chương 3 phép tính tích phân

1
Chương 3 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

3.1. Tích phân bất định
3.1.1. Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định
1. Nguyên hàm
a. Định nghĩa: F(x) là nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a,b)
 F(x) = f(x) , x  (a,b)
b. Định Lý : Mọi hàm số f(x) liên tục trên (a,b) đều có nguyên hàm trên
khoảng đó
Ví dụ. Cho
() cos
f
xx , dễ thấy () sinxFx

là một nguyên hàm của ()
f
x trên
R. Ngoài ra nó còn có nguyên hàm dạng
sinx+C , với C là hằng số tùy ý.
c. Định Lý 2
 Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trên (a,b) thì F(x) + C ( C : hằng số)
cũng là nguyên hàm của f(x).
 Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a,b) đều có dạng F(x) + C
2. Tích phân bất định
a. Định nghĩa. Dạng tổng quát của nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a,b), kí
hiệu là

dxxf )( , được gọi là tích phân bất định của hàm f(x) trên khoảng đó.



dxxf )( = F(x) +C
b. Tính chất cơ bản
1)



 dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
2)


 dxxfkdxxkf )()(
(k : hằng số )
3. Bảng tích phân
(1)
Codx 

(7) Cxxdx 

cossin
(2)
Cxdx 

1 (8) Cxxdx 

sincos
(3)
C
x
dxx 





1
1



(9) Ctgx
x
dx


2
cos


(4)
Cx
x
dx


ln (10) Cgx
x
dx


cot
sin

2

(5)
C
a
a
dxa
x
x


ln
(11)
Cx
x
dx



arcsin
1
2


(6)
Cedxe
xx


(12) Carctgx

x
dx



2
1

2
Ví dụ. Tính các nguyên hàm
a.
53 7 5 3
1
2
222 2 2 2
242
(1) ( 2 )
753
x
xdxx xxdxx x xC   


b.
2
1os2 sin2
sin
224
cx x x
x
dx dx C





3.1.2. Các phương pháp tính tích phân
1. Phương pháp đổi biến số

a.


dxxf )( =

duug )( = G [u(x)] + C


b.

dxxf )( =


 )()()(')).(( tGdttgdtttf



Ví dụ
a) Tính
2
4
I
xx dx



Đặt
222
4422tx tx tdtxdx . Từ đó:
23
3
22
(4)
4
33
x
t
I
xx dx tdt C C

 

.
b) Tính
22
I
axdx

, (a > 0)
Đặt
cos a sin
x
atdx tdt
. Từ đó:

22 222 2 2
222
os (1 os )
sin ( a sin ) ( os2 1) sin 2
242
Iaxdxaactdtactdt
aaa
at tdt ctdt t tC
  
   
 

.

2. Phương pháp tích phân từng phần


udv = uv -

vdu

Ghi chú
: Phương pháp tích phân từng phần thường được dùng để tính các tích
phân có dạng sau:




axdxxPaxdxxPdxexP
ax

cos)(,sin)(,)(
Dùng phương pháp trên với phép đặt
ax
()
, os(ax ),sin(ax )
b
uPx
dv e c b b dx






.




arctgxdxxPxdxxPxdxxP )(,arcsin)(,ln)(
3
Dùng phương pháp trên với phép đặt
ln , arcsin , ar
()
ux xctgx
dv P x dx






.
Ví dụ
a) Tính ar
I
xctgxdx


Đặt
2
2
ar
1
2
dx
du
uctgx
x
dv xdx
x
v
















.
Suy ra:

222 22
22 2
11(1)111
ar ar ar 1
221221 221
x x dx x x dx x
I
ctgx ctgx ctgx dx
xx x


 

 

 


2
1
ar ar

222
xx
ctgx ctgx C
.
b) Tính
2
cos
I
xxdx


Đặt
2
2
sinx
cos
du xdx
ux
v
dv xdx











.
Suy ra:
2
sinx 2 sin
I
xxxdx


Tính
sinKxxdx


Đặt
sin osx
ux dudx
dv xdx v c






.
Suy ra:
osx os cos sinxKxc cxdxxx C    


Vậy
22
cos sinx 2 cos 2sin

I
xxdxx xx xC


3.1.3. Tích phân một số hàm đặc biệt
1. Tích phân hàm hữu tỉ
f(x) =
)(
)(
xQ
xP

 f(x) là phân thức thật sự nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x)
 Lúc nào ta cũng có thể đưa hàm hữu tỉ về dạng một đa thức cộng với một phân thức
thật sự bằng cách chia đa thức.
 Có 3 dạng cơ bản
I / I =
CaxAdx
ax
A



ln
II/ I =
C
ax
k
A
dx

ax
A
kk








1
)(
1
.
1
)(

4
III / I = dx
qpxx
NMx



2

Dạng I =





)
4
()
2
(
2
2
2
p
q
p
x
dx
qpxx
dx

Tùy thuộc q -
4
2
p
ta có các dạng :
o

2
u
du
Ví Dụ : I =


 44
2
x
x
dx

o


k
u
du
2
Ví Dụ : I =

 42
2
x
x
dx

o


22
k
u
du
Ví Dụ : I =


 64
2
x
x
dx


Dạng : I =
dx
qpxx
MP
Npx
M
dx
qpxx
NMx






22
)
2
()2(
2


=




qpxx
dxMp
Nqpxx
M
2
2
)
2
(ln
2

Ví dụ
a) Tính
2
(1)( 1)
dx
I
xx




Ta có:
22 2
11
(1)( 1)(1)(1) 1(1) 1
ABC

x
xxxxxx

    


22
2
2
2
(1)(1)(1)
1(1) 1
()(2)
(1)( 1)
Ax Bx Cx
xx x
ACx B CxABC
xx


 

 



Suy ra:
1
4
0

1
20
2
1
1
4
A
AC
BC B
ABC
C








 


 






Vậy

22
11 1
(1)( 1) 4 12(1) 4 1
dx dx dx dx
I
x
xxxx

   


5

1111
ln 1 . ln 1
4214
x
xC
x
     

.
b) Tính
2
(3 2)
(3)( 2)
x
dx
I
xx






Ta có:
2
22 2
32 ( 2)( )(3)
(3)( 2) 3 2 3 2
xABxCAxBxCx
xx x x x x
    
  
    


2
2
()(3)23
(3)( 2)
x
AB xBC A C
xx
  



Suy ra:
01

33 1
23 2 0
AB A
BC B
AC C
 


 


 


Vậy
2
22
(3 2) 1
ln 3 ln( 2)
(3)( 2) 3 2 2
xdx dx xdx
I
xxC
xx x x



  

.

2. Tích phân hàm lượng giác
a. Dạng

dxxxR )sin,(cos trong đó R(u,v) là biểu thức hữu tỉ theo cosx,sinx
Phương pháp chung : Đặt t =
2
x
tg

Khi đó : sin x =
2
1
2
t
t

, cosx =
22
2
1
2
,
1
1
t
dt
dx
t
t






Ví dụ
a) Tính (1)
cos
dx
Ia
ax




Đặt t =
2
x
tg thì
2
2
22 1
ar
(1)(1) 12
1
dt a x
I
ctg tg C
aat a
a



 


  




b) Tính
4sin cos 5
dx
I
xx




Đặt t =
2
x
tg thì
2
2
22
22
2
1
2

21
288 (2)
4. 3. 5
11
dt
dt dt
t
I
tt
tt t
tt



 





11
2
2
2
CC
x
t
tg
   



.

b. Dạng



bxdxaxbxdxaxbxdxax sincos,sinsin,coscos
Biến đổi tích thành tổng :
6
Nhớ công thức : coscos  =

)cos()cos(
2
1


sinsin  =

)cos()cos(
2
1



sincos  =

)sin()sin(
2
1



Ví Dụ : I =


 xdxxIxdxx 7cos4cos,3cossin

c. Dạng

xdxxdx
nn
cos,sin
Phương pháp :  n lẻ : Đặt t = cosx hoặc sin x
 n chẵn : Dùng công thức hạ bậc
cos
2
x =
2
2cos1
sin,
2
2cos1
2
x
x
x




Ví Dụ
a) Tính
3
4
cos
sin
x
I
dx
x



Đặt t =
sinx cosdt xdx thì
22
44423 3
cos cos 1 1 1 1 1 1 1
sin 3 3sin sinx
xx t
I
dx dt dt C C
xttttt x







b) Tính
32
sin .cos
I
xxdx


Đặt t =
osx sincdt xdx thì
53
32 22 22
os os
sin .cos sin .cos .sinx (1 ).
53
cxcx
I
x xdx x x dx t t dt C 
 

c) Tính
2
6
sin
os
x
I
dx
cx




Đặt t =
2
os
dx
tgx dt
cx

thì
22 53
22
6222
sin sin 1
.(1)
os os os os 5 3
xxdx tgxtgx
I
dx t t dt C
cx cxcxcx
 
 


3. Tích phân hàm vô tỉ
Phương pháp chung để tính tích phân các hàm vô tỉ là tìm cách đưa về tích phân
hàm hữu tỷ. Trong một vài trường hợp ta chuyển về dùng các tích phân cơ bản của hàm
vô tỷ sau:
1.
22

1
arcsin
x
dx C
a
ax




7
2.
2
2
1
lndx x x k C
xk




3.
22 22 2
11
arcsin
22
x
axdx xax a C
a
  



4.
22 2
1
ln
22
k
x
kdx x x k x x k C  


Dạng 1
: Tính (, ax )
n
I
fx bdx


Cách giải: Đặt
1
1
ax ax
n
nn
n
nt dt
t b t b nt dt adx dx
a



  .
Dạng 2:
Tính
(ax ,ax )
mn
I
fbbdx


Cách giải: Đặt
1
1
ax a
k
kk
kt dt
t b kt dt dx dx
a


   .(trong đó k là bội chung
nhỏ nhất của m và n)
Ví dụ Tính
3
4
1
x
I
dx

x




Đặt
43
4tx tdtdx 
. Từ đó:
23 5 2 3 3
2
33 3 3
44(1)
44 4.
11 1 331
ttdt tdt t t dt
Itdt
tt t t




  

 




33 3 3

44
44
ln 1 ln 1
33
tt C x x C    

Dạng 3:
Tính tích phân:
2
(, a ) ,( 0)Rx x bx cdx a




TH1:
2
2
2
2
11
4
4
dx dx
ax bx c
bbac
ax
aa


















Đặt
2
2
4
;
4
bbac
ux k
aa

 
. Suy ra:
2
2
2
2

1
()
4
4
du
dx
au k
bbac
ax
aa













TH2:
22
(2 )
22
AAb
ax b B
Ax B

aa
dx dx
ax bx c ax bx c

 




 



2
22
(ax )
22
Ad bxc Ab dx
B
aa
ax bx c ax bx c





 

.
Ví dụ Tính

2
1
dx
I
x
xx




8
Đặt
222
2
22
1 2 (2 1) 2( 1) 2 2 2
1
2 1 (2 1) (2 1)
tttttt
x
x t x x dx dt dt
ttt

   

.
Suy ra:
2
22
1233

22
(2 1) 2 1 (2 1)
ttdt
I
dt
tt t t t








33
2ln ln 2 1
22(21)
tt C
t
  

.

3.2. Tích phân xác định
3.2.1. Khái niệm về tích phân xác định
1. Định nghĩa. Giả sử hàm số f(x) xác định trên đoạn [a,b] .
a) Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm : x
o
= a <x
1

< x
2
<… <x
n
=b
b) Trên mỗi đoạn nhỏ [x
i-1
,x
i
] ta chọn điểm ξ
i
tùy ý
c) Lập tổng tích phân In =
))((
1
1




ii
n
i
i
xxf


d) Nếu
n
d

I
0
lim

tồn tại không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a,b] và các cách
chọn điểm ξ
i
thì nó được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a,b]
Ký hiệu
: I =
n
b
a
d
Idxxf



0
lim)( ( d =max (x
i
-x
i-1
) với 1  i  n )
Ghi chú
:
 Hàm số có tích phân xác định trên đoạn [a,b] thì gọi là khả tích trên đoạn [a,b]
 I
n
: tổng tích phân của f(x) trên đoạn [a,b]

 [a,b] : đoạn lấy tích phân ; a: cận dưới, b: cận trên


b
a
: dấu tích phân xác định, f(x) : hàm số dưới dấu tích phân.
Quy ước:

 Cho f(x) xác định tại a, ta có
0)( 

a
b
dxxf
 Cho f(x) xác định trên đoạn [a,b] và a < b , ta có :

a
b
dxxf )( = -

b
a
dxxf )(
2. Hàm khả tích
 Điều kiện cần. Hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a,b] thì bị chặn trên đoạn nầy
Suy ra : f(x) không bị chặn trên [a,b] ==> f(x) không khả tích trên [a,b]
 Điều kiện đủ.
Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì f(x) khả tích trên đoạn nầy
Ví Dụ Dùng định nghĩa tính tích phân xác định :
a) I =


1
0
2
dxx b) I =


2
1

9
Ghi chú :
6
)12)(1(
,
2
)1(
1
2
1






nnn
i
nn
i

n
i
n
i
,
4
)1(
22
1
3




nn
i
n
i


Tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm số dưới dấu tích phân và đoạn lấy tích
phân chứ không phụ thuộc vào ký hiệu biến số tích phân




b
a
b
a

b
a
duufdttfdxxf )()()(

3. Các tính chất
(1)


b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

(2)


b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()(
( k : hằng số )
(3)


b
c

c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
(4)
abdx
b
a



(5) Nếu f(x)  g(x) , x  [a,b] thì

b
a
dxxf )( 

b
a
dxxg )(
(6) Nếu m  f(x)  M , x  [a,b] thì :
m(b-a) 

b
a
dxxf )(
 M(b-a)
4. Các định lý cơ bản
a. Định Lý về giá trị trung bình

 Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì c [a,b] :

b
a
dxxf )( = f (c) (b-a)
Chứng Minh:

f(x) liên tục trên [a,b] ==> m = y
min
và M = y
max
: m  f(x)  M , x  [a,b].
Theo tính chất (6) :
m (b-a) 
Mdxxf
ab
mabMdxxf
b
a
b
a




)(
1
)()(
f(x) liên tục trên [a,b] nên đạt được mọi giá trị trung gian giữa m và M :
c [a,b] : f(c) =



b
a
dxxf
ab
)(
1
hay

b
a
dxxf )( =f(c). (b-a)
b. Định lý về đạo hàm theo cận trên
 Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì hàm


x
a
dttfx )()( với a  x  b ,là một
nguyên hàm của f(x) trên [a,b].
10
Vậy : ],[),()()('
'
baxxfdttfx
x
a











Chứng Minh:
 x (a,b) , cho xố gia

x, ta có :



xx
x
x
a
xx
a
x
a
x
a
xx
x
dttfxxx )()()(
Theo đl giá trị trung bình c (x+x+

x) sao cho :

)()(')(limlim)().()(
00
xfxcf
x
cf
x
xcfdttf
xx
xx
x












 x = a , x=b :
),()(),()(
''
bfbafa 


Vậy x [a,b] : ’(x)=f(x)
Hệ quả. Mọi hàm số liên tục trên [a,b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

Ví Dụ Tính đạo hàm hàm số :
)sin(sin)('
2
'
0
2
xdttx
x










Mở rộng :


v
u
uufvvfxdttfx ').(').()(')()(
Ví Dụ Tính đạo hàm các hàm số :
(a) dttx
x


0

2
1)(
(b)
dttx
x
x


1
sin
2
cos)(
c. Định Lý Newton – Leibnitz
Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì :
)()()( aFbFdxxf
b
a



Chứng Minh:

f(x) liên tục trên [a,b] nên theo đl đạo hàm cận trên ta có :


x
a
dttfx )()( là một
nguyên hàm của f(x), x [a,b]. Vậy (x) =F(x) +C hay


x
a
dttf )( = F(x) + C

Cho x =a

a
a
dttf )( = F(a)+C = 0 ==> C =-F(a)
Cho x =b

b
a
dttf )(
= F(b)+C = F(b)-F(a)
Vậy
)()()( aFbFdxxf
b
a



Bổ sung :
 Có những hàm số bị chặn nhưng không khả tích. Chẳng hạn :

11
f(x) =




0
1

 Có những hàm số khả tích nhưng chưa chắc liên tục
Bài tập:
1/ Xét sự khả tích

f(x) =





0
1
x

Hướng dẫn : Không bị chặn ==> không khả tích
2 / Xét sự khả tích :

f(x)










1
0
1
ln
x
xx

Hướng dẫn : f(x) liên tục ==> khả tích.
Ví Dụ : a) I =


2
1
2
dxx b) I =

4
6
2
cos


x
dx

c) I =
dxx



2
0
1
d) I = dx
x
x
e

1
2
ln

3.2.2. Các phương pháp tính tích phân xác định
 Phương pháp đổi biến số
a. Định Lý 1. Xét tích phân xác định

b
a
dxxf )( với f(x) liên tục trên [a,b].
Giả sử x= (t) thỏa các điều kiện:
(1) (t) có đạo hàm liên tục trên [,]
(2) ()=a, () =b
(3) Khi t biến thiên trên [,] thì x biến thiên trên [a,b].
Khi đó:

b
a
dxxf )( =

dtttf )('.)(






Ví Dụ Tính I =
dxx


1
0
2
1

Đặt x = cost với t 






2
,0

: x = 0  t =
2


dx = -sintdt x = 1  t = 0
I =



2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
2
)2cos1(
2
1
sinsin.sinsin.cos1


dtttdttdtttdtt
Nếu x hữu tỉ

[0,1]
Nếu x vô tỉ

[0,1]
Nếu x =0
Nếu x

[0,1]

Khi 0 < x < 1
Khi x = 0
Khi x = 1
12
=
42
1
2
1
2
0









 sìntt

b. Định Lý 2. Xét tích phân xác định

b
a
dxxf )( với f(x) liên tục trên [a,b]. Giả
sử u = (x) thỏa các điều kiện :
(1) (x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên [a,b].
(2) f(x)dx trở thành g(u)du trong đó g(u) liên tục trên [(a),(b)]

Khi đó:


b
a
dxxf )( =

)(
)(
)(
b
a
duug



Ví Dụ Tính I =


3
1
1
dx
x
x

Đặt u = 1x ==> u
2
=x+1 ==> 2udu = dx
x= u

2
-1
x =1 ==> u =
2
x = 3 ==> u =2

2
2
222
2
222
2
222
2
22 2 2 1
22ln
11121
uu du u
I udu du u
uuu u


 



121
422ln ln
3
21


  

.
 Phương pháp tích phân từng phần
Với tích phân xác định, công thức tích phân từng phần chỉ thêm các cận

bb
b
a
aa
udv uv vdu


Ví dụ Tính
1
0
ar
I
ctgxdx


Đặt
2
ar
1
dx
uctgx
du
x

dv dx
vx














Suy ra:
1
11
11
2
2
00
00
0
1
ar ar ar ln(1 )
12
xdx
I

ctgxdx x ctgx x ctgx x
x





ln 2 ln 2
ar 1
242
ctg

.
3.2.3. Ứng dụng của tích phân xác định
1. Tính diện tích hình phẳng
13
Diện tích hình phẳng H giới hạn bởi hai đường thẳng ,
x
ax b và các đường
cong
(), ()
y
fx y gx trên đoạn [a,b] là:

() ()
b
H
a
Sfxgxdx


Ví dụ:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x
2
và đường thẳng y = x + 2

1
1
23
2
2
2
9
(2 ) 2
23 2
xx
Sxxdxx


  

.
2. Tính độ dài cung
Giả sử cung AB là đồ thị của hàm số
()
y
fx

trên [a,b] . Khi đó:

2
1()
b
AB
a
lfxdx




Nếu AB cho bởi phương trình tham số:
()
,
()
xxt
atb
yyt







thì

22
[ ( )] [ ( )]
b
AB

a
lxtytdt




Ví dụ Tính chu vi đường tròn tâm O bán kính R = 2.
Tham số hóa:
2cos
, 0 t 2
2sin
xt
yt







.
Do đó
22
22
00
4cos 4sin 2 4
AB
lttdtdt






3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay
Xét vật thể V nhận được bằng cách quay đường cong
()
y
fx (với x[a,b]

)
quanh trục Ox. Khi đó thể tích của V cho bởi công thức:

2
[()]
b
a
Vfxdx



.
Nếu quay đường cong
()
x
gy

(với y[c,d]

) quanh trục Oy thì thể tích là:

2
[()]
d
c
Vgydy



.
3.3. Tích phân suy rộng
3.3.1. Tích phân suy rộng có cận vô hạn
Định nghĩa. Nếu f(x) xác định trên [a,


) và f(x) khả tích trên [a,t] với t > a .
Tích phân suy rộng của f(x) trên [a,


) là :





t
aa
t
dxxfdxxf )(lim)(
Nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn ,ta nói tích phân suy rộng hội tụ , ngược lại là
phân kỳ

Tương tự ,ta có :
14




b
t
b
t
dxxfdxxf )(lim)(







b
a
a
b
dxxfdxxf )(lim)(


Ví dụ xét sự hội tụ, phân kì của các tích phân suy rộng sau
a.
2
0
1

dx
x



b.
1
,
dx
R
x






Giải:

a.
2
0
0
ar lim ar ar 0
12
x
dx
ctgx ctgx ctg
x





 


.
b. Nếu
1


, ta có
1
11
ln lim ln
x
dx dx
xx
xx
 



 

.
Nếu
1

 , ta có

11
1
1
0, >1
11 1
.lim
, <1
1
x
dx
xx x
 














.
KL:
1
,

dx
R
x





hội tụ với 1

 , phân kỳ với 1


.

3.3.2. Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn
1. Định nghĩa
Cho f(x) khả tích trên [a,

] với a <

< b và 


)(lim xf
bx
.Khi đó ,ta có :








a
b
a
b
dxxfdxxf )(lim)(

2. Ví dụ. Tính các tích phân suy rộng:
a)


1
0
1x
dx
b)


1
0
2
1 x
dx


BÀI TẬP CHƯƠNG 3

Tính các tích phân bất định sau

3.1 a.

 4
4
x
xdx
b.

 4
2
4
x
dxx
c. dx
x
xx



4
4
2
3
d.


42
x

x
dx


15
3.2 a. dx
x
x
x



1
1
2
b.




dx
x
x
x
54
23
2
c. dx
x
x

xxx




32
4
2
23
d.


x
x
dx
3


3.3 a.
dxxx

1
2
b.

1
2
x
xdx
c. dx

x
dxx


6
2
1
d.

1
4
x
xdx


3.4 a.

x
x
dx
5
ln
b.

 xx
dx
ln1
c. dxex
x


sin
.cos d.


x
x
e
dxe
2
1


3.5 a.
dxe
x

1
2
b.


1
x
e
dx
c. dx
e
dxe
x


1
2
2
d.

dxx
x
2
5

3.6 a.
dxx

5
sin b.

3
3
cos
sin
x
xdx
c.

xdxx 5cos.7cos d. xdxtg

5


3.7 a.


 x
dx
cos52
b.

 xx
dx
cossin
c.


x
x
dx
22
cos5sin3
d.

x
dx
3
cos


3.8 a.
dxxx

sin
2

b.

xarctgxdx c.

dxx)sin(ln d. xdx

2
ln

3.9 a.

x
e
xdx
b.sin cos
x
xxdx

c.

dx
x
x
2
arcsin
d. dx
x
x

3

ln


Tính các tích phân xác định sau

3.10 a.
dx
x
x



1
0
2
4
b.

e
dx
x
x
1
)sin(ln
c.


1
0
2

54xx
dx
d.


0
4
cos xdx


3.11 a.


1
0
3
2
9
dx
x
x
b.


1
0
2
23xx
xdx
c.



4
4


tgxdx d.

2
ln
e
e
xx
dx


3.12 a.


2
0
cos23

x
dx
b.


5
1

12xx
dx
c.
dx
x
arctgx


1
0
2
1
d.


8ln
3ln
1
x
e
dx


3.13 a.

2
0
cos

xdxe

x
b.

1
0
arcsin xdx
c.

1
0
23
dxex
x
d.


1
3
cos
sin
dx
x
xx


Tính các tích phân suy rộng
16

3.14 a.



0
cos xdx b.



0
2
1 x
dx
c.



2
2
2xx
dx
d.


e
xx
dx
2
ln


3.15 a.



0
2
dxe
x
b.

1
0
x
dx
c.


1
0
1
x
e
dx
d.


2
1
3
1x
dx

Ứng dụng tích phân xác định

3.16 Tính diện tích giới hạn bởi các đường
a. y = cosx và trục Ox với 0

x


.
b. y = 2 – x
2
và y = x .
c. y = x
2
và x = y
2

d. y = 2
x
, y = 2 và x =0 .

3.17 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay các miền phẳng giới hạn bởi các
đường cong sau đây
a. y = tgx , y = 0 và x =
3

quanh trục ox
b.

1)2(
22
 yx quanh trục ox