CHƯƠNG 7 - MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỂU KHIỂN RỜI RẠC ppt

C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 1

Chương 7

MÔ TẢ TOÁN HỌC
HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 2
7.1 Hệ Thống Điều Khiển Rời Rạc
7.1.1 Khái niệm
• Hệ thống rời rạc
: Tín hiệu được lượng tử hóa theo thời gian còn biên độ
thì liên tục.
• Hệ thống số

: Tín hiệu được lượng tử hóa theo thời gian và biên độ cũng
được lượng tử hóa.
• Có thời gian trễ do lấy mẫu → việc ổn đònh của hệ thống trở nên phức tạp
→ cần có những kỹ thuật đặc biệt.
• Phổ biến trong các hệ thống ĐK hiện đại








(), ()
R
utct
: tín hiệu liên tục
(),(),()
ht
rkT ukT c kT
, : tín hiệu số
• Hiện chưa có pp mô tả chính xác sai số lượng tử biên độ các bộ A/D, D/A
→ khảo sát hệ thống rời rạc (bỏ qua sai số lượng tử biên độ ứng với độ
phân giải nhỏ.

Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số
Sơ đồ khối hệ thống điều khiển rời rạc
Máy tính số
Xử lý rời rạc
C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 3
7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu
• Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên
tục theo thời gian → tín hiệu rời rạc
theo thời gian
• Biểu thức toán học mô tả quá
trình lấy mẫu
*
0
() ( )
kTs
k
Xs xkTe
+∞
−
=
=
∑
(7.4)
• Đònh lý Shanon : Để có thể phục

hồi dữ liệu sau khi lấy mẫu mà
không bò méo dạng thì tần số lấy
mẫu phải thỏa điều kiện :
1
2
c
ff
T
=≥

c
f
: tần số cắt của tín hiệu cần lấy mẫu
• Khâu A/D tương đương khâu lấy mẫu (bỏ qua sai số lượng tử)

7.1.3 Khâu giữ dữ liệu
• Chuyển tín hiệu rời rạc
→ tín hiệu liên tục
• Khâu giữ bậc 0 ZOH –
Zero-Order Hold : giữ tín
hiệu bằng hằng số trong
thời gian giữa 2 lần lấy mẫu
• Hàm truyền ZOH :
1
()
Ts
ZOH
e
Gs
s

−
−
=
(7.6)
• Khâu D/A tương đương
khâu ZOH





C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 4
7.2 Phép Biến Đổi Z
• Mục đích loại bỏ các hàm
x
e
7.2.1 Đònh nghóa
Cho
()xk
là chuỗi tín hiệu rời rạc. Biến đổi Z của
()xk
là :
{}
() () ()
k
k
X z xk xkz
+∞
−
=−∞

==
∑
Z (7.7)
Với
Ts
ze= , ký hiệu :
() ()xk X z↔
Z

• Nếu
() 0, 0xk k=∀<
thì (7.7) trở thành :
{}
0
() () ()
k
k
Xz xk xkz
+∞
−
=
==
∑
Z
• Miền hội tụ (Region of Convergence – ROC)
ROC : tập hợp tất cả các giá trò z sao cho X(z) hữu hạn

• Phép biến đổi Z ngược :
k-1
C

1
() X(z)z
2
xk dz
j
π
=
∫

C : đường cong kín bất kỳ nằm trong miền hội tụ ROC của X(z) và bao gốc
tọa độ

7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z
1. Tính tuyến tính
:
Nếu :
11
() ()xk Xz
↔
Z
,
22
() ()xk Xz
↔
Z

Thì :
11 2 2 1 1 2 2
() () () ()ax k ax k aX z aX z++
↔

Z

2. Tính dời trong miền thời gian
:
Nếu :
() ()xk X z
↔
Z
,
thì :
0
0
() ()
k
xk k z X z
−
−
↔
Z

• Lưu ý : nhân
0
k
z
−
tương ứng làm
trễ tín hiệu
0
k
chu kỳ lấy mẫu

•
1
z
−
: toán tử làm trễ 1 chu kỳ



C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 5
3. Tính tỉ lệ :
Nếu :
() ()xk X z
↔
Z
, thì :
1
() ( )
k
axk Xa z
−
↔
Z

4. Tính đạo hàm
:
Nếu :
() ()xk X z
↔
Z
, thì :

()
()
dX z
kx k z
dz
−
↔
Z

5. Đònh lý giá trò đầu
:
Nếu :
() ()xk X z
↔
Z
, thì :
(0) lim ( )
z
xXz
→∞
=

6. Đònh lý giá trò cuối
:
Nếu :
() ()xk X z
↔
Z
, thì :
1

1
() lim(1 )()
z
xzXz
−
→
∞= −


7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản
1. Hàm dirac
:
10
()
00
k
k
k
δ
=
⎧
=
⎨
≠
⎩

{
}
() 1k
δ

=
Z

2. Hàm nấc đơn vò
:
10
()
00
k
uk
k
≥
⎧
=
⎨
<
⎩

{}
1
1
()
1
1
z
uk
z
z
−
==

−
−
Z (ROC : 1z > )

3. Hàm dốc đơn vò
:
0
()
00
kT k
rk
k
≥
⎧
=
⎨
<
⎩

{} { }
1
12
() ()
(1 )
Tz
rk kTuk
z
−
−
==

−
ZZ

2
(1)
Tz
z
=
−
, (ROC: 1z > )

C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 6
4. Hàm mũ:
0
()
00
kaT
ek
xk
k
−
⎧
≥
=
⎨
<
⎩

{}
()

aT
z
xk
ze
−
=
−
Z
• Lưu ý :
{
}
{}
()() ()
kaT
aT
z
euk xk
ze
−
−
=
−
Z=Z
suy ra :
{
}
1
1
()
1

k
z
auk
za
az
−
==
−
−
Z


7.3 Mô Tả Hệ Thống Rời Rạc Bằng Hàm Truyền
7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc



• Phương trình sai phân mô tả quan hệ giữa tín hiệu vào & tín hiệu ra :
01 1
()( 1) (1) ()
nn
ackn ackn ack ack
−
+ + +−++ ++ =

01 1
()( 1) (1)()
mm
brk m brk m b rk brk
−

=+++−++ ++
(7.17)
,nm n≥ : bậc của hệ thống rời rạc
• Biến đổi Z hai vế (7.17) :
1
01 1
C( ) C( ) C( ) C( )
nn
nn
az zaz z azzaz
−
−
++++=

1
01 1
() () () ()
mm
mm
bz Rz bz Rz b zRz bRz
−
−
=+ ++ +

• Hàm truyền :
1
01 1
1
01 1

C( )
()
()

mm
mm
nn
nn
bz bz b z b
z
Gz
Rz
az az a z a
−
−
−
−
++++
==
++++

Hoặc :
() 1 1
01 1
11
01 1

C( )
()
()

nm m m
mm
nn
nn
zbbz bzbz
z
Gz
Rz
aaz az az
−− − −+ −
−
−−+−
−
⎡⎤
+++ +
⎣⎦
==
+++ +





C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 7
7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
1. Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu

{}{}
12 1 2
C( )
() () () (). ()
()
z
Gz G zG z G s G s
Rz
== =ZZ

Ví dụ 7.6. Cho
12
11
() , ()Gs Gs
s
asb
==
++
. Tìm hàm truyền tương đương :
Giải : Tra bảng biến đổi Z :
11
22
1
() ()
1
() ()
aT
bT

z
Gz Gs
sa
ze
z
Gz Gs
sb
ze
−
−
⎧⎫
===
⎨⎬
+
−
⎩⎭
⎧⎫
===
⎨⎬
+
−
⎩⎭
Z
Z

suy ra :
2
12
() () ()
()()

aT bT
z
Gz G zG z
ze ze
−−
==
−−

2. Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu


{}
12 1 2
C( )
() () () ()
()
z
Gz GG z G sG s
Rz
== =Z

3. Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số






{
}

{}
()
C( ) ( )
()
() 1 () 1 () ()
k
Gs
zGz
Gz
Rz GHz GsHs
== =
++
Z
Z

C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 8
• Nếu H(s) = 1 :
C( ) ( )
()
() 1 ()
k
zGz
Gz
Rz Gz
==
+

4. Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp

• Không có biểu thức hàm truyền
• Quan hệ vào ra :
()
C( )
1()
RG z
z
GH z
=
+

{
}
{
}
() () (); () () ()RG z R s G s GH z G s H s==
Z
Z
5. Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận






C( ) ( )

()
() 1 () ()
k
zGz
Gz
Rz GzHz
==
+

6. Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu nối tiếp ở
nhánh thuận





12
12
() ()
C( )
()
() 1 () ()
k
GzGz
z
Gz
Rz G zGHz
==
+

C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 9
7. Hệ thống thường gặp





• Hàm truyền :
() ()
C( )
()
() 1 () ()
c
k
c
GzGz
z
Gz
Rz G zGHz
==
+

()
c
Gz

: Hàm truyền của bộ đk tính từ pt sai phân
11
() () ()
( ) (1 ) , ( ) (1 )
Gs GsHs
Gz z GHz z
ss
−−
⎧⎫ ⎧ ⎫
=− =−
⎨⎬ ⎨ ⎬
⎩⎭ ⎩ ⎭
ZZ

• Ví dụ 1 : Tính hàm truyền của hệ thống




Giải :
() ()
C( ) ( )
()
() 1 () () 1 ()
c
k
c
GzGz
zGz
Gz

Rz G zGHz Gz
== =
++

11 1
() 3
() (1 ) (1 ) (1 )3
(2) 2
Gs A B
Gz z z z
sss ss
−− −
⎧⎫
⎧⎫ ⎧ ⎫
=− =− =− +
⎨⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
+
+
⎩⎭ ⎩ ⎭
⎩⎭
ZZ Z

1/2, 1/2AB==−
11
311 3
() (1 ) (1 )
22 21
aT
zz
Gz z z

ss z
ze
−−
−
⎧⎫ ⎛ ⎞
=− − =− −
⎨⎬
⎜⎟
+−
−
⎩⎭ ⎝ ⎠
Z

20.5
11
20.5
3 (1 ) 3 (1 ) 0.948
(1 ) (1 )
2 2 0.368
(1)( ) (1)( )
aT x
aT x
ze ze
zz
z
zze zze
−−
−−
−−
−−

=− =− =
−
−− −−

Vậy :
0.948
( ) 0.948
0.368
()
0.948
1 ( ) 0.580
1
0.368
k
Gz
z
Gz
Gz z
z
−
== =
++
+
−


C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 10
• Ví dụ 2 : Tính hàm truyền hệ thống kín

Cho :
31
() ()
31
s
e
Gs Hs
s
s
−
==
++

Giải :
• Hàm truyền hệ thống kín :
()
()
1()
k
Gz
Gz
GH z
=
+

30.5
11 12

30.5
() 3 (1 )
( ) (1 ) (1 ) (1 )
(3)
(1)( )
sx
x
Gs e z e
Gz z z z z
sss
zze
−−
−− −−
−
⎧⎫
−
⎪⎪
⎧⎫
=− =− =−
⎨⎬ ⎨ ⎬
+
−−
⎩⎭
⎪⎪
⎩⎭
ZZ

2
0.777
()

(0.223)
Gz
zz
=
−

11
() () 3
() (1 ) (1 )
(3)(1)
s
GsHs e
GH z z z
ssss
−
−−
⎧
⎫
⎪
⎪
⎧⎫
=− =−
⎨⎬ ⎨ ⎬
++
⎩⎭
⎪
⎪
⎩⎭
ZZ

12
30.5 10.5
()
3(1 )
( 1)( )( )
xx
zAz B
zz
zze ze
−−
−−
+
=−
−− −

30.5 0.5
(1 ) 3(1 )
0.0673
3(1 3)
x
ee
A
−−
−−−
==
−

3 0.5 0.5 0.5 3 0.5
3(1) (1 )
0.0346

3(1 3)
xx
eeee
B
−−−−
−− −
==
−

2
0.202 0.104
()
( 0.223)( 0.607)
z
GH z
zz z
+
=
−−

2
43 2
2
0.777
( ) 0.777( 0.607)
(0.223)
()
0.202 0.104
1()
0.83 0.135 0.202 0.104

1
( 0.223)( 0.607)
k
Gz z
zz
Gz
z
GH z
zz z z
zz z
−
−
== =
+
+
−+ ++
+
−−



C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 11


• Ví dụ 3 :




Tính hàm truyền hệ kín biết :

0.2
2
5
() () 0.1
s
e
Gs Hs
s
−
==
Bộ điều khiển
()
c
Gz
,có quan hệ vào-ra mô tả bởi phương trình :
() 10() 2( 1)uk ek ek=−−

Giải
:
Hàm truyền hệ kín :
() ()
C( )
()
() 1 () ()
c
k
c
GzGz
z
Gz

Rz G zGHz
==
+


1
1
() 10() 2( 1)
() 10 () 2 ()
()
() 10 2
()
c
uk ek ek
Uz Ez z Ez
Uz
Gz z
Ez
−
−
=−−
=−
→==−


0.2 2
11 11
33
( ) 5 (0.2) ( 1)
()(1) (1) 5(1)

2( 1)
s
Gs e zz
Gz z z z z
s
sz
−
−− −−
⎧⎫
+
⎪⎪
⎧⎫
=− =− = −
⎨⎬ ⎨ ⎬
−
⎩⎭
⎪⎪
⎩⎭
ZZ

2
0.1( 1)
()
(1)
z
Gz
zz
+
=
−

11
2
() () () 0.01( 1)
( ) (1 ) 0.1(1 )
(1)
GsHs Gs z
GH z z z
ss
zz
−−
+
⎧⎫ ⎧⎫
=− = − =
⎨⎬ ⎨⎬
−
⎩⎭ ⎩⎭
ZZ

2
2
10 2 0.1( 1)
(1)
() ()
()
1()()
10 2 0.01( 1)
1
(1)

c
k
c
zz
z
zz
GzGz
Gz
GzGHz
zz
z
zz
⎡
⎤
−+
⎡⎤
⎢
⎥
⎢⎥
−
⎣⎦
⎣
⎦
==
+
⎡
⎤
−+
⎡⎤
+

⎢
⎥
⎢⎥
−
⎣⎦
⎣
⎦

C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 12
2
43 2
0.8 0.2
2 1.1 0.08 0.02
zz
zz z z
+−
=
−+ + −

7.4 Mô Tả Hệ Thống Rời Rạc Bằng Phương Trình Trạng Thái
• Khái niệm
PTTT của hệ thống rời rạc là PTSP bậc 1 có dạng :
(1) () ()
() C ()
dd
d
xk Axk Brk
ck xk
+= +
⎧

⎨
=
⎩

1111211
2212222
12
()
()
()
()
n
n
dd
nnnnnn
xk a a a b
xk a a a b
xk A B
xk a a a b
⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎤
⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥
⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥
== =
⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥
⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥
⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎦
L
L
MMMMM
L

[
]
d12
C
n
cc c= L

7.4.1 Thành lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân.
1. Vế phải của PTSP không chứa sai phân của tín hiệu vào

01 1 0
()( 1) (1) () ()
nn
ackn ackn ack ack brk
−
++ +−++ ++ =

• Qui tắc đặt biến trạng thái :
1
21
32
1
() ()
() ( 1)
() ( 1)
() ( 1)
nn
xk ck
xk xk

xk xk
xk x k
−
=
=+
=+
=+
M

• Phương trình trạng thái :
(1) () ()
() C ()
dd
d
xk Axk Brk
ck xk
+= +
⎧
⎨
=
⎩

1
2
12 0
1
00 0 0 0
01 0 0 0
()
00 1 0 0

()
()
00 0 1 0
()
dd
n
nn n
xk
xk
xk A B
xk
aa a b
a
aa a a a
−−
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
== =
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
−− − −

⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
L
L
MM M M M
M
L
L

C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 13
[
]
C10 00
d
= L

Ví dụ 7.9
: Cho hệ thống đk rời rạc mô tả bởi PTSP
2( 3) ( 2) 5( 1) 4() 3()ck ck ck ck rk++ ++ ++ =

Giải :
Viết lại PTSP :
( 3)0.5( 2)2.5( 1)2()1.5()ck ck ck ck rk++ ++ ++ =

Áp dụng công thức trên
→ PTTT :
(1) () ()
() C ()
dd
d

xk Axk Brk
ck xk
+= +
⎧
⎨
=
⎩

321 0
01 0 01 0 0 0
001 00 1 0 0
2 2.5 0.5 1.5
dd
AB
aaa b
⎡⎤ ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
== ==
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
−−− −− −
⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ ⎣⎦

[
]

C100
d
=

2. Vế phải của phương trình sai phân có chứa sai phân của tín hiệu vào

11
01 1
( ) ( 1) ( 1) ( )
()( 1) (1) ()
nn
nn
ck n ack n a ck ack
brk n brk n b rk brk
−
−
+ + +−++ ++ =
++ +−++ ++

• Đặt biến trạng thái :
10
21 1
32 2
11
() () ()
() ( 1) ()
() ( 1) ()
() ( 1) ()
nn n
xk ck rk

xk xk rk
xk xk rk
xk x k rk
β
β
β
β
−−
=−
=+−
=+−
=+−
L

• Phương trình trạng thái :
(1) () ()
() C () ()
dd
dd
xk Axk Brk
ck xk Drk
+= +
⎧
⎨
=+
⎩

C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 14
1
1

2
2
1
12 21
01 0 00
()
00 1 00
()
()
00 0 01
()
dd
n
n
nn n n
xk
xk
xk A B
xk
aa a aa
β
β
β
β
−
−−
⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥

⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
== =
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
⎢⎥⎢⎥
−− − −−
⎣⎦⎣⎦
L
L
MM M MM M
M
L
L
[
]
0
C10 00
dd
D
β
==L
00
1110
221120
11 2 2 33 11 0

nn n n n n n
b
ba
ba a
ba a a a a
β
ββ
βββ
β
βββ ββ
−−− −
=
=−
=− −
=− − − −− −
L


7.4.2 Thành lập PTTT từ hàm truyền hệ rời rạc
Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền :
1
01 1
1
01 1

C( )
()
()

mm
mm
nn
nn
bz bz b z b
z
Gz
Rz
az az a z a
−
−
−
−
++++
==
++++

Đưa về dạng PTSP :
01 1
01 1
()( 1) (1) ()
()( 1) (1)()
nn
mm
ackn ackn ack ack
brkm brkm brk brk
−
−
+ + +−++ ++ =
+ + +−++ ++

• Đặt biến trạng thái :
1
x
là nghiệm của pt :
1
1
11 11
000
( ) ( 1) ( 1) ( ) ( )
nn
aa
a
xk n xk n xk xk rk
aaa
−
+ + +−++ ++ =

21
32
1
() ( 1)
() ( 1)
() ( 1)
nn
xk xk
xk xk
xk x k
−
=+

=+
=+
L

• Phương trình trạng thái :
(1) () ()
() C ()
dd
d
xk Axk Brk
ck xk
+
=+
⎧
⎨
=
⎩

C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 15
1
2
12
1
00 0 0
01 0 0
0
()
00 1 0
0
()

()
00 0 1
0
()
1
dd
n
nn n
xk
xk
xk A B
xk
aa a
a
aa a a
−−
⎡⎤
⎡
⎤
⎢⎥
⎡⎤
⎢
⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢⎥
== =⎢⎥

⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎢
⎥
−− − −
⎢⎥
⎣
⎦
⎣⎦
L
L
MM M M
M
M
L
L

10
00 0
C00
mm
d

bb b
aa a
−
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
LL

• Ví dụ 7.12. Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền
2
32
C( ) 3
()
()
254
zz
Gz
Rz
zz z
+
==
+
++

Viết lại dạng PTSP :
2(3)(2)5(1)4()(2)3()ck ck ck ck rk rk++ ++ ++ = ++

0123
01 2

2, 1, 5, 4
1, 0, 3
aaaa
bbb
====
== =

• Phương trình trạng thái :
(1) () ()
() C ()
dd
d
xk Axk Brk
ck xk
+
=+
⎧
⎨
=
⎩

3
21
000
01 0 01 0 0
001 001 0
22.50.5 1
dd
AB
a

aa
aaa
⎡⎤
⎢⎥
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
== =
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
−− −
⎣⎦⎣⎦
⎢⎥
−−−
⎢⎥
⎣⎦

[]
0
21
000
C1.500.5
d
b
bb
aaa
⎡⎤
==

⎢⎥
⎣⎦


7.4.3 Thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục
• Chỉ áp dụng cho các hệ thống có sơ đồ khối :




C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 16

• Các bước thực hiện :
Bước 1
: Thành lập hệ PTTT hệ liên tục (vòng hở)



() () ()
() C()
R
xt Axt Be t
ct xt
=+
⎧
⎨
=
⎩
&

Bước 2
: Tính ma trận quá độ của hệ liên tục
[
]
1
() ()ts
−
Φ= ΦL

với :
()
1
()
s
sI A
−
Φ= −

Bước 3
: Rời rạc hóa PTTT ở bước 1



[
]
d
(1) () ()
()C()
ddR

xk T AxkT BekT
ckT xkT
⎧
+= +
⎨
=
⎩

Với :
0
d
()
()
CC
d
T
d
AT
BBd
τ
τ
=Φ
⎧
⎪
⎪
=Φ
⎨
⎪
⎪
=

⎩
∫

Bước 4
: Viết PTTT hệ rời rạc (kín) cần tìm với tín hiệu vào là
()rkT

[
]
[
]
(1) C() ()
()C()
ddd d
d
xk T A B xkT BrkT
ckT xkT
⎧
+=− +
⎨
=
⎩






C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 17
Ví dụ 7.14 : Thành lập PTTT mô tả hệ thống

Với :
2, 0.5, 10aT K== =
Giải
:
Bước 1
: Thành lập PTTT mô tả hệ liên tục



2
11212
()
() () () () ()
Xs
Xs sXs Xs xt xt
s
=⇒=⇒=
&

2222
()
() ( 2) () () () 2 () ()
2
R
RR
Es

Xs s Xs Es xt xt et
s
=⇒+ =⇒=−+
+
&

[]
11
22
1
1
2
() ()
01 0
()
() ()
02 1
()
() 10 () 10 0
()
R
xt xt
et
xt xt
xt
ct x t
xt
⎧
⎡⎤ ⎡⎤
⎡⎤ ⎡⎤

=+
⎪
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎥
−
⎣⎦ ⎣⎦
⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎨
⎡⎤
⎪
==
⎢⎥
⎪
⎣⎦
⎩
&
&

[]
01 0
C100
02 1
AB
⎡⎤ ⎡⎤
===
⎢⎥ ⎢⎥
−
⎣⎦ ⎣⎦

Bước 2

: Tính ma trận quá độ
11
1
10 01 1
() ( )
01 0 2 0 2
s
ssIA s
s
−
−
−
⎛⎞⎛−⎞
⎡⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
Φ= − = − =
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−+
⎣⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎝⎠⎝⎠

11
21
1
(2)
0
(2)
1
0
2

s
sss
s
ss
s
⎡⎤
⎢⎥
+
⎡⎤
+
⎢⎥
==
⎢⎥
+
⎢⎥
⎣⎦
⎢⎥
+
⎣⎦

[]
11
11
1
11
11
(2)
(2)
() ()
1

1
0
0
2
2
sss
sss
ts
s
s
−−
−−
−
⎡
⎤
⎧⎫
⎧⎫
⎧⎫
⎡⎤
⎨
⎬⎨ ⎬
⎢
⎥
⎪⎪
⎢⎥
+
+
⎪⎪⎩⎭
⎩⎭
⎢

⎥
⎢⎥
Φ= Φ = =
⎨⎬
⎢
⎥
⎢⎥
⎧⎫
⎪⎪
⎢
⎥
⎨⎬
⎢⎥
⎪⎪
+
⎣⎦
+
⎩⎭
⎩⎭
⎣
⎦
LL
LL
L

C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 18
2
2
1
1(1 )

2
()
0
t
t
e
t
e
−
−
⎡⎤
−
⎢⎥
Φ=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

Bước 3
: Rời rạc hóa các PTTT của hệ liên tục
[
]
d
(1) () ()
()C()
ddR
xk T AxkT BekT
ckT xkT
⎧
+= +

⎨
=
⎩

220.5
220.5
11
1(1 ) 1(1 )
1 0.316
22
()
0 0.368
00
tx
d
tx
tT
ee
AT
ee
−−
−−
=
⎡⎤⎡ ⎤
−−
⎡⎤
⎢⎥⎢ ⎥
=Φ = = =
⎢⎥
⎢⎥⎢ ⎥

⎣⎦
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦

2
22
2
2
22
00 0
0
11
1(1 ) (1 )
0
2
2
22
()
1
0
2
T
TT T
d
e
ee
BBd d d
e
ee
τ

ττ
τ
ττ
τ
ττ τ τ
−
−−
−
−−
⎡⎤
⎛⎞
+
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥
⎜⎟
−−
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎝⎠
=Φ = = =
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
−
⎢⎥

⎣⎦
∫∫ ∫

20.5
22
20.5
0.5 1
0.092
2
22
0.316
1
22
x
x
e
e
−
−
⎡⎤
⎛⎞
+−
⎢⎥
⎜⎟
⎡⎤
⎢⎥
⎝⎠
==
⎢⎥
⎢⎥

⎣⎦
⎢⎥
−+
⎢⎥
⎣⎦

[
]
CC=100
d
=
Bước 4
: PTTT hệ rời rạc với tín hiệu vào
()rkT

[
]
[
]
(1) C() ()
()C()
ddd d
d
xk T A B xkT BrkT
ckT xkT
⎧
+=− +
⎨
=
⎩

[]
[]
1 0.316 0.092 0.080 0.316
C100
0 0.368 0.316 3.160 0.368
ddd
AB
⎡⎤⎡⎤ ⎡ ⎤
−= − =
⎢⎥⎢⎥ ⎢ ⎥
−
⎣⎦⎣⎦ ⎣ ⎦







C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 19
7.4.4 Tính Hàm Truyền Hệ Rời Rạc Từ Hệ PTTT
• PTTT hệ rời rạc :
(1) () ()
() C ()
dd
d
xk Axk Brk
ck xk
+= +

⎧
⎨
=
⎩

• Hàm truyền :
()
()
()
z
Gz
Rz
=
C

Biến đổi Z hệ PTTT :
() () ()
() ()
dd
zX z A X z B R z
zXz
=+
⎧
⎨
=
⎩
d
CC
→
()()()

() ()
dd
zI A X z B R z
zXz
−
=
⎧
⎨
=
⎩
d
CC

→
[]
1
() ()
() ()
dd
Xz zI A BRz
zXz
−
⎧
⎪=−
⎨
=
⎪
⎩
d
CC

→
[
]
1
() ()
dd
zzIABRz
−
=−
d
CC

Vậy
:
[]
1
()
()
()
dd
z
Gz zI A B
Rz
−
== −
d
C
C