góc giữa SI và (ABC).
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông ,
)(ABCDSA ⊥
. Kẻ đường
cao AH của tam giác SAB, đường cao AK của tam giác SAC. Tính góc giữa SC và
(AHK).
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
3a
. SA vuông
góc với đáy và SA=a. Tính góc giữa mặt (SCD) và ( ABCD).
Bài 21. Cho tam giác ABC vuông tại B, AB=2a, BC=

3a
. SA
( )
2
,
a
SAABC =⊥
. Gọi
M là trung điểm của AB. Tính góc giữa mp(SMC) và mp(ABC).
Bài 22. Cho hình hộp đứng
1111
. DCBAABCD
, có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a,
góc a bằng
0
30
, cạnh
2
3
A
1
a
A =
. Tính góc giữa
( )
11
BDCA
và ( ABCD).
Bài tập 42, 43,45, 50. SBT. Trang 122, 123.
2

Hình học không gian 11. Quan hệ vuông góc.
Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bằng a. Cạnh
SA=h và vuông góc với mp (ABCD). Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung
của:
a. SB và CD.
b. SC và BD
c. SC và AB.
Bài 24. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA=OB=OC=a.
Gọi I là trung điểm của BC. Hãy xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách
giữa các cặp đường thẳng sau đây:
a. OA và BC.
b. AI và OC.
Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, có cạnh AB=a.
Đường cao SO=a và
( )
ABCDSO ⊥
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
SC và AB.
Bài 26. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a.
a. Tính độ dài đường cao của hình chóp.
b. Gọi H là trung điểm của SC. Chứng minh rằng:
( ) ( )
MBDSAC ⊥
Bài 27. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Biết góc tạo bởi
cạnh bên và mặt đáy là
0
60
và hình chiếu của A lên (A’B’C’) trùng với trung điểm
điểm H của B’C’.
a) Tính khoảng cách hai đáy.

b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng BC và AC’
c) Tính cotang của góc giữa hai mặt phẳng (AA’B’B) và (ABC).
Bài 28. Cho hình lăng trụ tam giác đều
'''. CBAABC
có cạnh đáy bằng a, cạnh
2
2a
A'=A
. Gọi O, O’ lần lượt là trung điểm của AB và A’B’.
a) Chứng minh
( )
O'COAB ⊥
b) Tính d(AB, B’C).
Bài 29. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Biết AB= a và góc giữa mặt bên và mặt
đáy bằng
0
60
. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
Bài 30. Cho hình chóp O.ABC có
( )
ABCOA ⊥
và OA=4, OB=7, BC=5, CA=8. Tính
( )
BCOd ,
.
Các bài tập
6358 →
. SBT. Trang 162.
3
Hình học không gian 11. Quan hệ vuông góc.

Một số đề thi Đại học những năm qua.
ĐH KD. 2002 .
Cho tứ diện ABCD có
( )
ABCAD ⊥
, AC = AD = 4 cm; AB = 3m; BC = 5 cm. Tính
khoảng cách từ A đến mp (BCD).
ĐH KA. 2002.
Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là các
trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN biết rằng
mp(AMN) vuông góc với mp(SBC).
ĐH KB 2007.
Cho hình chóp tứ diện đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng:
BDHN
⊥
và tính
( )
ACMNd ,
theo a.
ĐH KB 2004.
Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
( )
00
900 <<
ϕϕ
. Tính tang của góc giữa (SAB) và ( ABCD).
CĐ Xây Dựng 2005.
Cho hình chóp S.ABCD có ABC là tam giác vuông cân AB= AC= a.

( )
2
2
;
a
SAABCSA =⊥
. Tính góc giữa (SBC) và (SAC).
ĐH KB. 2003.
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD
bằng
0
60
. Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’. Chứng minh
rằng 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Háy tính AA’ theo a để tứ giác
B’MDN là hình vuông.
HVCTQG 2001.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và
( )
ABCSA ⊥
. Đặt
SA= h.
a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) theo a và h.
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCvvà H là trực tâm tam
giác SBC. Chứng minh
SCOH ⊥
HVCNBCVT 2001.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ =a.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và B’C.
b) Gọi M là điểm trên đoạn AD sao cho
.3=

MD
AM
Tính khoảng cách từ M đến
mp
( )
CAB'
.
ĐH Đà Nẵng 2002.
Cho tứ diện S. ABC có SC = CA = AB =
2a
,
( )
ABCSC ⊥
, tam giác ABC vuông tại
A, M thuộc cạnh SA và N thuộc cạnh BC sao cho AM = CN = t ,
( )
at 2;0∈
.
4
Hình học không gian 11. Quan hệ vuông góc.
a) Tính MN theo a và t.
b) Tìm t để Mn ngắn nhất.
c) Khi Mn ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của BC và
SA.
ĐH Vinh KA,B 2001.
Trong mp(P) cho nửa đường tròn (C) đường kính AC, B là điểm thuộc đường tròn (C).
Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mp (P), lấy một điểm S, gọi H, K lần lượt là
chân đường vuông góc hạ từ A xuống các đường thẳng SB và SC.
a) chứng minh rằng các tam giác SBC, AHK là các tam giác vuông.
b) Tính HK theo AC và BC.

c) Xác định vị trí của B trên (C) sao cho tổng diện tích hai tam giác SAB và CAB
lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
CĐSP NTMGTW I.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M là một điểm bất kỳ
thuộc đoạn AB.
a) Đặt AM = m,
( )
am ;0∈
. Tìm giá trị của m theo a để góc giữa hai đường thẳng
DM và AC’ bằng
0
60

b) Khi M là trung điểm của AB, hãy tính diện tích thiết diện của hình lập phương
cắt bởi mp (B’DM).
ĐH Đà Lạt 2000.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
( )
ABCDSA ⊥
, AB=a, AD= b,
SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SA. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện
là hình gì? Tính diện tích thiết diện ấy.
ĐH Huế 2000.
Cho tứ diện SABC có
ABC
∆
vuông cân tại B, AC = 2a, SA = a và
( )
ABCSA ⊥
.

a) Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC)
b) Gọi O là trung điểm của AC. Tính
( )( )
SBCOd ,
.
HVCTQG TPHCM 2000.
Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang vuông,
.
2
1
aADBCAB ===
Cạnh bên
2aSA =
và
( )
ABCDSA ⊥
.
a.Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b.Lấy M thuộc cạnh BC, BM = x,
( )
ax ;0∈
. Gọi (P) là mp qua M sông song với SA và
CD cắt AD, SD, SC lần lượt tại N, P, Q. Tính diện tích MNPQ theo a và x.
ĐH NN I. KA.2000
Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên
5aSA =
.Một mp(P) qua AB và vuông góc với mp(SCD). (P) lần lượt cắt SC và SD tại O’ và
D’. Tính diện tích tứ giác ABC’D’.
5
Hình học không gian 11. Quan hệ vuông góc.

HVQHQT KD. 2000.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với các cạnh bằng a. Giả sử M, N, P, Q lần
lượt là trung điểm của các cạnh A’D’, D’C’, C’C, AA’.
a) Chứng minh rằng 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chu vi
tứ giác MNPQ theo a.
b) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a.
ĐH KD. 2007. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc BAC = góc BAD =
0
90
. BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và
.2aSA =
Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a
khoảng cách từ H đến mp(SCD).
6