Bài tập môn Toán học kỳ 2 lớp 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (467.58 KB, 62 trang )
BÀI TẬP HK 2 – LỚP 10
-
1
-
Bất phương trình bậc 1 :
1. Xét dấu biểu thức
1/ A = 2x + 3 2/ B = 7 – 4x
3/ C = 2x – x
2
4/ D = (2x - 1)(5 -x)(x - 7).
5/ E = -3x
2
+ 2x – 7 6/ F = x
2
- 8x + 15
7/
1 1
3 3
G
x x
= -
- +
8/
2 1 4 6
3 4
( x )( x )
H
x
- +
=
-
9/
2
9 36
4 7
x
I
x
-
=
+
10/
2
2
2 3 5
4
x x
J
x
- - +
=
-
2. Giải bất phương trình
1/
3 4
1
2
x
x
-
>
-
2/
2 5
1 2 3
x x
£
- +
3/
4 5
4 2 2 1
x x
-
<
- +
4/
4 2
3 1 2
x x
-
>
+ -
5/
1 3
2
2 1
x
x
-
< -
+
6/
2 5
1 2 1
x x
<
- -
7/
2 5
1
2
x
x
-
³ -
-
8/
3 1
2
2 1
x
x
- +
£ -
+
9/
2 4
1 3
x x
x x
+ +
³
- -
10/
1 2 3
1 3 2
x x x
+ <
- + +
11/
1 1 1
1 2 2
x x x
+ >
- + -
12/
0
1
(5 -x)(x - 7)
x
£
-
13/
2
2 3 0
( x )
- >
14/
2
2 1 0
( x )
+ £
15/
3
3 0
(x )
- £
16/
2 5 3 2 4 5 0
( x )( x)( x )
+ - + <
3. Giải bất phương trình
1/
3 1
x
- ³ -
2/
5 8 11
x
- £
3/
3 5 2
x
- <
4/ 2 1
x x
+ <
5/
2 2 3
x x
- > -
6/
2 1
x x
+ ³ +
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS - THPT LẠC HỒNG
-
2
-
7/
3x – 2 6
³
8/
2 5 1
x x
- £ +
9/
5 3 8
x x
+ + - £
10/
1 2 1 1
x x
- + + <
11/
4 1
1
2
x
x
-
> -
-
12/
4 9
2 1
x x
-
£
+ -
4. Giải và biện luận các bất phương trình sau :
a/ m (x-m) ≤ x – 1 b/ mx + 6 > 2x + 3m
c/ (m + 1) x + m < 3x + 4 d/
2
1
mx x m
+ > +
e/ x + 2m < 1 + 2mx f/
2
1 1 2
( m )x mx
+ > -
g/
5 1 2 3 4
(m )x m x
+ + < +
h/
3 3
ax b bx a
+ > +
5. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm :
a/
2 2
4 3
m x m x m
+ - < +
b/
2
1 3 2
m x m ( m )x
+ ³ + -
c/
2
1 1
m (mx ) m( m)x
- < -
6. Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm tùy ý :
a/
2 2
4 3 0
(m m )x m m
+ + - - <
b/
2
1 1
m(x ) m x m
+ + £ +
7. Giải các hệ bất phưong trình sau :
1/
3 5 5
2 1 4 5
x x
(x ) x
ì
+ < -
í
+ > +
î
2/
2 3 1
17 4 3
x x
x x
ì
- £ -
í
+ < +
î
3/
2 3 3 1
4 5
5
3 8
2 3
x x
x
x
ì
- +
<
ï
ï
í
ï
+ ³ -
ï
î
4/
( )
1
15 2 2
3
3 14
2 4
2
x x
x
x
ì
- > +
ï
ï
í
-
ï
- <
ï
î
BÀI TẬP HK 2 – LỚP 10
-
3
-
5/
15 8
8 5
2
3
2 2 3 5
4
x
x
( x ) x
ì
-
- >
ï
ï
í
ï
- > -
ï
î
6/
4 5
3
7
3 8
2 5
4
x
x
x
x
ì
-
< +
ï
ï
í
+
ï
> -
ï
î
7/
5
6 4 7
7
8 3
2 5
2
x x
x
x
ì
+ < +
ï
ï
í
+
ï
< +
ï
î
8/
3 1 2 1 2
2 3 4
3 1 2 1
4 5 3
x x x
x x x
ì
+ - -
- <
ï
ï
í
- - +
ï
+ >
ï
î
9/
2 3
1
1
1 2
0
1
x
x
(x )(x )
x
ì
-
³
ï
ï
-
í
+ -
ï
£
ï
-î
10/
2 1
2 1 2
2 3
2 1 2 5
x x
x x
x x
x x
ì
+
>
ï
ï
+ +
í
- +
ï
³
ï
+ -
î
11/
1
1 2
1
x
x
+
< £
-
12/
2 5
1 2
3
x
x
+
- < £
-
8. Tìm các nghiệm nguyên của hệ phương trình sau:
1/
5
6 4 7
7
8 3
2 25
2
x x
x
x
ì
+ > +
ï
ï
í
+
ï
< +
ï
î
2/
1
15 2 2
3
3 14
2 4
2
x x
x
(x )
ì
- > +
ï
ï
í
-
ï
- <
ï
î
2/ Tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn hệ bất phương trình:
3 1 3 2 5 3
1
4 8 2
4 1 1 4 5
3
18 12 9
x (x ) x
x x x
ì
- - -
- - >
ï
ï
í
- - -
ï
- > -
ï
î
Bất phương trình bậc 2 :
1. Xét dấu các biểu thức :
1/
2
1
f(x) x x
= - +
2/
2
5 2 3
f(x) x x
= - + -
3/ f(x) = 9x
2
– 6x + 1 4/
2
4 4
f(x) x x
= - + -
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS - THPT LẠC HỒNG
-
4
-
5/ f(x) = 2x
2
– 5x + 2 6/
2
5 6
f(x) x x
= + -
7/ f(x) = -2x
2
+ 3x + 3 8/
2
3 2 8
f(x) x x
= - - +
9/ f(x) = 4 – x
2
10/ f(x) = 2x
2
– 3x
11/ f(x) = (3 – x)(x
2
+ x – 2) 12/ f(x) = (3x
2
+ 7x)(9 – x
2
)
13/
2
2
2 3 5
4
x x
f(x)
x
- -
=
-
14/
2
2
4 4
1
x x
f(x)
x
+ +
=
-
15/
2 2
1 2
1 3 2
f(x)
x x x
= -
- - +
16/
3 2
3 3
2
x x x
f(x)
x( x)
- - +
=
-
17/
( )
3 2
3 3
2
x x x
f(x)
x x
- - +
=
-
18/
2
2
10
2
2 3
f(x) x x
x x
= + -
- +
2. Giải các bất phương trình sau
1/ –x
2
+ 6x - 9 > 0 2/ -12x
2
+ 3x + 1 < 0
3/ (2x - 8)(x
2
- 4x + 3) > 0 4/ (1 – x )( x
2
+ x – 6 ) > 0
5/
2
3 4 4 0
x x
- + ³
6/
2
4 0
x
- ³
7/
2
16 40 25 0
x x
+ + >
8/
2
5 4 12 0
x x
- + + <
9/
2
2 5 2 0
x x
- + £
10/
2
2 3
x x
£ -
11/
2
11 3
0
5 7
x
x x
+
>
- + -
12/
2
2
3 2
0
1
x x
x x
- -
£
- + -
13/
2
2
1
1 2
x x
x
x
+
³ -
-
14/
2 2
3 1 2 1
x x
x x
+ -
£
+ -
15/
1 2
2 3 5
x
x x
+
³
+ -
16/
2 5 3
3 2 5
x x
x x
+ -
<
- +
BÀI TẬP HK 2 – LỚP 10
-
5
-
17/
2
2 4 3
2 7
5
x x
x
x
- -
³ +
-
18/
2
2
3 1
1
1
x x
x
- +
³
-
19/
1 2
2
1
x x
x x
- +
- <
-
20/
2
2
3 1 2
0
1
(x )( x)
x x
+ -
>
+ +
21/
2
2 5 1
3
6 7
x
x
x x
-
<
-
- -
22/
2
3
2
1
x
x x
-
³
+ +
23/
2 3
1 1 2 3
1
1 1
x
x
x x x
+
+ £
+
- + +
24/
2 2 2 2
2 3 3 1 0
(x x ) (x x )
+ - - - - ³
25/
2
1 1
1 2
3
(x )(x )
(x )
£
- -
+
26/
4 3 2
2
3 2
0
30
x x x
x x
- +
>
- +
27/
3 2
2 5 6
0
1
x x x
x(x )
- - +
>
+
28/
3 4
3 2
3 2 5 2 3
0
1 4 2
(x ) ( x ) ( x)
( x) (x )
+ - -
£
- -
3. Tìm những giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm :
a/
2
5 4 2 0
(m )x mx m
- - + - =
b/
2
3 3 2 0
( m)x (m )x m
- - + + + =
c/
2
2 2 2 3 5 6 0
(m )x ( m )x m
- + - + - =
d/
2
3 3 1 4 0
(m )x (m )x m
+ - - + =
4. Tìm những giá trị của m để các phương trình sau vô nghiệm :
1/ (m – 1)
2
2
x mx
- -
(m + 1) = 0
2/ (3 – m)
2
2 2 5
x ( m )
- -
x – 2m + 5 = 0
3/ (m – 1)x
2
2
-
(m – 2)x – (7m +1) = 0
4/
2
2 1 3 0
mx (m )x m
- - + - =
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS - THPT LẠC HỒNG
-
6
-
5. Giải các hệ bất phương trình :
1/
2
2
4 5 6 0
4 12 5 0
x x
x x
ì
- - <
ï
í
- + - <
ï
î
2/
2
2
2 9 7 0
6 0
x x
x x
ì
+ + >
ï
í
+ - £
ï
î
3/
2
2
2 5 4 0
3 10 0
x x
x x
ì
- - + <
ï
í
- - + >
ï
î
4/
2
2
16 0
2 15 0
x
x x
ì
- £
ï
í
+ - >
ï
î
5/
2
2
2 13 18 0
3 20 7 0
x x
x x
ì
- + >
ï
í
- - <
ï
î
6/
(
)
(
)
2 2
2
1 1 0
2 5 3 0
x x x
x x
ì
+ + + ñ
ï
í
ï
- + £
î
7/
3 2
2 2 0
2
2
2
x x x
x x
x x
ì
- - + >
ï
í
+
+ >
ï
-
î
8/
( )
( ) ( ) ( )
2
4
2 2 2
5 6
1 10 2 34
x x
x x x
ì
- á
ï
í
ï
+ - ñ -
î
9/
2
2
3 2
1 1
3 2
x x
x x
- +
- £ <
+ +
10/
2
5 1 1 7 3
x (x ) x
- < + < -
6. (NC) Xác định m để các bất phương trình sau thỏa với mọi x
1/
2
3 2 1 4 0
x (m )x m
+ - + + ³
2/
2
1 2 7 0
x (m )x m
+ + + + ñ
3/
2 2
4 2 2 1 1 0
x ( m )x m m
- - + + + ³
4/
2 2
2 2 1 1 0
(m )x (m )x
+ - + + ñ
5/
2
2 3 2 3 0
(m )x (m )x m
+ + + + + £
6/
2
2 2 3 1 0
(m )x (m )x m
- - - + - á
7/
2
4 1 5 0
mx (m )x m x
- + + + á "
8/
2
1 1 1 0
(m )x (m )x m
- - + + + £
9/
2
1 1 0
mx (m )x m
+ - + - <
10/
2
2 2 3 0
(m )x x m
- + + >
BÀI TẬP HK 2 – LỚP 10
-
7
-
7. (NC) Xác định m để biểu thức sau có nghĩa với mọi x :
a)
2
3 2 2 5 5 2
f(x) ( m)x ( m )x m
= - - - + -
b)
2
1 2 3 1 2 1
f(x) (m )x ( m )x m
= + - - + +
c)
2
1 2 1 3 2
f(x) (m )x (m )x (m )
= - - + + -
8. (NC) Định m để các bất phương trình sau :
1/
2
1 2 1 3 3 0
(m )x (m )x m
+ - - + - £
vô nghiệm.
2/
2
1 2 3 0
(m )x mx (m )
+ - - - á
Vô nghiệm.
3/
2
2 1 4 0
(m )x (m )x
+ - - + <
Vô nghiệm
4/
2
3 2 4 0
(m )x (m )x
- + + - >
Vô nghiệm.
9. (NC) Xác định m để với mọi x , ta luôn có
2
2
5
1 7
2 3 2
x x m
x x
+ +
- £ <
- +
10. (NC) Cho phương trình :
2
1 2 1 0
(m )x (m )x m
+ - - + <
1/ Tìm m để bất pt trên nghiệm đúng với mọi x
2/ Tìm m để bất phương trình trên vô nghiệm
(NC) Phương trình và bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối
1/ Giải các phương trình sau :
1/
2
8 7 3
x x x
- + = -
2/
2
4 2 1
x x
- + = -
3/
2 2
5 4 6 5
x x x x
- + = + +
4/
2 5 3 7
x x
- = -
5/
2
5 1 1 0
x x
- - - =
6/
1 2 3
x x
- + - =
7/
4 3
x x
+ =
8/
2 2
3 5 8 1
x x x
+ - = -
9/
1 3 2 5 3
x x x
+ + - = -
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS - THPT LẠC HỒNG
-
8
-
10/
2
1
2
x
x
x
-
=
-
11/
2
1 1
2
2
x x
x (x )
- + +
=
-
2/ Giải các bất phương trình sau :
1/
2
2 3
x x x
- < -
2/
2
1 2
x x
+ - £
3/
2
2 5 3 0
x x
- - <
4/
2
8 3 4
x x x
- > + -
5/
2
5 4 2
x x x
- + £ -
6/
2 2
4 3 4 5
x x x x
+ + > - -
7/
2
1 2 3
x x x
- + - £ +
8/
2
2
3 2
1
3 2
x x
x x
- +
<
+ +
(NC) Phương trình và bất phương trình chứa căn thức :
1/ Giải các phương trình sau :
1/
2 3 3
x x
- = -
2/ 5 10 8
x x
+ = -
3/
2
3 1 3
x x x
+ + = 4/
2
2 1 2
x x
- + =
5/
2 5 4
x x
- - =
6/
2
4 6 4
x x x
- + = +
7/
5 3 2
x x
+ - - =
8/
3 2 2 1
x x
- + + =
9/
15 3 6
x x
- + - =
10/
2 2
1 2 1 0
x x x
- + - + =
11/
5 1 3 2 1
x x x
- - - = -
12/
1 9 7 2 2
x x x
- - + = +
13/
2 2
9 3
x x x x
+ - - = +
14/
2 2
1 7 1 10 0
x x
+ - + + =
15/
2 2
6 9 4 6 6
x x x x
- + = - +
16/
2 2
3 15 2 5 1 2
x x x x
+ + + + =
17/
2 2 1 2 2 1 2
x x x x
+ + + + + - + =
BÀI TẬP HK 2 – LỚP 10
-
9
-
18/
5 4 1 2 2 1 1
x x x x
+ - + + + - + =
19/
3
3 3
5 6 2 11
x x x
+ + + = +
20/
3 3
3
1 3 1 1
x x x
+ + + = -
2/ Giải các bất phương trình sau :
1/
2 1 2 3
x x
+ < -
2/
2
12 1
x x x
- - £ -
3/ 2 5 8
(x )(x ) x
+ - £ -
4/
3 2 0
x x
- - <
5/
2
3 10 2
x x x
- - > -
6/
2
2 7 5 1
x x x
+ + > +
7/
2
3 8 26 11
(x )( x) x x
- - + > - +
8/
2 2
5 10 1 7 2
x x x x
+ + + ³ -
9/
2 6 8
x x
- - - <
10/
1
3 1
2
x x
- - + >
11/
6 7 2 5
x x x
+ > + + -
12/
3 7 2 8
x x x
+ - - > -
THỐNG KÊ
1. Cho bảng phân bố tần số khối lượng 30 quả trứng gà của một rổ
trứng gà :
Khối lượng (g) Tần số
25 3
30 5
35 7
40 9
45 4
50 2
Cộng 30
a. Lập bảng phân bố tần suất.
b. Vẽ biểu đồ tần số hình cột, đường gấp khúc tần số và biểu
đồ tần suất hình quạt.
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS - THPT LẠC HỒNG
-
10
-
c. Tìm số trung bình cộng, số trung vị, mốt của mẫu số liệu.
d. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.
2. Đo chiều cao của 36 học sinh của một trường THPT, ta có mẫu
số liệu sau (đơn vị: cm)
160 161 161 162 162 162 163 163 163 164
164 164
164 165 165 165 165 165 166 166 166 166
167 167
168 168 168 168 169 169 170 171 171 172
172 174
a. Tính số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai và độ
lệch chuẩn của mẫu số liệu.
b. Lập bảng phân bố tần số, tần suất với các lớp ghép là
[160; 163), [163; 166),
c. Vẽ biểu đồ tần suất hình cột, hình quạt.
d. Tính số trung bình và độ lệch chuẩn nhận được từ bảng
trên. So sánh với kết quả nhận được ở câu b.
3. Thành tích chạy 50m của học sinh lớp 10A ở trường C (đơn vị:
giây)
6,3 6,2 6,5 6,8 6,9 8,2 8,6 6,6 6,7 7,0 7,1
7,2 8,3 8,5 7,4 7,3 7,2
7,1 7,0 8,4 8,1 7,1 7,3 7,5 7,5 7,6 8,7 7,6
7,7 7,8 7,5 7,7 7,8
a. Tính số trung vị và mốt của mẫu số liệu.
b. Lập bảng phân bố tần suất với các lớp ghép: [6,0 ; 6,5) ,
[6,5 ; 7,0) , [7,0 ; 7,5) ,
c. Trong lớp học sinh được khảo sát, số học sinh chạy 50m hết
từ 7 giây đến dưới 8,5 giây chiếm bao nhiêu phần trăm.
BÀI TẬP HK 2 – LỚP 10
-
11
-
d. Nêu nhận xét về xu hướng tập trung của các số liệu thống
kê đã cho.
4. Trong một cuộc thi bắn có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 30 viên đạn.
Kết quả cho trong 2 bảng dưới đây:
Điểm số của xạ thủ A
6 10 10 10 8 10 9 5 8 8 10 5 10 10 9
8 10 6 8 9 10 9 9 9 9 9 7 8 6 8
Điểm số của xạ thủ B
6 9 9 9 8 8 5 9 10 10 9 6 7 8 10
9 9 10 10 10 7 7 8 8 8 8 7 10 9 9
a. Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của các số
liệu thống kê cho trong hai bảng trên.
b. Xét xem xạ thủ nào bắn giỏi hơn?
5. Cho các số liệu ghi trong bảng sau
Thời gian hoàn thành một sản phẩm ở một nhóm công nhân
(đơn vị:phút)
42 42 42 42 44 44 44 44
44 45
45 45 45 45 45 45 45 45
45 45
45 45 45 45 45 45 45 45
45 54
54 54 50 50 50 50 48 48
48 48
48 48 48 48 48 48 50 50
50 50
a/ Hãy lập bảng phân bố tần số ,bảng phân bố tần suất.
b/ Trong 50 công nhân được khảo sát ,những công nhân có
thời gian hoàn thành một sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút
chiếm bao nhiêu phần trăm?
6. Chiều cao của 30 học sinh lớp 10 được liệt kê ở bảng sau (đơn
vị cm):
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS - THPT LẠC HỒNG
-
12
-
145 158 161 152 152 167
150 160 165 155 155 164
147 170 173 159 162 156
148 148 158 155 149 152
152 150 160 150 163 171
a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp với các lớp là: [145;
155); [155; 165); [165; 175).
b) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột, đường gấp khúc tần
suất
c) Phương sai và độ lệch chuẩn
7. Điểm thi học kì II môn Toán của một tổ học sinh lớp 10A (quy
ước rằng điểm kiểm tra học kì có thể làm tròn đến 0,5 điểm)
được liệt kê như sau:
2 ; 5 ; 7,5 ; 8 ; 5 ; 7 ; 6,5 ; 9 ; 4,5 ; 10.
a) Tính điểm trung bình của 10 học sinh đó (chỉ lấy đến một
chữ số thập phân sau khi đã làm tròn).
b) Tính số trung vị của dãy số liệu trên.
8. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau :
Thành tích chạy 500m của học sinh lớp 10A ờ trường THPT C.
( đơn vị : giây )
6.3 6.2 6.5 6.8 6.9 8.2 8.6 6.6 6.7 7.0 7.1
8.5 7.4 7.3 7.2 7.1 7.0 8.4 8.1 7.1 7.3 7.5
8.7 7.6 7.7 7.8 7.5 7.7 7.8 7.2 7.5 8.3 7.6
a). Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp :
[6,0; 6,5); [6,5; 7,0); [7,0; 7,5); [7,5; 8,0) ; [8,0; 8,5) ; [8,5; 9,0)
b). Vẽ biểu đồ tần số hình cột, đường gấp khúc về thành tích
chạy của học sinh.
BÀI TẬP HK 2 – LỚP 10
-
13
-
c). Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của
bảng phân bố.
9 Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong 12 tháng
được thống kê như ở bảng sau:
Thán
g
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
Số
khách
430
550
43
0
520 55
0
515
55
0
11
0
52
0
430
55
0
88
0
a). Lập bảng phân bố tần số, tần suất và tìm số trung bình
b). Tìm mốt, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn.
LƯỢNG GIÁC
Hệ thức cơ bản.
1. Đổi số đo các góc sau sang radian:
a. 20
0
b. 63
0
22’ c. –125
0
30’
2. Đổi số đo các góc sau sang độ, phút, giây:
a.
18
p
b.
2
5
p
c.
3
4
-
3. Chứng minh các đẳng thức:
a.
1
1
sina cosa
cosa sina
-
=
+
b.
1
1
cosa sina
sina cosa
+
=
-
c.
1
1
cosa
tana
sina cosa
+ =
+
d.
1 2
1
sina cosa
cosa sina sina
+
+ =
+
e.
4 4 2 2
sin x cos x 1–2sin x.cos x
+ =
f.
4 4 2
sin x –cos x 1–2cos x
=
g.
6 6 2 2
sin x cos x 1–3sin x.cos x
+ =
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS - THPT LẠC HỒNG
-
14
-
h.
(
)
tanx.tany cotx+ coty tanx tany
= +
4. Chứng minh biểu thức độc lập đối với x.
A = 3(sin
4
x + cos
4
x) – 2(sin
6
x + cos
6
x)
B = cos
2
x.cot
2
x + 3cos
2
x – cot
2
x + 2sin
2
x
C =
2 2
2
cot x cos x sinxcosx
cotx
cot x
-
+
D =
2 2 2 2
2 2
tan x cos x cot x sin x
sin x cos x
- -
+
5. Đơn giản các biểu thức:
A = cos
2
a + cos
2
a.cot
2
a B = sin
2
x + sin
2
x.tan
2
x
C =
2
2 1
cos x
sinx cosx
-
+
D = (tanx + cotx)
2
– (tanx – cotx)
2
E = cos
4
x + sin
2
xcos
2
x + sin
2
x
6. Tính các giá trị lượng giác của góc a, biết:
a. sina =
3
5
và
2
p
< a < p
b. cosa =
4
15
và 0
2
p
< a <
c. tana =
2
và
3
2
p
p < a < d. cota = –3 và
3
2
2
p
< a < p
7. Tính giá trị của các biểu thức:
A =
3
sinx cosx
tanx
+
khi sinx =
4
5
-
(270
0
< x < 360
0
)
B =
4 1
1 3
cota
sina
+
-
khi cosa =
1
3
-
(180
0
< x < 270
0
)
C =
3
2
sina cosa
cosa sina
+
-
khi tana = 3
BÀI TẬP HK 2 – LỚP 10
-
15
-
D =
2 2
2 2
2 2
2 3 4
sin sin cos cos
sin sin cos cos
a + a a - a
a - a a + a
biết cota = –3
E = sin
2
a + 2cos
2
a biết tana = 2
8. Tính biểu thức:
a. Cho t = cosx + sinx, tính sinx.cosx theo t
b. Cho t = cosx – sinx, tính sinx.cosx theo t
c. Cho t = tanx + cotx, tính sinx.cosx theo t
d. Cho t = tanx – cotx, tính sin
2
x.cos
2
x theo t
Cung liên kết
9. Rút gọn các biểu thức:
A =
2 2
sin( a) cos a cot( a)cot a
æ ö æ ö
p p
p + - - + p - +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
B =
3
5 4
2 2
sin( a) cos a cot( a) tan a
æ ö æ ö
p p
p + - - + p - + -
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
C =
3 3
2 2 2
cos( a) sin a tan a cot a
æ ö æ ö æ ö
p p p
p - + - - + -
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
D =
3
4 6 2
2
cot(a )cos a cos(a ) sin(a )
æ ö
p
- p - + + p - - p
ç ÷
è ø
E =
3
5 2 2
2 2
cot( a)cos a cos(a ) cos a
æ ö æ ö
p p
p + - + + p - +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Cho P = sin(p + a) cos(p – a) và
2 2
Q sin cos
æ ö æ ö
p p
= - a + a
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
.
Tính P + Q
10. Tính các biểu thức:
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS - THPT LẠC HỒNG
-
16
-
A =
0
0
406
316
0 0
(cot44 tan26 )cos
cos
+
B =
0
0
23 216
126
0
0
0
sin( 4 ) cos
tan36
sin144 cos
- -
-
C =
0
0
288 72
108
0
0
0
cos( )cot
tan18
tan( 162 )sin
-
-
-
D = tan10
0
tan20
0
tan30
0
….tan70
0
tan80
0
E = cos20
0
+ cos40
0
+ cos60
0
+ … + cos160
0
+ cos180
0
F = cos23
o
+ cos215
o
+ cos275
o
+ cos287
o
.
11. Tính:
a. cosx biết
2 6 2
sin x sin sin x
æ ö æ ö
p p p
- + = +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
b. sinx biết
2 4 2
cos x sin cos x
æ ö æ ö
p p p
- + = +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
c. sinx biết
2 2
cos x sin sin(x )
æ ö
p p
- + = + p
ç ÷
è ø
d. cosx và sinx biết
6 2
cos(x ) sin cos x
æ ö
p p
- p + = +
ç ÷
è ø
e. tanx và cotx biết
2
2 4
tan(x ) tan x tan
æ ö
p p
+ p + + =
ç ÷
è ø
12. Tính :
a. sin(a +1080
0
), cos(270
0
– a), tan(a – 720
0
), cot(450
0
+ a)
biết cosa = 0,96 (360
0
<a < 450
0
)
b.
5
2
cos( a), sin a , tan(a ), cot(a )
æ ö
p
p - + + p - p
ç ÷
è ø
BÀI TẬP HK 2 – LỚP 10
-
17
-
biết sina =
5
13
-
(p < a < 2p )
c.
5
2 2
3 3
tan a , cot a , cot a+ , sin a
2 2
æ ö æ ö æ ö æ ö
p p p p
- + -
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
biết tana =
2 1
-
3
2
a
æ ö
p
p < <
ç ÷
è ø
13. A, B, C là 3 góc của tam giác, chứng minh :
a. sin(A + B) = sinC b. cos(B + C) = –
cosA
c. tan(A + C) = –tanB d.
2 2
A B C
sin cos
+
=
e.
2 2
B C A
cos sin
+
= f.
2 2
A C B
tan cot
+
=
g. Tính: tan(3A + B + C).cot(B + C - A)
Công thức cộng
1. Thu gọn các biểu thức:
A = sin32
0
cos62
0
– cos32
0
sin62
0
B = cos44
0
cos46
0
– sin46
0
sin44
0
C = cos36
0
sin24
0
+ cos24
0
sin36
0
D = sin22
0
sin38
0
– cos22
0
sin38
0
E =
1
0 0
0 0
tan22 tan38
tan22 tan38
+
-
F =
1
0 0
0 0
tan42 tan12
tan42 tan12
-
+
G =
1
1
0
0
tan15
tan15
+
-
2. Thu gọn các biểu thức:
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS - THPT LẠC HỒNG
-
18
-
A =
1 1
2 2
sinx cosx
+ B =
1 3
2 2
cosx sinx
-
C =
1 1
2 2
cosx sinx
- D =
3 1
2 2
sinx cosx
+
E =
3 1
2 2
cosx sinx
+
3. Tính các giá trị lượng giác của góc a biết a bằng
a. 75
0
b. 165
0
c. 345
0
d.
7
12
p
e.
12
p
f.
17
12
p
4. Chứng minh các đẳng thức:
a.
2
4
sinx cosx sin x
æ ö
p
± = ±
ç ÷
è ø
b.
2
4
cosx sinx cos x
æ ö
p
± =
ç ÷
è ø
m
c. sin(a + b)sin(a – b) = sin
2
a – sin
2
b
d. cos(a + b)cos(a – b) = cos
2
a – sin
2
b
e. sin
2
(a + b) – sin
2
a – sin
2
b = 2sinasinbcos(a + b)
f.
tan(a b) tanb cos(a b)
tan(a b) tanb cos(a b)
- + +
=
+ - -
5. Cho
0
1
45
2
cos(a )
+ =
. Tính cosa và sina.
Công thức nhân
1. Thu gọn các biểu thức:
a. sinx.cosx b.
2 2
x x
sin .cos
c. sin3xcos3x
d. sin15
0
cos75
0
e. cos
2
15
0
– sin
2
15
0
f. 2sin
2
2x –
1
BÀI TẬP HK 2 – LỚP 10
-
19
-
g.
2 0
1 15
0
tan15
tan
-
h.
2
2 1
4
sin x
æ ö
p
- -
ç ÷
è ø
2. Thu gọn các biểu thức:
a. cos
4
x – sin
4
x b. 3cos
2
x – 4sinxcosxsin
2
x – 1
c.
4 1
cos x
cotx tanx
+
-
d.
1
1 4
sin4x cos4x
cos x sin4x
+ -
+ +
3. Tính:
a. tan15
0
, sin15
0
b. cos67
0
30’ , sin67
0
30’
c. cos10
0
sin50
0
cos70
0
4. Tính:
a.
4 7
5
sin2a
+
nếu tana = 0,2 b.
2
4
tan a
æ ö
p
-
ç ÷
è ø
nếu tana = 2
c. sin2x nếu cosx – sinx =
1
4
d. sin2x nếu
1 3
2
2 2 2 2
x x
cos sin ; x
p
+ = - < < p
e.
2
a
cos
nếu
12 3
13 2
sina ; a
p
= - p < <
f.
2
a
sin
nếu sina = 0,8 và 0
2
a
p
< <
5. Chứng minh:
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS - THPT LẠC HỒNG
-
20
-
a.
2
1 2
1 2
cos x
tan x
cos x
-
=
+
b.
2
1 2
1 2 4
sin x
cot x
sin x
æ ö
- p
= +
ç ÷
+
è ø
c.
1 2
2 4
sin x
tan x
cos x
æ ö
+ p
= +
ç ÷
è ø
d.
2
1 2 1
1 2 1
sin x tanx
sin x tanx
- -
=
+ +
e. 2
cosx sinx cosx sinx
tan2x
cosx sinx cosx sinx
+ -
- =
- +
Công thức biến đổi:
1. Biến đổi thành tổng:
a. sin36
0
cos24
0
b. sin36
0
sin54
0
c. cos36
0
cos24
0
d. cos24
0
sin66
0
2. Biến đổi tổng thành tích:
a. cos36
0
+ cos24
0
b. cos54
0
– cos36
0
c. sin72
0
– sin18
0
d. sin70
0
+ sin20
0
e. 2cos2x –1 f. 2sinx –
3
g. tan66
0
+ tan24
0
h. tan54
0
– tan24
0
3. Thu gọn các biểu thức:
a.
2 2
3 3
cos x cos x
æ ö æ ö
p p
- + +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
b.
5
sinx sin5x
cosx cos x
+
+
c.
3 5
sina sin3a+sin5a
cosa cos a cos a
-
- +
d. sin3xcos5x - sin5xcos3x
4. Chứng minh:
a. Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina
b. Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana
c. Nếu tanatanb = 1 thì sin2a = sin2b ; cos2a = –cos2b
BÀI TẬP HK 2 – LỚP 10
-
21
-
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Tam giác ABC vuông tại A; đường cao AH.
·
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
·
2 2
BA BH.BC; CA CH.CB
= =
·
2
HA HB.HC
=
·
2 2 2
BC AB AC
= +
·
AH.BC AB.AC
=
Hệ thức lượng trong tam giác thường:
Một số quy ước trong tam giác ABC
Cạnh: AB = c ; AC = b ; BC = a
Độ dài đường cao : AA’ = h
a
; BB’ = h
b
; CC’ = h
c
Độ dài đường trung tuyến: AM = m
a
; BN = m
b
; CP = m
c
Độ dài các đường phân giác trong của góc A; B; C
Là: l
a
; l
b
; l
c
.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác : R.
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác : r.
Nửa chu vi tam giác:
2
a b c
p
+ +
=
· Định lý hàm số cosin:
2 2 2
2
a b c bc.cosA
= + -
2 2 2
2
b a c ac.cosB
= + -
2 2 2
2
c a b ab.cosC
= + -
· Định lý hàm số sin:
2
a b c
R
sinA sinB sinC
= = =
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS - THPT LẠC HỒNG
-
22
-
· Định lý về trung tuyến:
2
2 2 2
2 2
2
2
2
BC
AB AC AM
AB AC BC.MH
+ = +
- =
· Công thức tính diện tích tam giác:
( )( )( )
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
4
a b c
S a.h b.h c.h
S bc.sinA ac.sinB ab.sinC
a.b.c
S S p.r
R
S p p a p b p c
= = =
= = =
= =
= - - -
1/ Cho tam giác ABC , tính a , h
a
, R , r biết :
a) A = 60
0
, b = 8 , c = 5
b) B = 120
0
, a = 5 , c = 3
2/ Cho tam giác ABC , tính góc A , h
a
, m
a
và đường phân giác
trong AD biết :
a) a = 14 , b = 10 , c = 16
b) a = 13 , b = 7 , c = 8
3/ Tính các góc của tam giác ABC biết :
a) a = 2
3
, b = 2
2
, c =
6 2
-
b) a =
6
, b = 2 , c =
3 1
+
4/ Cho tam giác ABC , tính a , h
a
, R , r biết :
a) b = 2 , c = 3 , S =
3
2
(A là góc nhọn)
b) b = 8 , c = 7 , S =
14 3
( A là góc tù)
5/ Cho tam giác ABC có A =60
0
, h
c
=
3
, R = 5 . Tính các cạnh
của tam giác .
BÀI TẬP HK 2 – LỚP 10
-
23
-
6/ Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM = 6 , CN = 9 hợp
nhau một góc 120
0
. Tính các cạnh của tam giác .
7/ Cho tam giác ABC có AB = 3 , AC = 5 , A = 120
0
a) Tính BC , đường cao AH và trung tuyến AM.
b) Gọi E , F là hình chiếu của H trên AB và AC . Tính EF .
c) Tính độ dài đường phân giác trong AD của DABC .
Cho tam giác ABC có AB = 6 , AC =10 , BC = 14 .
a) Tính góc A , R , r .
b) Phân giác trong góc A cắt BC tại E . Tính BE , CE .
8/ Cho tam giác ABC có AB = 3 , BC = 5 , AC = 6 . Trên cạnh
AB và BC lấy điểm M và K sao cho BM = 2 AM , 3KB =
2KC Tính MK .
9/ Cho tam giác ABC có B = 60
0
, C = 45
0
, a = 3 . Tính b , c .
Chứng minh hệ thức :
1. Cho tam giác ABC . Chứng minh :
a) a = b.cosC + c.cosB b) sinA = sinB cosC + sinC cosB
c) h
a
= 2RsinBsinC d) m
a
2
+ m
b
2
+ m
c
2
=
3
4
(a
2
+ b
2
+ c
2
)
e) b
2
– c
2
= a(b.cosC – c.cosB)
2. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng :
a) Nếu b + c = 2a thì
2 1 1
a b c
h h h
= + và sinB + sinC = 2sinA
b) Nếu bc = a
2
thì sinBsinC = sin
2
A và h
b
h
c
= h
a
2
3. Cho tam giác ABC không cân tại A có hai trung tuyến BD và
CE . Chứng minh rằng :
a) AB
2
.CE
2
– AC
2
.BD
2
=
2 2 2 2 2
2
4
(b c )(b c a )
- + -
b) AB.CE = AC.BD Û b
2
+ c
2
= 2a
2
4. Gọi S là diện tích DABC . Chứng minh rằng :
a) S = 2R
2
sinA.sinB.sinC b) S = Rr(sinA + sinB + sinC)
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS - THPT LẠC HỒNG
-
24
-
5. Cho tứ giác lồi ABCD , gọi a là góc hợp bởi hai đường chéo
AC và BD . Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi công
thức : S =
1
2
AC.BD.sina . Nêu kết quả trong trường hợp tứ
giác có hai đường chéo vuông góc .
ĐƯỜNG THẲNG:
1/ Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) và tổng quát của
đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:
1) Qua A(-1; -3) và có VTCP
3 2
a ( ; )
= -
r
.
2) Qua A(3; -4) và có VTCP
0 2
a ( ; )
= -
r
.
3) Qua M(- 4; 0) và có VTPT
1 5
n ( ; )
=
r
4) Qua B(-2; 6) và có VTPT
0 3
n ( ; )
= -
r
5) Qua hai điểm A(-2; 3) và B(4; - 5).
6) Qua hai điểm M(4; 2) và N(-5; 2).
7) Qua A(2; 3) và song song với trục Ox.
8) Qua M(2; -5) và song song trục Oy.
9) Qua B(6; -3) và vuông góc với phân giác góc xOy.
10) Qua C(-1; 2) và song song với phân giác phần tư thứ II cùa
mp Oxy.
11) Qua D(-3; -2) và song song (d): 3x -2y + 4 = 0.
12) Qua E(0; 2) và vuông góc (d): 2x +3y - 4 = 0.
13) Là đường trung trực của đoạn AB với A(-2; 2) ; B(3; -4).
2/ 1. Chứng minh phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
A(a; 0) và B(0; b) với
0 0
a ;b
¹ ¹
là
1
x y
a b
+ =
2. Viết phương trình của đường thẳng qua hai điểm là hình
chiếu M(-3;4) trên hai trục tọa độ.
3. Viết phương trình của đường thẳng qua M(-4; 10) và chắn
trên hai trục tọa độ hai đoạn bằng nhau.
4. Viết phưong trình của đường thẳng qua M(6; -2) và tạo với
hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1.
BÀI TẬP HK 2 – LỚP 10
-
25
-
5. Viết phương trình đường thẳng qua M(5; -3) và cắt Ox; Oy
lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn AB.
3/ Viết phương trình các cạnh và các đường trung trực của tam
giác ABC biết trung điểm các cạnh AB; AC; BC lần lượt là
M(-1; 2) ; N(2; -2); P(4; -1).
4/ Cho tam giác ABC có A(0; -1); B(-3; 2); C(2; 0).
1. Viết phương trình ba cạnh của tam giác .
2. Viết phương trình ba đường trung tuyến của tam giác suy ra
trọng tâm của tam giác ABC.
3. Viết phương trình ba đường cao của tam giác suy ra trực
tâm của tam giác ABC.
4. Tìm điểm đối xứng B
1
của B qua AC suy ra phương trình
đường thẳng đối xứng của AB qua AC.
5/ Cho đường thẳng (d): 5x + 2y -18 = 0 và điểm M(7; 6)
1. Tìm hình chiếu H của M trên (d).
2. Tìm điểm M’ là đối xứng của M qua (d).
6/ Viết phương trình các cạnh của tam giac ABC trong các trường
hợp sau:
1. Biết hai đường cao (AH): 2x - 7y – 6 = 0;
(CH): 7x – 2y -1 = 0. và cạnh (AC): x – y +2 = 0.
2. Biết đỉnh B(2;-1) và phương trình hai đường cao:
2x - y + 1 = 0; 3x + y + 2 = 0.
3. Biết B(1; 3) đường cao (AH): 2x + y – 4 = 0; trung tuy
ến
(AM): x + 2y + 1 = 0.
Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
1/ Tìm tọa độ giao điểm của các cặp đường thẳng sau:
1.
1 2
6 8 0 2 2 3 0
(d ): x y vaø (d ): x y
+ - = - - =
2.
1 2
2
2 4 0
1
4
2
x t
(d ): x y vaø (d ):
y t
ì
=
ï
- + =
í
= +
ï
î
