Bai tập hình học không gian

BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Ví dụ1:
Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Trên đường vuông góc với mặt phẳng (ABC)
tại B, ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a. Gọi I là trung điểm của BC.
1. Chứng minh AI ⊥ (MBC)
2. Tính tang của góc α tạo thành bởi đường thẳng MI và mặt phẳng (ABC).

♦
Bước 1: Hướng dẫn học sinh vẽ hình:
- Giáo viên vẽ (hoặc gọi học sinh vẽ) một số hình mà các em thường
vẽ phải trong bài toán này.
- Dựa vào các hình học sinh đã vẽ, giáo viên hướng dẫn các em xác
đònh các đường khuất và phân tích hình vẽ nào là tốt nhất:
+ Theo các qui luật đã biết khi vẽ hình này thì không cần phải vẽ ABC
là tam giác đều, mà sau đó chỉ cần ký hiệu các cạnh chúng bằng nhau là đủ.
+ Đường MB ⊥ (ABC), vì thế ta nên vẽ MB đứng như các hình sau, để
khi nhìn vào hình ta cảm thấy trực quan hơn.
+ Hình 1 và hình 2, nhìn dễ thấy, nhưng số đường khuất còn nhiều. Khi
bài toán cần vẽ thêm một số đường nữa thì rất khó nhìn.
+ Hình 3, số đường khuất ít nhưng các đường MI, IA rất gần với đường
MA nên rất khó nhìn.
+ Hình 4, số đường khuất ít, dễ nhìn. Nên bài toán này hình 4 là hình
vẽ tốt nhất.







Hình 1 Hình 2

♦
Bước 2: Gọi học sinh nêu phương pháp: (Giả sử học sinh nêu được các
phương pháp thường sử dụng sau)
M
C
B
I
A
M
C
B
I
A
M
B
I
C
A
M
B
I
CA

Hình 3

Hình 4


- Chứng minh đường thẳng vuông góc một mặt phẳng: "Muốn chứng
minh đường thẳng a vuông góc với mp (P), ta chứng minh a vuông góc với hai
đường thẳng giao nhau nằm trong mp (P)".
- Xác đònh góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng:" Góc tạo bởi
đường thẳng a và mp(P), là góc tạo bởi đường thẳng a và hình chiếu của nó
trên mp(P)"
♦
Bước 3: Hướng dẫn học sinh phân tích, tìm lời giải. Nội dung phân tích có
thể tóm tắt như sau:

Câu hỏi gợi ý của Giáo viên Dự đoán phần trả lời của HS Ghi chú
Câu 1:

X Muốn Cm AI ⊥ (MBC), ta Cm
AI vuông góc với 2 đt nào cắt nhau
nằm trong (MBC)?

Y AI ⊥ BC khi nào?

Z Cm: AI ⊥ MB, ta phải Cm điều
gì?
Câu 2:
* Xác đònh α:
[ Muốn xác đònh α, ta xác đònh
điều gì?

- Dựa vào hình vẽ, dự đoán hình
chiếu của MI trên (ABC) có thể là
đường nào?
\ BI là hình chiếu của MI trên
(ABC) khi nào?
- Khi đó α là góc nào?
* Tính tgα:
- Muốn tính tang của 1 góc, ta
thường tính bằng cách nào?
] Tính được tgα = tgMIB, bằng hệ
thức lượng khi ΔMBI là tam giác
gì?
^ Δ MBI là tam giác vuông tại B,
khi nào?
Câu 1:
X Cm:
AI BC
AI MB
⊥
⎧
⎨
⊥
⎩

Y Khi:
I
ABC
⎧
⎨
Δ

⎩

Z Cm: MB ⊥ (ABC) chứa AI.

Câu 2:
* Xác đònh α:
Các từ viết tắt:
- Cm: chứng minh
- mp: mặt phẳng
- đt: đường thẳng

[ Xác đònh hình chiếu của MI trên
(ABC)
- Đường BI.


\ Khi: MI ⊥ (ABC) (gt)

- Góc MIB.
* Tính tgα:
- Thường sử dụng hệ thức lượng
trong tam giác.
] Δ MBI là tam giác vuông tại B.


^ Khi: MI ⊥ (ABC) (gt)
Trung tuyến AI
trở thành đường
cao.
trung điểm BC (gt)

cân tại A (gt)



♣ Dựa vào đàm thoại của giáo viên và học sinh, quá trình phân tích có thể
trình bày theo sơ đồ sau:

trung điểm BC (gt)

1. AI ⊥ (MBC)
→
()
I
AI BC
ABC
AIMB MB ABC
⎧
⎧
⊥→
⎪⎨
Δ
⎨
⎩
⎪
⊥→⊥
⎩
Y
X

cân tại A (gt)

Z
(gt)

2.* Xác đònh α:
Tìm α → hình chiếu BI của MI trên (ABC) → MB ⊥ (ABC) (gt)
[ \
* Tính tgα:
tgα = tgMIB =
2
4
2
MB a
a
BI
==
→ Δ MBI vuông tại B → MB ⊥ (ABC) (gt)
] ^
♦
Bước 4: Dựa vào sơ đồ trên học sinh trình bày ngược lại thì được bài giải
của bài toán:

1. Theo giả thiết, ta có: ⇒ AI ⊥ BC (1)
I
ABC
⎧
⎨
Δ
⎩
trung điểm BC
cân tại A

và: MB ⊥ (ABC) ⇒ AI ⊥ MB (2)
Từ (1) và (2), suy ra: AI ⊥ (MBC) (đpcm)

2. * Xác đònh α:
Theo giả thiết, ta có: MB ⊥ (ABC) ⇒ BI là hình chiếu của MI trên (ABC)
⇒ MIB = α
* Tính tgα:
Ta có: MB ⊥ (ABC) ⇒ Δ MBI vuông tại B
Nên: tgα = tgMIB =
2
4
2
MB a
a
BI
==

Ví dụ 2:
Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B và SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC)
1. Chứng minh BC ⊥ SB.
2. Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH ⊥ SC.

♦
Bước 1: Hướng dẫn học sinh vẽ hình:
(Gọi học sinh vẽ vàlàm tương tự ví dụ 1)

♦Bước 2: Gọi học sinh nêu phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông
góc nhau. Giả sử học sinh nêu được phương pháp thường sử dụng sau:
S
A C
H
B

"Chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng
kia".
♦
Bước 3: Hướng dẫn học sinh phân tích, tìm lời giải. Nội dung phân tích có
thể tóm tắt như sau:

Câu hỏi gợi ý của Giáo viên Dự đoán phần trả lời của HS Ghi chú
Câu 1:
X Muốn Cm BC
⊥
SB, ta Cm BC
vuông góc với mp nào chứa SB?

Câu 1:
X Cm: BC
⊥
(SAB)
⊃
SB

Y Cm:

()
BCABgt
BC SA
⊥
⎧
⎨
⊥
⎩

Y BC
⊥
(SAB), ta Cm BC vuông
góc với 2 đường thẳng nào cắt nhau
nằm trong (SAB)?

Z Cm BC
⊥
SA, ta Cm điều gì?
Z Cm: SA
⊥
(ABC) (gt)
Câu 2:
Câu 2:
[ Muốn Cm AH
⊥
SC, ta Cm AH
vuông góc với mp nào chứa SC?
[ Cm: AH
⊥
(SBC)

⊃
SC

\ AH
⊥
(SBC), ta Cm AH vuông
góc với 2 đường thẳng nào cắt nhau
nằm trong (SBC)?
\

()
AH SB gt
AH BC
⊥
⎧
⎨
⊥
⎩

] Cm BC
⊥
(SAB) (Cm trên)
] Cm AH
⊥
BC, ta Cm điều gì?

♣ Dựa vào đàm thoại của giáo viên và học sinh, quá trình phân tích có thể trình
bày theo sơ đồ sau:

()

()(
BC AB gt
)
BC SA SA ABC gt
⊥
⎧
⎨
⊥→⊥
⎩
1. BC ⊥ SB → BC ⊥ (SAB) →
X
Y

Z
2. AH ⊥ SC AH ⊥ (SBC)
⎧
⎨

()
AH SB
AH BC BC SAB
⊥
→
[
→
\
⊥→⊥
⎩
]
Bước 4

♦
: Dựa vào sơ đồ trên học sinh trình bày ngược lại thì được bài giải
của bài toán:

1. Theo giả thiết, ta có BC ⊥ AB (1)
và SA ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SA (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB
2. Theo giả thiết, ta có: AH ⊥ SB (3)
Theo Cm trên, ta có: BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH (4)
Từ (3) và (4) ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC.