Hình học học 10 - phần hình học không gian pptx

Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
Đờng thẳng trong mặt phẳng


1/ Véc tơ chỉ ph ơng, véc tơ pháp tuyến của đ ờng thẳng
* Véc tơ

u


0
đợc gọi là vtcp của d nếu giá của nó // d
* Véc tơ

n


0
đợc gọi là vtpt của d nếu giá của nó

d
NX : Một đờng thẳng có vô số vtcp và vtpt
2/ Ph ơng trình đ ờng thẳng
Đờng thẳng d qua điểm M
0
(x
0
,y
0
) nhận

u
(u
1
;u
2
) làm vtcp có phơng trình
tham số là :



+=
+=
tuyy
tuxx
20
10
t

R
=> ptct


=

2
0
1
0
u
yy

u
xx
phơng trình TQ u
2
(x-x
0
)-u
1
(y-y
0
) = 0
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng : Ax+By+C = 0 (A
2
+B
2

0)
Có vtcp

u
(-B,A) , vtpt

n
(A,B)
Đờng thẳng d qua điểm M
0
(x
0
,y
0

) nhận

n
(n
1
;n
2
) làm vtpt có phơng trình
tổng quát là : n
1
(x-x
0
) + n
2
(y-y
0
) = 0
Cho đờng thẳng d có phơng trình Ax+By+C = 0 hoặc y =ax+b
- Đờng thẳng //d có dạng Ax+By+M = 0 hoặc y = ax+m
- Đờng thẳng

d có dạng Bx+Ay+N = 0 hoặc y= -
nx
k
+
1
áp dụng :
Bài 1 Viết phơng trình tham số, phơng trình chính tắc, phơng trình TQ của đ-
ờng thẳng :
a. Đi qua điểm M(2;-5) nhận

u
(1;3) làm vtcp
b. Qua A(2;4), B(1;3)
Bài 2 Viết phơng trình tham số, phơng trình chính
tắc của đờng thẳng có phơng trình TQ : 3x-5y+11= 0
HD : vtcp

u
(5,3), Chọn x
0
=-2, y
0
=1
Bài 3 Cho trung điểm 3 cạnh một tam giác là
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
M(3;-2), N (-1;1), P(5,2).
Lập phơng trình TQ 3 cạnh của tam giác.
Giải
* phơng trình AB :
01560)2(6)3(1
)1;6(
)2;3(
==++

>
yxyxpt
PNvtcp
QuaM
* phơng trình AC :
023430)2(4)5(3:
)3;4(
)2,5(
=+=+






>
yxyxpt
MNvtcp
QuaP
* phơng trình BC :
0320)1(2)1(4:
)4,2(
)1,1(
=+=+

>
yxyxpt
MPvtcp
QuaN
Bài 4 : Viết phơng trình trung trực các cạnh một tam giác
biết trung điểm các cạnh là M(-2;1), N(3,-4), P (5,2)
Gọi tam giác đã cho là ABC ,
Giải
M;N;P lần lợt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC
PT trung trực của AB
0130)1(6)2(2:
)6,2(
)1,2(
=+=++






>
yxyxpt
NPvtpt
QuaM
Tơng tự cho các trờng hợp còn lại
Bài 5 : Cho trung điểm 3 cạnh của tam giác ABC là M(2,1), N(5,3), P(3,-4)
a. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC
b. Lập phơng trình các đờng trung trực các cạnh của tam giác ABC
c. Lập phơng trình các đờng cao của tam giác ABC

( Tơng tự Bài 3+4)
Bài 6
a. Viết phơng trình đờng thẳng qua A(1,-2) và //d : 4x-3y+5 = 0
b. Viết phơng trình đờng thẳng qua giao điểm :



=+
=+
0138:
0274:
2
1
yxd
yxd
đồng
thời // với

: x-2y= 0
Giải
a. Đờng thẳng qua A và // d có dạng:
4x-3y+M = 0 (*)
Thay A(1,-2) vào (*) ta đợc M = -10
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
Vậy phơng trình đờng thẳng cần tìm là : 4x-3y-10 = 0
b. Toạ độ giao điểm B của d
1
, d
2
là nghiệm của hệ :

)
52
36
;
52
89
(
52
36
52
89
0138
0274








=
=




=+
=+
B

y
x
yx
yx
Phơng trình đờng thẳng qua B và //

có dạng : x-2y+N = 0 (*)
Thay toạ độ của B vào (*) ta đợc N = -161/52
Vậy phơng trình đờng thẳng cần tìm là : 52x-104y-161=0
Bài 7 Cho tam giác ABC có đỉnh A(2;2) và phơng trình 2 đờng cao kẻ từ B, C
lần lợt là :
d
1
: 9x-3y- 4 = 0 ; d
2
: x+y-2 = 0
a/ Viết phơng trình các cạnh của tam giác
b/ Lập phơng trình đờng trung tuyến của tam giác
Giải
a/ Ta thấy A không thuộc 2 đờng cao
gọi d
1
, d
2
lần lợt xuất phát từ B và C
Lập phơng trình AB : Qua A(2;2) và

d
2
có dạng :

x-y+M= 0 (*) Thay A(2;2) vào (*) đợc M = 0
*Lập phơng trình AC : Qua A(2;2) và

d
1
có dạng -3x-9y+M = 0 (**)
Thay A(2;2) vào (**) đợc M = 24
Vậy phơng trình AC : 3x+9y-24 = 0 x+ 3y 8 = 0
Lập phơng trình BC (Tìm toạ độ B, C)
+ Toạ độ B là nghiệm của hệ :
)
3
2
;
3
2
(
3/2
3/2
0439
0
B
y
x
yx
yx

=
=




=
=
+ Toạ độ C là nghiệm của hệ :
)3;1(
02
083




=+
=+
C
yx
yx
Vậy phơng trình BC :







>

)
3
7
;
3
5
(
)3;1(
BCvtcp
QuaC
=> phơng trình 7x+5y-8=0
b/ Học sinh tự giải
3/ Vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng chùm đ ờng thẳng
Kiến thức cần nhớ :
Xét 2 đờng thẳng có phơng trình :
d
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
= 0
d
2
:A
2
x+B
2

y+C
2
= 0
d
1
cắt d
2



2
1
2
1
B
B
A
A

Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
d
1
//d
2



2
1
2

1
2
1
C
C
B
B
A
A
=
d
1
trùng d
2


2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
==
d

1

d
2

A
1
A
2
+B
1
B
2
= 0
* Đờng thẳng qua giao điểm d
1
và d
2
có dạng :
m(A
1
x+B
1
y+C
1
) + n(A
2
x+B
2
y+C

2
) = 0
Bài 1: Với a, b ? thì các đờng thẳng
d
1
: ax-2y-1 = 0; d
2
: 6x- 4y- b = 0
a. Cắt nhau
b. Song song
c. Trùng nhau
d. Vuông góc
Giải :
a. d
1
cắt d
2

3
4
2
6
a
a
b. d
1
//d
2

=
=
2
3
1
4
2
6
b
a
b
a
c. d
1
trùng d
2




=
=
==
2
3
1
4

2
6
b
a
b
a
d. d
1

d
2
2.4+a.6 = 0 a= -4/3
Bài 2 Tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3)
a. Biết 2 đờng cao có phơng trình :
BH : 5x+3y-25= 0; CR : 3x+8y-12 = 0. Viết phơng trình đờng cao AL
b. Viết phơng trình đờng thẳng BC nếu biết đờng trung trực của BC là :
3x+2y- 4 = 0 và toạ độ trọng tâm G(4;-2)
Giải
a. Đờng cao AL thuộc chùm xđ bởi BH, CR nên phơng trình dạng :
m(5x+3y-25)+n(3x+8y-12)=0 ( 5m+3n)x+(3m+8n)y-(25m+12n) = 0
Đờng thẳng AL đi qua A nên ta có : -5m-3n-9m-24n-25m-12n = 0
39m+39n=0
Chọn m=1 => n = -1 Vậy phơng trình AL : 2x-5y-13 = 0
b. Hớng dẫn
- Lập phơng trình AG
- Đờng thẳng BC thuộc chùm AG và đờng trung trực của BC => phơng trình
Bài 3 Các cạnh tam giác ABC cơ phơng trình
AB : 2x+3y 5 = 0; BC ; x-2y+1 = 0 ; CA: -3x+4y-1 = 0. Viết phơng trình
đờng cao AH của tam giác ABC
Hớng dẫn

- AH thuộc chùm AB và CA có dạng ?
- AH

BC =>

n
.

n
= ?
- AH : 34x+17y-51 = 0
Bài 4 : Viết phơng trình đờng thẳng qua M(2;5) và cách đều 2 điểm P (-1;2)
và Q(5;4)
Hớng dẫn
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
- Đờng thẳng qua trung điểm PQ
- Qua M và // PQ
4/ Góc giữa hai đ ờng thẳng . Khoảng cách từ một điểm tới một đ -
ờng thẳng
Cho d
1
: A
1
x+B
1
y+C
1
= 0
d
2

:A
2
x+B
2
y+C
2
= 0
cos(d
1
;d
2
) =
2
1
2
1
2
1
2
1
2121
.
||
BABA
BBAA
++
+
d
1

d
2

A
1
A
2
+B
1
B
2
= 0
Cho d
1
: y =k
1
x+b
1
d
2
: y = k
2
x+b
2
tg(d
1
;d
2
) =
21

12
1 kk
kk
+

d
1

d
2

k
1
.k
2
= -1
*Phơng trình đờng phân giác của góc tạo bởi 2 đờng thẳng d
1
và d
2
là :
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x+B y+C A x+B y+C
A AB B
=
+ +
Bài 1 : Tìm khoảng cách từ điểm M(1,2) tới đờng thẳng
a/ 2x+3y -5 =0

b/ 4x -2y +1 = 0
c/ -3x +y -4 = 0
Bài 2 Viết phơng trình đờng phân giác của hai đờng thẳng
a/ 2x + y 3 = 0 và x -2y +1 = 0
b/ 4x y + 2 = 0 và
1
2 3
x t
y t
=


= +


BTVN
Bài 1 : Viết ptts, ptct rồi suy ra phơng trình tổng quát của đờng thẳng
a. Qua M(-3;-2) và nhận

u
(1;-2) làm vtcp
b. Qua 2 điểm A(4;-1) và B(-2;7)
Bài 2 : Viết ptts, ptct của đờng thẳng có phơng trình tổng quát là :
3x-2y+5 = 0
Bài 3 : Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;5) và 2 đờng cao
có phơng trình : 2x+3y+7 = 0 và x-11y+3 = 0
Bài 4 :
a. Viết phơng trình đờng thẳng qua A(3;-4) và // x+4y-2 = 0
b. Viết phơng trình đờng thẳng qua giao điểm của 2 đờng thẳng :
3x-5y+2=0 và 5x-2y+4 = 0 đồng thời // với đờng thẳng 2x-y+4 = 0

Bài 5 : Lập phơng trình các đờng trung trực các cạnh một tam giác biết trung
điểm các cạnh là M(-1;-1); N(1;9), P(9;1)
Đờng tròn
1/ Phơng trình chính tắc, tổng quát của đờng tròn
* Đờng tròn tâm I(a,b) bán kính R có phơng trình
chính tắc:
(x-a)
2
+(y-b)
2
= R
2
* Khai triển phơng trình chính tắc ta đợc :
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
x
2
+y
2
2ax 2by + c = 0 gọi là ph ơng trình tổng quát
của đờng tròn.
Với c =
2 2 2
a b R+
; R =
2 2
a b c+
* Đặc biệt I

O(0,0) ta có phơng trình đờng tròn là :
x

2
+ y
2
= R
2
Bài 1 : Lập phơng trình đờng tròn tâm I (2,3) bán kính R = 2
Phơng trình đờngtròn là: (x-2)
2
+(y-3)
2
= 4
Bài 2 : Lập phơng trình đờng tròn tâm I (1,2) và đi qua điểm A( 2, -1)
Đờng tròn tâm I(1;2) bán kính R = IA =
10)21()12(
22
=+
có phơng
trình là (x-1)
2
+ (y-2)
2
=10
Bài 3 : Lập phơng trình đờng tròn qua A(2,0), B(0,1), C(3,0)
Gọi phuơng trình đờng trò là x
2
+y
2
2ax 2by + c = 0 (C)
Vì A,B,C thuộc (C) nên ta có:

=
=
=






=
=
=






=+
=+
=+
2/7
6
2/5
12
44

52
069
021
044
b
c
a
cb
ca
a
ca
cb
ca
vậy phơng trình đờng tròn là: x
2
+y
2
5x 7y + 6= 0
2/ Phơng tích của một điểm đối với một đờng tròn
Cho x
2
+y
2
2ax 2by + c = 0 (C) với a
2
+b
2
> c và M
0
(x

0
, y
0
) ta có :
P M
0
/(C) =M
0
I
2
R
2
= x
0

2
+y
0

2
2ax
0
2by
0
+ c
P M
0
/(C) < 0 => M
0
nằm trong đờng tròn

P M
0
/(C) = 0 => M
0
nằm trên đờng tròn
P M
0
/(C) > 0 => M
0
nằm ngoài đờng tròn
Ví dụ : Tìm phơng tích của điểm M (3, 2) với đờng tròn sau :
a/ x
2
+y
2
2x 2y -10 = 0
P M/(C)=3
2
+2
2
-2.3-2.2-10 = -7<0 => M nằm trong đờng tròn
b/ x
2
+y
2
4x 2y +4 = 0
c/ x
2
+y
2

2x 2y +2 = 0
3/ Trục đẳng phơng của hai đờng tròn
Cho : x
2
+y
2
2ax 2by + c = 0 (C)
x
2
+y
2
2a x 2b y + c = 0 (C )
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
Trục đẳng phơng của hai đờng tròn là đờng
thẳng có phơng trình :
2(a-a )x +2(b-b )y +c - c = 0
Ví dụ : Cho 2 đờng tròn có phơng trình
x
2
+y
2
2x 2y -10 = 0 (C
1
)
x
2
+y
2
4x 2y +4 = 0 (C
2

)
Tìm trục đẳng phơng của hai đờng tròn
4/ Phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn
Cho : x
2
+y
2
2ax 2by + c = 0 (C) và điểm M(x
0
, y
0
).
Hãy lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm
M(x
0
, y
0
) và tiếp xúc (C)
Nếu điểm M(x
0
, y
0
) nằm trên (C) thì phơng
trình tiếp tuyến là :
(x
0
-a)(x-x
0
) + ( y
0

-b)(y-y
0
) = 0
Nếu điểm M(x
0
, y
0
) nằm ngoài đờng tròn lập
phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm M(x
0
, y
0
). ĐK để d là tiếp tuyến là
d (M
0
, d) = R
Ví dụ : Cho đờng tròn (C) : x
2
+ y
2
-4x+8y -5 = 0
a/ Lập phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (-1;-8)
b/ Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1,0)
c/ viết phơng trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đờng thẳng 3x-
4y+5=0


5/ Bài tập
Bài 1 : Tìm tâm và bán kính đờng tròn
a/ x

2
+y
2
-2x+4y+1 = 0
b/ x
2
+y
2
+4x -8y + 3 = 0
Bài 2 : Lập phơng trình đờng tròn trong các trờng hợp sau :
a/ Tâm I(2,-3) và đi qua điểm M(3,5)
b/ Đờng kính AB biết A(2, 3) , B(4,1)
c/ Tâm I(-1,2) và tiếp xúc với đờng thẳng x-2y+7 = 0
Bài 3 : Lập phơng trình đờng tròn đi qua 3 điểm
a/ A(1,2), B(5,2), C(1,-3)
b/ A(-2,4), B(5,5), C(6, -2)
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
Bài 4 : Lập phơng trình đờng tròn tiếp xúc với hai trục tạo độ Ox, Oy và
đi qua điểm M(2,1).
Ba đờng cô níc
Elíp (E) Hypebol (P) Parabol (P)
1. Định
nghĩa
(E)={M|MF
1
+MF
2
=2a>2c =F
1
F

2
}
F
1
(-c,0), F
2
(c,0) Tiêu điểm
F
1
F
2
= 2c - Tiêu cự
Trục lớn 2a, nửa trục là a
Trục nhỏ 2b, nửa trục b
b M
-a/e -a F a a/e

-b
(H)={M|MF
1
-MF
2
|=2a<2c =F
1
F
2
}
F
1
(-c,0), F

2
(c,0) Tiêu điểm
F
1
F
2
= 2c - Tiêu cự
Trục thực Ox, nửa trục a
Trục ảo Oy, nửa trục b
Cho

cố dịnh và F


, MH


M

(P) MF = MH
F Tiêu điểm của (P)

- Đờng chuẩn của (P)
H M

p
2

O F
p

;0
2
2. Phơng
trình chính
tắc
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
với a
2
= b
2
+c
2
2 2
2 2
x y
1
a b
=
với c
2
= a
2
+b
2
Y

2
= 2px
3. Tâm sai
e =
c
a
<1 e =
c
a
>1
MF
e 1
MH
= =
4. Đờng
chuẩn
a
x
e
=
a
x
e
=
p
x
2
=
5. Tiệm cận
b

y x
a
=
6. Bán kính
qua tiêu
1
cx
MF a
a
= +
2
MF =
cx
a
a

1
2
cx
MF a
a
(x 0)
cx
MF a
a

= +


>

= +


1
2
cx
MF a
a
(x 0)
cx
MF a
a

=


<


=


p
MF x
2
= +
7. Tiếp
tuyến

* Tiếp tuyến của (E) tại điểm M
0
(x
0
, y
0
)

(E) là :
0 0
2 2
x.x y.y
1
a b
+ =
* Đờng thẳng Ax+By+C = 0 là tiếp
tuyến của (E) a
2
A
2
+b
2
B
2
= C
2
* Đờng thẳng y = kx+m là tiếp tuyến
của (E) k
2
a

2
+b
2
= m
2
* Tiếp tuyến của (H) tại điểm M
0
(x
0
, y
0
)

(H) là :
0 0
2 2
x.x y.y
1
a b
=
* Đờng thẳng Ax+By+C = 0 là tiếp
tuyến của (E) a
2
A
2
-b
2
B
2
= C

2
* Đờng thẳng y = kx+m là tiếp tuyến
của (E) k
2
a
2
-b
2
= m
2
* Tiếp tuyến của (P) tại điểm M
0
(x
0
, y

(P) là : y
0
y =p(x+x
0
)
* Đờng thẳng Ax+By+C = 0 là tiếp
tuyến của (P) pB
2
= 2AC
* Đờng thẳng y = kx+m là tiếp tuyến
của (P) p
2
=2km
Bài tập về Elíp

Ví dụ 1 : Xác định độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của
các (E) có phơng trình sau :
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
a/
2 2
x y
1
25 9
+ =
b/
2 2
x y
1
16 9
+ =
c/
2 2
x y
1
49 16
+ =
d/
2 2
x y
4
25 9
+ =
e/ 4x
2
+9y

2
= 1 g/ 4x
2
+9y
2
=36
Ví dụ 2 : Lập phơng trình chính tắc của (E) biết :
a/ Độ dài trục lớn và nhỏ lần lợt là 8 và 6
b/ Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự 8
c/ Độ dài trục lớn là 12, tâm sai e = 1/2
Ví dụ 3 :Lập phơng trình chính tắc của (E) trong các trờng hợp sau :
a/ (E) đi qua các điểm M(0;3), N (3;-12/5)
b/ (E) có một tiêu điểm F
1
(
3
3;0),M(1; )
2

Bài tập
Bài 1 : Viết phơng trình chính tắc của (E) biết :
a/ Trục lớn 10, tiêu cự 8.
b/ Tiêu cự 6, tâm sai e = 3/5
c/ Độ dài trục nhỏ 10, tâm sai e = 12/13
d/ Khoảng cách giữa các đờng chuẩn là 16, độ dài
trục lớn 8
e/ Khoảng cách giữa các đờng chuẩn là 32, tâm sai
e=1/2
a/ a =5, b=3 =>ptct ?
b/ a =5, b =4 =>ptct ?

c/ a =13, b =5 => ptct ?
d/ a = 4, b =
12
=> ptct ?
e/ a = 8, b =
48
=> ptct ?
Bài 2
a/ Viết phơng trình chính tắc của (E) có tiêu cự 8, tâm sai e =4/5.
b/ Viết phơng trình tiếp tuyến của (E) xuất phát từ M(0,
15
4
)
Bài 3 : Viết phơng trình tiếp tuyến của (E) :
2 2
x 2y
1
10 5
+ =

biết tiếp tuyến // (d) : 3x+2y+7 = 0
ĐS : 3x+2y

10 = 0
Bài 4 : Lập phơng trình chính tắc của (E) biết (E) nhận hai đờng thẳng
d : 3x-2y-20 = 0
d: x+6y-20 = 0 làm tiếp tuyến
Giải
GS ptct của (E) là
2 2

2 2
x y
1
a b
+ =
Vì d, d là tiếp tuyến của (E) nên ta có :
2 2 2 2
2 2 2 2
20 9a 4b a 40
20 a 36b b 10
= + =



= + =

=> ptct :
2 2
x y
1
40 10
+ =
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
Bài 5 : Đờng thẳng x-y- 5 = 0 là tiếp tuyến của (E) có các tiêu điểm F
1
(-3;0),
F
2
(3;0). Viết ptct của (E).
Giải

GS ptct của (E) là
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
Theo giả thiết ta có :
2 2 2 2
2 2 2 2
5 1.a 1b a 17
3 a b b 8
= + =



= =

=> phơng trình (E) :
2 2
x y
1
17 8
+ =
Bài 6 : Qua tiêu điểm của (E) :
2 2
2 2
x y
1
a b

+ =
vẽ đờng thẳng vuông góc với trục
Ox, cắt (E) tai hai điểm A,b . Tìm độ dài AB.
Bài 7 : Tìm trên (E)
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
một điểm M sao cho MF
1
=2MF
2
, trong đó
F
1
, F
2
là các tiêu điểm của (E).
Bài 8 : Cho (E) :
2 2
x y
1
16 9
+ =
và điểm I(1;2). Viết phơng trình đờng thẳng đi
qua I biết rằng đờng thẳng đó cắt (E) tại hai điểm A, B mà I là trung điểm của
AB.
Bài 9 : Tìm tâm sai của (E) trong các trờng hợp sau :

a/ Các đỉnh trên trục bé nhìn hai tiêu điểm dới góc vuông.
b/ Độ dài trục lớn bằng k lần trục bé (k > 1)
c/ Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn tới một đỉnh nằm trên trục bé bằng
tiêu cự.
Bài 10 :Viết phơng trình tiếp tuyến của (E) :
2 2
x y
1
25 9
+ =
biết tiếp tuyến đó //
đờng thẳng d : x+2y 1 = 0
Bài tập về hypebol
Ví dụ1 : Lập phơng trình chính tắc của (H) biết :
a/ Nửa trục thực 4, tiêu cự 10.
b/ Tiêu cự bằng 2
13
, một tiệm cận là y =2x/3
c/ Tâm sai e=
5
, (H) qua điểm M(
10,6
)
Ví dụ 2 : Lập ptct của (H) biết :
a/ Trục thực 10, trục ảo 8
b/ Trục thực 8, tâm sai 5/4
c/ Tiêu cự 20, một tiệm cận có phơng trình 4x+3y=0
d/ Trục ảo 6 và hai tiệm cận vuông góc nhau
e/ Đi qua M(6,4), mỗi tiệm cận tạo với Ox một góc 30
0

Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
Ví dụ 3 : Trong mặt phẳng Oxy cho (H) có tiêu điểm F
1
(-4;0); F
2
(4;0) và
điểm A(2;0)
a/ Lập phơng trình chính tắc của (H) qua A và có tiêu điểm F
1
, F
2
b/ Tìm toạ độ điểm M trên (H) sao cho MF
2
= 2MF
1
Ví dụ 4 : Lập ptct của (H) biết :
a/ Trục thực 10, trục ảo 8
b/Tiêu cự 20, một tiệm cận phơng trình 4x+3y = 0
c/ Độ dài trục ảo 6 và hai tiệm cận vuông góc nhau.
Bài tập về nhà
Bài 1 : Viết phơng trình chính tắc của (H) biết :
a/ Tiêu cự 10, trục ảo 8
b/ Trục thực 16, tâm sai 5/4
c/ Khoảng cách các đờng chuẩn 50/13, tiêu cự 26
d/ Khoảng cách giữa các đờng chuẩn 104/5, tiệm cận y =

3x/4
Học sinh tự giải
Bài 2 : Cho (H) : x
2

-4y
2
=16
a/ Xác định các trục và vẽ hình
b/ Lập phơng trình tiếp tuyến của (H) tại M(
(2 5;1)
Hớng dẫn
a/ (H)
2 2
x y
1
16 4
=
=>
a 4
b 2
=


=

b/ Ta thấy M thuộc (H) => phơng trình tiếp tuyến tại M là :
2 5x 2y 8 0 =
Bài 3 : Lập ptct của (H) với Ox là trục thực, tổng hai bán trục là a+b =7, ph-
ơng trình 2 tiệm cận y =
3
x
4

a/ Tính độ dài các bán trục và vẽ hình

b/ Lập phơng trình tiếp tuyến của (H)// 5x-4y+10 = 0
H ớng dẫn
a/ Ta có :
2 2
b 3
a 4
x y
ptct 1
a 4
16 9b 3
a b 7

=
=


=

=


+ =

b/ ĐS : 5x-4y

16=0
Bài 4 : Viết phơng trình tiếp tuyến của (H)
2 2
x y
1

5 4
=
biết tiếp tuyến đi qua
điểm A(3;-2)
ĐS : 2x+y-4=0
Bài 5 :
a/ Viết phơng trình tiếp tuyến của (H) :
2 2
x y
1
8 32
=
phát xuất từ C(1;-10)
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
b/ Cho (H) có trục thực Ox, trục ảo Oy và tiếp xúc với đờng thẳng
5x-6y-16=0; 13x-10y-48=0. Viết phơng trình (H).
Bài 6 : Cho (H) :
2 2
x y
1
16 9
=
. Viết phơng trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp
tuyến
a/ Đia qua A(4;1)
b/ Đi qua B(2;1)
c/ //d : x-y+6 = 0
d/ vuông góc d : x-y = 0
Bài tập về parabol
Bài 1 : Xác định tham số tiêu, tiêu điểm, đờng của (P)

a/ y
2
=-4x
b/ x
2
= 5y
c/ y
2
=8x
Bài 4 : Cho (P) : y
2
=16x
a/ Lập phơng trình tiếp tuyến của (P) sao cho nó vuông góc với d:3x-2y+6 =0
b/ Lập phơng trình tiếp tuyến của (P) qua M(-1;0)
H ớng dẫn
a/ ĐS : 2x+3y+18 = 0
b/ ĐS : 2x

y+2 = 0
Bài 5 :
a/ Lập phơng trình tiếp tuyến của (P) y
2
= -2x biết tiếp tuyến

d: 2x-y+5 =0
b/ Lập phơng trình tiếp tuyến của (P) y
2
= 4x biết tiếp tuyến đi qua M(3,4)
Đờng thẳng, mặt phẳng trong không gian
A/ Mục đích yêu cầu

1/ Tích có h ớng của hai véc tơ
Cho
a

(a
1
,a
2
,a
3
),
b

(b
1
,b
2
,b
3
)
Tích có hớng của hai vtơ KH [
a

;
b

]=
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a a a

; ;
b b b b b b

ữ


a

//
b

[
a

;
b

]=0
[
a

;
b

]

a

, [
a

;
b

]

b

|[
a

;
b

]|= |
a

||
b

|.sin(
a

,
b

)

a

,
b

,
c

đồng phẳng [
a

;
b

].
c

= 0
S
ABC
=
1
2
|[
>
AB
,
AC
>
]|
V
ABCD

=
1
6
|[
>
AB
,
AC
>
]
AD
>
|
V
ABCD.ABCD
= |[
>
AB
,
AC
>
]
AD
>
|
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
Ví dụ 1 : Cho |
a

|=6 |

b

|=5, (
a

,
b

)=30
0
Tính |[
a

,
b

]|
Ví dụ 2 : Cho
a

(3,-1,-2),
b

(1;2;-1) Tính :
a/ [
a

;
b

], |[
a

;
b

]|
b/ [(2
a

+
b

),
b

]
Ví dụ 3 : Cho
a

(2,3,1),
b

(5,7,0),
c

(3,-2,4). Chứng tỏ rằng 3 véc tơ này
không đồng phẳng

n

2/Ph ơng trình mặt phẳng
Dạng Ax+By+Cz+D = 0 (A
2
+B
2
+C
2


0 )
Có vtpt
n

(A,B,C)
Phơng trình mphẳng qua M(x
0
,y
0
,z
0
) nhận
n

(A,B,C) làm vtpt có phơng trình : A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0

) = 0
Nếu
a

,
b

là véc tơ chỉ phơng của (P) và
a

không cùng phơng
b

thì vtpt
n

=[
a

,
b

]
Nếu A,B,C không thẳng hàng thì
n

=[
AB
uuur
,

AC
uuur
] là vtpt của (ABC)
Từ phơng trình Ax+By+Cz+D = 0 (A
2
+B
2
+C
2


0 ta có :
- Nếu D = 0 mặt phẳng qua gốc toạ độ
- Nếu A = 0 mặt phẳng chứa hoặc //Ox
- Nếu B = 0 mặt phẳng chứa hoặc //Oy
- Nếu C = 0 mặt phẳng chứa hoặc //Oz
Ví dụ 1: Viết phơng trình mặt phẳng qua A(1,-2,3) và // 3x+2y-5z+1 = 0 (P)
ĐS : 3x+2y-5z+11 = 0
Ví dụ 2 : Viết phơng trình mặt phẳng qua 3 điểm A(2,1,3), B(-4,2,-1),C(1,3,-2)
ĐS : x+26y+11z + 93 = 0
Ví dụ 3 : Viết phơng trình trung trực của đoạn AB biết A( 3,2,-1), B(1,2,3)
ĐS : x-2z = 0
Bài 1 : Lập phơng trình mặt phẳng qua P(2;1;-1), Q(1;2;5) và vuông góc với mặt
phẳng 2x+y-z+3 = 0
Bài 2 : Viết phơng trình mặt phẳng qua M(2;-1;2) //Oy và vuông góc với 2x-
y+3z+4=0
Bài 3 : Cho tứ diện ABCD với A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6)
a/ Viết phơng trình mặt phẳng (BCD)
b/ Viết phơng trình mặt phẳng qua A,B và //CD
c/ Viết phơng trình mặt phẳng qua C,D và //AB

Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
3/ Vị trí t ơng đối của hai mặt phẳng, chùm mặt phẳng . Góc giữa hai mặt
phẳng, khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.
Cho (P) : Ax+By+Cz +D = 0 và (Q) : Ax+By+Cz+D = 0
Vị trí
+ (P)//(Q)
A B C D
A' B' C' D'
= =
+
A B C D
(P) (Q)
A' B' C' D'
= = =
+ (P) cắt (Q) A:B:C

A:B:C
Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) đến (P) là : d(M
0
,(P)) =
2 2 2
|Ax+By+Cz +D |

A B C+ +
Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là : cos
2 2 2 2 2 2
| AA' BB' CC' |
A B C . A' B' C'
+ +
=
+ + + +
Mặt phẳng qua giao tuyến của (P) và (Q) có dạng :
m(Ax+By+Cz +D )+ n(Ax+By+Cz+D) = 0
Bài 1 : Xét vị trí tơng đối của các cặp mặt phẳng sau :
a/ x+2y-3x+1=0 và 2x-y+4z+2=0
b/ x+y+z+2=0 và 2x+2y+2z-3=0
c/ 9x-6y-9z-5=0 và 3x-2y-3z+5=0
d/ 10x-10y+20z-40=0 và x-y+2z-4 = 0
Bài 2 : Xác định m, n để các cặp mặt phẳng sau song song với nhau :
a/ 2x+my+2z+3 =0 và nx+2y-4z+7 = 0
b/ 2x+y+mz-2=0 và x+ny+2z+8 = 0
Bài 3 Cho hai mặt phẳng có phơng trình :
(a+3)x-2y+(5a+1)z-10=0 và 2x ay+3z-6+a = 0
Với giá trị nào của a thì hai mặt phẳng đó :
a/ Cắt nhau
b/ Song song
c/ Trùng nhau
Bài 4 Viết phơng trình mặt phẳng trong các trờng hợp sau :
a/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng x+2y-4=0 và x+y-z-3 = 0 đồng thời //
x+y+z-2=0
b/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0, đồng thời vuông
góc với mặt phẳng 2x-z+7 = 0
c/ Đi qua M(2;1;-1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng x-y+z-4=0 và 3x-y+z-

1=0
Bài 5 :
a/ Cho 4 điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1)
b/ Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật có các đỉnh A(3,0,0), B(0,4,0),
C(0,0,5), O(0,0,0). Xác định toạ độ đỉnh D . Viết phơng trình mặt phẳng (ABD).
Tính k/c từ C tới (ABD)
ĐS :
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
a/ (ABC) : y+2 = 0; h=(d,(ABC))=3
b/ Ta có :
OD
uuur
=
OA
uuur
+
OB
uuur
+
OC
uuur
=(3;4;5)
phơng trình mặt phẳng qua A(3;0;0) nhận
n

=[
AB
uuur
,
AD

uuur
]=(20;15;12) làm vtpt có
phơng trình : 20x+15y-12z-60=0.
Khoảng cách từ C tới (ABD) là
120
769

Bài 6 : Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng
a/ (P): x-2y+3z+1=0 và (Q): 2x-y+3z+5=0
b/ 6x-2y+z+1 =0 và 6x-2y+z-3 = 0
Giải
a/ Gọi M(x;y;z) là điểm cách đều hai mặt phẳng ta có :
d(M,(P)) = d(M,(Q))
x y 4 0
3x 3y 6z 4 0
+ + =


+ =

Bài 7
a/ Tìm điểm M trên Oz và cách đều điểm M(1;2;-2) và mặt phẳng 2x+2y+z-5=0
b/ Tính k/c giũa hai mặt phẳng 7x-5y+11z-3=0 và 7x-5y+11z-5=0
Bài 8 Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau
a/ x-y
2
+z-1=0 và x+y
2
-z+3=0
b/ 6x+3y-2z=0 và x+2y+6z-12=0

c/ Trong hệ Oxyz cho H(
1
2
,0,0), K(0,
1
2
,0), I(1,1,
1
3
). Tính côsin của góc tạo bởi
(HKI) và (Oxy)
4/ Đ ờng thẳng trong không gian
* Đờng thẳng d qua M
0
(x
0
,y
0
,z
0
) nhận

u
(a,b,c) làm vtcp có phơng trình tham số
là :
0
0
0
x x at
y y bt

z z ct
= +


= +


= +

=> ptct
0 0 0
x x y y z z
a b c

= =
pttq :
0 0
0 0
b(x x ) a(y y ) 0
c(x x ) a(z z ) 0
=


=

* Phơng trình tổng quát của đờng thẳng : d
Ax By Cz D 0
A'x B'y C'z D' 0
+ + + =

+ + + =

ĐK : A
2
+B
2
+C
2


0, A
2
+B
2
+C
2


0, A:B:C # A:B:C
d có vtcp

u
=[
n

,
n

]

Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
Bài 1 Viết phơng trình tham số, ptct, phơng trình tổng quát của đờng thẳng :
a/ Qua A(2,0,-1) và có vtcp

u
(1,-3,2)
b/ Qua A(2,0,-3), B(4,1,2)
c/ Qua M(1,4,1) và //d:
2x 3y 5z 4 0
4x y z 1 0
+ + =


+ + =

Bài 2 Tìm phơng trình đờng thẳng trong mỗi trờng hợp sau đây :
a/ Đi qua A(4,3,1) và // d :
x 1 2t
y 3t
z 3 2t
= +


=


= +

b/ Đi qua B(-2,3,1) và // d:
x 2 y 1 z 2

2 0 3
+ +
= =
c/ Đi qua C(1,2,-1) và //d :
x y z 3 0
2x y 5z 4 0
+ + =


+ =

Đáp số
a/ ptts :
x 4 2t
y 3 3t ptct
z 1 2t
= +


=


= +

x 4 y 3 z 1
2 3 2

= =

=>pttq

x z 3 0
3x 2y 18 0
=


+ =

b/ ptts :
x 2 2t
y 3 ptct
z 1 3t
= +


=


= +

x 2 y 3 z 1
2 0 3
+
= =
=>pttq
3x 2z 8 0
y 3 0
=


=

c/ vtcp của d là

u
=[
n

,
n

] = (4;-7;-3)
ptts
x 1 4t
y 2 7t ptct
z 1 3t
= +


=


=

x 1 y 2 z 1
4 7 3
+
= =

=>pttq
7x 4y 15 0

3x 4y 1 0
+ =


+ + =

Bài 4 Viết pttq của đờng thẳng dới dạng giao của hai mặt phẳng //với Ox và Oy
khi biết ptts của nó :
a/ d:
x 1 t
y 2 4t
z 3 2t
= +


=


= +

b/
x 2 2t
y 1 3t
z 4 3t
= +


= +

= +

Hớng dẫn (hệ gồm 1 phơng trình khuyết x và 1 phơng trình khuyết y)
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
a/ptct của d :
y 2 z 3
y 2z 8 0
x 1 y 2 z 3
4 2
pttq
1 4 2 x 1 z 3 2x z 5 0
1 2


=

+ =

+


= =

+ + =


=


b/ptct của d :

y 1 z 4
y z 9 0
x 2 y 1 z 4
3 3
pttq
2 3 3 x 2 z 4 3x 2z 14 0
2 3
+ +

=

=

+ +

= =

+ =


=


Bài 5 Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng khi biết pttq của nó:
a/
x y z 3 0
2x y 6z 2 0
+ + =

+ =

b/
2x y z 5 0
2x z 3 0
+ + =


+ =

H ớng dẫn
a/
1 8
1 8
x y
QuaM( ; ;0)
z
3 3
3 3
ptct
5 8 3
vtcpu(5, 8, 3)


+ +


= =

b/
QuaM( 1,4,1)
x 1 y 4 z 1
ptct
1 4 2
vtcpu(1,4,2)



+

= =



Bài 6
a/ CMR cặp đờng thẳng sau vuông góc nhau
d
1
:
x 1 2t
y 2 3t
z 1 6t
= +


= +

=

và d
2
:
2x y 4z 2 0
4x y 5z 4 0
+ + =


+ =

b/ Viết ptct của đờng thẳng qua M(2,3,-5) và // d :
2x y 3z 1 0
3x y z 2 0
+ + =


=

Bài 7 Viết ptct của (

) qua A(1,1,-2)//mặt phẳng (P) và vuông góc với d biết :
(P) : x-y-z-1 =0 , d:
x 1 y 1 z 2
2 1 3
+
= =

H ớng dẫn :
Gọi
a

,
b

,
n

theo thứ tự là vtcp của d, (

) và vtpt của (P) ta có :
a

(2,1,3),
n

(1,-
1,-1)
Theo giả thiết :
d b a
b a,n (2,5, 3)
//(P)
b n

= =








Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
=> đờng thẳng qua A nhận
b

làm vtcp có ptct :
x 1 y 1 z 2
2 5 3
+
= =

Bài 8 : Tìm tập hợp các điểm P trong không gian cách đều 3 điểm A(1,1,1), B(-
1,2,0), C(2,-3,2)
H ớng dẫn
Gs P(x,y,z) khi đó :
PA PB 2x y z 2 0
PA PC x 2y z 7 0
= + + =

= + + =

Bài 9 : Trong không gian Oxyz cho (P) qua 3 điểm A(1,3,2), B(1,2,1), C(1,1,3).
Viết ptts của đờng thẳng d qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với
mặt phẳng chứa tam giác đó.
H ớng dẫn
Ta có G(1,2,2)
Phơng trình mặt phẳng (ABC)
QuaA(1,3,2)
pt : x 1 0
vtcp n AB,AC ( 3,0,0)



=


= =



uuur uuur
đờng thẳng d qua G(1,2,2) và vuông góc với (ABC) nhận
n

(-1,0,0) làm vtcp có
phơng trình:
x 1 t

y 2
z 2
=


=


=

Bài 10 Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của d:
x 1 y 2 z 3
2 3 1
+
= =
a/ Trên mặt phẳng Oxy
b/ Trên mặt phẳng Oxz
H ớng dẫn
a/ mặt phẳng //Oz chứa đờng thẳng đã cho có phơng trình : 3x-2y-7=0
Vậy phơng trình hình chiếu vuông góc của d trên Oxy là :
3x-2y-7=0
z=0



b/ mặt phẳng //Oy chứa đờng thẳng đã cho có phơng trình : x-2z+5=0Vậy phơng
trình hình chiếu vuông góc của d trên Oxz là :
x-2z+5=0
y=0

Bài 11 Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng
2x y z 5 0 (P)
2x z 3 0 (Q)
+ + =


+ =

Trên mặt phẳng x+y+z-7 = 0
H ớng dẫn
Gọi d= (P)

(Q)
Mặt phẳng (R) thuộc chùm (P),(Q) và vuông góc với (
)(

có dạng
m(
2x y z 5 + +
)+n(2x-z+3)=0
Vì (R)

)(

nên ta có :
(2m+2n)x-m.1+(m-n).1=0 2m+n = 0 Chọ m = 1 => n = -2
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
=> (R) : 2x+y-3z+1 = 0

Vậy phơng trình hình chiếu vuông góc của d là d :
2x+y-3z+1=0
x+y+z-7 = 0



4/ Vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng đ ờng thẳng và mặt phẳng
a/ Vị trí t ơng đối của đ ờng thẳng
Cho d:
0 0 0
x x y y z z
a b c

= =
đi qua M(x
0
,y
0
,z
0
) có vtcp

u
(a,b,c)
d:
0 0 0
x x y y z z
a' b' c'

= =

đi qua M(x
0
,y
0
,z
0
) có vtcp

u
(a,b,c)

d cắt d
0 0
u,u' M M ' 0
a : b : c a' : b' : c'


=






r r uuuuuuur

d//d
0 0
u // u'
u // M M '

r r
r uuuuuuur

d

d
0 0
u // u'// M M '
r r uuuuuuur

d chéo d
0 0
u,u' M M ' 0



r r uuuuuuur
b/ Vị trí t ơng đối của đ ờng thẳng và mặt phẳng
d :
0 0 0
x x y y z z
a b c

= =
và

)(

: Ax+By+Cz+D = 0

d cắt
)(

a.A+b.B+c.C

0

d //
)(


0 0 0
a.A b.B c.C 0
Ax By Cz 0
+ + =


+ +


d


)(

0 0 0
a.A b.B c.C 0
Ax By Cz 0
+ + =


+ + =


d

)(

a:b:c =A:B:C
c/ Khoảng cách

Khoảng cách từ điểm M
1
(x
1
,y
1
,x
1
) đến d là : d(M
1
,d) =
0 1
M M ,u
u

uuuuuur r
r

Khoảng cách 2 đờng thẳng d chéo d là : d(d,d) =
0 0
u,u' M M '
u,u'




r r uuuuuuur
r r
d/ Góc
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái

Góc giữa hai đờng thẳng d, d là : cos
2 2 2 2 2 2
aa' bb' cc'
a b c . a' b' c'
+ +
=
+ + + +

Góc giữa d và
)(

là : sin

2 2 2 2 2 2
aA bB cC
a b c . A B C
+ +
=
+ + + +
Bài 1 : Cho d, d có phơng trình :
d:
x 1 y 1 z
2 1 1
+
= =

và d
x 3 y z 1
1 2 1
+
= =

và
)(

: x+2y+z-1 = 0
a/ Xét vị trí tơng đối của d và d
b/ CMR d cắt
)(

. Tìm toạ độ giao điểm
Bài 2 : Viết phơng trình đờng thẳng // d :
x 3t

y 1 t
z 5 t
=


=


= +


và cắt hai đờng thẳng có phơng trình d
1
:
x 1 y 2 z 2
1 4 3
+
= =

và d
2
:
x-y+4z-3=0
2x-y-z+1 = 0



H ớng dẫn
đờng thẳng d
1

qua M
1
(1,-2,2) có vtcp

u
1
(1,4,3)
đờng thẳng d
2
qua M
2
(-4,-7,0) có vtcp

u
2
(5,9,1)
Ta có
1 2
1 2
u ,u M M 0



r r uuuuuur
=> d
1
chéo d
2
đờng thẳng phải tìm là giao tuyến của hai
mặt phẳng (P) và (Q)

(với (P) chứa d
1
và (Q) chứa d
2
)
Bài 2 Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng
(

):
x+y+z-4=0 (P)
2x-y+5z-2 = 0 (Q)



và // d:
x 2 t
y 1 2t
z 5 2t
=


= +


= +

ĐS : -y+z+2 =0
Bài 3 Viết phơng trình đờng thẳng qua A(1,-1,1)
và cắt hai đờng thẳng
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái

d:
x 1 2t
y t
z 3 t
= +


=


=

d :
x+y+z-1=0
y+2z-3 = 0



Bài 4 : Cho hai đờng thẳng có phơng trình
d :
x 1 y 1 z 2
2 3 1
+
= =
và d :
x 2 y 2 z
1 5 2
+
= =

a/ CM hai đờng thẳng chéo nhau
b/ Viết phơng trình đờng vuông góc chung của chúng
Hớng dẫn
b/ Gọi

là đờng vuông góc chung của d và d và có vtcp

v
. Ta có
v u
v u,u'
v u'




=





r r
r r r
r r
= (-11,5,7)
=>

=(P)

(Q) ( với d

(P), d

(Q))
* mặt phẳng (P) :
Qua M( 1,1,2)
vtpt n u,v (16, 25,43)





= =



r r r
=> phơng trình: 16x-25y+43z-
45=0
* mặt phẳng (Q) :
Qua M'(2, 2,0)
vtpt n' u',v 15(3,1,4)





= =

r r r
=> phơng trình : 3x+y+4z-4=0
Vậy

:
16x-25y+43z-45=0
3x+y+4z-4=0



Bài 5 : Cho d
1
và d
2
có phơng trình :
d
1
:
x+y+z-3=0
y+z-1 = 0



và d
2
:
x-2y-2z+9=0
y-z+1 = 0

Viết phơng trình đờng vuông
góc chung của d
1
và d
2
Bài 6 : Cho d
1
và d
2
có phơng trình :
d
1
:
x=-1+3t
y=-3-2t
z 2 t




=

và d
2
:
3x-2y-8=0
5x 2z-12 = 0

+

Viết phơng trình đờng vuông
góc chung của d
1
và d
2
Bài 7 : Cho d
1
và d
2
có phơng trình :
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
d
1
:
x=1+2t
y=3+t
z 3 3t




= +

và d
2
:

x=2+t
y 3 2t
z 1 3t


= +


= +

Viết phơng trình đờng vuông góc
chung của d
1
và d
2
Bài 8 Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng
2x-y+4z+5=0 và 3x+5y-z+1 = 0
Bài 9 : Tính khoảng cách từ M
0
(2,3,1) đến đờng thẳng d:
x 2 y 1 z 1
1 2 2
+ +
= =

ĐS d(M,d) =
10 2
3
Bài 10 : Tính khoảng cách từ M( 2,3,-1) tới đờng thẳng d:
x+y-2z-1=0

x 3y 2z+2 = 0


+ +

ĐS :
125
7
Bài 11 : Tìm góc tạo bởi đờng thẳng
x 3 y 1 z 2
(d)
2 1 1
+
= =
với các trục toạ độ
Hớng dẫn
Tìm vtcp của d,Ox,Oy,Oz M
Bài 12 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc
của điểm M(1,-1,2) trên mặt phẳng M
2x-y+2z+12=0
Bài 13 : Tìm điểm đối xứng của M(2,-3,1) qua mặt phẳng
X+3y-z+2 = 0 M
M
Bài 14 : Lập phơng trình đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (Oxz) và cắt hai
đờng thẳng d:
x=t
y=-4+t
z 3 t

=

và d :
x=1-2t
y=-3+t
z 4 5t




=


Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
H ớng dẫn
mặt phẳng (Oxz) có phơng trình : y = 0 O
đờng thẳng cần tìm qua giao tuyến của
y
(P) và (Q) có vtcp

v
(0,1,0) x
(Với d
(P), d' (Q))
mặt phẳng (P)
Qua M(0, 4,3)
pt : x z 3 0
vtpt n u,v ( 1,0, 1)

+ =


=



r r r
mặt phẳng (Q)
Qua M'(1, 3,4)
pt :5x 2z 3 0
vtpt n u',v ( 5,0,2)



+ =


= =



r ur r
Vậy phơng trình đờng thẳng cần tìm là :
x z 3 0
5x 2z 3 0
+ =

+ =

d
Bài 15: Viết phơng trình đờng thẳng P
qua M(0,1,1) vuông góc với đờng thẳng

M
x 1 y 2 z
(d)
3 1 1
+
= =
và
cắt đờng thẳng
x y z 2 0
(d')
x 1 0
+ + =


+ =

ĐS : (

)
3x y z 2 0
x y z 0
+ + =

+ =

Mặt cầu
z
1. Ph ơng trình mặt cầu
* Mặt cầu tâm I(a,b,c) bán kính R có phơng trình :
(x-a)
2
+(y-b)
2
+(z-c)
2
= R
2
hay x
2
+y
2
+x
2
-2ax-2by-2cz+d = 0
với
2 2 2 2
2 2 2
d a b c R
R a b c d

= + +

= + +


O
y
* Mặt cầu tâm O(0,0,0) bán kính R có x
phơng trình

x
2
+y
2
+x
2
= R
2
M
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
* Để lập đợc phơng trình mặt cầu ta phải tìm tâm và bán kính
2. Đ ờng tròn trong không gian
* Đuờng tròn trong không gian có phơng trình :
2 2 2 2
(x-a) +(y-b) +(z-c) = R
Ax By Cz D 0


+ + + =

Bài 1 : Viết phơng trình mặt cầu biết :
a/ Tâm I(1,2,3) bán kính R = 4
b/ Tâm I( 2,-3,5) và qua A(2,2,-5)
c/ Đờng kính AB với A( 1,2,3), B(3,2,1)
d/ Qua 4 điểm A(1,-2,-1), B(-5,10,-1), C(4,1,1), D(-8,-2,2)
Bài 2 Viết phơng trình mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng
6x-3y-2z-35=0 (P) , 6x-3y-2z+63 =0 (Q) và với một trong hai mặt phẳng ấy tại
điểm M(5,-1,-1)
Giải
Điểm M thuộc (P) suy ra tâm I(x,y,z) của mặt cầu ở trên đờng thẳng d qua M và
vuông góc với (P)
Phơng trình đờng thẳng d là :

= +

+ +

= =



= +


1 3
y x
x 5 y 1 z 1
2 2
(1)
6 3 2 1 2

z x
3 3
Theo gthiết d (I,(P)) = d (I,(Q))
6 3 2 35 6x-3y-2z+63
6 3 2 35 6x-3y-2z+63
6 3 2 35 (6x-3y-2z+63)
49 49
x y z
x y z
x y z
=


=

=

6x-3y-2z+14 = 0
Thay x,y,z ở (1) vào ta đợc x=-1; y = 2; z =1 => I(-1,2,1); R = 7
Vậy phơng trình mặt cầu : (x+1)
2
+(y-2)
2
+(z-1)
2
= 49
Bài 3 : Lập phơng trình mặt cầu tâm I(2,3,-1) và cắt d:
5 4 3 20 0
3 4 8 0
x y z

x y z
+ + =


+ =

tại
A,B sao cho AB = 16
Giải
Vtcp của d là

u
(2,1,-2). mặt phẳng trung trực của AB qua
I(2,3,-1) nhận

u
làm vtcp có phơng trình :
2x+y-2z-9 = 0. Toạ độ trung điểm H của AB là nghiệm của
hệ :
5 4 3 20 0
3 4 8 0
2 2 9 0
x y z
x y z
x y z
+ + =


+ =

+ =

=> H(-3,-7,-11), IH=R = 15
Bài 4 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2,00),
B(0,4,0), C(00,4)
a/ Viết phơng trình mặt cầu qua 4 điểm O,A,B,C. Xđịnh tâm và bán kính mặt cầu
đó
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
b/ Viết phơng trình mặt phẳng (ABC). Viết phơng trình tham số đờng thẳng qua
tâm mặt cầu và vuông góc với (ABC)
Bài 5
a/ Viết phơng trình mặt cầu tâm I(3,-5,-2) và tiếp xúc với mặt phẳng 2x-y-3z+1
= 0
b/ Viết phơng trình mặt cầu bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng
x+2y+2z+3 = 0 tại M(1,1,-3)
ĐS :
a/ R =
2 2 2
18 162
: ( 3) ( 5) ( 2)
7
14
pt x y z + + + + =
b/ Gọi I(x,y,z) là tâm mặt cầu . Gọi h là k/c
từ I tới mặt phẳng đã cho. Theo gt ta có :
h =
x+2y+2z+3
3 | x+2y+2z+3|=9 x+2y+2z+3= 9
3

=
Mặt khác đờng thẳng IM qua M và vuông góc
với (P) có phơng trình
=

+
= =

=

y 2x 1
x 1 y 1 z 3
(d)
1 2 2 z 2x 5
* Trờng hợp x+2y+2z+3 = 9 thay y, z vào ta đợc x=2, y =3, z=-1
* Trờng hợp x+2y+2z+3 = -9 ( làm tợng tự )
Bài 6 : Trong không gian Oxyz cho A(3,-2,-2), B(3,2,0), C(0,2,1), D(-1,1,2)
a/ Viết phơng trình mặt phẳng (BCD) suy ra ABCD là một tứ diện
b/ Viết phơng trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). Tìm toạ độ tiếp
điểm
Bài 7 Trong không gian Oxyz cho A(-2,0,1), B(0,10,3), C(2,0,-1), D(5,3,-1)
a/ Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua 3 điểm A,B,C
b/Viết phơng trình đờng thẳng qua D và vuông góc (P)
c/ Viết phơng trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc (P)
Bài 8 Tìm điểm A thuộc (S) : x
2
+y
2
+z
2

-2x+2z-2 = 0 sao cho k/c từ A tới mặt
phẳng
2x-2y+z+6 = 0 lớn nhất
Hớng dẫn
- Tìm tâm và bán kính mặt cầu
- Tính k/c từ I tới mặt phẳng
- Kẻ đờng kính AB ( A xa nhất )
- Lập phơng trình đờng thẳng qua I
và vuông góc với mặt phẳng
- Giải hệ gồm đờng thẳng và mặt cầu
=> toạ độ A, B => toạ độ A