Bài giảng Bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian

QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Tính góc giữa hai đường thẳng.
PP:
*) Tính góc giữa hai đường thẳng:
- Đưa về tính góc trong một tam giác rồi sử dung định lý cosin trong tam giác.
- Đưa về tính góc giữa hai véc tơ.
*) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
- Sử dụng ĐL về liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc
/ /a b
c b
c a

⇒ ⊥

⊥

- Chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó bằng 90
0
.
Bài 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng nhau.
CMR: AC ⊥ B’D’; AB’ ⊥ CD’; AD’ ⊥ CB’
Bài 2: Cho tứ diện ABCD đều cạnh a. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, CD,
AD, BC, CA.
a) CMR: MN ⊥ RP và MN ⊥ RQ
b) CMR: AB ⊥ CD
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=CD = a; AC= BD = b; AD=BC= c.
a) CMR các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với 2 cạnh đó.
b) Tính cos của góc hợp bởi các đường thẳng AC và BD.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. AB = CD = 2a. MN = a
3

. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Bài 5: Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD.
a) CMR: AO ⊥ CD.
b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính cos của góc giữa AC và BM.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. SA = AB và SA ⊥ BC.
a) Tính góc giữa SD và BC.
b) Gọi I, J là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ//BD. Chứng minh góc giữa AC và IJ
không phụ thuộc vào vị trí của I, J.
Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a.
¼
0
60BAD =
;
¼
¼
0
AA' AA' 120B D= =
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A’D; AC’ với B’D.
b) Tính diện tích các hình A’B’CD và ACC’A’.
c) Tính góc giữa đường thẳng AC’ và các đường thẳng AB, AD, AA’.
Bài 8: Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trên hai mặt phẳng
khác nhau.
a) CMR: AD ⊥ CB
Page 1
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
b) Gọi M, N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và DB sao cho
MA k MB=
uuur uuur
;

ND k NB=
uuur uuur
. Tính góc giữa MN và BC.
Dạng 2: Các bài toán về thiết diện và tính diện tích thiết diện.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD. Có đáy ABCD là hình bình hành. AB = a. AD = 2a. SAB là tam
giác vuông cân ở A. M ∈ AD. Mặt phẳng (α) đi qua M // (SAB) và giao với BC, SC, SD tại N,
P, Q.
a) CMR: MNPQ là hình thang vuông.
b) Đặt x = AM. Tính diện tích MNPQ theo a, x.
Bài 10. Cho tứ diện ABCD trong đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng α. Gọi M là 1
điểm bất kỳ thuộc cạnh AC, đặt AM = x (0 < x < AC). Xét mặt phẳng (P) đi qua M và song song
với AB, CD.
a) Xác định vị trí của M để diện tích thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi (P)
đạt giá trị lớn nhất.
b) Chứng minh rằng chu vi của thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi
AB = CD.
Bài 11: Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại
A. Với điểm M bất kỳ thuộc cạnh AD (M khác A và D), xét mặt phẳng (α) đi qua M và song
song với SA và CD.
a) Thiết diện của hình chop S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α ) là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a và b. Biết: AB = a, SA = b. M là trung điểm của AD.
Bài 12: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD. AB = a, CD = b. I, J là trung điểm của AB và CD. M
tùy ý thuộc đoạn IJ. (α ) là mặt phẳng đi qua M và song song với AB và CD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (ICD).
b) Xác định thiết diện của (α) với tứ diện ABCD. Chứng minh thiết diện là hình chữ
nhật.
c) Tính diện tích thiết diện biết IJ = 3IM.
Bài 13: Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông ở , góc ABC = 60
0
, AB = a. Gọi

O là trung điểm của BC. SB = a và SB vuông góc với OA. Gọi M là 1 điểm ∈ AB. Mặt phẳng
(α) đi qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA tại N, P, Q. Đặt x = BM với 0 < x < a.
a) CMR: MNPQ là hình thang vuông.
b) Tính diện tích hình thang MNPQ theo a, x.
c) Tìm x để diện tích này lớn nhất.
Page 2