Toán cao cấp 1-Bài 3: Phép tính tích phân doc

Bài 3: Phép tính tích phân

43
BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

Mục tiêu

• Nắm được các khái niệm về tích phân bất định,
tích phân xác định, tích phân suy rộng.
• Làm được bài tập về tích phân bất định, tích
phân xác định.
• Áp dụng phần mềm Maple để tính tích phân.

Thời lượng Nội dung
Bạn nên dành mỗi tuần khoảng 90
phút để đọc kỹ lý thuyết và khoảng
120 phút trong vòng hai tuần để
làm bài tập để nắm vững nội dung
bài học này.

• Bài này giới thiệu với các bạn các khái niệm tích
phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy
rộng và các phương pháp tính các loại tích phân
này.
• Phép tính tích phân là một trong hai phép tính cơ
bản của giải tích, có nhiều ứng dụng trong bài
toán kỹ thuật, kinh tế…
Hướng dẫn học
• Bạn nên đọc kỹ lý thuyết để nắm được các khái niệm tích phân bất định, tích phân xác định
và các loại tích phân suy rộng.

• Bạn nên làm càng nhiều bài tập càng tốt để thành thạo phuơng pháp tính các loại tích phân đó.



Bài 3: Phép tính tích phân
{{Ơ
44
3.1. Tích phân bất định
3.1.1. Khái niệm về tích phân bất định
3.1.1.1. Nguyên hàm
Bài này trình bày về phép tính tích phân, đây là phép toán ngược của phép tính đạo
hàm (vi phân) của hàm số. Nếu ta cho trước một hàm số
f(x)
thì có tồn tại hay không
một hàm số F(x) có đạo hàm bằng f(x)? Nếu tồn tại, hãy tìm tất cả các hàm số F(x)
như vậy.
Định nghĩa:
Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng D nếu:
F'(x) f(x), x D=∀∈, hay dF(x) f (x)dx
=
.
Ví dụ 1:
Vì: (sin x)' cos x, x=∀∈R nên sin x là nguyên hàm của hàm số cos x trên R .
Vì:
2222
112x
arctg x ' , x 1
1x 1x (1x)
⎛⎞
+=+ ∀≠±

⎜⎟
−+−
⎝⎠

nên:
2
1
arctg x
1x
+
−
là một nguyên hàm của hàm số
222
12x
1x (1x)
+
+−
trên
{
}
\1.
±
R
Định lý sau đây nói rằng nguyên hàm của một hàm số cho trước không phải là
duy nhất, nếu biết một nguyên hàm thì ta có thể miêu tả được tất cả các nguyên hàm
khác của hàm số đó.
Định lý:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng D thì:
Hàm số
F(x) C

+
cũng là một nguyên hàm của hàm số
f(x)
, với C là một hằng số
bất kỳ.
Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số
f(x) đều viết được dưới dạng F(x) C
+
,
trong đó
C là một hằng số.
Chứng minh:
Giả sử C là một hằng số bất kỳ, ta có:
()
F(x) C ' F'(x) f(x)+= = với mọi
xD
∈
.
Theo định nghĩa F(x) C+ cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng D.
Ngược lại, giả sử (x)ϕ là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số f (x) trên khoảng D.
Ta có:
[
]
F(x) (x) ' F'(x) '(x) f(x) f(x) 0, x D−ϕ = −ϕ = − = ∀ ∈ .
Suy ra
F(x) (x)−ϕ
nhận giá trị hằng số trên khoảng D:
F(x) (x) C (x) F(x) C, x D−ϕ =− ⇔ϕ = + ∀ ∈ .
Như vậy biểu thức F(x) C+ biểu diễn tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x), mỗi
hằng số

C tương ứng cho ta một nguyên hàm.

Bài 3: Phép tính tích phân

45
3.1.1.2. Tích phân bất định
Định nghĩa:
Tích phân bất định của một hàm số f(x) là họ các nguyên hàm F(x) C+ ; với
xD
∈
;
trong đó
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và C là một hằng số bất kỳ. Tích
phân bất định của
f(x)dx được ký hiệu là: f(x)dx
∫
.
Biểu thức
f(x)dx
được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân và hàm số
f
được gọi là
hàm số dưới dấu tích phân.
Vậy:
f(x)dx F(x) C=+
∫
, với F(x) là nguyên hàm của f(x).
Ví dụ 2:
cos xdx sin x C
=

+
∫


xx
edx e C=+
∫
.
3.1.1.3. Các tính chất cơ bản của tích phân xác định
f(x)dx ' f(x)
⎡⎤
=
⎣⎦
∫
hay d f (x)dx f (x)dx=
∫

F'(x)dx F(x) C
=
+
∫
hay dF(x) F(x) C
=
+
∫


af (x)dx a f (x)dx=
∫∫
, (a là hằng số khác 0)

[
]
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx±=±
∫∫∫
.
Hai tính chất cuối cùng là tính chất tuyến tính của tích phân bất định, ta có thể
viết chung:

[
]
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dxα+β =α +β
∫∫∫

trong đó
,αβ là các hằng số không đồng thời bằng 0
Các tính chất nói trên được chứng minh trực tiếp từ định nghĩa của tích phân bất định.
3.1.1.4. Các công thức tích phân cơ bản
Các công thức tích phân sau đây được chứng minh bằng định nghĩa:

1
x
xdx C,( 1)
1
α+
α
=+α≠−
α+
∫

sin xdx cos x C=− +
∫

2
dx
cotg x C
sin x
=− +
∫

x
x
a
a dx C,(a 0,a 1)
ln a
=+ >≠
∫

22
dx 1 a x
ln C
ax 2aax
+
=+
−−
∫


2
2

dx
ln x x C
x
=
++α+
+α
∫

dx
ln x C
x
=
+
∫

cos xdx sin x C=+
∫

2
dx
tg x C
cos x
=
+
∫

xx
edx e C
=
+

∫

22
dx 1 x
arctg C
xa a a
=+
+
∫


22
dx x
arcsin C
a
ax
=+
−
∫


Bài 3: Phép tính tích phân
{{Ơ
46
3.1.2. Các phương pháp tính tích phân bất định
3.1.2.1. Phương pháp khai triển
Để tính một tích phân bất kỳ, ta cần sử dụng các phương pháp thích hợp để đưa về các
tích phân đã có trong bảng các công thức tích phân cơ bản ở trên. Một phương pháp
đơn giản là phương pháp khai triển. Phương pháp này dựa trên tính chất tuyến tính của
tích phân bất định:

[
]
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dxα+β =α +β
∫∫∫
.
Ta phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành tổng (hiệu) của các hàm số đơn giản mà
đã biết được nguyên hàm của chúng, các hằng số được đưa ra bên ngoài dấu tích phân.
Ví dụ 3:

35
223
22
4
(2x x 3x )dx 2 x dx 3 x dx x x C
5
−
=−=−+
∫∫∫


4
33
1dxx
2sin x x dx 2 sin xdx x dx 2cos x ln x C
xx4
⎛⎞
+
−= + −=− +−+
⎜⎟

⎝⎠
∫∫∫∫


22 2 2
dx 1 1 1
dx arctg x C
x(1x) x 1x x
⎛⎞
=
−=−++
⎜⎟
++
⎝⎠
∫∫
.
3.1.2.2. Phương pháp biến đổi biểu thức vi phân
Nhận xét:
Nếu: f (x)dx F(x) C
=
+
∫
thì
f(u)du F(u) C
=
+
∫
; trong đó u u(x)
=
là một hàm số

khả vi liên tục. Ta có thể kiểm tra lại bằng cách đạo hàm hai vế theo x.
Sử dụng tính chất này, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân g(x)dx về dạng:
g(x)dx f(u(x))u'(x)dx=
trong đó
f(x)
là một hàm số mà ta dễ dàng tìm được nguyên hàm
F(x)
. Khi đó tích
phân cần tính trở thành:
g(x)dx f(u(x))u'(x)dx f(u(x))du F(u(x)) C===+
∫∫ ∫
(
)
a0
≠

Trong trường hợp đơn giản
u(x) ax b
=
+
thì du adx
=
, do đó nếu
f(x)dx F(x) C=+
∫
ta suy ra:
1
f (ax b)dx F(ax b) C
a
+

=++
∫

(
)
a0≠

Ví dụ 4:
1
sin axdx cosax C
a
=
−+
∫
.
(
)
a0
≠

ax
ax
e
edx C
a
=+
∫
(
)
a0

≠

sin x sin x sin x
e cos xdx e d(sin x) e C
=
=+
∫∫


Bài 3: Phép tính tích phân

47
3
2
4
dx tg x
(1 tg x)d(tg x) tg x C
cos x 3
=
+=++
∫∫

(
)
3
2222
11
x 1 3x dx 1 3x d(1 3x ) 1 3x C
69
+=++=++

∫∫

2
arccos x arcsin x
I dx arcsin x arcsin xd(arcsin x)
2
1x
π
⎛⎞
==−
⎜⎟
⎝⎠
−
∫∫

23
1
I arcsin x arcsin x C
43
π
⇒= − + .
3.1.2.3. Phương pháp đổi biến
Xét tích phân I f (x)dx=
∫
; trong đó f (x) là một hàm số liên tục. Để tính tích phân
này, ta tìm cách chuyển sang tính tích phân khác của một hàm số khác bằng một phép
đổi biến sao cho biểu thức dưới dấu tích phân đối với biến t có thể tìm được nguyên
hàm một cách đơn giản hơn. Ta chia phương pháp đổi biến làm hai trường hợp là đổi
biến xuôi x (t)=ϕ và đổi biến ngược t (x)
=

ψ .
•
Phép đổi biến thứ nhất:
Đặt
x(t)=ϕ
; trong đó
(t)ϕ
là một hàm số đơn điệu, và có đạo hàm liên tục. Khi
đó ta có:
[
]
I f(x)dx f (t) '(t)dt==ϕϕ
∫∫

Giả sử hàm số
[
]
g(t) f (t) '(t)=ϕ ϕ
có nguyên hàm là hàm G(t) , và t h(x)= là
hàm số ngược của hàm số x(t)
=
ϕ , ta có:

[
]
I g(t)dt G(t) C I G h(x) C==+⇒= +
∫
.
•
Phép đổi biến thứ hai:

Đặt t (x)=ψ , trong đó (x)
ψ
là một hàm số có đạo hàm liên tục, và ta viết được
hàm
[
]
f(x) g (x) '(x)=ψ ψ
. Khi đó ta có:
[
]
I f(x)dx g (x) '(x)dx==ψψ
∫∫
.
Giả sử hàm số
g(t) có nguyên hàm là hàm số
G(t), ta có:
[
]
IG (x) C=ψ +.
Ví dụ 5:
a) Tính tích phân:
1
x
Idx
2x
=
−
∫

Đặt

2
x2sint,t 0,
2
π
⎛⎞
=∈
⎜⎟
⎝⎠
, ta tính được:
dx 4sin tcos tdt= ;
CHÚ Ý :
Khi tính tích phân bất định
bằng phương pháp đổi biến
số, sau khi tìm được nguyên
hàm theo biến số mới, phải
đổi lại thành hàm số của biến
s
ố
cũ.

Bài 3: Phép tính tích phân
{{Ơ
48

2
2
x2sint
tg t
2x 2(1sint)
==

−−
.
Suy ra:
2
1
x
I dx 4 sin tdt 2t sin 2t C
2x
=
==−+
−
∫∫
.
Đổi lại biến x, với
x
tarcsin
2
=
, ta thu được:
2
1
xx
I dx 2arcsin 2x x C
2x 2
== −−+
−
∫
.
b) Tính tích phân
2x

2
x
e
Idx
e1
=
+
∫
.
Đặt
xx
etedxdt=⇒ = , ta có:
2
t1
Idt1dttlnt1C
t1 t1
⎛⎞
==−=−++
⎜⎟
++
⎝⎠
∫∫
.
Đổi lại biến x, ta được:
xx
2
Ieln(e1)C
=
−++
.

c) Tính tích phân
3
x
dx
I
14
=
+
∫
.
Đặt
xx
t 2 dt 2 ln 2dx
−−
=⇒=− , tích phân trở thành:

2
3
22
dt 1 dt 1
I ln(t t 1) C
ln 2 ln 2
tln2 1 t t 1
−
−
==−=−+++
++
∫∫
.
Đổi lại biến x, ta có:

xx
3
1
I ln(2 4 1) C
ln 2
−−
=− + + + .
3.1.2.4. Phương pháp tích phân từng phần
Giả sử uu(x)= và vv(x)= là các hàm số có đạo hàm liên tục. Theo quy tắc lấy vi phân
d(uv) udv vdu uv d(uv) udv vdu=+⇒= = +
∫
∫∫
.
Suy ra : udv uv vdu=−
∫∫
.
Xét tích phân: I f (x)dx=
∫
.
Ta cần biểu diễn:

[
]
[
]
f(x)dx g(x)h(x) dx g(x) h(x)dx udv===

và áp dụng công thức tích phân từng phần với các hàm số u g(x);v h(x)dx==
∫
.

Ta thường sử dụng phương pháp này khi biểu thức dưới dấu tích phân chứa một trong
các hàm số sau đây:
x
ln x;a ; hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược. Cụ thể:
•
Trong các tích phân
nkx n n
x e dx; x sin kxdx; x coskxdx
∫∫ ∫
, n nguyên dương, ta thường
chọn:
n
ux=

Bài 3: Phép tính tích phân

49
• Trong các tích phân
n
x ln xdx
α
∫
, 1
α
≠− và n nguyên dương, ta thường chọn
n
ulnx=
•
Trong tích phân
nn

x arctg kxdx; x arcsin kxdx
∫∫
, n nguyên dương, ta thường chọn:
uarctgkx= hoặc
uarcsinkx
=
;
n
dv x dx= .
Ví dụ 6:
Tính các tích phân bất định:
a)
1
I ln xdx x ln x dx x ln x x C==−=−+
∫∫
.
b)
2
2
I x sin xdx=
∫
.
Đặt
2
u x ,dv sin xdx v cos x== ⇒=−, ta được:
2
2
I x cos x 2 x cos xdx=− +
∫
.

Đặt u x,dv cos xdx v sin x== ⇒=, ta được:

(
)
22
2
I x cosx 2 xsinx sinxdx x cosx 2xsinx 2cosx C.=− + − =− + + +
∫

c)
x
3
2
xe dx
I
(x 1)
=
+
∫
.
Đặt
xx
2
dx 1
uxe;dv v ;du(x1)edx
(x 1) x 1
== ⇒=− =+
++
, ta được:
xxx

xx
3
xe xe e
IedxeCC
x1 x1 x1
=− + =− + + = +
+++
∫
.
d)
x
4
x
xe dx
I
1e
=
+
∫
.
Đặt
x
x
x
edx
1 e t 2dt
1e
+=⇒ =
+
; ta có:

[]
4
I 2 ln(t 1) ln(t 1) dt 2(t 1)ln(t 1) 2(t 1)ln(t 1) 4t C=−++=−−+++−+
∫
.
Đổi lại biến x ta có:
(
)
x
xx
x
xe dx
2(x 2) 1 e 4ln 1 1 e 2x C
1e
=
−++ ++−+
+
∫
.
e)
5
2
xarcsinx
Idx
1x
=
−
∫
.

Bài 3: Phép tính tích phân
{{Ơ
50
Đặt
2
22
xdx dx
uarcsinx;dv du ;v 1x
1x 1x
==⇒==−−
−−
, ta được:
22
5
I1xarcsinxdx1xarcsinxxC=− − + =− − + +
∫
.
f)
x
6
I e cos 2xdx=
∫
.
Đặt
xx
u cos2x;dv e dx v e ;du 2sin 2xdx==⇒==−; ta được:
xx
6
I e cos2x 2 e sin 2xdx=+
∫

.
Đặt
xx
u sin 2x;dv e dx v e ;du 2cos 2xdx==⇒== ; ta được:
()
xxx xx
6 6
I e cos2x 2 e sin2x 2 e cos2xdx e cos2x 2e sin2x 4I 5C=+ − =+ −+
∫
.
Vậy:
()
x
6
e
Icos2x2sin2xC
5
=++.
Trong các mục sau đây chúng ta sẽ xét tích phân bất định của một số dạng hàm cơ
bản: Hàm phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm chứa căn thức và trình bày một số
phương pháp giải chung đối với tích phân các hàm này.
3.1.3. Tích phân hàm phân thức hữu tỷ
Định nghĩa:
Một hàm phân thức hữu tỷ là một hàm số có dạng:
P(x)
f(x)
Q(x)
= ,
trong đó P(x),Q(x) là các đa thức của x.
Một phân thức hữu tỷ có bậc của đa thức ở tử số nhỏ hơn bậc của đa thức ở mẫu số là

một phân thức hữu tỷ thực sự.
Bằng phép chia đa thức, chia
P(x)
cho
Q(x)
ta luôn đưa được một hàm phân thức
hữu tỷ về dạng:

r(x)
f(x) H(x)
Q(x)
=+
Trong đó H(x) là đa thức thương, r(x) là phần dư trong phép chia.
Khi đó
r(x)
Q(x)
là một phân thức hữu tỷ thực sự. Nguyên hàm của đa thức H(x) được
tìm bởi công thức tích phân cơ bản:

n1
n
x
xdx C
n1
+
=+
+
∫
; n nguyên dương.
Ta sẽ xét việc tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỷ còn lại

r(x)
Q(x)
trong hai trường hợp
đặc biệt: Mẫu số của phân thức là đa thức bậc nhất hoặc đa thức bậc hai. Trong những
trường hợp mẫu số phức tạp hơn, chúng ta sử dụng phương pháp hệ số bất định để đưa
về hai trường hợp trên.

Bài 3: Phép tính tích phân

51
3.1.3.1. Tích phân của phân thức hữu tỷ với mẫu số bậc nhất
Xét tích phân:

P(x)
dx
ax b+
∫
.
Trong đó P(x) là một đa thức. Ta biểu diễn hàm dưới dấu tích phân ở dạng sau:

P(x) C
Q(x)
ax b ax b
=+
++
.
Chúng ta sử dụng hai công thức sau để tính tích phân nói trên

n1
n

x
xdx C,n 0
n1
+
=+≥
+
∫
và
dx 1
ln ax b C
ax b a
=
++
+
∫
.
Ví dụ 7:
3 32
2
ln 2x 1
4x 2x 1 1 1 2x x x
dx 2x x dx C
2x 1 2 2(2x 1) 3 2 2 4
−
⎛⎞
−+
=+−+ =+−+ +
⎜⎟
−−
⎝⎠

∫∫
.
3.1.3.2. Tích phân của phân thức hữu tỷ với mẫu số bậc hai
Xét tích phân:
2
P(x)
dx
xpxq++
∫
.
Trong đó P(x) là một đa thức. Ta biểu diễn hàm dưới dấu tích phân ở dạng sau:

22
P(x) Mx N
Q(x)
x pxq x pxq
+
=+
++ ++
.
Ta viết lại:
MMp
Mx N (2x p) N
22
+= ++−
suy ra:
2
22 2
Mx N M d(x px q) Mp dx
dx N

xpxq 2 xpxq 2 xpxq
+++
⎛⎞
=+−
⎜⎟
++ ++ ++
⎝⎠
∫∫ ∫


2
2
MMpdx
ln x px q N .
22xpxq
⎛⎞
=+++−
⎜⎟
+
+
⎝⎠
∫

Tích phân còn lại ở vế phải
2
dx
J
xpxq
=
+

+
∫
được tìm như sau :
•
Nếu tam thức
2
xpxq++ có hai nghiệm phân biệt
12
xx
≠
; ta có:

1
1212 1 2 12 2
xx
dx 1 1 1 1
JdxlnC
(x x )(x x ) x x x x x x x x x x
⎛⎞
−
==−=+
⎜⎟
−− − − − − −
⎝⎠
∫∫
.
•
Nếu tam thức
2
xpxq++ có nghiệm kép

α
, ta có:

2
dx 1
JC
(x ) x
==−+
−α −α
∫
.

Bài 3: Phép tính tích phân
{{Ơ
52
• Nếu tam thức
2
xpxq++ vô nghiệm, ta viết lại:

2
2
2222
pp
xpxq x q Xa,(a0)
24
⎛⎞
⎛⎞
++=+ +− = + >
⎜⎟
⎜⎟

⎝⎠
⎝⎠
.
suy ra:
12xp
Jarctg C
a2a
+
=
+
.
Ví dụ 8:
Tính tích phân:
2
22 2
2x 3x 2 5x 5 2x 1 1
dx 2 dx 2 dx dx
x x1 x x1 2x x1
−+ +−
⎛⎞
=− = −
⎜⎟
++ ++ ++
⎝⎠
∫∫ ∫∫


2
22
5d(x x1) 5 dx

2x
2 x x 1 2 (x 1/2) 3/4
++
=− +
++ + +
∫∫


2
552x1
2x ln(x x 1) arctg C
2
33
+
=
−+++ +
3.1.3.3. Phương pháp hệ số bất định
Giả sử chúng ta muốn phân tích một phân thức hữu tỷ thực sự
P(x)
Q(x)
thành tổng (hiệu)
của các phân thức hữu tỷ thực sự có mẫu số là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai. Trước
hết ta phân tích đa thức ở mẫu số Q(x) thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc
bậc hai:
1m 1 n
aa b b
22
1m11 nn
Q(x) (x ) (x ) (x p x q ) (x p x q )=−α −α + + + + .
trong đó

ijj
,p ,qα là các hằng số,
ij
a ,b là các số nguyên dương, 1 i m;1 j n≤≤ ≤≤ .
•
Nếu trong phân tích của
Q(x)
xuất hiện đơn thức
a
(x )
−
α , a là số nguyên dương
thì trong phân tích của phân thức
P(x)
Q(x)
xuất hiện các hạng tử dạng
i
i
A
(x )−α
, trong
đó
i
A là hằng số và 1ia≤≤ .
•
Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện biểu thức
2b
(x px q)++ , b là số nguyên
dương thì trong phân tích của phân thức
P(x)

Q(x)
xuất hiện các hạng tử dạng
jj
2j
Bx C
(x px q)
+
++
, trong đó
jj
B,C
là các hằng số và
1jb
≤
≤
.
Sau khi viết được phân tích của
P(x)
Q(x)
, ta tìm các hằng số
ijj
A,B,C bằng cách quy
đồng mẫu số ở hai vế, rồi đồng nhất hệ số của
n
x,n
∈
` ở hai vế.
Ví dụ 9:
Tính các tích phân bất định
a)

43 2
1
2
xx2x2x1
Idx
(x 2)(x 1)
−+ −+
=
+−
∫
.

Bài 3: Phép tính tích phân

53
Chia tử số cho mẫu số ta được đa thức x và phần dư. Do mẫu số của phân thức có
các nhân tử là
2
x2+ và x 1
−
nên ta viết lại phân thức ở dạng:
43 2
22 2
xx2x2x1 1 A BxC
xx
(x 2)(x 1) (x 2)(x 1) x 1 x 2
−+ −+ +
=+ =+ +
+− +− − +
.

Quy đồng mẫu số ở hai vế
2
3 (A B)x (C B 2)x C=+ +−+ −
Đồng nhất hệ số của
2
x,x và hệ số tự do, ta được:
A B 0 A 1
CB20 B 1
C 1 C 1
+= =
⎧⎧
⎪⎪
−+=⇒ =−
⎨⎨
⎪⎪
−= =−
⎩⎩

Suy ra:
43 2
222
x x 2x 2x 3 1 1 2x 1
x
(x 2)(x 1) x 1 2 x 2 x 2
−+ −+
=+ − −
+− − + +
.
Vậy tích phân bằng:
22

xln(x2)1x
Ilnx1 arctgC
22
22
+
=+ −− − +
.
b)
432
2
22
2x 10x 17x 16x 5
Idx
(x 1) (x 2x 3)
++++
=
+++
∫
.
Ta viết:
432
22 2 2
2x 10x 17x 16x 5 2 1 4
2
(x 1) (x 2x 3) x 1 (x 1) x 2x 3
++++
=+ − −
+++ ++ ++
.
Suy ra:

1x1
I2x2lnx1 22arctg C
x1
2
+
=
+++− +
+
.
3.1.4. Tích phân hàm lượng giác
3.1.4.1. Phương pháp chung
Xét tích phân
R(sin x,cos x)dx
∫
, trong đó hàm dưới dấu tích phân là hàm số của
sin x,cos x . Ta có thể sử dụng phép đổi biến tổng quát
x
ttg
2
= , khi đó:
2
2222
2t 1 t 2t 2dt
sin x ;cos x ;tg x ;dx
1t 1t 1t 1t
−
====
+
+−+

Tích phân đang xét được đưa về tích phân của hàm số của biến t .
Ví dụ 10:
Tính tích phân:
sin x cos x 2
dx
1sinxcosx
−+
++
∫
.
Ta viết:
sin x cos x 2 d(1 sin x cosx) dx
dx 2
1sinxcosx 1sinxcosx 1sinxcosx
−+ ++
=− +
++ ++ ++
∫∫∫
.

Bài 3: Phép tính tích phân
{{Ơ
54
Đặt
x
ttg
2
= , suy ra:

dx dt

ln 1 t C
1sinx cosx 1t
=
=++
++ +
∫∫
.
Thay lại biến cũ, ta được:


sin x cos x 2 x
dx ln 1 sin x cos x 2ln 1 tg C
1sinxcosx 2
−+
=
−+ + + + +
++
∫
.
3.1.4.2. Tích phân dạng
mn
sin x cos xdx
∫
, trong đó m, n là các số nguyên
• Nếu m là số nguyên dương lẻ, ta đặt
tcosx
=
.
•
Nếu n là số nguyên dương lẻ, ta đặt

tsinx
=
.
•
Nếu m, n là các số nguyên dương chẵn, ta sử dụng công thức hạ bậc:

22
1 cos2x 1 cos2x
sin x ;cos x
22
−
+
==
rồi đưa về tích phân dạng
ke
sin 2xcos 2xdx.
∫

Ví dụ 11:
Tính các tích phân bất định
a)
32
1
I sin x cos xdx=
∫

Đặt
cos x t sin xdx dt
=
⇒− = ; ta có:

53 5 3
32 22
t t cos x cos x
sin x cos xdx (1 t )t ( dt) C C
53 5 3
=− −=−+= − +
∫∫
.
b)
42
2
I sin x cos xdx=
∫

Sử dụng công thức hạ bậc ta có:

()
2
23
2
(1 cos 2x) 1 cos 2x 1
Idx1cos2xcos2xcos2xdx
428
−+
==−−+
∫∫


2
2

1 sin2x 1 cos4x 1
I x dx (1 sin 2x)d(sin 2x)
82 2 2
+
⎛⎞
⇒= − − + −
⎜⎟
⎝⎠
∫∫


3
2
1 x sin 2x sin 4x sin 2x sin 2x
IC
82 2 8 2 6
⎛⎞
⇒=−−+− +
⎜⎟
⎝⎠
.
Đối với tích phân
2
I sau khi sử dụng công thức hạ bậc lần thứ nhất ta cũng có thể
tiếp tục hạ bậc của biểu thức lượng giác dưới dấu tích phân bởi công thức:
33
3sin x sin3x 3cos x cos3x
sin x ;cos x
44
−

+
==
.

Bài 3: Phép tính tích phân

55
Áp dụng vào tích phân
2
I , ta có:
2
1 1 cos4x 3cos 2x cos6x
I1cos2x dx
824
++
⎛⎞
=− − +
⎜⎟
⎝⎠
∫

2
1 x sin 2x sin 4x sin6x
IC
82 8 8 24
⎛⎞
⇒= − − + +
⎜⎟
⎝⎠
.

Trong trường hợp tổng quát sau khi sử dụng công thức hạ bậc, có thể xuất hiện các
tích phân dạng: sin ax cos bxdx; cosaxcosbxdx; sin ax sin bxdx
∫∫∫
với ab≠ .
Các tích phân dạng này có thể tính dễ dàng bằng cách biến đổi tổng như sau:
[]
1
sin ax cosbxdx sin(a b)x sin(a b)x dx
2
=++−
∫∫


1 cos(a b)x cos(a b)x
C
2ab ab
+−
⎡⎤
=− + +
⎢⎥
+−
⎣⎦
.
[]
1
cosax cos bxdx cos(a b)x cos(a b)x dx
2
=++−
∫∫

1sin(a b)x sin(a b)x
C
2ab ab
+−
⎡⎤
=++
⎢⎥
+−
⎣⎦
.
[]
1
sin ax sin bxdx cos(a b)x cos(a b)x dx
2
=−−+
∫∫


1 sin(a b)x sin(a b)x
C.
2ab ab
−+
⎡⎤
=−+
⎢⎥
−+
⎣⎦

Khi tích phân R(sin x,cos x)dx

∫
có thêm những tính chất đặc biệt, ta có thể sử
dụng các phép đổi biến như sau:
 Đặt t = cosx nếu R (–sinx, cosx) = –R(sinx, cosx). .
 Đặt t = sinx nếu R(sinx, –cosx) = –R(sinx, cosx).
 Đặt t = tgx nếu R( sin x, cos x) R(sin x,cos x)−− = .

Ví dụ 12:
Tính tích phân:
4
dx
sin x cos x
∫

Đặt
t cos x dt sin xdx=⇒=− , ta có:
42442 3
dx dt 1 1 1 1 1 1 1 t 1
dt ln C
sin x cos x (1 t )t t t 2(t 1) 2(t 1) 3t t 2 t 1
⎡⎤
−+
=
=−− + =−−+ +
⎢⎥
−−+ −
⎣⎦
∫∫∫

43

dx 1 1 1 1 cos x
ln C
sin x cos x 3cos x cos x 2 1 cos x
+
⇒=−−++
−
∫


Bài 3: Phép tính tích phân
{{Ơ
56
3.1.5. Tích phân hàm chứa căn thức
Xét tích phân có dạng
22
R(x, x )dxα±
∫
,
22
R(x, x )dx−α
∫
, trong đó R(u,v) là
các hàm số hữu tỷ.
•
Đặt x tg t=α đối với tích phân
22
R(x, x )dxα+
∫
.
•

Đặt
xsint=α
hoặc x a cos t= đối với tích phân
22
R(x, x )dxα−
∫
.
•
Đặt
x
cos t
α
=
hoặc
x
sin t
α
=
đối với tích phân
22
R(x, x )dx−α
∫
.
Ví dụ 13:
Tính các tích phân sau:
a)
3
2
2
(1 x ) dx

−
−
∫
.
Đặt
2
x sin t,t , dx cos tdt, 1 x cos t
22
ππ
⎛⎞
=∈−⇒= −=
⎜⎟
⎝⎠
, và
3
2
2
2
dt
(1 x ) dx tg t C tg(arcsin x) C
cos t
−
−==+= +
∫∫
.
b)
22
dx
x1x+
∫

.
Đặt
2
dt
xtgtt , dx
22 cost
⎛ππ⎞
⎛⎞
=∈− ⇒=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
, ta có:
2
22
dx cos tdt 1 1
CC
sin t sin t sin(arctg x)
x1x
=
=− + =− +
+
∫∫
.
3.2. Tích phân xác định
3.2.1. Khái niệm tích phân xác định. Điều kiện khả tích
3.2.1.1. Bài toán diện tích hình thang cong
Cho hàm số
yf(x)=

xác định và liên tục trên đoạn
[
]
a,b và giả sử
f(x)
không âm
trên đoạn đó. Xét hình thang cong AabB là hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số
yf(x)= (
[
]
xa,b∈ ); các đường thẳng xa,xb
=
= và trục Ox. Tính diện tích S của hình
thang cong AabB.
Ta chia đoạn
[
]
a,b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia:

01 i n
x a x x x b≡< << << ≡
Cách phân chia nói trên được gọi là một phân hoạch
π
của đoạn
[
]
a,b .
Tại mỗi điểm có hoành độ
i
x trên trục hoành ta kẻ các đường thẳng song song với

trục Oy. Các đường thẳng này giao với đồ thị của hàm số
f(x)
tại các điểm
i
A và sẽ

Bài 3: Phép tính tích phân

57
chia hình thang cong AabB thành n hình thang cong nhỏ
iii1 i1
Axx A
+
+
. Ta có thể xấp xỉ
diện tích của mỗi hình thang cong nhỏ đó bởi diện tích của hình chữ nhật có cùng đáy
dưới và chiều cao
i
f( )ξ , trong đó
i
ξ
là một điểm bất kỳ nằm giữa
i
x và
i1
x
+
. Gọi
i
S

là diện tích của hình thang cong nhỏ thứ i, ta có:

iii1i ii
Sf()(x x)f()x
+
≈
ξ−=ξΔ.
Vậy diện tích S của hình thang cong AabB có thể xấp xỉ bởi công thức:

n1
ii
i0
Sf()x
−
=
≈ξΔ
∑
.
Tổng ở vế phải được gọi là tổng tích phân ứng với phân hoạch
π
và cách chọn điểm

[
]
iii1
x,x
+
ξ∈ .
Khi số điểm chia n lớn lên vô hạn và độ dài các đoạn chia
i

x
Δ
nhỏ dần thì cạnh trên
của hình chữ nhật thứ i
càng sát với hình dáng của đồ thị của f(x) trên đoạn
[
]
ii1
x,x
+
, phép xấp xỉ diện tích S bởi tổng diện tích các hình chữ nhật nói trên càng
chính xác. Khi n tiến ra vô cùng, giới hạn của tổng ở vế phải chính là diện tích S của
hình thang cong AabB:
n
Slim
→∞
=σ
(3.1)
Trong toán học, giới hạn ở vế phải trong những ràng buộc nhất định được gọi là tích
phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn
[
]
a,b
3.2.1.2. Định nghĩa tích phân xác định
Định nghĩa:
Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn
[
]
a,b
. Phân hoạch đoạn

[
]
a,b
bởi các điểm chia

01 i n
x a x x x b
≡
<<<<<≡
Trên mỗi đoạn
[
]
ii1
x,x
+
lấy một điểm
i
ξ
bất kỳ và lập tổng tích phân
n1
ii
i0
f( ) x
−
=
σ= ξ Δ
∑
.
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
ii

n1
ii
max x 0 max x 0
i0
Ilim lim f()x
−
Δ→ Δ→
=
=
σ= ξ Δ
∑
, ( giới hạn này không
phụ thuộc vào cách chia đoạn
[
]
a,b và cách chọn các điểm
i
ξ
) thì hàm số
f(x)
được
gọi là khả tích trên đoạn
[
]
a,b và I được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x)
trên đoạn
[
]
a,b
, và ký hiệu:

b
a
If(x)dx=
∫

a, b tương ứng được gọi là cận dưới và cận trên của tích phân.
Ví dụ 14:
Xét hàm hằng
[
]
f(x) C, x 0,1=∀∈ .

Bài 3: Phép tính tích phân
{{Ơ
58
Với một phân hoạch π bất kỳ của đoạn
[
]
0,1 và cách chọn điểm
[
]
iii1
x,x
+
ξ∈ , ta lập
tổng tích phân:

n1 n1
ii i

i0 i0
f( ) x C x C
−−
==
σ= ξ Δ = Δ =
∑∑
.
Theo định nghĩa tích phân xác định, ta có

i
1
max x 0
0
Cdx lim C
Δ→
=
σ=
∫
.







3.2.1.3. Điều kiện khả tích
Ta thừa nhận các định lý sau về tính khả tích của các hàm số.
Định lý 1:
Điều kiện cần để một hàm số f(x) khả tích trên đoạn

[
]
a,b là nó bị chặn trên
đoạn đó.
Định lý 2:
Một hàm số
f(x)
xác định trên đoạn
[
]
a,b khả tích trên đoạn đó nếu nó thoả mãn
một trong các điều kiện sau đây:
•
f (x) liên tục trên đoạn
[
]
a,b .
•
f(x) đơn điệu và bị chặn trên
[
]
a,b .
•
f(x) bị chặn và chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn trên
[
]
a,b .

CHÚ Ý :
Tích phân xác định của một hàm số khả tích
f(x) trên đoạn
[
]
a,b là một số xác định, do
đó tích phân không phụ thuộc vào ký hiệu của biến số dưới dấu tích phân

bbb
aaa
f (x)dx f (u)du f (t)dt
=
==
∫∫∫

CHÚ Ý :
Từ định lý 2 khi đã biết hàm số
f(x)
khả tích trên đoạn
[
]
a,b thì giới hạn của tổng tích
phân không phụ thuộc vào cách phân hoạch đoạn

[
]
a,b và cách chọn điểm
i
ξ . Do đó khi
tính tích phân xác định của một hàm khả tích bằng định nghĩa, ta thực hiện việc chia đều
đoạn
[
]
a,b , và chọn điểm
i
ξ trùng với một trong hai đầu mút của đoạn
[
]
ii1
x,x
+
, (với
0in1≤≤ −
). Khi đó ta có

ii
i(b a) b a
xa ;x ;
nn
−
−
=+ Δ =

ii

x
ξ
= hoặc
ii1
x
+
ξ
=

Bài 3: Phép tính tích phân

59
Ví dụ 15:
Tính tích phân
1
2
0
xdx
∫
.
Dễ thấy hàm số
2
f(x) x= liên tục và do đó khả tích trên đoạn
[
]
0,1
. Phân hoạch đoạn
[
]
0,1 bởi các điểm chia

01 i n
i
0 x x x x 1
n
≡<<<=<<≡.
Chọn điểm
ii1
i1
x
n
+
+
ξ≡ =
, ta có tổng tích phân ứng với phân hoạch nói trên và cách
chọn điểm
i
ξ là:
2
n1 n
2
33
i0 i1
1i1 1 n(n1)(2n1)
i
nnn 6n
−
==
+
++

⎛⎞
σ= = =
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
.
Vậy:
1
2
3
n
0
n(n 1)(2n 1) 1
xdx lim
6n 3
→∞
++
==
∫
.
Từ ví dụ trên ta thấy cũng có thể ứng dụng tích phân xác định trong việc tìm giới hạn
của dãy số
n
S, bằng cách biểu diễn
n
S như tổng tích phân của một hàm số nào đó ứng
với một phân hoạch và cách chọn điểm
i
ξ
đặc biệt.

3.2.1.4. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định
Chúng ta đã biết mọi hàm số liên tục trên đoạn
[
]
a,b đều khả tích trên đoạn đó, do đó
công thức (3.1) có thể viết lại dưới dạng :

b
a
Sf(x)dx=
∫
.
Như vậy nếu y f (x)= là hàm số liên tục và f (x) 0≥ trên đoạn
[
]
a,b
thì tích phân xác
định của hàm số
f(x)
trên đoạn
[
]
a,b là số đo diện tích của hình thang cong AabB
giới hạn bởi đồ thị của hàm số
f(x) trên đoạn đó và các đường thẳng
xa,xb,y0===.
3.2.1.5. Các tính chất cơ bản của tích phân xác định
Trong phần này ta luôn giả sử ab
<
.

•
Nếu hàm số f(x) khả tích trên đoạn
[
]
a,b
thì:

ba
ab
f (x)dx f (x)dx=−
∫∫
.
•
Nếu f(x) khả tích trên đoạn
[
]
a,b và c là một điểm bất kỳ nằm giữa a và b, thì
hàm số f(x) cũng khả tích trên mỗi đoạn
[
]
[
]
a,c ; c,b
và

Bài 3: Phép tính tích phân
{{Ơ
60

bcb

aac
f(x)dx f(x)dx f(x)dx=+
∫∫∫
.
• Tính chất tuyến tính của tích phân xác định

[]
bbb
aaa
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dxα+β =α +β
∫∫∫

trong đó ,αβ là các hằng số và f(x);g(x) là các hàm số khả tích trên đoạn
[
]
a,b .
•
Giả sử f(x),g(x) là hai hàm số khả tích trên đoạn
[
]
a,b và
[
]
f(x) g(x), x a,b≤∀∈,
ta có :

bb
aa
f(x)dx g(x)dx≤
∫∫

.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
f(x) g(x)
=
với mọi
[
]
xa,b∈
•
Nếu f (x) khả tích trên đoạn
[
]
a,b thì hàm số f(x) cũng khả tích trên đoạn đó và

bb
aa
f(x)dx f(x) dx≤
∫∫
.
•
Giả sử hàm số f (x) liên tục trên đoạn
[
]
a,b
thì tồn tại ít nhất một điểm
[
]
ca,b∈

sao cho :

b
a
f(x)dx f(c)(b a)
=
−
∫
.
3.2.2. Công thức đạo hàm theo cận trên
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn
[
]
a,b . Khi đó f(x) cũng khả tích trên
đoạn
[
]
a,x
với x là một điểm bất kỳ thuộc đoạn
[
]
a,b
.
Xét hàm số:
[]
x
a
(x) f(t)dt,x a,bΦ= ∈
∫
.
Hàm số

(x)Φ được gọi là hàm cận trên.
Định lý:
Nếu f(x) là hàm số liên tục trên đoạn
[
]
a,b thì hàm cận trên (x)
Φ
là hàm khả vi liên
tục trên đoạn đó, và với mọi điểm
[
]
xa,b∈ ta có:

x
a
'(x) f (t)dt ' f (x)
⎛⎞
Φ= =
⎜⎟
⎝⎠
∫
.
Nhận xét:
Công thức nói trên cho ta thấy hàm cận trên
(x)
Φ
là một nguyên hàm của hàm số
dưới dấu tích phân f (x) trên đoạn
[
]

a,b . Và như vậy mọi hàm số liên tục đều có
nguyên hàm.

Bài 3: Phép tính tích phân

61
3.2.3. Công thức Newton – Leibnitz
b
b
a
a
f (x)dx F(x) F(b) F(a)==−
∫

trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số liên tục f (x) .
Công thức Newton – Leibnitz cho phép ta tính tích phân xác định thông qua nguyên
hàm của hàm số đó.
Chứng minh:
Do hàm cận trên
(x)Φ
là một nguyên hàm của hàm số
f(x)
trên đoạn
[
]
a,b nên ta có
F(x) (x) C=Φ + .
Thay
xa=
ta có: F(a) (a) C C=Φ + = .

Suy ra:
x
a
f(t)dt (x) F(x) C F(x) F(a)=Φ=−=−
∫
.
Thay
xb= ta được:
b
a
f(t)dt F(b) F(a)=−
∫
.
Ví dụ 16:
Tính các tích phân xác định:
a)
2
1
0
Ix1dx=−
∫
.
Ta thấy rằng tích phân của hàm số
f(x) x 1
=
− không suy ra trực tiếp được từ
bảng các tích phân cơ bản, do đó ta cần khử được dấu giá trị tuyệt đối của hàm
dưới dấu tích phân. Do đó ta chia đoạn lấy tích phân thành hai đoạn: Trên đoạn
[
]

0,1 hàm số f(x) 1 x=− , trên đoạn
[
]
1, 2 hàm số f(x) x 1
=
− . Sau đó dùng công
thức Newton – Leibnitz ta tính được tích phân:
12
12
22
1
01
01
xx
I (1x)dx (x1)dx x x 1
22
⎛⎞⎛⎞
=− + − =− + − =
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∫∫
.
b)
0
2
1
Ixarctg(x1)dx
−
=+
∫

.
Ta tìm một nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân
22 2
2
xx 1xdx
F(x) x arctg xdx arctg xd arctg x
22 21x
⎛⎞
== =−
⎜⎟
+
⎝⎠
∫∫ ∫
.
Suy ra
2
x1
F(x) arctg x (x arctgx)
22
=−− và theo công thức Newton – Leibnitz:
0
1
2
x arctg(x 1)dx F(0) F( 1)
4
−
π
−
+=−−=
∫

.

Bài 3: Phép tính tích phân
{{Ơ
62
3.2.4. Các phương pháp tính tích phân xác định
Ta đã biết công thức Newton – Leibnitz cho phép tính tích phân xác định khi đã biết
nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân, do đó các phương pháp tính tích phân bất
định đều được sử dụng để tính tích phân xác định như là: Phương pháp khai triển, biến
đổi vi phân, đổi biến và tích phân từng phần. Tuy nhiên khi dùng phương pháp đổi
biến, ta không cần phải đổi lại biến ban đầu mà chỉ cần tính lại cận tích phân tương
ứng. Sau đây trình bày lại hai cách đổi biến đối v
ới tích phân xác định, và công thức
tích phân từng phần.
3.2.4.1. Phương pháp tích phân từng phần
()
bb
b
a
aa
udv uv vdu=−
∫∫

trong đó
u(x),v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục.
Phương pháp này được áp dụng trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân có chứa các
hàm số
xx
a ,e ,lnx, các hàm lượng giác và các hàm lượng giác ngược.
Ví dụ 17:

Tính tích phân:
1
3x
0
Ixedx=
∫
.
Đặt:
3x
3x
du dx
ux
e
dv e dx
v
3
=
⎧
=
⎧
⎪
⇒
⎨⎨
=
=
⎩
⎪
⎩

suy ra:

1
1
3x 3 3
1
3x 3x
0
0
0
xe 1 e 1 2e 1
Iedxe
33 39 9
+
=− =−=
∫
.
3.2.4.2. Phương pháp đổi biến
Giả sử ta cần tính tích phân
b
a
f(x)dx
∫
, trong đó f (x) là hàm số liên tục trên đoạn
[
]
a,b .
•
Phép đổi biến thứ nhất:
Đặt x (t)=ϕ , trong đó:
Hàm số (t)ϕ xác định, liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn
[

]
,αβ
() a,() bϕα = ϕβ = .
Khi t biến thiên trong đoạn
[
]
,
α
β hàm số x(t)
=
ϕ nhận giá trị tương ứng trong
đoạn
[
]
a,b
.
Khi đó:
[]
b
a
f (x)dx f (t) '(t)dt g(t)dt
ββ
αα
=ϕϕ =
∫∫ ∫
.
•
Phép đổi biến thứ hai:
Đặt t (x)=ϕ , trong đó:

Bài 3: Phép tính tích phân

63
(x)ϕ là hàm số đơn điệu thực sự và có đạo hàm liên tục trên
[
]
a,b
f(x)dx trở thành g(t)dt , trong đó g(t) là một hàm số liên tục trên đoạn
[
]
(a), (b)ϕϕ
Khi đó:
(b)
b
a(a)
f (x)dx g(t)dt
ϕ
ϕ
=
∫∫
.
Ví dụ 18:
a) Giả sử hàm số
f(x)
liên tục trên đoạn
[
]
a,a− .
Nếu f (x) là hàm chẵn thì
aa

a0
f(x)dx 2 f(x)dx
−
=
∫∫
.
Nếu f (x) là hàm lẻ thì
a
a
f(x)dx 0
−
=
∫
.
Thật vậy ta có
a0a
12
aa0
I f(x)dx f(x)dx f(x)dx I I
−−
==+=+
∫∫∫
.
Đối với tích phân I
1
, thay biến x t
=
− , ta có:

a

1
0
If(t)dt=−
∫
.
Do đó nếu
f(x) là hàm lẻ thì: f(t) f( t) 0
+
−=, và
a
a
f(x)dx 0
−
=
∫
.
Nếu f (x) là hàm chẵn thì: f(t) f( t) 2f(t)
+
−= , và
aa
a0
f(x)dx 2 f(x)dx
−
=
∫∫
.
b) Tính tích phân:
2
2x
1

x1
Jdx
xe
+
=
∫
.
Đặt
xx
xe t (x 1)e dx dt=⇒ + = .
Suy ra:
2
2
2e
2e
22
e
e
dt 1 2e 1
J
tt 2e
−
==−=
∫
.
c) Tính tích phân:
2
22
0
Kx4xdx=−

∫
.
Đặt
x2sint,(0t )
2
π
=≤≤, ta có:

2
dx 2cos tdt, 4 x 2cos t=−=.
Vậy:
/2
/2 /2
22
00
0
sin 4t
K 16 sin t cos tdt 2 (1 cos 4t)dt 2 t
4
π
ππ
⎛⎞
==−=−=π
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
.
3.2.5. Ứng dụng của tích phân xác định
Xét một biến số x nhận các giá trị bằng số khác nhau một cách ngẫu nhiên, được gọi là
biến ngẫu nhiên. Xác suất để biến ngẫu nhiên x nhận một giá trị

0
x nào đó được cho

Bài 3: Phép tính tích phân
{{Ơ
64
bởi hàm mật độ xác suất. Hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục x là
một hàm số liên tục f (x) thoả mãn các điều kiện sau:
•

f(x) 0≥
.
•
Nếu miền biến thiên của biến
x
là đoạn
[
]
A,B thì
B
A
f(x)dx 1=
∫
.
•
Xác suất để x nhận giá trị trong khoảng
[
]
a,b được tính bởi công thức:

[]
b
a
Pa x b f(x)dx,(A a b B)≤≤ = ≤≤≤
∫
.
Ví dụ 19:
Gọi t là thời gian xếp hàng để mua hàng trong một cửa hàng lớn. Qua số liệu thực
nghiệm người ta ước lượng được hàm mật độ xác suất:

()
2
3
f(t) t , 0 t 5
125
=≤≤.
Xác suất để một khách hàng phải xếp hàng trong thời gian từ 2 đến 3 phút là:

3
3
23
2
2
3t t
P dt 0,152.
125 125
===
∫

3.3. Tích phân suy rộng

Khi định nghĩa tích phân xác định, chúng ta đã xét các hàm số xác định trên một đoạn
hữu hạn
[
]
a,b
và bị chặn trên đoạn đó. Trong phần này chúng ta sẽ mở rộng khái
niệm tích phân, từ đó đưa vào khái niệm tích phân suy rộng với cận vô hạn và tích
phân của hàm số không bị chặn.
3.3.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn
Giả sử
f(x)
là hàm số xác định trên khoảng
[
)
a,
+
∞ và khả tích trên mọi đoạn hữu
hạn
[
]
a,A ,(a A )
≤
<+∞
.
Định nghĩa:
Giới hạn của tích phân xác định
A
a
f(x)dx
∫

khi
A →+∞
được gọi là tích phân suy rộng
của hàm số
f(x) trên khoảng
[
)
a,
+
∞ và ký hiệu như sau:

A
A
aa
f(x)dx lim f(x)dx
+∞
→+∞
=
∫∫

Nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn ta nói tích phân suy rộng
a
f(x)dx
+∞
∫
hội tụ. Ngược
lại, nếu không tồn tại giới hạn này hoặc giới hạn bằng vô cùng ta nói tích phân đó
phân kỳ.

Bài 3: Phép tính tích phân

65
Tương tự ta định nghĩa tích phân của một hàm số f (x) trên các khoảng
(
]
,a−∞ và
()
,−∞ +∞ bởi các công thức sau:

aa
A
A
f(x)dx lim f(x)dx
→−∞
−∞
=
∫∫
và
A
A
A'
A'
f(x)dx lim f(x)dx
+∞
→+∞
−∞
→−∞
=
∫∫
.

Ta có thể viết:
a
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
+∞ +∞
−∞ −∞
=+
∫∫∫

khi hai trong ba tích phân nói trên hội tụ.
Từ định nghĩa ta suy ra phương pháp tính tích phân suy rộng với cận vô hạn.
Ví dụ 20:
a) Tính tích phân
2
2
e
dx
xlnx(lnlnx)
+∞
∫

Ta có:
2
2
A
A
2
e
e
dx 1 1 1

xlnx(lnlnx) lnlnx ln2 lnlnA
=− = −
∫

2
A
2
A
e
dx 1
lim
xlnx(lnlnx) ln2
→+∞
⇒=
∫
.
Vậy:
2
2
e
dx 1
xlnx(lnlnx) ln2
+∞
=
∫
.
b)
Tính tích phân:
22
dx

(x 1)
+∞
−∞
+
∫
.
Trước hết ta tính
A
22
A'
dx
(x 1)+
∫
, đặt
2
22 2
dx dt
xtgt costdt
(1 x ) 1 tg t
=⇒ = =
++
.

arctg A
arctgA
A
22
A' arctgA'
arctg A'
dx 1 cos2t t sin 2t

dt
(x 1) 2 2 4
+
⎛⎞
==+
⎜⎟
+
⎝⎠
∫∫

Khi A ,A'→+∞ →−∞ thì
arctg A ;arctg A '
22
π
π
→→−

suy ra:
2
22
2
dx t sin 2t
(x 1) 2 4 2
π
+∞
π
−∞
−
π
⎛⎞

=+ =
⎜⎟
+
⎝⎠
∫
.
c)

()()
00
0
A
AA A
A
x sin xdx lim xsin xdx lim x cos x sin x lim AcosA sin A
→−∞ →−∞ →−∞
−∞
==−+=−
∫∫

giới hạn này không tồn tại, do đó tích phân phân kỳ.
d)
Xét sự hội tụ của tích phân:
1
dx
I
x
+∞
α
=

∫
.

Bài 3: Phép tính tích phân
{{Ơ
66
Với mọi
A1>
, ta có:
1
A
1
(A 1)
khi 1
dx
1
x
ln A khi 1
−α
α
⎧
−
α
≠
⎪
=
−α
⎨
⎪
α

=
⎩
∫

Với
1α>
:
1
A
A11
Ilim
11
−α
→+∞
−
==
−α α−
.
Với
1α< :
1
A
A1
Ilim
1
−α
→+∞
−
==+∞
−α

.
Với
1α=
:
A
IlimlnA
→+∞
==+∞.
Do đó tích phân suy rộng I hội tụ khi và chỉ khi
1
α
> , và phân kỳ khi và chỉ khi
1α≤ .
3.3.2. Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn
Giả sử
f(x)
là hàm số xác định trên khoảng
[
)
a,b và khả tích trên mọi đoạn
[
]
a,t ;
(
tb< bất kỳ), và
xb
lim f (x)
→
=∞. Điểm xb
=

được gọi là điểm bất thường (điểm kỳ dị)
của hàm số
f(x)
.
Định nghĩa:
Giới hạn của tích phân
t
a
f(x)dx
∫
khi t b
−
→ ; được gọi là tích phân suy rộng của hàm
số f (x) trên khoảng
[
)
a,b và được ký hiệu như sau:
bt
tb
aa
f(x)dx lim f(x)dx
−
→
=
∫∫
.
Nếu giới hạn ở vế phải tồn tại, ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Ngược lại nếu không
tồn tại giới hạn này hoặc giới hạn bằng vô cùng, ta nói tích phân phân kỳ.
Tương tự ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm số
f(x)

không bị chặn trên
khoảng
(
]
a,b và
()
a,b lần lượt nhận xa
=
và
xa,xb
=
=
làm điểm bất thường.
bb
ta
at
f(x)dx lim f(x)dx
+
→
=
∫∫
và
bt'
ta
at
t' b
f(x)dx lim f(x)dx
+
−
→

→
=
∫∫
.
Đối với tích phân có hai điểm bất thường x a, x b
=
= , ta có thể viết:
bcb
aac
f(x)dx f(x)dx f(x)dx=+
∫∫∫

khi hai trong ba tích phân nói trên hội tụ.
Ví dụ 21:
a)
()
0
00
22
t1 t1 t1
1t
t
dx dx
lim lim arcsin x lim arcsin t .
2
1x 1x
→− →− →−
−
π
=

==−=
−−
∫∫


Bài 3: Phép tính tích phân

67
t
1t
22
t1 t1 t1
00
0
dx dx
lim limarcsin x limarcsin t
2
1x 1x
→→→
π
=
===
−−
∫∫
.
101
222
110
dx dx dx
1x 1x 1x

−−
=
+=π
−−−
∫∫∫
.
b)
Xét sự hội tụ của tích phân
1
0
dx
I
x
α
=
∫
.
Điểm bất thường của hàm số là
x0
=
.
Với mọi
(
]
t0,1∈
, ta có:
1
1
t
1t

khi 1
I(t) x dx
1
ln t khi 1
−α
−α
⎧
−
α
≠
⎪
==
−α
⎨
⎪
−
α=
⎩
∫

Với
1α<
1
t0
1t 1
Ilim
11
+
−α
→

−
==
−α −α
.

Với
1
α
>
:
1
t0
1t
Ilim
1
+
−α
→
−
==+∞
−α
.

Với
1
α
=
:
t0
Ilim(lnt)

+
→
=−=+∞.
Vậy tích phân suy rộng I
hội tụ khi và chỉ khi
1
α
<
, phân kỳ khi và chỉ khi
1.
α
≥