CÁC ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG TĨNH CƠ CẤU SONG SONG KHÔNG GIAN 4 BẬC TỰ DO ppt

CÁC ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG TĨNH CƠ CẤU SONG SONG
KHÔNG GIAN 4 BẬC TỰ DO

ThS. ĐỖ TRỌNG PHÚ
Bộ môn Thiết kế Máy - Khoa Cơ khí
Trường Đại học Giao thông Vận tải
GS. TSKH NGUYỄN VĂN KHANG
Bộ môn Cơ học Ứng dụng - Khoa Cơ khí
Trường Đại học Bách khoa

CT 2
I. MỞ ĐẦU
Cân bằng khối lượng của cơ cấu là các biện pháp làm giảm hoặc triệt tiêu véctơ lực quán
tính chính và véctơ mômen lực quán tính chính của các khâu động của cơ cấu. Bài toán cân
bằng khối lượng của các cơ cấu máy đã được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm, nhiều công trình
nghiên cứu cân bằng khối lượng của cơ cấu được công bố trên nhiều tạp chí chuyên khảo.
Một đánh giá tổng quan các nghiên cứu về cân bằng khối lượng cơ cấu được trình bày
trong công trình [1, 2, 3, 6] và nhiều công trình khác. Các kết quả cân bằng lực quán tính các cơ
cấu chấp hành song song ba, bốn và sáu bậc tự do bằng cách thêm vào các khối lượng phụ trên
các khâu đã được đăng tải trong các công trình [4, 5].
Các tay máy song song không gian ngày càng có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực cơ khí. Do
đó sự cân bằng khối lượng cơ cấu hoặc tay máy song song không gian trở thành một nhiệm vụ
quan trọng. Trong bài báo này thiết lập một dạng các điều kiện cân bằng của các cơ cấu không
gian dựa trên khái niệm véctơ hàm các toạ độ suy rộng dư [3].
II. CÁC ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG HỆ LỰC QUÁN TÍNH CỦA CƠ CẤU KHÔNG GIAN
Xét hệ nhiều vật không gian gồm p khâu, được dẫn động quay. Sử dụng các hệ toạ độ suy
rộng q
1
, q
2, …,

q
q
. Véctơ các toạ độ suy rộng có dạng:
T
12 p
=q,q, ,q
⎡
⎤
⎣
⎦
q
Tóm tắt: Bài báo giới thiệu một phương pháp thiết lập các điều kiện cân bằng tĩnh cho
cơ cấu không gian nhiều bậc tự do. Phương pháp có ưu điểm là thích hợp với việc áp dụng
các chương trình tính toán số đang được sử dụng rộng rãi như Maple, Mathematica. Các điều
kiện cân bằng hoàn toàn lực quán tính của cơ cấu song song không gian 4 bậc tự do được
trình bày trong một thí dụ áp dụng.
Summary: This paper presents a method for deriving the static balancing conditions of
spatial mechanisms with multi - degree - of - freedom. The method has advantage of being
suitable for the applications of the widely accessible computer algebra systems such as Maple,
Mathematica. In the example, the static balancing conditions for complete shaking force of a
spatial four - degree - of - freedom parallel mechanism are given.
(2.1)



Biểu thức cân bằng lực quán tính theo [6]:
pp
*
ii ii
i=1 i=1

d
Fma0 mv
dt
0
=
−=⇒
∑∑
r
r
r
=
p
i=1
(2.2)
Do là điều kiện đủ, từ (2.2) có thể suy ra:
ii
m0
=
∑
(2.3)
v
Viết lại (2.3) dưới dạng: (2.4)
ppp
iSi iSi iSi
i=1 i=1 i=1
mx =0, my =0, mz =0
∑∑∑
&&&
Việc biểu diễn vị trí (
r ), vận tốc ( ) của khối tâm của khâu thứ i của một cơ cấu

dưới dạng giải tích
tường minh rất khó thực hiện. Để biến đổi các điều kiện cân bằng dạng vi
phân về
dạng đại số, ta cần sử dụng số toạ độ suy rộng lớn hơn số bậc tự do của hệ.
i
S
i
S
v
i
S
Sử dụng ma trận côsin chỉ hướng để xác định vị trí khối tâm của khâu thứ i đối với hệ
toạ độ cố định theo hệ thức:
rr (2.5) trong đó là véctơ toạ độ của điểm gốc
của hệ toạ độ động
{
i
S
()
ii
i
SO iS
=+Ar
i i
O
r
i
O
}
iii

O ξηζ
i
gắn liền với khâu thứ i đối với hệ toạ độ cố định
{
}
Oxyz và r
là véctơ toạ độ của điểm trên hệ toạ độ
động
()
i
i
S
i
S
{
}
iiii
O ξηζ
iii
SSS
ξη
⎡
⎣
như trên hình 2.1. là
ma trận cosin chỉ hướng của khâu thứ
i:
(2.6)
i
A
()

i
= ζr
i
T
S
⎤
⎦
Chọn một véctơ hàm các toạ độ suy
rộng dư bao gồm
các phần tử là hàm của các toạ độ suy rộng
dư, sao cho vị trí của khối tâm có thể
biểu diễn dưới dạng:
Hình 2.1. Định nghĩa hệ trục toạ độ không gian
[]
T
12 m
z z z=z
i
S
CT 2
(2.7)
iii
*T *T *T
Sxii Syii Szii
x = e + , y = e , z = e , i = 1,2, , p++az bz cz
Véctơ có các thành phần không phụ thuộc vào toạ độ suy rộng , các thành phần
của véctơ là các hàm của các toạ độ suy rộng, và là hằng số.
iii
,,abc
z

q
**
yi
e,e
xi
*
zi
e
Tương tự như cách biểu diễn phương trình (2.7), các phương trình liên kết của cơ cấu có
thể viết dưới dạng ma trận:
[
]
=,
*
III
Dz + f 0 D = D D
(2.8)
Các ma trận
D và f chỉ gồm các phần tử là các tham số hình học của cơ cấu và không phụ
thuộc vào toạ độ suy rộng . Phân véctơ
z thành hai nhóm:
*
q
[
]
T
z= v w
(2.9) với v là véctơ
hàm các toạ độ suy rộng tối thiểu, (2.7) có thể viết lại dưới dạng:
(2.10)

ii i
*T T *T T *T T
SxiiI iII SxiiI iIISxiiI iII
x = e + , y = e , z = e , i = 1,2, ,p+++++av a w bv bw cv cw
Trong đó:
[
]
[
]
[
]
TT
i iI iII i iI iII i iI iII
,,===aaa bbb ccc
T
(2.11)



Phương trình liên kết (2.8) có thể viết lại dưới dạng:
III
*
0
+
+Dv Dw

M
=f
(2.12)
a trận được chọn sao cho là ma trận vuông không suy biến, số phần tử của véctơ

chín
II
D
ươ
w
tơh là số ph ng trình biểu diễn liên kết hình học của cơ cấu. Từ (2.12) có thể biểu diễn véc
w qua véctơ v như sau:
(
)
1*
II I
−
=− +wDfDv (2.13)
Thế (2.13) vào (2.10) ta được:
T
+
(2.14)
Từ đó suy ra:
iii
TT
Sxii Syii Szii
x=e ,y=e ,z=e++gv hv kv

()
i
TTT
Si S i 12 n
, , q ,q , ,q
ii
Si

,
∂∂
′′′
====
∂∂∂
vv
xg yh zk q
qqq
(2.15)
Trong đó và có dạng:
−
−
−
(2.16)
Thế phương trình (2.15) vào các điều kiện cân bằng (2.4) thu được:

∂v
ii
,gh
i
k
T T T1 T T T1 T T T1
i iI iII II I i iI iII II I i iI iII II I
* T 1* * T 1* * T 1*
xi xi iII II yi yi iII II zi zi iII II
,,
e=e , e=e , e=e
−−
−−
=− =− =−

−−
gaaDDhbbDDkccDD
aDf bDf cDf
pp p
TT T
ii ii ii
i=1 i=1 i=1
m0,m0,m
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞
∂∂
0
∂
=
==
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟
∂∂
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠
∑∑∑
vv
gh k
qq∂
v
q
(2.17)
Để cho điều kiện (2.17) được thoả mãn với mọi giá trị của v

T
k
(2.18)
Các phương trình (2.18) chính là các điều kiện cân bằng lực quán tính của cơ cấu dưới

dạng
III. CÂN BẰNG CƠ CẤU SONG SONG KHÔNG GIAN BỐN BẬC TỰ DO
ơ cấu gồm 5
chân
i tâm của mỗi khâu, trên mỗi khâu định nghĩa một toạ độ tham chiếu. Hệ
trục
thì:

TT
ii ii i i
i=1 i=1 i=1
m = 0, m = 0, m = 0
∑∑∑
gh
ppp
CT 2
đại số. Việc dẫn ra các phần tử của
i
g ,
i
h và
i
k là tương đối phức tạp về mặt toán học,
thí dụ trong mục 3 sẽ cho thấy phương phá nà rất phù hợp với hệ chương trình như Maple. p y
Xét cơ cấu song song không gian 4 bậc tự do dẫn động quay như hình 3.1. C
liên kết bệ máy với bàn máy động, trong đó 4 chân được dẫn động. Mỗi chân nối với bàn
máy cố định bằng một khớp bản lề và nối với bàn máy động bằng một khớp cầu. Chân 5 không
được dẫn động và chỉ gồm một khâu, bốn chân được dẫn động đều gồm có 2 khâu, nối với nhau
bằng khớp các - đăng.
Để mô tả vị trí khố

toạ độ cố định Oxyz với trục z hướng lên trên và gốc toạ độ
O
được đặt tại tâm của khớp
bản lề của chân thứ 5 n trên hình .2. Hệ toạ độ di động
Oxyz
hư 3
′
′′′
ược gán với bàn máy động
tại điểm
O
′
thuộc bàn máy động.
Toạ đề - các của bàn máy
đ
độ động được xác định qua vị trí của gốc O' so với hệ toạ độ cố
định
Oxyz và được ký hiệu là
[
]
T
x, y,z=p , hướng của bàn máy động (hướng của hệ toạ độ



động z
′′
với hệ toạ
độ cố định) đ h
qua ma trận quay Q . Các

phần tử của ma trận quay
là các ủa các góc
Euler, các bất biến bậc
hai, bất biến tuyến tính
hoặc các thành phần
khác.
Toạ độ các điểm nối
i
P trong hệ toạ độ động
của bàn máy động được
ký hiệu là
(
O x y
′′
ư
hàm c
ợc xác địn

)
iii
a,b,c với
CT 2
i
=
1, ,5. Khi đó:
H h 3.1. Sơ đồ cơ cấu song song không gian 4 bậc tự do dẫn động quay
)
5
, i 1, ,4
′

=
pQ (3.1)
trong đó
p
là
ìn
ểm trong hệ toạ
độ c
(
i
′
p
ctơ v
,
i5
=+
p
i
định Ox
−
p
vé ị trí của các đi
ố yz
i
i
P
′
p
củ
h 3.

ơ vị
là véctơ vị trí
Véct ệ toạ độ cố định
như

ứ 5 nằm trên đường nối giữ và , khi đó có
thể trí khối tâm
của các điểm
i
P
trong hệ to độ động O x y z
′′′′
:
[][]
T
iiii i ii
xyz , abc
==pp
(3.2)
ạ

5
p là vị
mô tả trên hìn
=
xác định véct
T
i
′
ơ trí a điểm

5
P trong h
2, được xác định theo:

[]
T
55 5
lcosα 0lcosp (3.3)
Giả thiết rằng vị trí khối tâm của chân th
α
a
O
5
P
H
ình 3.2. Hệ toạ độ gắn với chân thứ 5
5c
55
l
l
⎛⎞
=
⎜⎟
rp
(3.4
của chân thứ 5 theo hình 2 như sau:
5
⎝
Trong đó
5

r là véctơ vị trí khối tâm,
5
l là chiều dài của chân và ài từ O tới
⎠
)
là chiều d
khố ủa chân thứ i củ cấu được mô tả như hình 3.3, hai hệ toạ độ am
chiế
5c
l
t
i tâm
5
S .
ạ
âu thứ 2
Hai khâu c a cơ
n
th
thu
i1 i1 i1
O ξηζ và
i2 i2 i2 i2
O ξηζ lần lượt gắ với khâu động thứ nhất và hứ hai của chân ứ i.
Hai gốc to độ
i1
O và
i2
O lần lượt được đặt tại tâm của hai khớp. Giả thiết rằng khối tâm
i2

C
của kh thuộc chân th i (i
=1 , , 4) nằm trên đường nối
i2
O
và
i
P
. Như hình 3.3, sử
dụng các ký hiệu
i2 i i2 i2 i2
l=OP,ξ =O C và gọi
i
Ci2i
l=CP hay
ii2
Ci2C
l=l ξ
i1
ứ
i2
−
.
Các toạ độ củ toạ độ ới bàn ng,
(
ác điểm trong hệ động gắn v máy di độ được ký hiệu là
i
Pa c
)
, và h ng của hệ toạ độ độngướ O x y z

′
′′′
iii
,c với ia,b 1, , 4= đối với hệ toạ độ cố định Oxyz



CT 2
được y
được đặt t của kh
với
ủa trụ của hệ toạ độ cố định với trục
mô tả bằng ma trận qua
Q . Điểm
i1
O
ại tâm ớp bản lề của chân thứ
i. Toạ độ của điểm
i1
O biểu diễn rong hệ to
độ cố định là
()
T
i0 i0 i0
x,y,z , với i 1, , 4= .
Ta cũng dùng ký hiệu
i1
C và ượt
là vị trí khối t hâu d
t

ướ
iữ
ạ
ối

i2
C lần l
i (khâu n
(k
i
âm c a kủa củ
bàn máy cố định) và kh trên hâu nối
với bàn máy động) của chân thứ i. Gọi
i1
θ và
i2
θ lần lượt là các góc giữa khâu động thứ
nhất và khâu động thứ hai của chân thứ với
c z của hệ toạ độ cố định,
i
γ là góc giữa
hướng dương của trục x của hệ toạ độ cố
định với trục
i1
ζ
, và
i
β
là góc g a hướng dương c
âu

trụ
c x
2i
ξ
Hình 3.3. Hệ toạ độ gắn với chân thứ i
,
t
ó,
trong đó giả thiết rằng véc tơ
i1
ζ nằm trong mặ
ký hiệu đ có thể ết các ma trận cosin chỉ hướng:

ii1 i i1 i
i1 i i1 i i1 i
sinγ sinθ si cosθ cosγ
cosγ sinθ cosγ cosθ sinγ ,
−
⎡⎤
⎢⎥
=−
⎢⎥
Q

i2 i i2 i
i2 i i2 i
co sinθ cosβ cosθ sinβ
sinβ sinθ sinβ cos
−
phẳng xy của hệ trục toạ độ cố định. Với các

vi
i1
sθ

i1
γ
sinθ
n
co 0
⎢⎥
⎣⎦
i
i2 i
i2 i2
sβ
θ cosβ
cosθ sinθ 0
⎡
⎤
⎢
⎥
Q =
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎣
⎦
(3.5)

iả thi i tâm c hai của chân thứ i nằm trên đường thẳn
như mô tả đ
Đã g g nối
OP ết rằ ố
trên hìn 3. Khi
ng, kh
h 3.
ủ
ó có th
a khâu th
ể viế
ứ
t:
i1
i2 i
i0 i1 i1
,i 1, ,4
=
+=prQl
định
O
ừ
O
n
(3.7)
ừ à khoảng cách từ ớ
trí củ đượ công thức:
(3.6)
Trong đó
i1

p và
i0
r lần lượt là véctơ vị trí của các điểm
2
O,O đối với hệ toạ độ cố
(hình 3.3),
l
và
l
lần lượt là véctơ từ
O
t ro g hệ toạ độ khâu.
i1 i
tới
i
P
t
i1 i2

ách t
điểm ũng
i1
i1
i1
i1
zz
⎢
⎣
ới
i2

O,
đị
ới
⎥
⎥
⎥
⎦

i2
l l
nh theo
i2
và t
i2

i0
i0 i0 i1 i1 i2
xxll
y , y , , , i 1, ,4
⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤
⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎥
====
⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎥
rpll

c
i
P
c
i1 i2

i0
0 0
00
⎢ ⎢
=
⎢ ⎢
⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥
⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦
Với l là khoảng P i 1, , 4
= ). Véctơ vị
i1
a các

i1
O t
c xác

i2
Oti
i
ii
(
i
p
′
=
+ppQp
(3.8)
Trong đó :
[

]
[
]
TT
iiii
x y z , a b c , i 1, ,4
′
===
pp (3.9)
Véctơ vị ủ , của khâu thứ nhất và của khâu thứ hai
củ a:
trí i tâm c
nh qu
khố
đị
a bàn máy
=+rp
động
PP
Qc ;
P
r
i1
i1
a chân thứ i xác
r
i2
r
i0 i1 i1
=

+ Qbrr ;
i2 i0 i1 i1 i2 i2
=
++rrQ Qbl (3.10)
Trong đó :
Pi1i2
,,cbb lần lượt là véctơ vị trí hối tâm của bàn máy động, của khâu thứ nhất
thứ hai của chân thứ i xác địn oạ độ
k
và gắn liền với khâu. h trong hệ t



CT 2
ng buộcTừ các rà động học của cơ cấu, kết hợp với động học của chuỗi
(
)
i1 i2 i 5
O O PP O i = 1, , 4 , ta có:
(
)
i0 i1 i1 i2 i2 5 i 5
′
′
++ =+−rQlQl pQpp
(3.11)
(3.12)
Chọn hệ toạ độ khối tâm các khâu trên hệ tọa độ động gắn liền với các khâu là :

=b

(3.13)
khâu, toạ độ của trong hệ toạ độ độ
khâu biể n theo phương trình (3.13). Theo như thiết ban đầu ở trên, khối tâm của khâu
thứ hai thu
Phương trình (3.11) có thể viết dưới dạng ma trận đầy đủ:
i0 i i1 i i1 i i1 i i2 i i2 i i2
2 i i2 i
i0 i1 i1 i2 i2
xsinγ sinθ -sinγ cosθ cosγ lcosβ sinθ cosβ cosθ -sinβ l
sinβ cosθ cosβ 0
zcosθ sinθ 00 cosθ sinθ 00
⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤⎡ ⎤⎡
⎥
⎥
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥
−
⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦⎣ ⎦
5111213i5
21 22 23 i 5
5313233i5
lsinα qqq aa
= 0 + q q q b b (i =1, ,4)
lcosα qqq cc
⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
−
⎡⎤⎡ ⎤⎡ ⎤

⎢⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
−
⎢⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
−
⎣⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
i0 i i1 i i1 i i i
y+cosγ sinθ cosγ cosθ sinγ 0 + sinβ sinθ
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢
−
⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢
ij ij ij
ij C C C
⎣⎦
T
ξηζ i 1, ,4; j 1,2
⎡⎤
==

Gọi
ij
C là khối tâm của các ng gắn liền với mỗi
ij
C
giả
i
P t
u diễ
ộc chân thứ i nằm trên đường nối
i2

O và hì :
T
i2 C
ξ 00
i2
⎡
⎤
=
⎣
⎦
b
.
Theo phương pháp véctơ hàm các toạ độ rộ , dựa
chọn véctơ
z có dạng như sau, với ký hiệu v ắt s sin, c
suy ng vào các ma trận cosin chỉ hướng ta
iết t
(3.14)
c hiện phân chia véctơ
z thành hai véctơ v w ư sau:
(3.15)
= = cos :

11 11 12 21 21 22 31 31 32 41 41 42 11 1 11 1 11 1 11 1
1 12 1 21 2 21 2 21 2 21 2 22 31
=[cθ ,sθ ,cθ ,cθ ,sθ ,cθ ,cθ ,sθ ,cθ ,cθ ,sθ ,cθ ,cα,sα,cθ cγ ,cθ sγ ,sθ cγ ,sθ sγ ,
sθ cβ ,sθ sβ ,cθ cγ ,cθ sγ ,sθ cγ ,sθ sγ ,sθ cβ θ
z
12 2 22 2 31 3 3 31 3 31 3
3

,sθ sβ ,cθ cγ ,c sγ ,sθ cγ ,sθ sγ ,
sθ
T
2 3 32 3 41 4 41 4 41 4 41 4 42 4 42 4 11 12 13 21 22 23 31 32 33
cβ ,sθ sβ ,cθ cγ ,cθ sγ ,sθ cγ ,sθ sγ ,sθ cβ ,sθ sβ ,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q ,q ]
Thự và nh

11 1 21 2 21 2 21 2 21 2 31 31 31 3 31
sθ sγ ,cθ cγ ,cθ sγ ,s cγ ,sθ sγ ,cθ cγ cθ sγ ,sθ cγ ,sθ s
[
11 11 21 21 31 31 41 41 11 1 11 1 11 1
3 3 3
41 4 41 4 41 4 41 4 11 12 13 21 22 23
cθ ,sθ ,cθ ,sθ ,cθ ,sθ ,cθ ,sθ ,cα,sα,cθ cγ ,cθ sγ ,sθ cγ ,
θ , γ ,
cθ cγ ,cθ sγ ,sθ cγ ,sθ sγ ,q ,q ,q ,q ,q ,q ,
=v
]
T
31 32 33
q,q,q

[
]
T
12 22 32 42 12 1 12 1 22 2 22 2 32 3 32 3 42 4 42 4
cθ ,cθ ,cθ ,cθ ,sθ cβ ,sθ sβ ,sθ cβ ,sθ sβ ,sθ cβ ,sθ sβ ,sθ cβ ,sθ sβ=w

Khi đó mười hai phương trình liên kết có thể biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:

*
(3.16)
[]
III I II
⎢⎥
⎣⎦
w
**
0
⎡⎤
+= += + +=
v
Dz f D D f D v D w f
Trong đó:
[
]
*
10 20 10 20 10 20
T
xxyyzz=−f




⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
5
11
11 5
5
21 5
I
5
31 5
5
41 5
000000000l000
000000000000l
-l 0000000l0000
000000000l000
0000000000000
00-l 00000l0000
D=

000000000l000
0000000000000
0000-l 000l0000
000000000l000
0000000000000
000000-l 0l 0000
15 15 5
11
1
21
21
31
31
41
41
a-a b-b c-c 0 0 0 0 0 0
-l 00 0 0 00 0 0 00 0 0
00 a
0000 0 000 0 000 0
0000 0 000 0 000 0
0 00 0 -l 00 0 0 00 0 0
0000 0 000 0 000 0
000l 0000 0000 0
0000 0 000-l 000 0
0000 0 00l 0 000 0
0000 0 000 0 000 0
0000 0 000 0 000-l
0000 0 000 0 00l 0
0000 0 000 0 000 0
51515

15 15 15
25 25 25
25 25 25
25 25 25
35 35 35
35 35 35
35 35 35
45 45 45
45 45 4
-a b -b c -c 0 0 0
000000a-ab-bc-c
a-a b-b c-c 0 0 0 0 0 0
000a-ab-bc-c000
000000a-ab-bc-c
a-a b-b c-c 0 0 0 0 0 0
000a-ab-bc-c000
000000a-ab-bc-c
a-a b-b c-c 0 0 0 0 0 0
000a-ab-bc-
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
5
45 45 45
12×35
c0 0 0
000000a-ab-bc-c

1
0
⎡⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
12
12
12
22
22
22
II
32
32
32
42
42
42
0000-l0000000
0 0 0 0 0l 000000
-l 0 0 0 00000000
000000-l00000
0 0 0 0 000l 0000
0-l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
D=
00000000-l000
0 0 0 0 00000l 00
00-l 000000000
0 0 0 0 000000-l 0
0 0 0 0 0000000l

000-l 00000000
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⇒
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
12
22
32
42
12
21
-1
II
22
22

32
12×12
32
4
1
00- 000 000 000
l
1
00000- 000000
l
1
000 000 00- 000
l
1
000 000 000 00-
l
1
- 00 000 000 000
l
1
00000000000
l
D=
1
000- 00 000 000
l
1
000 0 0 000 000
l
1

000000- 00000
l
1
000 000 0 0 000
l
1
000 000 000-
l
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥

⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
2
42
12×12
00
1
000 000 000 0 0
l

Với các tọa độ khối tâm đã chọn và các ma trận , các véctơ có thể dễ dàng
xác iều ki lực quán
thức ư sau:
III
,DD
ij ij ij
,,ghk

định theo phương trình (2.16). Sau đó thay vào đ ện cân bằng tính theo công
(2.18), ta thu được 12 điều kiện cân bằng tĩnh nh
11
11 C
m η =0
;
21
21 C
m η =0
;
CT 2
12
11
C11
11 C 12 11
12
ξ l
m ξ +m l - =0
l
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
;
22
21
C21
21
ξ l
m ξ +m l - =0
⎛⎞

(3.17)
C 22 21
22
l
⎜⎟
⎝⎠
31
31 C
m η =0
; ;
41
41 C
m η =0
32
31
C31
31 C 32 31
32
ξ l
m ξ +m l - =0
l
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
;
42
41
C41
41 C 42 41
42

ξ l
m ξ +m l - =0
l
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
(3.18)
32
12 22 42
5
32 C 5
12 C 5 22 C 5 42 C 5
5C P5
12 22 32 42
m ξ l
m ξ lmξ lmξ l
++++mξ +m l =0
llll
(3.19)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
4 5
-a

mx-a=0
(3.20)
32
12 22 42
32 C 3 5
12 C 1 5 22 C 2 5 42 C
pp 5
12 22 32 42
m ξ a-a
m ξ a-a m ξ a-a mξ a
++++
ll ll

(
)
(
)
(
)
(
)
()
32
12 22 42
32 C 3 512 C 1 5 22 C 2 5 42 C 4 5
pp 5
12 22 32 42
m ξ b-b
m ξ b-b m ξ b-b mξ b-b
++++my-

ll l l

b=0
(3.21)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
32
12 22 42
32 C 3 5
12 C 1 5 22 C 2 5 42 C 4 5
pp 5
12 22 32 42
m ξ c-c
m ξ c-c m ξ c-c mξ c-c
++++mz-
ll l l

c=0

Để cân bằng lực quán tính ta tiến hành lắp thêm khâu phụ là các đối trọng c
trên hình 3.4. Dựa vào các điều kiện cân bằng lực quán tính (3.17)-(3.22) ta đưa ra bảng thông
(3.22)
ho cơ cấu như

số đề nghị cân bằng tĩnh của cơ cấu. Trong bảng 3.1 dưới,
(
)
ij ij ij
SSS
ξ , η ,ζ
là vị trí khối tâm của các





CT 2
(
)
ij ij
**
SS
η ,ζ
là vị trí khối tâm khâu thứ j thuộc chân thứ i sau cân bằng,
*
i
m
là khối lượng và
ij
*
S
ξ ,
thêm vào khâu thứ j
thuộc chân thứ i

(
)
i =1, j = 1,2
.
Bảng 3.1. Thông số cân bằng tĩnh cấu song song không gian 4 bậc tự do
,4;

đề nghị cho cơ
Khâu
ij
()
ijbd
mkg

()
ij
S
m
ξ

(
)
ij
S
m
η

(
)
ij

S
m
ζ

(
)
*
ij
mkg

(
)
*
ij
S
m
ξ

(
)
*
ij
S
m
η

(
*
ij
S

m
ζ
)

11 10 -0.5 0 0 40 -0.75 0 0
12 10 0.5 0 0
21 10 -0.5 0 0 40 -0.75 0 0
22 10 0.5 0 0
31 10 -0.5 0 0 40 -0.75 0 0
32 10 0.5 0 0
41 10 -0.5 0 0 40 -0.75 0 0
42 10 0.5 0 0
(
)
10
P
=
,
)
(
0 gmk
(
)
()
55 5
5
, , 5,0,0
SSS
mkg
ξηζ

==−

240 , 0.
III. KẾT LUẬN
này đã trình bầy một thuật toán
xác
ê


ài liệu tham khảo

]. G.G Lowen, F.R. Tepper, R.S. Berkof: Balancing of linkages – An update. Mechanism and Machine
220.
uyen Phong Dien: Balancing conditions of spatial mechanisms. Mechanism
ry 35 (2000) 563-593.
aval University 1997.
Đại học Bách
Trong bài báo
định các điều kiện cân bằng lực quán tính của cơ
cấu không gian nhiều bậc tự do theo
phương pháp
véctơ hàm các tọa độ suy rộng
. Các điều kiện cân
bằng tĩnh (3.17) - (3.22) của cơ cấu bốn khâu không
gian thu được theo
phương pháp véctơ hàm các tọa
độ suy rộng
trong bài báo này đã được so sánh với
các điều kiện cân bằng tĩnh theo
phương pháp tọa

độ suy rộng dư tối thiểu và vị trí khối tâm chung
của
tác giả Jiegao Wang đã công bố trong cac công trình
[5] và [6]. Hai phương pháp cho kết quả hoàn toàn
giống nhau. Ngoài ra thuật toán của
phương pháp
véctơ hàm các tọa độ suy rộng
rất dễ dàng triển khai tr
H
ình 3.4.
M
ô hình khi lắ
p
thêm khâu
p
hụ
n máy tính.
T
[1
Theory 18 (1983) 213-
[2]. Dresig H., Vulfson I. I., Dynamik der Mechanismen, Springer Verlag, Wien, 1989.
[3]. Nguyen Van Khang, Ng
and Machine Theory 42 (2007) 1141-1153.
[4]. Jiegao Wang, Clement M. Gosselin: Static balancing of spatial four-degree-of-freedom parallel
mechanisms. Mechanism and Machine Theo
[5]. Jiegao Wang: Kinematic analysis, dynamic analysis and static balancing of spatial parallel
mechanisms or manipulators with revolute actuators. Ph.D Thesis. L
[6]. Nguyễn Văn Khang: Động lực học hệ nhiều vật. Nhà xuất bản Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 2007.
[7]. Đỗ Trọng Phú: Cân bằng khối lượng cơ cấu nhiều bậc tự do. Luận văn thạc sĩ, Trường
khoa Hà Nội 2008

♦