Các công thức tính Đạo hàm, vi phân của hàm nhiều biến.

Sinh viờn: Di Thanh Tun Lp HSP Toỏn 08 HST Liờn thụng H ng Thỏp.
CC CễNG THC TNH O HM V VI PHN
CA HM NHIU BIN
1/ o hm riờng:
( )
x
0 0
x 0
f
f
x , y
x x
lim
đ
ả
=
ả
V
V
V
;
( )
y
0 0
y 0
f
f
x , y
y y
lim
đ

ả
=
ả
V
V
V
*nh lý o hm ca hm s hp: D l mt tp hp trong
n
R
. Xột hai ỏnh x
m
: D Rj đ
,
( )
f : D Ra đ
. t
F : f

= j
. Nu
f
cú cỏc o hm riờng
f f
,
u v
ả ả
ả ả
liờn tc trong
( )
Dj

v nu
u, v
cú cỏc o hm riờng
u
x
ả
ả
,
u
y
ả
ả
,
v v
,
x y
ả ả
ả ả
trong D thỡ trong D tn ti cỏc o hm riờng
F F
,
x y
ả ả
ả ả
v ta cú:
F f u f v
. .
x u x v x
F f u f v
. .

y u y v y
ỡ
ù
ả ả ả ả ả
ù
= +
ù
ù
ả ả ả ả ảù
ớ
ả ả ả ả ả
ù
ù
= +
ù
ù
ả ả ả ả ả
ù
ợ
. Trong ú
u u
x y
v v
x y
ổ ử
ả ả
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ả ả
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ả ả
ữỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ả ả
ố ứ
l ma trn Jacubi ca
u, v
i
vi
x, y
.
2/ Tớch phõn kộp, tớch phõn bi ba:
a/ Tớch phõn kộp:
( ) ( )
D D

f x, y dS f x, y dxdy=
ũũ ũũ
Vi
dS dxdy=
.
+ Tớch phõn kộp trong to cỏc:
( ) ( )
b d
D b c
f x, y dxdy dx f x, y dy=
ũũ ũ ũ
vi
a x b, c y dÊ Ê Ê Ê
+ i bin s trong tớch phõn kộp: Vi
( ) ( )
x x u, v , y y u, v= =
( ) ( ) ( )
D D '
f x, y dxdy f x u, v , y u, v J dudv
ộ ự
=
ờ ỳ
ở ỷ
ũũ ũũ
.
Trong ú
( )
( )
u v
u v

D x, y
x ' x '
J
y ' y '
D u, v
= =
l nh thc Jacobi, D l nh ca D qua phộp bin i trờn.
+ Tớch phõn kộp trong to cc:
( ) ( )
D D '
f x, y dxdy f r cos , r sin rdrd= jjj
ũũ ũũ
+ Th tớch ca vt th hỡnh tr :
( )
D
V f x, y dxdy=
ũũ
+ Din tớch ca min D trong mt phng Oxy l:
D
S dxdy=
ũũ
+ Din tớch ca mt cong
( )
z f x, y=
gii hn bi mt ng cong kớn l:
Bi thu hoch mụn : Hỡnh hc Vi phõn - 1 -
 Sinh viên: Di Thanh Tuấn – Lớp ĐHSP Toán 08 – ĐHST – Liên thông ĐH Đồng Tháp.
( )
( )
2

2
x y
D
S 1 z ' z ' dxdy= + +
òò
.
+ Nếu bản phẳng D trong mặt phẳng Oxy có khối lượng riêng
( )
x, yr
thì:
- Khối lượng của bản D là:
( )
D
m x, y dxdy= r
òò
- Momen quán tính của bản D đối với Ox, đối với Oy và đối với gốc toạ độ là:
( )
2
x
D
I y x, y dxdy= r
òò
;
( )
2
y
D
I x x, y dxdy= r
òò
( )

( )
2 2
O
D
I x y x, y dxdy= + r
òò
- Toạ độ của trong tâm G của bản D là:
( )
G
D
1
x x x, y dxdy
m
= r
òò
;
( )
G
D
1
y y x, y dxdy
m
= r
òò
b/ Tích phân bội ba:
+ Tích phân bội ba trong toạ độ đề các:
Nếu miền V được xác định bởi
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
a x b, y x y y x , z x z z x£ £ £ £ £ £

thì:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
1 1
y x z x
b
V a
y x z x
f x, y, z dxdydz dx dy f x, y, z dz=
òòò ò ò ò
+ Đổi biến số trong tích phân bội ba: Đặt
( )
x x u, v, w=
,
( ) ( )
y u, v, w , z z u, v, w= =
thì:
( ) ( ) ( ) ( )
V V '
f x, y, z dV f x u, v, w , y u, v, w , z u, v, w J dudvdw
é ù
=
ê ú
ë û

òòò òòò
Trong đó
( )
( )
u v w
u v w
u v w
x ' x ' x '
D x, y, z
J y ' y ' y '
D u, v, w
z ' z ' z '
= =
là định thức Jacobi,
V’ là ảnh của V qua phép biến đổi trên.
+ Tích phân bội ba trong toạ độ trụ:
( ) ( )
V V '
f x, y, z dxdydz f r cos , r sin , z rdrd dz= jjj
òòò òòò
+ Tích phân bội ba trong toạ độ cầu:
( ) ( )
2
V V '
f x, y, z dxdyfz f r sin cos , r sin sin , r cos r sin drd d= qjqjqqqj
òòò òòò
+ Thể tích V của vật thể V là:
V
V dxdydz=
òòò

+ Nếu vật thể có khối lượng riêng tại điểm
( )
x, y, z
là
( )
x, y, zr
thì:
- Khối lượng của vật thể V là:
( )
V
m x, y, z dxdydz= r
òòò
- Toạ độ của trọng tâm G của vật thể V là:
 Bài thu hoạch môn : Hình học Vi phân - 2 -
 Sinh viên: Di Thanh Tuấn – Lớp ĐHSP Toán 08 – ĐHST – Liên thông ĐH Đồng Tháp.
( )
G
V
1
x x x, y, z dxdydz
m
= r
òòò
;
( )
G
V
1
y y x, y, z dxdydz
m

= r
òòò
( )
G
V
1
z z x, y, z dxdydz
m
= r
òòò
.
 Bài thu hoạch môn : Hình học Vi phân - 3 -