Các công thức tính Đạo hàm, nguyên hàm của hàm số một biến.

CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ
TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA HÀM MỘT BIẾN
I/ ĐẠO HÀM:
I1/ Các quy tắc tính đạo hàm:
1/
( )
u v ' u ' v '+ = +
2/
( )
uv ' u ' v uv '= +
3/
( )
cu ' cu '=
(c là hằng số) 4/
2
u u ' v uv '
'
v
v
æö
-
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

I2/ Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
1/
( )
c ' 0=
(c là hằng số) 2/
( )
m m 1
x ' mx
-
=
3/
( )
sin x ' cos x=
4/
( )
cos x ' sin x= -
5/
( )
2
1
tgx '
cos x
=
6/
( )
2
1
cot gx '
sin x
= -

7/
( )
x x
a ' a ln a=
8/
( )
x x
e ' e=
9/
( )
a
1
log x '
x ln a
=
10/
( )
1
ln '
x
=
11/
( )
2
1
arcsin x '
1 x
=
-
12/

( )
2
1
arccos x '
1 x
= -
-
13/
( )
2
1
arctgx '
1 x
=
+
I3/ Một vài đạo hàm cấp cao của một vài hàm số sơ cấp:
1/
( )
( )
( ) ( ) ( )
n
k k n
f x x , f x k k 1 k n 1 x (n k)
-
= = - - + £
2/
( )
( )
( )
n

x x
f x e , f x e= =
3/
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
k k
2k 2k 1
f x sin x, f x 1 sin x ; f x 1 cos x
+
= = - = -
4/
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
k k
2k 2k 1
f x cos x, f x 1 cos x ; f x 1 sin x
+
= = - = -
5/
( )
( )
( ) ( )
( )
n

n
n 1
1 n !
f x , f x 1
1 x
1 x
+
= = -
+
+
6/
( )
( )
( )
( )
n
n 1
1 n !
f x , f x
1 x
1 x
+
= =
-
-
I4/ Các định lý cơ bản về đạo hàm:
1/ Định lý Fremat: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm
0
x
. Nếu f có đạo hàm tại

điểm
0
x
thì
( )
0
f ' x 0=
.
2/ Định lý Rolle: Giả sử hàm số f:
a, b R
é ù
®
ê ú
ë û
liên tục trên đoạn
a, b
é ù
ê ú
ë û
và có đạo
hàm trên khoảng
( )
a, b
. Nếu
( ) ( )
f a f b=
thì tồn tại ít nhất một điểm
( )
c a, bÎ
sao

cho
( )
f ' c 0=
.
3/ Định lý Lagrange: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn
a, b
é ù
ê ú
ë û
và có đạo hàm trên
khoảng
( )
a, b
thì tồn tại ít nhất một điểm
( )
c a, bÎ
sao cho
( ) ( ) ( ) ( )
f b f a f ' c . b a- = -
4/ Định lý Cauchy: Giả sử f và g là hai hàm số liên tục trên đoạn
a, b
é ù
ê ú
ë û
và có đạo
hàm trên khoảng
( )
a, b
. Nếu
( )

g ' x 0¹
với mọi
( )
x a, bÎ
thì tồn tại ít nhất một điểm
( )
c a, bÎ
sao cho
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
f ' c f b f a
g ' c g b g a
-
=
-
I5/ Ứng dụng của đạo hàm:
1/ Công thức Taylor:
Giả sử hàm số f có các đạo hàm cấp n liên tục trên đoạn
a, b
é ù
ê ú
ë û
và có đạo hàm cấp
n + 1 tren khoảng
( )
a, b
. Khi đó tồn tại một điểm
( )

c a, bÎ
sao cho
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n n 1
2 n n 1
f ' a f '' a f a f c
f b f a b a b a b a b a
1! 2! n !
n 1 !
+
+
= + - + - + + - + -
+
2/ Công thức Maclaurin:
Giả sử hàm số f có các đạo hàm đến cấp
( )
n 1+
tên một lân cận điểm 0 (tức là
trên một khoảng mở chứa điểm 0). Khi đó :

( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
n
2 n
n
f ' 0 f " 0 f 0
f x f 0 x x x R x
1! 2! n !
= + + + + +
Với
( )
( )
( )
( )
n 1
n 1
n
f x
R x x , 0 1
n 1 !
+
+
q
= < <q
+
(phần dư dạng lagrange)
Hoặc

( )
( )
( )
( )
n 1
n
n 1
n
f x
R x 1 x , 0 1
n !
+
+
q
= - < <q q
(phần dư dạng Cauchy).
3/ Áp dụng công thức Taylor viết công thức triển khai của một số hàm số:
( )
( )
2 n n 1
x x
x x x x
1 e 1 e
1! 2! n !
n 1 !
+
q
= + + + + +
+
( ) ( ) ( )

( )
( )
2 3 n 1
n
n 1
x x x 1
2 ln 1 x x 1
2 3
n 1
1 x
+
+
+ = - + - + -
+
+ q
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
n
n
1 1 n 1
3 1 x 1 x R x
1! 2 ! n !
a
- - - +a a a a a
a
+ = + + + + +
( ) ( )
( )
3 5 2k 1

k 1
2k
x x x
4 sin x x 1 R (x)
3! 5!
2k 1 !
-
-
= - + - + - +
-
( ) ( )
( )
( )
2 4 6 2k
k
2k 1
x x x x
5 cos x 1 1 R x
2! 4 ! 6!
2k !
-
= - + - + + - +
II/ NGUYÊN HÀM:
1/ Định nghĩa:
Cho hai hàm số
( )
F x
,
( )
f x

xác định trong khoảng
( )
a, b
.
( )
F x
được gọi là
một nguyên hàm của
( )
f x
nếu
( ) ( ) ( )
F ' x f x , x a, b= " Î
.
2/ Định lý:
Nếu
( )
F x
là một nguyên hàm của
( )
f x
trong khoảng
( )
a, b
thì
( )
f x
sẽ có vô
số nguyên hàm trong khoảng
( )

a, b
. Các nguyên hàm này có dạng
( )
F x c+
(c là hằng
số).
Người ta thường ký hiệu
( )
f x dx
ò
là tập hợp các nguyên hàm của
( )
f x
.
( ) ( )
f x dx F x c= +
ò
3/ Các nguyên hàm cơ bản:
( )
1 0dx c=
ò
( )
2 dx x c= +
ò
( )
dx
3 x c
2 x
= +
ò

( )
2
dx 1
4 c
x
x
-
= +
ò
( )
( )
( )
2
dx 1
5 c
a ax b
ax b
-
= +
+
+
ò
( ) ( )
n 1
n
x
6 x dx c n 1
n 1
+
= + -¹

+
ò
( )
dx
7 ln x c
x
= +
ò
( )
dx 1
8 ln ax b c
ax b a
= + +
+
ò
( )
x x
9 e dx e c= +
ò
( )
ax b ax b
1
9 ' e dx e c
a
+ +
= +
ò

( )
a 0¹

( )
x
x
a
10 a dx c
ln a
= +
ò
( )
11 sin xdx cos x c= - +
ò
( ) ( ) ( )
1
11' sin ax b dx cos ax b c
a
+ = - + +
ò
( )
12 cos xdx sin x c= +
ò
( ) ( ) ( )
1
12 ' cos ax b dx sin ax b c
a
+ = + +
ò
( )
13 tgxdx ln cos x c= - +
ò
( )

14 cot gxdx ln sin x c= +
ò
( )
2
dx
15 tgx c
cos x
= +
ò
( )
2
dx
16 cot gx c
sin x
= - +
ò
( )
2
dx 1 x 1
17 ln c
2 x 1
x 1
-
= +
+
-
ò
( )
2 2
dx 1 x a

17 ' ln c
2a x a
x a
-
= +
+
-
ò
( )
2
2
dx
18 ln x x k c
x k
= + + +
+
ò
( )
2 2 2
x 1
19 x 1dx x 1 ln x x 1 c
2 2
+ = + + + + +
ò
( )
2 2 2
x k
19 ' x kdx x k ln x x k c
2 2
+ = + + + + +

ò
II/ TÍCH PHÂN:
1/ Định nghĩa:
Cho hàm số
( )
f x
lên tục trên đoạn
a, b
é ù
ê ú
ë û
,
( )
F x
là một nguyên hàm của
( )
f x
.
Tích phân của
( )
f x
trên đoạn
a, b
é ù
ê ú
ë û
là một số thực. Kí hiệu:
( )
b
a

f x dx
ò
và được xác
định bởi :
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= -
ò
Người ta thường dùng kí hiệu
( )
b
a
F x
é ù
ê ú
ë û
(hoặc
( )
b
a
F x
) để chỉ
( ) ( )
F b F a-
.
Khi đó:
( ) ( )
b
b

a
a
f x dx F x
é ù
=
ê ú
ë û
ò
2/ Các phương pháp tính tích phân:
a/ Dùng định nghĩa: Sử dụng công thức
( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x
é ù
=
ê ú
ë û
ò
b/ Phương pháp đổi biến.
c/ Dùng công thức tích phân từng phần:
Ta kí hiệu:
du u ' dx=
;
dv v ' dx=

b b
b

a
a a
udv uv vdu
é ù
= -
ê ú
ë û
ò ò
*Chú ý: Kí hiệu
( )
P x
là đa thức của x thì :
+ Nếu gặp
( )
x
sin x
P x . cos x dx
e
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
ò
thì đặt
( )
u P x=
+ Nếu gặp

( ) ( )
P x ln x dx
ò
thì đặt
u ln x=