DẠY HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Chuyên đề - Năm học 2008 - 2009
ĐỀ TÀI
DẠY HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
A/ Mở đầu:
I) Lí do chọn đề tài:
Thực tế qua nhiều năm công tác giảng dạy và một số năm nhận nhiệm vụ ôn cho học sinh
lớp 9 thi vào lớp 10 và bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp 8, 9 tôi nhận thấy vấn đề giải bài toán cực trị
thường chiếm một tỉ lệ khá cao trong nội dung các đề thi bởi lí do đây là một mảng kiến thức rất
quan trọng nó đòi hỏi học sinh phải có một kiến thức và kĩ nămg tương đối tổng hợp, học sinh phải
không chỉ nắm vững các kiến thức trong chương trình từ lớp 6 cho đến lớp 9 mà còn có một kiến
thức nâng cao nhất định chẳng hạn như các bất đẳng thức Cosi, Bu-nhi-a-cop-xki … có khả năng tư
duy logíc cao. Hơn nữa các bài toán cực trị thường rất đa dạng và phong phú mỗi bài toán thường
có nhiều phương pháp giải khác nhau. Do đó có thể coi đây là một mảng kiến thức bắt buộc đối với
một học sinh giỏi các khối lớp 8, 9 và học sinh lớp 9 nếu muốn thi vào THPT nhưng cũng là một
nội dung mà học sinh cảm thấy rất khó. Vì vậy tôi nhận thấy việc nghiên cứu sâu các dạng toán và
các phương pháp giải bài toán cự trị là rất cần thiết đối với mỗi học sinh và giáo viên để từ đó có
những phương pháp dạy và học nội dung này một cách đầy đủ và có hiệu quả cao
II) Cơ sở khoa học của đề tài:
Như tôi đã trình bày ở trên chủ đề giải bài toán cực trị thường có ở hầu hết các đề thi học
sinh giỏi các lớp 8, 9 và thi vào lớp 10 trong phạm vi cả nước. Qua thực tế 10 năm công tác giảng
dạy và 7 năm trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp 8, 9 dạy ôn học sinh lớp 9 thi vào THPT và
qua trao đổi với rất nhiều đông nghiệp có kinh nghiệm trong công tác giảng dạy. Tôi đã nhận thấy
tầm quan trọng của chủ đề chứng minh bất đăng thức, vì vậy tôi không ngừng nghiên cứu các tài
liệu của nhiều nhà xuất bản khác nhau cũng như học hỏi đồng nghiệp để tìm ra phương pháp dạy tối
ưu và thời lượng hợp lí để chuyền đạt cho học sinh mảng kiến thức quan trọng này và đã có những
hiệu quả nhất định được thể hiện qua kết quả học sinh thi và 10 các năm gần đây học sinh trường
THCS Yên Nhân vào lớp 10 chính quy luôn đạt tỉ lệ cao so với bình quân của huyện, luôn có những
học sinh có điểm toán khá cao.
Đề tài này đã được tôi trình bày trong tổ chuyên môn trong năm học này dưới dạng một
chuyên đề và nhận được sự đánh giá cao của đồng nghiệp và đặc biệt là những người trong nhóm
chuyên môn coi đây như là một tài liệu tham khảo để dạy học sinh

III) Mục tiêu của đề tài
Qua nghiên cứu đề tài này giáo viên và học sinh có thể khái quát được các dạng bài toán cực
trị thường gặp, một số phương pháp giải bài toán cực trị và đặc biệt là phát hiện ra một số sai lầm
mà học sinh thường gặp khi giải bài toán cực trị. Để từ đó học sinh không còn cảm thấy khó và
đáng sợ khi gặp bài toán cực trị, giáo viên không cảm thấy khó truyền đạt cho học sinh nội dung
này và lường trước được những sai lầm có thể mắc phải của học sinh để từ đó có biện pháp khắc
phục kịp thời.
Bên cạnh đó tôi hy vọng đề tài này sẽ là một tài kiệu tham khảo bổ ích cho học sinh nghiên
cứu rèn luyện kĩ năng phân tích bài toán để tìm ra lời giải, cũng như kĩ năng trình bày bài giải một
cách khoa học ngắn gọn và chặt chẽ
Để thực hiện được mục tiêu trên , đề tài này được tôi trình bày với các nội dung như sau:
I- Các dạng bài toán cực trị thường gặp
1/ Tam thức bậc hai
2/ Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối:
3/ Đa thức bậc cao:
Trương Quốc Hăng - Trường THCS Yên Nhân
1
Chuyên đề - Năm học 2008 - 2009
4/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:
5/ Phân thức có nẫu là bình phương của một nhị thức
6/ Các dạng phân thức khác:
7/ Dạng biểu thức vô tỉ:
8/ Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức biết quan hệ giữa các biến:
II- Một số phương pháp giải bài toán cực trị:
1/ Phương pháp đổi biến
2/ Phương pháp xét biểu thức khác tương đương.
3/ Phương pháp chia khoảng
4/ Phương pháp dung các bất đẳng thức đã biết.
5/ Phương pháp dùng các mệnh đề về tích và tổng hai số
6/ Phương pháp chỉ sự tồn tại giá trị của biến để xảy ra dấu đẳng thức

III- Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải bài toán cực trị
1/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1
2/ Sai lầm trong chứngminh điều kiện 2.
IV- Một số bài tập áp dụng
B/ Nội dung của đề tài
I. Các dạng bài tập tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn thường gặp:
1. Tam thức bậc hai:
Ví dụ 1: Cho tam thức bậc hai: P = ax
2
+ bx + c
Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi nếu a > 0
Tìm giá trị lớn bnhất của P nếu a < 0
Giải:
P = ax
2
+ bx + c = a
2
2
b
x x c
 
+ +
 ÷
 
= a
2
2
2 4
b b
x c

a a
 
+ + −
 ÷
 
Đặt c -
2
4
b
a
= k. Do
2
2
b
x
a
 
+
 ÷
 
= 0 nên:
- Nếu a > 0 Thì a.
2
2
b
x
a
 
+
 ÷

 
= 0, do đó P = k ; Min P = k  x =
2
b
a
−
- Nếu a < 0 thì a
2
2
b
x
a
 
+
 ÷
 
= 0, do đó P = k; max P = k
2. Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối:
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (3x – 1)
2
– 4|3x – 1| + 5.
Giải: Đặt |3x – 1| = y thì A = |3x – 1|
2
– 4|3x – 1| + 5 = y
2
– 4y + 5 = (y – 2)
2
+ 1 = 1
Min A = 1  y = 2  |3x – 1| = 2  x = -1 hoặc x =
1

3
−
Trương Quốc Hăng - Trường THCS Yên Nhân
2
Chuyên đề - Năm học 2008 - 2009
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = |x – 2| + |x – 3|
Giải:
Ta có B = |x – 2| + |x – 3| = |x – 2| + |3 – x| = |x – 2 + 3 – x| = 1
Do đó min B = 1  (x – 2)(x – 3) = 0  2 = x = 3
3. Đa thức bậc cao:
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7).
Giải:
A = (x
2
– 7x)(x
2
– 7x + 12). Đặt x
2
– 7x + 6 = y ta có:
A = ( y – 6)(y + 6) = y
2
– 36 ≥ - 36
Min A = - 36  y = 0  x
2
– 7x + 6 = 0  x = 1 hoặc x = 6
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B = 2x
2
+ y
2

– 2xy – 2x + 3.
Giải:
B = x
2
– 2xy + y
2
+ x
2
– 2x + 1 + 2 = (x – y)
2
+ (x – 1)
2
+ 2 ≥ 2
Min B = 2  x = y = 1
4. Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
2
2
6 5 9x x− −
Giải:
A =
2 2
2 2
9 6 5 (3 1) 4x x x
− −
=
− + − +
Ta thấy (3x – 1)
2
≥ 0 nên (3x – 1)

2
+ 4 ≥ 4
Do đó
2
1 1
(3 1) 4 4x
≤
− +
( theo tính chất a = b =>
1 1
a b
≤
với a và b cùng dấu)
=>
2
2 2 1
(3 1) 4 4 2
A
x
− −
≥ ⇒ ≥ −
− +
Min A = -
1
2
 3x – 1 = 0  x =
1
3
5. Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức
Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

2
2
3 8 6
2 1
x x
x x
− +
− +
Giải:
A =
2
2
3( 2 1) 2( 1) 1
( 1)
x x x
x
− + − − +
−
= 3 -
2
2 1
1 ( 1)x x
+
− −

Đặt y =
1
1x −
thì y = 3 – 2y + y
2

= (y – 1)
2
+ 2 = 2
Trương Quốc Hăng - Trường THCS Yên Nhân
3
Chuyên đề - Năm học 2008 - 2009
Min A = 2  y = 1 
1
1x −
= 1  x = 2
6. Các dạng phân thức khác:
Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức: A =
2
3 4
1
x
x
−
+
Giải: để tìm giả trị nhỏ nhất của A ta viết A dưới dạng:
A =
2 2 2
2 2
4 4 1 ( 2)
1 1
1 1
x x x x
x x
− + − − −
= − ≥ −

+ +
Min A = - 1  x = 2
Để tìm giá trị lớn nhất của A ta viết A dưới dạng:
A =
2 2 2
2 2
4 4 4 4 1 (2 1)
4 4
1 1
x x x x
x x
+ − − − +
= − ≤
+ +
Max A = 4  x =
1
2
−
7. Dạng biểu thức vô tỉ:
Ví dụ 8:
Tìm giá trị lớn nhất của: A =
1 2x y− + −
biết x + y = 4
Giải:
A
2
= (x – 1) + (y – 2) + 2
( 1)( 2) 1 ( 1)( 2)x y x y− − = + − −
Ta lại có
2 ( 1)( 2)x y− −

= (x – 1) + (y – 2) = 1 nên A
2
= 2.
Max A =
3
1 2
2
2
4 5
2
x
x y
x y
y

=

− = −


⇔ ⇔
 
+ =


=


Ví dụ 9:
Tìm giá trị lớn nhất của B =

21 yx
x y
−−
+
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Co -Si ta có
1 1.( 1) 1 1 1
2 2
x x x
x x x
− − + −
= ≤ =
2 2( 2) 2 2 1 2
4
2 2 2 2 2
y y y
y
y y
− − + −
= ≤ = =
Max B =
1 1 2
1 2 2 2
2 4 4 2 2 4
x x
y y
− = =
 
+
+ = ⇔

 
− = =
 
Trương Quốc Hăng - Trường THCS Yên Nhân
4
Chuyên đề - Năm học 2008 - 2009
8. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức biết quan hệ giữa các biến:
Ví dụ 10
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x
3
+ y
3
+ xy biết rằng x + y = 1.
Giải: Sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A:
A = (x + y)(x
2
– xy + y
2
) + xy = x
2
– xy + y
2
+ xy = x
2
+ y
2

Ta có x + y = 1 => x
2
+ xy + y

2
= 1 (1)
Mặt khác (x – y)
2
≥ 0 => x
2
- xy + y
2
≥ 0 (2)
Cộng (1) và (2) : 2(x
2
+ y
2
) ≥ 1 => x
2
+ y
2
≥
1
2
Min A =
1
2
 x = y =
1
2
Ví dụ 11:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A biết rằng A (A – 1) ≤ 2
Giải:
Ta dùng phương pháp xét dấu một tích để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức A

Biến đổi: A(A – 1) ≤ 2  A
2
– A – 2 ≤ 0 (A + 1)(A – 2) ≤ 0
Lập bảng xét dấu:
A – 1 2
A + 1
A – 2
– 0 + +
– – 0 +
(A + )(A – 2) + 0 – 0 +
Do đó – 1 ≤ A ≤ 2; min A = - 1; max A = 2
II – Một số phương pháp giải bài toán cực trị
1. Khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức ta có thể đổi biến (phương pháp đổi
biến)
Ví Dụ 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = ( x – 1)
2
+ (x – 3)
2

Giải:
Đặt y = x – 2
Ta có: A = (y + 1)
2
+ (y – 1)
2
= y
2
+ 2y + 1 + y
2

– 2y + 1
= 2y
2
+ 2 = 2
Min A = 2  y = 0  x = 2
2. Khi tìm cực trị của biểu thức ta có thể thay điều kiện đạt cực trị của biểu thức này bằng điều
kiện đạt cực trị của biểu thức khác tương đương. (phương pháp xét biểu thức phụ)
Chẳng hạn –A lớn nhất  A nhỏ nhất,
1
B
lớn nhất  B nhỏ nhất với B > 0….
Ví Dụ 2:
Trương Quốc Hăng - Trường THCS Yên Nhân
5
Chuyên đề - Năm học 2008 - 2009
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
( )
4
2
2
1
1
x
x
+
+
Giải:
Vì A > 0 Nên A lớn nhất <=>
1
A

nhỏ nhất, A nhỏ nhất 
1
A
lớn nhất.
Ta có:
( )
2
2
4 2 2
4 4 4
1
1 2 1 2
1
1 1 1
x
x x x
A x x x
+
+ +
= = = +
+ + +
• Ta có: 2x
2
= 0, x
4
+ 1 > 0
Nên
2
4
2 1

0. Suy ra 1 0 1
1 A
x
x
≥ ≥ + =
+
Min
1
A
= 1  x = 0 do đó max A = 1  x = 0
• Ta có: 2x
2
= x
4
+ 1 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x
2
= 1
mà x
4
+ 1 > 0 nên
2 2
1
4 1
x
x
≤
+
suy ra
1
A

= 1 + 1 = 2; max
1
A
= 2  x
2
= 1
Do đó minA =
1
2
 x = ± 1
3. Có thể sử dụng các bất đẳng thức đã biết để tìm giá trị lớn nhất, giá tị nhỏ nhất của một biểu
thức (các bất đẳng thức quen thuộc như BĐT Co -Si, BĐT Bu -nhi-a-cop-xki)
Ví dụ 3:
Cho x
2
+ y
2
= 52. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = | 2x + 3y |.
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki (ax + by) = (a
2
+ b
2
)(x
2
+y
2
) với a = 2, b = 3
Ta có: (2x + 3y)
2

= (2
2
+ 3
2
)(x
2
+y
2
) = 13.54 = 26
2
|(2x + 3y)| = 26
Max A = 26 
2 3
x y
=
Giải hệ phương tình
2 2
2 3
52
x y
x y

=



+ =

⇔
4

6
x
y
= ±


= ±

Vậy max A = 26 khi x = 4, y = 6 hoặc x = - 4 , y = - 6
4. Sử dụng các mệnh đề sau cho ta giá trị lớn nhất của tích, giá trị nhỏ nhất của tổng
- Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau
- Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúngnhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng
nhau
Trương Quốc Hăng - Trường THCS Yên Nhân
6
Chuyên đề - Năm học 2008 - 2009
Ví dụ 4:
Tìm giá tị nhỏ nhất của A = (x
2
– 3x + 1)(21 + 3x – x
2
).
Giải:
Các biểu thức x
2
– 3x + 1 và 21 + 3x – x
2
có tổng không đổi (bằng 22) nên tích của chúng
lớn nhất khi và chỉ khi x
2

– 3x + 1 = 21 + 3x – x
2
 x
2
– 3x – 10 = 0
 x = 5 hoặc x = -2
Khi đó A = 11.11 = 121
Vậy max A = 121  x = 5 hoặc x = - 2
Ví dụ 5:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =
2
16 4 1
2
x x
x
+ +
với x > 0
Giải:
Ta có B =
1
8 2
2
x
x
+ +
Vì hai số 8x và
1
2x
là hai số dương có tích không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ
khi 8x =

1
2x
 16x
2
= 1  x =
1
4
(Vì x >0)
Vậy min B =
1 1 1 1
6
1
4
2
x
+ +
= ⇔ =
5. Nhiều khi ta cần tìm cực trị của một biểu thức trong từng khoảng của biến, sau đó so sánh
các cực trị đó để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong toàn tập xác định của biểu thức.
(phương pháp chia khoảng)
Ví dụ 6:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
5 ( )
y
x y− +

với x, y là số tự nhiên.
Giải:
* Xét x + y = 4:
- Nếu y = 0 Thì A = 0

- Nếu 1 = y = 3 th ì A =
3
5 ( )
y
x y
≤
− +
.
- Nếu y = 4 thì x = 0 và A = 4
* Xét x + y = 6 thì A =
0
5 ( )
y
x y
≤
− +
So sánh các giá trị trên của A, ta thấy max A = 4  x = 0, y = 4
6. Ta có thể dung đồ thị của hàm số để tìm cực trị (phương pháp dùng đồ thị)
Ví dụ 7.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
Trương Quốc Hăng - Trường THCS Yên Nhân
7
-10 -5
5
10 15 20 25
8
6
4
2
-2

-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-2
-1
y
x
O
4
Chuyên đề - Năm học 2008 - 2009
Y = |x – 1| + +x – 3| - |2x + 2| với – 2 = x = 4
Giải:
Xét giá trị của y ứng với từng khoảng giá trị của x ta có:
Với – 2 = x = - 1
Thì y = ( 1 – x) + (3 – x) – (- 2x – 2) = 6
Với – 1 < x = 1
Thì y = ( 1 – x) + (3 – x) – ( 2x – 2) = - 4x + 2
Với 1 < x < 3
Thì y = ( x – 1) + (x – 3) – (2x + 2) = - 2x.
Với 3 = x = 4
Thì y = (x – 1) + (x – 3) – (2x + 2) = - 6.
Dựa vào đồ thị của hàm số y = |x – 1| + +x – 3| - |2x + 2| với – 2 = x = 4
Ta có Max y = 6  - 2 = x = - 1
Min y = - 6  3 = x = 4
7. Trong các ví dụ trên ta chỉ ra tất cả các giá trị của biến để xảy ra dấu bằng. Tuy nhiên, yêu
cầu của bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất không đòi hỏi như vậy, chỉ cần chứng tỏ tồn

tại giá trị của biến để xảy ra dấu đẳng thức.
Ví dụ 8:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = |11
m
– 5
n
| với m, n là các số nguyên dương.
Giải:
Ta thấy 11
m
có tận cùng 1 còn 5
n
có tận cùng bằng 5. Do đó nếu 11
m
> 5
n
thì A có tận cùng
là 6, nếu 11
m
< 5
n
thì A có tận cùng là 4.
Ta chỉ ra một trương hợp A = 4: Với m = 2, N = 3 Thì A = |121 – 125| = 4
Vậy min A = 4
III. Những sai lầm thường gặp của học sinh khi giải bài toán cực trị
1. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1
Ví dụ 1:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2

1
6 17x x− +
Lời giải sai:
Phân thức A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất.
Ta có x
2
– 6x + 17 = (x + 3 )
2
+ 8
Min (x
2
– 6x + 17) = 8  x = 3
Phân tích sai lầm:
Tuy kết quả không sai nhưng lập luận sai khi khẳng định “Phân thức A có tử không đổi nên
A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất”. Mà không nhận xét tử và mẫu luôn nhận giá trị dương
Trương Quốc Hăng - Trường THCS Yên Nhân
8
Chuyên đề - Năm học 2008 - 2009
Chẳng hạn, xét biểu thức B =
2
1
4x −
với lập luận như trên ta sẽ có MaxB =
1
4
−
 x = 0.
Điều này không đúng vì
1
4

−
không phải là giá trị lớn nhất của B, chẳng hạn với x = 3 thì B =
1
5
>
1
4
−
Sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức, đã áp dụng máy móc quy tắc
so sánh hai phân số có tử và mẫu là các số tự nhiên sang so sánh hai phân số có tử và mẫu là các số
nguyên
Lời giải đúng:
Bổ sung thêm nhận xét x
2
– 7x + 17 = (x + 3 )
2
+ 8 ≥ 8 nên tử và mẫu của A đều có giá trị
dương nên A lón nhất 
1
A
nhỏ nhất  x
2
– 7x + 17 nhỏ nhất.
Ví dụ 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
x y z
y z x
+ +
với x, y, z là các số dương
Lời giải sai:

Giả sử x ≥ y ≥ z > 0. Ta suy ra:
x – z ≥ 0 => y(x – z) ≥ z(x – z) => xy – yz + z
2
≥ xz. (*)
Chia hai vế của (*)cho số dương xz ta được c
y y z
z x x
− +
≥ 1 (1)
Mặt khác, ta có
x y
y x
+
≥ 2 (2)
Cộng hai vế của (2) và (1) ta có
x y z
y z x
+ +
≥ 3 (3)
Min A = 3  x = y = z
Phân tích sai lầm:
Khi hoán vị vòng quanh x bởi y, y bởi z và z bởi x thì biểu thức A trở thành
+ +
y z x
z x y
tức là biểu
thức A không đổi. Điều đó cho phép giả sử x là số lớn nhất hoặc số nhỏ nhất, nhưng không cho
phép giả sử x ≥ y ≥ z. Thật vậy sau khi chọn x là số lớn nhất ( x ≥ y, x ≥ z ) thì vai trò của y và z lại
không bình đẳng: Nếu giữ nguyên x và thay y bởi z và z bởi y thì ta được
x z y

z y x
+ +
không bằng
biểu thức A.
Cách giải đúng:
Áp dụng bất đẳng thức Co _si cho ba số dương
, ,
x y z
y z x
: ta có:
A =
3
3. . .
x y z x y z
y z x y z x
+ + ≥
= 3
Do đó min
x y z
y z x
 
+ +
 ÷
 
= 3 khi và chỉ khi
x y z
y z x
= =

Trương Quốc Hăng - Trường THCS Yên Nhân

9
Chuyên đề - Năm học 2008 - 2009
Ví dụ 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x
2
+ y
2
biết x + y = 4.
Lời giải sai.
Ta có A = x
2
+ y
2
≥ 2xy.
Do đó A nhỏ nhất  x
2
+ y
2
= 2xy  x = y = 2
Phân tích sai lầm:
Đáp số không sai nhưng lập luận mắc sai lầm khi mới chỉ chứng minh được f (x,y) ≥ g(x,y)
nhưng chưa chứng minh được f (x,y) ≥ m với m là hằng số
Chẳng hạn, với lập luận như trên, từ bắt đẳng thức đúng x
2
≥ 4x – 4 sẽ suy ra x
2
nhỏ nhất  x
2
=
4x – 4  (x – 2)

2
= 0  x = 2
 Mĩn x
2
= 4  x = 2
Hiển nhiên kết quả này sai vì min x
2
= 0 khi và chỉ khi x = 0
Lời giải đúng:
Ta có
x + y = 4 => x
2
+ 2xy + y
2
= 16 (1)
(x – y)
2
≥ 0 => x
2
– 2xy + y
2
≥ 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2(x
2
+ y
2
) ≥ 16 => x
2
+ y
2

> 8
Min A = 8 khi và chỉ khi x = y = 2
2. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2
Ví dụ 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = x +
x
Lời giải sai:
A = x +
x
=
1
x+ x
4
 
+
 ÷
 
-
1
4
=
2
1 1 1
2 4 4
x
 
+ − ≥ −
 ÷
 

Vậy minA =
1
4
−
Phân tích sai lầm:
Sau khi chứng minh A =
1
4
−
, chưa chỉ ra trường hợp xẩy ra A =
1
4
−
. Xảy ra đẳng thức khi và
chỉ khi
x
=
1
4
−
vô lí
Lời giải đúng:
Để tồn tại
x
phải có x = 0 ®ó A = x +
x
= 0
Min A = 0 khi và chỉ khi x = 0
Ví dụ 5:
Trương Quốc Hăng - Trường THCS Yên Nhân

10
Chuyên đề - Năm học 2008 - 2009
Tìm giá trị lớn nhất của A = xyz(x + y)(y + z)(z + x)
Với x, y, z là các số không âm và x + y + z = 1
Lời giải sai:
Áp dụng bất đẳng thức 4ab = (a + b)
2
ta có
4(x + y).z = (x + y + z)
2
= 1;
4(y + z).x = (y + z + x)
2
= 1;
4(z + x).y = (z + x + y)
2
= 1.
Vì hai vế không âm nên nhân từng vế ta có 64xyz (x + y)(y + z)(z + x) = 1
Vậy Max A =
1
64
Phân tích sai lầm:
Sai lầm ở chỗ cũng chưa chỉ được ra trường hợp xảy ra đẳng thức. Điều kiện để A =
1
64
là:
0
1
, , 0
, , 0

x y z
x y z
y z x
x y z
z x y
x y z
x y z
+ =

+ + =


+ =
 
⇔ + + =
 
+ =
 
≥


≥

(mâu thuẫn)
Cách giải đúng:
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho ba số không âm ta được:
1 = x + y + z
3
3. xyz≥
. (1)

2 = ( x + y) + (y + z) + (z + x)
3
3. ( )( )( )x y y z z x≥ + + +
. (2)
Nhân từng vế của (1) và (2) (do hai vế không âm) ta được
2
3
3
2
9.
9
A A
 
≥ ⇒ ≤
 ÷
 
Max A =
3
2
9
 
 ÷
 
khi và chi khi x = y = z =
1
3
Ví dụ 5:
Tính giá trị nhỏ nhất của A =
( )( )x a x b
x

+ +
Với x > 0, a và b là các hằng số dương cho trước.
Lời giải sai:
Ta có x + a
2 xx a≥
(1)
x + b
2 bx≥
(2)
Trương Quốc Hăng - Trường THCS Yên Nhân
11
Chuyên đề - Năm học 2008 - 2009
Do đó
( )( ) 2 .2
2 4 .
+ +
≥ =
x a x b ax bx
ab
x x
min 4= ⇔ = =A ab x a b
Phân tích sai lầm:
Chỉ xảy ra A = 4
ab
khi (1) và (2) là những đẳng thức, tức là x = a và x = b. Như vậy đòi hỏi
phải có a = b. Nếu a ≠ b thì không có A = 4
ab
.
Cách giải đúng:
Ta thực hiện phép phân tích và tách ra các hằng số:

A =
( ) ( )
( )
2
x a x b
x ax bx ab ab
x a b
x x x
+ +
+ + +
 
= = + + +
 ÷
 
.
Ta có
2
ab
x ab
x
+ ≥
(áo dụng bất đẳng thức Cô - si ).
Nên A
2
2 ( )ab a b a b≥ + + = +
.
Min A =
( )
2
a b+

khi và chỉ khi
0
ab
x
x ab
x
x

=

⇔ =


>

Ví dụ 6:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x + 3y biết 2x
2
+ 3y
2
= 5.
Lời giải sai:
Gọi B = 2x
2
+ 3y
2
, ta có B = 5.
Xét A + B = 2x + 3y + 2x
2
+ 3y

2
= 2(x
2
+ x) + 3(y
2
+ y)
= 2
2 2
1 1 5 5
3
2 2 4 4
x y
   
+ + + − ≥ −
 ÷  ÷
   
(1)
Ta lại có B = 5 nên –B = -5 (2)
Cộng (1) với (2) ta có A ≥
25
4
−
.
Min A =
25 1
4 2
x y− ⇔ = = −
Phân tích sai lầm:
Sai lầm ở chỗ với x = y =
1

2
−
thì:
B = 2
2 2
1 1 1 3
2 3 5
2 2 2 4
   
− + − = + ≠
 ÷  ÷
   
Do đó B ≠ 5
Trương Quốc Hăng - Trường THCS Yên Nhân
12
Chuyên đề - Năm học 2008 - 2009
Lời giải đúng:
Ta xét biểu thức A
2
= (2x + 3y)
2

Áp dụng BĐT Bu -nhi-a-côp -xki:
(am + bn)
2
= (a
2
+ b
2
)(m

2
+ n
2
)
Với a =
2
, b =
3
, m =
2
x, n =
3
y ta có:
A
2
= (
2
.
2
x +
3
.
3
y)
2

≤
2 2 2 2
( 2) + ( 2) . (x 3) + (y 3)
   

   
= (2 + 3)(2x
2
+ 3y
2
) = 5.5 = 25
A
2
≤ 25 
2 3
2 3
x y
=
 x = y
Do A
2
≤ 25 nên – 5 ≤ A ≤ 5.
Min A = - 5 
1
2 3 5
x y
x y
x y
=

⇔ = = −

+ = −

Max A = 5 

1
2 3 5
x y
x y
x y
=

⇔ = = −

+ =

IV/ Một số bài tập áp dụng.
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = (x + 8)
4
+ (x + 6)
4
b) B = ( 0,5x
2
+ x)
2
– 3 |0,5x
2
+ x|
c) C = |x
2
– x + 1| + | x
2
– x – 2|
2. Cho x + 2y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhát của x

2
+ 2y
2
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A =
2
2
2 16 41
8 22
x x
x x
− +
− +
b) B =
6
4 3 2
27
3 6 9 9
x
x x x x
+
− + − +
4. Cho a, b,c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
A =
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
5. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = |36
m

– 5
n
| với m, n là các số nguyên dương
6. Tìm giá trị mhỏ nhất của:
a) A =
2 2
2 1 6 9x x x x− + + − +
b) C = |x – 2| + |2x – 3| + |4x – 1| + |5x – 10|
Trương Quốc Hăng - Trường THCS Yên Nhân
13
Chuyên đề - Năm học 2008 - 2009
7. Tìm giá trị lớn nhất của A = a
2
+ b
2
+ c
2
biết – 1 ≤ a , b, c ≤ 3 và a + b + c = 1
8. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức A = x(x
2
– 6) biết 0 ≤ x ≤ 3.
C/ Kết luận:
Việc thực hiện đề tài này dựa trên những hiểu biết cá nhân và tham khảo các tài liệu khác
nhau. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng tôi tự nhận thấy còn nhiều khiếm khuyết chẳng hạn như với mỗi
dạng cần có nhiều bài tập ví dụ minh hoạ hay mỗi phương pháp giải cũng cần có nhiều ví dụ ở
nhiều dạng khác nhau từ đó học sinh có thể khái quát được những vấn đề cơ bản cốt lõi của từng
dạng toán, từng phương pháp giải từ đó học sinh có thể vận dụng linh hoạt hơn trong việc áp dụng
vào làm các bài tập. Bên cạnh đó mỗi ví dụ cũng cần có sự phân tích tìm lời giải để từ đó học sinh
có thể hiểu được vì sao lại áp dụng cách giải này không áp dụng cách giải khác… Mặc dù biết
những vấn đề còn tồn tại của đề tài nhưng do thời gian hạn chế chưa tìm hiểu được nhiều tài liệu có

liên quan cũng như kinh nghiệm còn hạn chế nên chưa kịp thời khắc phục. Vì vậy người thực hiện
đề tài rất mong người đọc đóng góp ý kiến để giúp tôi hoàn thiện chuyên đề này nhằm phục vụ tốt
hơn cho công tác giảng dạy nâng cao chất lượng dạy học.
Yên Nhân, ngày 20 tháng 2 năm 2009
Người thực hiện
TRƯƠNG QUỐC HĂNG
Trương Quốc Hăng - Trường THCS Yên Nhân
14