KHẢO SÁT TRẠNG THÁI NHIỆT CỦA MẶT ĐƯỜNG BÊ TÔNG XI MĂNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN pptx

KHẢO SÁT TRẠNG THÁI NHIỆT
CỦA MẶT ĐƯỜNG BÊ TÔNG XI MĂNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

ThS. NGUYỄN ĐĂNG KHOÁT
PGS. TS. TRỊNH VĂN QUANG
Bộ môn Kỹ thuật Nhiệt

Khoa Cơ khí
Trường Đại học Giao thông Vận tải

Tóm tắt: Bài báo trình bày cách sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để đánh giá
trạng thái nhiệt của mặt đường bê tông xi măng dưới tác động của thay đổi nhiệt độ không khí
và bức xạ măt trời.
Summary: The paper presents the way to use the finite element method to study thermal
state of the concrete surface of the road under impact of the varying air temperature and solar
radiation.

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Bài toán trạng thái nhiệt mặt đường đến nay đã có nhiều tác giả nghiên cứu [1], [2], Với
mục đích mở rộng các phương pháp tính nhiệt, bài viết trình bày cách sử dụng phương pháp
(phương pháp) phần tử hữu hạn (PTHH) trong tính nhiệt, để xác định nhiệt độ và đưa ra các nhận
định về trạng thái nhiệt của tấm bê tông (BT) dưới tác động của các yếu tố khí hậu thay đổi.
CT 2
II. PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT
2.1. Giới hạn bài toán, dữ liệu ban đầu
+ Khảo sát tấm BT dày L = 0,3m, dài và rộng 7,5m đặt trên nền đất; BT có hệ số dẫn nhiệt
k = 1,265W/m
0
C; khối lượng riêng ρ = 2200kg/m

3
; nhiệt dung riêng c = 1215J/kg
0
C; mặt trên
toả nhiệt với không khí với h = 7,89W/m
20
C, và hấp thụ tia mặt trời với ε = 0,65. Nền đất có:
k
N
= 0,52W/m
0
C; ρ
N
= 2050kg/m
3
; c
N
= 1840J/kgđộ. Ở độ sâu đủ lớn nền đất có nhiệt độ không
đổi là 28,8
o
C. Nhiệt độ không khí T
K
, bức xạ mặt trời E trong ngày tháng 6 thay đổi theo số liệu
của ngành khí tượng, bảng 1, tốc độ gió trung bình w = 2,4 m/s.
Bảng 1
Giờ
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
C)( T
0
K

26,3 26,5 27,2 27,7 28,5 29,4 30,1 30,7 31,3 31,8 32,0 31,7
E(W/m
2
) 0 34,89 209,3 407,0 610,5 779,2 895,5 930,4 872,2 744,3 593,1 401,2
Giờ
17 18 19 20 21 22 23 24 1 2 3 4
C)( T
0
K

31,3 30,2 29,6 28,8 28,4 28,2 27,6 27,2 27,0 26,8 26,5 26,4
E(W/m
2
) 203,5 58,15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Truyền nhiệt qua tấm BT có bề dày nhỏ hơn rất nhiều so với bề rộng và dài, được mô tả bởi



phương trình vi phân dẫn nhiệt một chiều:
2
2
T
ρ.c k
τ
x
T
∂
∂
=

∂
∂
(1); với x là bề dày tính từ mặt trên.
Điều kiện biên toả nhiệt và bức xạ tại mặt trên x=0, là:
(
mK
T
kqhTT
x
∂
−=+ −
∂
)
(2). Với T, T
m
và
T
K
tương ứng là nhiệt độ trong tấm bê tông, nhiệt độ bề mặt và không khí (
o
C), τ là thời gian (s),
x là chiều sâu kể từ mặt tấm (m), q dòng bức xạ mặt trời (W/m
2
).
2.2. Phương pháp phần tử hữu hạn
1. Rời rạc miền nghiệm
Bề dày tấm bê tông được rời rạc thành 12 phần tử (PT) ký hiệu 1,2,3, mỗi PT dài
là l = 0,3m/12 = 0,025m, và 13 nút ký hiệu 1,2,3,…,13. Nền đất chọn một PT thứ 13, dài l và
nút 14, hình 1.

Hình 1. Sơ đồ rời rạc lớp bê tông thành các PTHH
2. Chọn hàm nội suy
Chọn hàm bậc nhất:
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−==
ll
xx
1NNN
ji
(3); với l là chiều dài của một PT, x là
toạ độ trong phần tử, nên nhiệt độ là
[

]
{
}
TNTNTNT
jjii
=
+
=
(4); T
i
và T
j
là nhiệt độ tại hai
nút của PT. Đạo hàm của hàm nội suy [B], gradient nhiệt độ [g] là

[][
B11
l
1
x
N
x
N
x
N
j
i
=−=
⎥
⎦

⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
]
(5);
[] []
{}
[]
gTB
T
T
11
l
1
T
x
N
T
x
N
x
T

j
1
j
j
i
i
==
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
(6)
CT 2
3. Thiết lập phương trình đặc trưng của phần tử

Có nhiều phương pháp thiết lập Phương trình ma trận đặc trưng của phần tử. Trong tính
nhiệt, phương pháp Biến phân (Rayleigh Ritz) và Galerkin là hai phương pháp quan trọng nhất
vì cho kết quả chính xác như nhau. Ở đây chọn phương pháp Galerkin, lấy hàm trọng số là hàm
nội suy N
i
.
Phương pháp Galerkin yêu cầu (1) thoả:
0dV
τ
T
ρc
x
T
kN
2
2
V
i
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−

∂
∂
∫
(7)
Lấy tích phân từng phần số hạng đầu của (7) có

dydzdx

x
N
.
x
T
kdS
x
T
kNdydz
x
T
kdNdV
x
T
x
kN
V
i
S
i
V
i

V
i
∫∫∫∫
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂

đối lưu, bức xạ. Điều kiện biên (2) tr

(8)
S là diện tích mặt ngoài có ở thành:

()
dSTThNqdSNdS
x
S
i
S
i
∂
T
kN
K
S
i
−−−=
∂
∫∫∫
(9)



CT 2
(4), (8) và (9) vào (7) sắp xếp lại sẽ được:

Thay

()
[]
()
()
()
{}
dSThNqdSNτTdSNhN dV
x
N
x
N
k
τ
τT
dVNρ.cN
K
S
i
S
ij
S
ji
V
j
i
j
V
ji
∫∫∫∫∫
+−=

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂
∂
(10)
iết (10) gọn dạng ma trận là

V :
[] []
{} {}
fTK
τ
T
C =+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂
∂

(11)
1) là Phương trình ma . Trong đó: [C] gọi là ma trận nhiệ

(1 trận đặc trưng của phần tử t
dung,
[] []
[
]
(
)
[
]
∫
=

V
T
NNρ.cC
g,
[]
dV
(12); [K] là ma trận độ cứn
[][]
(
)
[][]
()
TT
VS
K
⎡
kBBdVhNNdS
⎤
=+
⎢
⎥
⎣
⎦
∫∫

(13)
[]
[
]
dSTNhqdSN

; {f} là véc tơ tải nhiệt,
{}
f −=
K
S
T
S
T
∫∫
+
(14).
ạn (SPHH) hay PTHH.
phương pháp SP
Theo phương pháp SPHH thì
4. Rời rạc theo thời gian
Có thể rời rạc (11) bằng phương pháp Sai phân hữu h
a. Rời rạc theo thời gian bằng HH
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
Δ
−
≈
⎭
⎬
⎫
⎩

⎨
⎧
∂
∂
+
ττ
Pp
TTT
1
… (11) trở thành:


[] []
{}{}
[
]
[
]
{
}
{
}
{
}{}
(
)
p1pp1p
fξ)(1fξΔτTKξ)Δ− τ(1CTKξ.ΔτC −++−=+
++
(15)

Trong đó Δτ là bước thời gian ứng với hai thời điểm liên tiếp p và (p+1); ξ= 0÷1 là tham
số tùy chọn: ξ= 0÷1. Nếu lấy ξ=1 không cần điều kiện hạn chế chọn bước thời gian Δτ.
b. Rời rạc bằng phương pháp PTHH: Có các phương pháp số dư trọng số khác nhau để rời
rạc (11) theo thời gian. Dùng Galerkin, hàm trọng số là hàm nội suy bậc nhất của thời gian
N
τ
:
[
]
1pp
NNN
+
=
τ
(16), phương pháp Galerkin yêu cầu (11) thoả:

[] []
{} {}
0fTK
τ
T
CN
Δτ
0
p
=
⎭
⎬
⎫
⎩

⎨
⎧
−+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂
∂
∫
τ
d
(17)
Thay (4), (5) và (16) vào (17), biến đổi được:
[
]
[
]
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫

⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+++ 1p
p
1p
p
1p
p

f
f
T
T
21
12
3
K2
T
T
11
11
Δτ
C
(18)
Dẫn tới
[] []
{}
[] []
{}
(
)
Δτff
2
1
TKΔτCTKΔτC
1ppP1p ++
++−=+
(19)
(19) yêu cầu Δτ phải chọn đủ nhỏ để nghiệm hội tụ. Có thể tìm nghiệm T

p+1
từ (15) hoặc (19)
5. Tính các số hạng trong phương trình ma trận đặc trưng của phần tử một chiều
a. Ma trận nhiệt dung phần tử [C] . Thay các số liệu của bê tông và nền đất tính được
- Bê tông :
[]
(20); - Nền đất: (21)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
2227611138
1113822276
121
C
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
3143415717
1571731434
13

C
b. Ma trận độ cứng phần tử [K]: - Các PT 1, 2÷12 và 13 tương ứng là




[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−

−
=
50,650,6
50,658,49
00
01
hA
11
11
l
Ak
K
1
(22);
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

−
−
=
−
50,650,6
50,650,6
11
11
l
Ak
K
122
(23)

[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−

=
20,8 20,8 -
20,8 -20,8
11
11
l
Ak
K
13
(24). Với A là diện tích truyền nhiệt, A = 1m
2
c. Véc tơ phụ tải nhiệt {f}: (25);
(26)
{}
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
⎭

⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−=
0
qAAhT
0
1
AhT
0
1
qAf
K
K
1
{}
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
0
0
f
13-2
6. Lắp ghép các phần tử

- Ma trận nhiệt dung toàn hệ:
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
4143415717000000000000
15717637101113800000000000
01113844552111380000000000
00111384455211138000000000
000111384455211138000000
00
00001113844552111380000000
00000111384455211138000000
00000011138445521113800000
00000001113844552111380000
00000000111384455211138000
00000000011138445521113800
00000000001113844552111380

00000000000111382227611138
0000000000001113822276
C


(27)
- Ma trận độ cứng toàn hệ [K], véc tơ phụ tải tổng {f}, sau khi áp đặt điều kiện biên tại lớp
nền có T
N
=T
14
= 28,8 sẽ được các ma trận (28) và (29) dưới đây.
CT 2
7. Giải hệ phương trình
Vì số liệu cho theo giờ (bảng 1), tức Δτ = 3600s, nên chọn (15) để giải sẽ thuận tiện hơn
(19). Từ (15) suy ra:
{
}
[]
[
]
{}
[
]
{
}
{
}
(
)

1pp11P
fΔτTC*KΔτCT
+−+
++=
(30)
Lấy {T}
p=0
=28,8
o
C, thay (25), (26) và (27) vào (30), lập trình và giải (30) trên Matlab qua
192 thời điểm. Kết quả được lập thành bảng và đồ thị.
[]
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
⎢
⎣
⎡
=
0000000000000
71.4-50.600000000000
-50.6101.2-50.60000000000
0-50.6101.2-50.6000000000
00-50.6101.2-50.600000000
000-50.6101.2-50.60000000
0000-50.6101.2-50.6
000000
00000-50.6101.2-50.600000
000000-50.6101.2-50.60000
0000000-50.6101.2-50.6000
00000000-50.6101.2-50.600
000000000-50.6101.2-50.60
0000000000-50.6101.250.6-
00000000000-50.658.49
K

(28)
{}
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
28,8
599,04
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q7,89.T
K
f

(
(29)
III. KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VÀ CÁC NHẬN XÉT

3.1. Diễn biến và thay đổi nhiệt độ tại 14 nút sau 192 thời điểm
Diễn biến và thay đổi nhiệt độ tại 14 nút sau 192 giờ thể hiện trên hình 2 và 3. Từ đó rút ra
các nhận xét:
1. Thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại 14 nút là 14 đường dao động, gồm 8 chu kỳ tương
ứng 8 ngày đêm. Từ chu kỳ 5 trở đi, dao động trong các chu kỳ tuân theo cùng một quy luật,
nhiệt độ tại mỗi nút ở cùng thời điểm tương ứng trong ngày đã hội tụ tới giá trị ổn định.
2. Kể từ chu kỳ thứ năm, có thể chọn nhiệt độ tại 24 thời điểm liên tiếp để đại diện cho thay
đổi nhiệt độ trong tấm bê tông qua một ngày đêm điển hình mùa hè. Ở đây chọn từ thời điểm
154 đến 177.
3.2. Đặc tính thay đổi nhiệt độ trong tấm bê tông qua một ngày đêm điển hình tháng 6
Đặc tính thay đổi nhiệt độ được biểu thị trên hình 4 và 5. Có thể rút ra nhận xét sau:
1. Thay đổi nhiệt độ tại mặt trên cùng là hàm chu kỳ, không biểu thị là hàm số cosin của
thời gian τ, nhưng càng vào sâu trong tấm BT, dạng dao động nhiệt độ càng tiến tới hình sin.
2. Thời điểm nhiệt độ đạt cực đại chậm dần từ mặt trên cùng qua các lớp giữa, muộn nhất
là mặt dưới cùng. Phân bố nhiệt độ tại mọi thời điểm trong ngày luôn là đường cong, hình 5.


Hình 2. Toàn cảnh diễn
biến nhiệt độ sau 192 giờ
Hình 3. Thay đổi nhiệt
độ 14 nút sau 192 giờ
Hình 4. Thay đổi nhiệt
độ tấm BT 1 ngày đêm
Hình 5. Phân bố nhiệt độ
tại các thời điểm
CT 2
3.3. Trao đổi nhiệt của tấm bê tông

Trao đổi nhiệt của tấm BT với môi trường trong một ngày đêm điển hình thể hiện trên hình
6. Có thể thấy: Trong một ngày đêm, tấm BT nhận nhiệt trong 11 tiếng, từ 7h sáng đến 17h
chiều (q > 0), thải nhiệt trong 13 tiếng, từ 18h đến 6h sáng hôm sau (q < 0). Tốc độ nhận nhiệt
tăng rất nhanh vào buổi sáng, giảm vào chiều. Nhiệt nhận lớn nhất lúc 11,12 h. Tốc độ toả nhiệt
toả nhiệt ra môi trường khá đồng đều.
Đương nhiệt độ trung
bình tuyến tính T
TB
Miền bi nén
Miền bi kéo
Đường cong
nhiệt độ thực
Thiêt diên phẳng
trước biến dạng
Thiêt diện phẳng
sau biến dạng
T
m1
T
m2
L


CT 2

3.4. Nhận định về biến dạng nhiệt cục bộ của tấm BT
Hình 6. Lượng nhiệt tấm BT trao đổi
với môi trường trong một ngày đêm

Hình 7
a. Biến dạng nhiệt cục bộ : Theo lý thuyết biến dạng nhiệt [2], [3], khi phân bố nhiệt độ là
đường cong, thì trong vật liệu sẽ xuất hiện biến dạng nhiệt cục bộ ε
T
và ứng suất nhiệt riêng σ
T
.
Nếu ε
T
> ε
Kth
(ε
Kth
là biến dạng kéo tới hạn), (hoặc σ
T
> [σ] ([σ] là ứng suất cho phép)), vật liệu
sẽ bị rạn nứt, phá huỷ. Biến dạng nhiệt cục bộ xác định bởi ε
T
= β
T
ΔT (26); với β
T
là hệ số giãn
nở nhiệt, ΔT là chênh lệch nhiệt độ cục bộ: ΔT(x) = T
TB
(x) – T(x) (27); với T(x) là nhiệt độ
thực, là đường cong, T
TB
(x) là đường nhiệt độ trung bình tuyến tính, đó là đường thẳng song
song với thiết diện phẳng sau biến dạng [2],[3], hình 7, xác định bởi:

x
L
TT
TT
m2m1
m1TB
−
−=

(28); T
m1
, T
m2
là trị số nhiệt độ trung bình tuyến tính hai tại mặt 1 và 2 của tấm BT. Từ (26)
thấy, khu vực có T
TB
(x)>T(x), sẽ bị kéo, ngược lại, khu vực có T
TB
(x)<T(x) sẽ bị nén, hình 7.
b. Đặc điểm các miền bị kéo và bị nén xuất hiện trong tấm bê tông: Do phân bố nhiệt độ
trong tấm BT luôn là đường cong, nên trong tấm BT luôn xuất hiện các miền bị kéo và nén. Một
số trong các kết quả tính toán được thể hiện trên đồ thị, hình 8÷11. Có thể rút ra các nhận xét:
1. Nơi phân cách giữa hai miền bị kéo và bị nén là vị trí có ΔT=0. Vị trí này thay đổi liên
tục, nghĩa là miền bị kéo và nén trong tấm BT trong ngày biến đổi liên tục và luân phiên nhau.
2. Từ 7h sáng đến 13h chiều, lớp mặt trên dày 5cm tấm BT bị nén do nhận nhiệt rất mạnh
từ môi trường (ΔT<0). Lớp kế tiếp dày 15 - 20cm bị kéo do ΔT>0 , lớp dưới cùng dày bị nén.
3. Từ 13h chiều, phần trên tấm BT bị kéo do tốc độ nhận nhiệt giảm. Sau 16h miền bị kéo
thu hẹp lại còn khoảng 5cm tại mặt trên cho đến 4h sáng, sau đó chuyển sang bị nén. Các lớp kế
tiếp bị nén từ sau 18h đến 6h sáng hôm sau.
c. Biến dạng nhiệt cục bộ trong tấm bê tông: Biến dạng nhiệt cục bộ (BDCB) tại các vị trí

trong tấm BT theo thời gian trong ngày, với β
T
= 10
-5
[4], được thể hiện trên các hình 12 ÷ 15.



Biến dạng kéo tới hạn ε
Kth
phụ thuộc vào nhiều yếu tố và loại bê tông, ở đây lấy giả định theo
[4], BT mác 200 có ε
Kth
= 2,4.10
-4
. Từ các đồ thị có thể rút ra các nhận xét sau:
1. Các lớp trong tấm BT luôn bị kéo, nén luân phiên nhau và thay đổi liên tục trong một
ngày đêm, có thể gây nên hiện tượng mỏi nhiệt.
2. Biến dạng nhiệt cục bộ do bị kéo lớn nhất tại bề mặt ε
T
= 0,5467.10
-4
vào lúc 18h nhỏ
hơn biến dạng kéo tới hạn, hình 14, nên không gây rạn nứt phá huỷ, nhưng do bị kéo, nén luân
phiên gây mỏi nhiệt, lâu dần bề mặt rất dễ bị rạn nứt.

Hình 8. Lúc 10h Hình 9. Lúc 12h trưa Hình 10. Lúc 16 giờ Hình 11. Lúc 20h

Hình 12. BDCB lúc 6h Hình 13. BDCB lúc10h Hình 14. BDCB lúc18h Hình 15. BDCB lúc 22h
CT 2

IV. KẾT LUẬN
Việc khảo sát trạng thái nhiệt tấm BT bằng phương pháp PTHH, cho phép rút ra kết luận sau:
- Với cùng bước thời gian, kích thước hình học phần tử của cùng một bài toán [2], khảo sát
bằng phương pháp PTHH cho các kết quả chính xác như phương pháp SPHH, các nhận định
hoàn toàn phù hợp nhau .
- Phương pháp PTHH có ưu điểm không phải tính thể tích, diện tích phân tố như phương
pháp SPHH.
- Phương pháp PTHH có thể áp dụng cho các vật thể có hình dạng bất quy tắc nên khả
năng tính toán mở rộng hơn so với phương pháp SPHH.


Tài liệu tham khảo




[1]. Trần Đình Bửu, Nguyễn Quang Chiêu. Khai thác và sửa chữa đường ô tô, NXB ĐH-THCN 1984.
[2]. Trịnh Văn Quang. Kết quả tính toán trạng thái nhiệt của tấm bêtông dưới tác động của điều kiện khí
hậu thay đổi. Tạp chí Cầu Đường Việt nam. Số 11,12, 2001.
[3]. С.А.Фрид.температурные напряжения в бетонных и железобетонных конструкциях
гидротехнических сооружений государствнное. Энергетическое издтелЬство. Москва 1959.
[4]. Lê Văn Cung. Khống chế nhiệt độ đập bê tông Thác bà. Báo cáo Hội nghị KHXD 1985.
[5]. RW Lewis, P.Nithiharasu and Seetharamu. Fundametals of The Finite Element Method for heat and
fluid flow. John Wiley & Sons, Ltd. 2004
♦
CT 2